MỤC LỤC

Trang
CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN 2
LỜI NÓI ĐẦU 3
Chương I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 5
§1. Môđun nội xạ và môđun con cốt yếu. 5
§2. Chiều Goldie và CS – môđun. 12
Chương II. MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU 17
§1. Môđun giả nội xạ. 17
§2. Môđun giả nội xạ cốt yếu. 24
§3. Môđun nội xạ cốt yếu. 28
KẾT LUẬN 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

1
CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
MA ≤
: A là môđun con của môđun M.
MA
e
≤
: A là môđun con cốt yếu của môđun M.
o
≤
: quan hệ thứ tự.
MA ⊆
: A là tập hợp con của tập M.
( )
M,NHom
: tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M.

phương trình. Trên cơ sở vấn đề đặc trưng phương trình bởi môđun tựa nội xạ
của A.Laradji: “mọi hệ phương trình tuyến tính tương thích mạnh trên môđun
tựa nội xạ đều giải được”, He Qun đã đưa ra đặc trưng của môđun nội xạ cốt
yếu theo phương trình: “một môđun là nội xạ cốt yếu khi và chỉ khi mọi hệ
phương trình tuyến tính tương thích mạnh trên nó là giải được”.
Tiếp tục nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu, luận văn đã trình bày
một cách hệ thống một số vấn đề có liên quan về môđun giả nội xạ, giả nội xạ
cốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu và chứng minh được: môđun giả nội xạ là nội
xạ cốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu là giả nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun đều.
Luận văn cũng chứng minh các kết quả như: hệ quả 2.2.8, định lí 2.3.6, mệnh
đề 2.3.7, mệnh đề 2.3.10. Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương:
3
– Chương I. Trình bày một số kiến thức cơ bản chuẩn bị. Các khái
niệm được đề cập chủ yếu trong chương này là môđun nội xạ, môđun con cốt
yếu, CS – môđun, môđun có chiều đều hữu hạn.
– Chương II. Trên cơ sở xem xét trình bày các tính chất của môđun
giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu.
Chứng minh một số tính chất và đặc trưng của môđun nội xạ cốt yếu theo
phương trình.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp,
dưới sự gợi ý và hướng dẫn nhiệt tình của Thầy PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng. Tác
giả xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy, đồng thời tác giả cũng xin
chân thành cảm ơn Thầy PGS.TS.Lê Quốc Hán, PGS.TS. Nguyễn Thành
Quang, TS.Chu Trọng Thanh cùng quý thầy cô trong bộ môn Toán, khoa Sau
đại học của Đại học Vinh, phòng QLKH&SĐH của ĐHSP Đồng Tháp, các
bạn học viên cao học Toán khoá 13 tại ĐHSP Đồng Tháp đã hỗ trợ giúp đỡ và
tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.
Đồng Tháp, tháng 4 năm 2008.
Tác giả
4

MNA ≤≤
thì
MA
e
≤
khi và chỉ khi
NA
e
≤
và
MN
e
≤
.
(3) Cho
MA
e
≤
và
MK
≤
thì
KKA
e
≤∩
.
(4) Cho
MNA ≤≤
. Nếu
AMAN

MA
e
≤
. Suy ra Y = 0. Vậy,
MN
e
≤
.
5
Ngược lại, nếu
NA
e
≤
và
MN
e
≤
thì với môđun con X bất kì của M mà
0=∩ XA
. Đặt
XNB ∩=
, ta có
0=∩=∩∩=∩ XAXNABA
, do
NA
e
≤
nên B = 0
0=∩⇒ XN
và do

AXAN =⊕∩
, từ đây ta
suy ra
( )
0=⊕∩ AXAAN
. Do
AMAN
e
≤
nên
( )
0=⊕ AXA
hay
AXA =⊕
. Vậy X = 0 hay
MN
e
≤
. 
1.1.3 Bổ đề Cho
MN →:
ϕ
là đẳng cấu môđun trên R. Khi đó môđun con L
của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi
ϕ
(L) cốt yếu trong M.
Chứng minh. (⇒) Cho
NL
e
≤

( )
ML
e
≤
ϕ
.
(⇐) Cho
( )
ML
e
≤
ϕ
, thì
NY ≤∀
sao cho
0=∩YL
. Do ϕ đẳng cấu
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
0
111
=∩=∩=∩⇒
−−−
YLYLYL
ϕϕϕϕϕϕϕ

( ) ( )
0=∩⇒ YL
ϕϕ
.
Do

sắp thứ tự
S
theo quan hệ bao hàm. Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của
S

sao cho:

21
≤≤≤≤
n
XXX
Khi đó
i
i
XB
∞
=
∪=
1
là môđun con của M và dễ
thấy B là cận trên của dãy đã cho. Lấy
BAx ∩∈
, suy ra có một số k nào đó
sao cho
k
Xx∈
. Từ đây ta có
k
XAx ∩∈
. Vậy x = 0 hay

0=y
và
0== ta
. Như vậy
( )
0=⊕∩ YTA
, ta suy ra
( )
SYT ∈⊕
. Do tính
tối đại của T nên
0=Y
. Vậy
MTA
e
≤⊕
. 
1.1.5 Bổ đề Nếu K là phần bù của B trong môđun M thì
( )
KMKBK
e
≤⊕
.
Chứng minh. Giả sử
KMKX ≤
sao cho
( )
0=∩⊕ KXKBK
, ta
có

0=∩ BK
, K tối đại nên
0≠∩ BN
. Ta có
( ) ( )
0=∩=∩∩=∩∩ BKBNKBNK
, vì
NK
e
≤
, suy ra
0=∩ BN
.
Điều này vô lý. Vậy, K đóng trong M.
(2) Suy ra từ 1.1.4. 
1.1.7 Định nghĩa Cho M và N là các R – môđun.
– Môđun M được gọi là N – nội xạ nếu với mọi
môđun con X của N, mọi đồng cấu f :
MX →
đều mở
rộng thành đồng cấu
MNg →:
, tức là biểu đồ sau
giao hoán:

fig
o
=
, trong đó i là phép nhúng đồng cấu.
– Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M – nội xạ.

⊕
là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì
( ) ( )
αα
MEME
AA
⊕=⊕
.
1.1.9 Mệnh đề Giả sử môđun
i
Ii
MM
∈
⊕=
là tổng trực tiếp các môđun
i
M
. Khi
đó các phát biểu sau là tương đương:
(1) M là tựa nội xạ.
(2)
i
M
là tựa nội xạ và
( )
iIM −
là
i
M
– nội xạ với mọi

**
.
(⇐) Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là N – nội xạ, với mọi
môđun N. Lấy X là môđun con tuỳ ý của N,
MXg →:
là đồng cấu bất kỳ.
Ta chứng minh tồn tại đồng cấu g
*
là mở rộng của g.
Thật vậy, xét họ
{ }
gMTNTXTS
X
=→≤≤=
ααα
,:,/),(
.
Ta thấy
( )
∅≠⇒∈ SSgX ,
. Sắp thứ tự tập S theo quan hệ như sau:
8

( ) ( )





=

MT →:
α
, với
k
TxkTx ∈∃⇒∈ :
Ta định nghĩa
( ) ( )
xx
k
αα
=
. Dễ dàng kiểm tra được α là đồng cấu. Khi đó
( )
α
,T
là cận trên của dãy (a). Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu
( )
SB ∈
β
,
. Ta chứng minh
NB =
và g* = β.
Thật vậy, nếu
BNaNB \∈∃⇒⊂
. Đặt
RaBH +=
⇒
HB
⊂

β
,B
. Vậy,
NB =
và lấy g* = β. Vậy g* là mở rộng của g. 
1.1.11 Mệnh đề Nếu M là N – nội xạ và
NA ≤
thì M là A – nội xạ và
AN

– nội xạ.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh M là A – nội xạ. Thật vậy, lấy
AX ≤
và
MXf →:
là đồng cấu. Ta cũng có
NX ≤
, do M là N – nội xạ
nên f mở rộng thành đồng cấu
MNg →:
. Khi đó
A
g
là mở rộng của f trên
A hay M là A – nội xạ.
Bây giờ ta chứng minh M là
AN
– nội xạ. Lấy
ANAX ≤
và

ααϕφ
AA
. Suy ra
φπ
kerker ≤
.
Do đó, tồn tại đồng cấu
MAN: →
β
sao cho
φβπ
=
. Với mọi
Xx∈
, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
AxxxxAx +====+
ααϕφβπβ
.
Vậy,
β
là mở rộng của
α
hay M là
AN
– nội xạ. 
1.1.12 Mệnh đề M là N – nội xạ khi và chỉ khi
( )
MN ≤
ϕ

( )( )
0=−∩ NM
ϕφ
. Thật vậy, giả sử có
Mm∈
và
Nn∈
sao cho
( )( )
nm
ϕφ
−=
. Khi đó,
( ) ( )
Mmnn ∈−=
φϕ
nên
Xn∈
.
Như vậy,
( ) ( ) ( ) ( )
0=−=−= nnnnm
ϕϕϕφ
. Vậy,
( )( )
0=−∩ NM
ϕφ
và vì
( )
MEM

ϕ
. Vậy,
MXf →:
mở rộng thành
đồng cấu
MN →:
ϕ
hay M là N – nội xạ. 
1.1.13 Bổ đề Cho M
1
và M
2
là các môđun và
21
MMM ⊕=
. Thế thì, M
2
là
M
1
– nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của M mà
0
2
=∩ MN
đều
tồn tại môđun con K của M sao cho
2
MKM ⊕=
và
KN ≤

nên
α
là đơn cấu và do M
2
là M
1
–
nội xạ nên tồn tại đồng cấu
21
: MM →
ϕ
sao cho
βϕα
=
.
Lấy
( ){ }
1111
: MmmmK ∈+=
ϕ
. Với mọi
Nn∈
thì
21
mmn +=
. Ta có
( ) ( )
nn
βϕα
=

= 0 và m
2
= 0. Như vậy,
0
2
=∩ MK
. Mặt
khác,
( ) ( )
2121121
, MKmmmmmmmMm ⊕∈−++=+=∈∀
ϕϕ
.
Vậy
2
MKM ⊕=
.

( )
⇐
Giả sử với mọi môđun con N của M mà
0
2
=∩ MN
đều tồn tại môđun
con K của M sao cho
2
MKM ⊕=
và
KN ≤

=
,
Xx∈∀
thì
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
xfxfxfxxxg =+−==
ππ
.
Vậy, g là mở rộng của f, hay M
2
là M
1
– nội xạ. 
11
§2. CHIỀU GOLDIE VÀ CS – MÔĐUN
Cho môđun M, chúng ta định nghĩa các tính chất sau đây của M:
(C
1
) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.
(C
2
) Nếu một môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của
M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M.
(C
3
) Nếu M
1
và M
2
là hạng tử trực tiếp của M thoả mãn

sao cho
NA
e
≤
, thế thì ta có
0=∩ BN
. Gọi
ABA →⊕:
π
là phép chiếu. Do
B=
π
ker
nên
0ker =∩
π
N
, suy ra
N
π
là đơn cấu. Vì thế N được nhúng đơn cấu vào A,
mà
NA
e
≤
. Do vậy A = N, hay A là môđun con đóng trong M.
(2) Trước hết ta chứng minh, nếu môđun con A đóng trong M và mọi
MQ
e
≤

M'LL
e
≤⊕
và theo kết quả chứng minh trên thì
( )
LML'LL
e
≤⊕
.
Theo 1.1.2, thì
( )
KMK'LL
e
≤⊕
, ta cũng có
( )
KLK'KK
e
≤⊕
và
( ) ( )( ) ( )
KMK'LKK'KKK'L'KK
e
≤⊕⊕⊕=⊕⊕
. Lấy
MV ≤
sao cho
VK
e
≤

Vậy, A là hạng tử trực tiếp của P hay P là CS – môđun. 
1.2.4 Bổ đề Mọi môđun khác không có chiều đều hữu hạn luôn chứa một
môđun con đều.
Chứng minh. Giả sử M không chứa môđun con đều nào, nghĩa là tồn
tại các môđun con khác không K
1
, L
1
của M sao cho
0
11
=∩ LK
. Khi đó K
1
không là môđun con đều, nên tồn tại các môđun khác không K
2
, L
2
của K
1
sao
cho
0
22
=∩ LK
. Tiếp tục lí luận tương tự đối với K
2
, dẫn đến M chứa một
tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không


≠∩≠∩ BUAU
. Từ đây, ta có
( ) ( ) ( )
0
111
=∩∩=∩∩∩ BAUBUAU
. Điều này mâu thuẩn với tính đều
của U
1
. Vậy X
1
là môđun đều. Bởi M là CS – môđun và X
1
là bao đóng của U
1
nên X
1
là hạng tử trực tiếp của M, tức là
11
MXM ⊕=
. Vì M là CS – môđun
và có chiều đều hữu hạn, theo 1.2.3, nên M
1
cũng là CS – môđun và có chiều
đều hữu hạn. Lí luận tương tự như trên đối với M
1
, ta có
221
MXM ⊕=
,

là các môđun con đều. 
1.2.6 Định nghĩa và kí hiệu Cho R là vành có đơn vị, và hai tập khác rỗng J
và K. Một
KJ ×
– ma trận trên R là hàm
RKJA →×:
. Kí hiệu A là một
KJ ×
– ma trận trên R. Với mỗi
( )
KJkj ×∈,
, đặt
( )
RakjA
jk
∈=,
. Ta gọi
jk
a
là phần tử trên A với chỉ số
( )
kj,
, ta viết
[ ]
KJ
jk
aA
×
=
. Nếu không có gì

thì
[ ]
{ }
Kj
jk
a
×
và
[ ]
{ }
kJ
jk
a
×
theo thứ tự là dòng
thứ j và cột thứ k của ma trận A. Tập hợp tất cả các
KJ ×
– ma trận trên vành
R, ta kí hiệu
( )
RM
KJ ×
. Ma trận A được gọi là dòng hữu hạn (cột hữu hạn)
nếu mỗi dòng của A ( mỗi cột của A) có hầu hết các phần tử bằng 0 trừ một
14
số hữu hạn. Nếu J = K thì ta gọi A là
JJ ×
– ma trận vuông hay
J
– vuông.

dòng hữu hạn hoặc B có cột hữu hạn thì chuỗi trên là tổng hữu hạn và
Rcba
jf
Kk
kfjk
∈=
∑
∈
. Khi đó
FJ ×
– ma trận
FJ
Kk
kfjk
baAB
×
∈






=
∑
gọi là tích
của hai ma trận A và B. Nếu A và B có cột hữu hạn (dòng hữu hạn) thì AB có
cột (dòng) hữu hạn.
Cho J là tập khác rỗng, M là R – môđun trái. Kí hiệu
∏

jk
RrA ∈=
và
[ ]
J
j
MbB ∈=
.
Nếu tồn tại
[ ]
K
k
McC ∈=
thỏa mãn AC = B thì ta gọi
[ ]
k
cC =
là một nghiệm
của hệ phương trình AX = B. Hệ phương trình AX = B gọi là giải được nếu
nó có nghiệm trên M. Với mỗi
J
MC ∈
, tập
( )
{ }
0/
)(
=∈= CpRpCR
tJ
gọi là

thì cũng tương thích mạnh.
1.2.7 Bổ đề Cho
[ ]
J
j
McC ∈=
. Kí hiệu
C
là môđun con của M sinh bởi
tập
{ }
Jjc
j
∈/
. Khi đó
( )
( )
CCRR:
J
→
ϕ
xác định bởi
( )( )
CpCRp
t
=+
ϕ
,
là một đẳng cấu.
Chứng minh. Ta có


trong đó
( )
J
Rq,p ∈
thì:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
yxCqCpCqpCRqpyx
tt
t
ϕϕϕϕ
+=+=+=++=+

( ) ( )( ) ( ) ( )
xrCrpCrpCRrprx
t
t
ϕϕϕ
===+=
, với
Rr
∈
.
nên ϕ là đồng cấu môđun. Dễ thấy ϕ là đơn cấu, đồng thời theo cách xác định
của ϕ nên ϕ cũng là toàn cấu. Vậy ϕ là đẳng cấu. 
16
CHƯƠNG II. MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU
§1. MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ
2.1.1 Định nghĩa Cho M, N là các R – môđun trái.

(1) M là N – giả nội xạ.
(2) Với bất kỳ môđun con A của X thỏa mãn
0=∩=∩ NAMA
, tồn tại
môđun con T của X chứa A sao cho
XTM =⊕
.
Chứng minh.
( ) ( )
21 ⇒
Giả sử có (1) và A là môđun thỏa mãn giả
thiết (2). Gọi
NNMMNM
NM
→⊕→⊕ :,:
ππ
là các phép chiếu. Ta xác
định đồng cấu
( ) ( )
AA
MN
ππθ
→:
như sau:
Với mỗi
( )( ) ( )
aaAa
MN
ππθ
=∈ ,

g

( ) ( )
12 ⇒
Giả sử có (2). Gọi B là môđun con của N và
MBf →:
là đơn
cấu. Đặt
( ){ }
BbbfbA ∈−= :
, thế thì
0=∩=∩ NAMA
. Theo giả thiết, tồn
tại môđun con T của X chứa A sao cho
XTM =⊕
. Lấy
MTM →⊕:
π
là
phép chiếu. Khi đó,
( ) ( )
bfbbfbBb −+=∈∀ ,
, ta có:
( ) ( ) ( )( ) ( )
bfbfbbfb
NN
=−+=
ππ
. Vậy,
N

– Một dãy khớp dạng
00 →→→→ KNM
gf
được gọi là
dãy khớp ngắn nếu f là đơn cấu, g là toàn cấu và Imf = Kerg.
– Một toàn cấu của các R – môđun
0→→ NM
f
được gọi là chẻ ra
nếu tồn tại một đồng cấu
MNg →:
sao cho
N
fg 1=
.
– Một đơn cấu của các R – môđun
NM
f
→→0
được gọi là chẻ ra
nếu tồn tại một đồng cấu
MNg →:
sao cho
M
gf 1=
– Dãy khớp ngắn
00 →→→→ KNM
gf
được gọi là chẻ ra
nếu

. Ta có
( )( ) ( )( )
ngfnngfn −+=
. Hiển nhiên,
( )( )
fngf Im∈
, ta chứng minh
( )( )
gngfn ker∈−
.
18
X
N
P

f
g
M
φ
ϕ
-1
ϕ
Thật vậy,
( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
0=−=−=− ngngngfgngngfng
. Như vậy,
ta có
KergfN += Im
. Mặt khác, nếu có
gfx kerIm ∩∈

sao cho
0=∩=∩ NKAK
. Lấy
MKx ∩∈
, khi đó,
namx +==
, với
NnAaMm ∈∈∈ ,,
. Ta có
Mamn ∈−=
, suy ra n = 0 hay
KxAax ∈∈= ,
.
Vậy x = 0 hay
0=∩ MK
. Do M là N – giả nội xạ, theo 2.1.3, thì tồn tại
môđun con T của X chứa K sao cho
XTM =⊕
. Vậy thì,
NATA ⊕=⊕
.
Theo 2.1.3, thì A là N – giả nội xạ. 
2.1.7 Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ và
PM ≅
thì P là N – giả nội xạ.
Chứng minh. Lấy
NX ≤
và
PXf →:
là

1
φϕ
, thế thì ta có
( )
ffiig
XX
===
−−
ϕϕφϕ
11
. Vậy, g là mở rộng của
f cần tìm hay P là N – giả nội xạ. 
2.1.8 Định lí Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn tính chất (C
2
).
Chứng minh. Giả sử M là môđun giả nội xạ và B là môđun con của
M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp A của M. Ta chứng minh B là hạng tử trực
19
tiếp của M. Thật vậy, lấy
BA:f →
là đẳng cấu. Khi đó, f cũng là đơn cấu từ
A vào M. Vì M là M – giả nội xạ, theo 2.1.6 thì A là M – giả nội xạ. Theo
2.1.5, đơn cấu f là chẻ ra. Vậy B là hạng tử trực tiếp của M hay M có tính
chất (C
2
). 
2.1.9 Định lí Hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ.
Chứng minh. Giả sử M là môđun giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp
của M, tức là
BAM ⊕=

π
là phép
chiếu. Lấy
AAg →= :
πφ
, thế thì ta có
ffiigi
AXX
===
ππφ
, trong đó
AXi
X
→:
là phép nhúng. Vậy g là mở rộng của f cần tìm hay A là môđun
giả nội xạ. 
2.1.10 Bổ đề (Jain and Singh) Nếu M là môđun giả nội xạ thì môđun con của
M đẳng cấu với phần bù trong M cũng là phần bù trong M.
Chứng minh. Cho K là phần bù trong M và A là môđun con của M
sao cho
KA
≅
. Lấy
KAf →:
là đẳng cấu môđun. Theo giả thiết, thì f mở
rộng thành đồng cấu
MMg →:
. Theo bổ đề Zorn, tồn tại phần bù A’ trong
M sao cho
'AA

i
Ii
ANM
∈
⊕=⊕
với N và A
i
là các môđun thì
(
)
i
Ii
BMNM
∈
⊕⊕=⊕

với
ii
AB ≤
. Môđun M gọi là có tính triệt tiêu nếu
YMXM ⊕≅⊕
thì
YX
≅
. M gọi là có tính triệt tiêu trong nếu
2211
BABAM ⊕=⊕=
mà
21
AA ≅

≤∩
2
. Do

M
2
CS – môđun nên tồn tại môđun con V và V’ của M
2
sao cho
2
' MVV =⊕
và
VMA
e
≤∩
2
. Mặt khác,
2
M
là CS – môđun nên ta cũng có
XAA =⊕ '
, với
XA ≤'
. Do V là hạng tử trực tiếp của môđun liên tục nên V là môđun liên tục
hay V có tính biến đổi. Vì
AAV
e
≤∩
, ta có
0'=∩ AV

e
≤∩
và theo 1.2.2 thì K
1
và K
2
là phần bù trong X. Theo
2.1.3, tồn tại môđun con T của X chứa K
1
thỏa mãn
XTM =⊕
1
. Thế thì
21
2
MT ≅
và K
1
là phần bù trong T. Từ đây, suy ra K
1
đẳng cấu với một phần
bù trong M
2
. Theo chứng minh trên, ta cũng có K
2
đẳng cấu với một phần bù
của M
2
. Lấy
221

e
≤⊕=⊕
π
11
nên
( )
2
MK
e
≤
π
.
Theo cách chọn K
1
, K
2
và
KKK
e
≤⊕
21
, thế thì
( ) ( ) ( )
KKK
e
πππ
≤⊕
21
. Do
đó,

≤
A
sao cho
0=∩ MA
. Gọi K là phần bù của M trong X chứa A,
NNM →⊕:
π
là phép chiếu. Ta có
( )
XKMKM
e
≤⊕=⊕
π
, từ đây ta
suy ra
( )
NK
e
≤
π
, trong đó
( )
KK
π
≅
. Gọi
( )
KKf →
π
:

⊕=
là tổng trực tiếp các môđun đều M
i
. M là tựa nội xạ
khi và chỉ khi M là giả nội xạ.
Chứng minh. (1) Lấy A là môđun con của M và
MAf →:
là đồng
cấu. Nếu Kerf = 0, theo giả thiết, thì f mở rộng thành đồng cấu
MMg →:
.
Nếu
0ker ≠f
, đặt
fi
A
−=
δ
, trong đó
MAi
A
→:
là phép bao hàm. Lấy
22
δ
kerker ∩∈ fx
, ta có
( )
0=xf
và

. Theo (1) và hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả
nội xạ, nên mỗi M
i
là tựa nội xạ. Theo 1.1.9, M là tựa nội xạ. 
2.1.14 Định lí Môđun M có chiều đều hữu hạn là tựa nội xạ khi và chỉ khi M
là giả nội xạ và là CS – môđun.
Chứng minh. Cho M là giả nội xạ, CS – môđun. Theo 1.2.5, M là
tổng trực tiếp của các môđun đều. Theo 2.1.13, ta suy ra điều phải chứng
minh. 
24
§2. MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ CỐT YẾU
2.2.1 Định nghĩa Cho M, N là các môđun. M được gọi là N – giả nội xạ cốt
yếu nếu với mọi môđun con A cốt yếu của N, với mọi đơn cấu
MAf →:
đều
mở rộng thành đồng cấu
MNg →:
. M được gọi là môđun giả nội xạ cốt yếu
nếu M là M – giả nội xạ cốt yếu.
2.2.2 Hệ quả M là N – giả nội xạ thì M là N – giả nội xạ cốt yếu.
2.2.3 Mệnh đề Cho M, N là các môđun và
NMX ⊕=
. Các phát biểu sau
là tương đương:
(1) M là N – giả nội xạ cốt yếu.
(2) Với bất kỳ phần bù K của M trong X sao cho
0=∩ NK
thì
XKM =⊕
Chứng minh.

như sau: với mỗi
Kk ∈
thì
)Nn,Mm(nmk ∈∈+=
,
( )
mn =
θ
. Do
0=∩ NK
nên
0ker =
θ
.
Vậy
θ
là đơn cấu và vì M là N – giả nội xạ cốt yếu nên
θ
mở rộng thành
đồng cấu
MNg →:
. Đặt
( ){ }
NnngnT ∈+= :
. Với
Xx∈
thì
( ) ( )
TMngnngmnmx +∈++−=+=
TMX +=⇒

. Ta
cũng có
( )
AMHMHM
N
⊕=⊕=⊕
π
. Do
XAMNA
ee
≤⊕⇒≤
25