Luận văn
Tính chất của môđun
Artin

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(R, m)
m; M R A R
R M
Ann
R
M/pM = p, p Ann
R
M
A (∗)
Ann
R
(0 :
A
p) = p, ∀p ∈ V (Ann
R
A). (∗)
(∗)
dim
R
A = dim R/ Ann
R

U
M
(0) M d
Usupp M = Supp(M/U
M
(0)) M
(∗)
H
d
m
(M)
Usupp(M)
H
d
m
(M) (∗)
H
i
m
(M)
M i < d
(∗) R
(∗) H
i
m
(M) i = 1, . . . , d − 1.
i M Psupp
i
R
(M)

i
m
(M)
Psupp
i
R
(M)
(∗)
H
i
m
(M)
R/ Ann
R
M R/p
p ∈ Supp
R
M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
R
M R A R
m R m
Γ
m
(A) A
Γ
m
(A) =

n≥0

j
(A) Γ
m
j
(A)
R
m
j
Γ
m
j
(A) R
R
m
j
A
m
j
∼
=
Γ
m
j
(A), j = 1, . . . , r.
A = A
1
⊕ . . . ⊕ A
r
J
A

A R
(R, m) A

R

R m R
A R A

R A
A

R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(R, m) E = E(R/m)
R/m D() = Hom
R
(, E) C
R
R R R M
µ
M
: M −→ DD(M) = Hom
R
(Hom
R
(M, E), E)
R µ
M
(x)(f) = f(x), x ∈ M,
f ∈ Hom(M, E).

i
N
i
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
M = 0 M
p
i
N
i
i = 1, . . . , n
M
{p
1
, . . . , p
n
}
M M
Att
R
M N
i
, i = 1, . . . , n
M
M R M = 0
Att
R
M = ∅
R Ann(M) Att
R

R
Att
R
A = {

p ∩ R :

p ∈ Att

R
A}.
R
N R Att
R
(D(N)) = Ass
R
(N).
A R Ass
R
(D(A)) = Att
R
(A).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
p
0
⊆ p
1
⊆ . . . ⊆ p
n
p

A, n
0
N-dim
R
(A
n+1
/A
n
) < d,
n > n
0
.
M R M R
N-dim
R
M = 0. M R
M
0
⊆ M
1
⊆ . . . ⊆ M
n
⊆ . . .
M n
0
∈ N M
n
= M
n+1
n > n

n
0
N-dim
R
(N
k+1
/N
k
) = −1 < 0
k > n
0
N
k+1
= N
k
n > n
0
M R
M dim M = 0 M = 0

R
(M) < ∞.
N-dim
R
A = 0 A = 0 
R
(A) < ∞
Att
R
A = {m}.


R
A = dim

R/ Ann

R
A = max{dim

R/

p :

p ∈ Att

R
A}.
(R, m) A R A

R
N-dim
R
A = N-dim

R
A.
N-dim A N-dim
R
A N-dim


)R) < ∞}.
A x = (x
1
, . . . , x
t
)
m (0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < ∞
A. t = 0 
R
(A) < ∞. t = N-dim A = d
x = (x
1
, . . . , x
d
) A x ∈ m
A N-dim(0 :
A
x) = N-dim A − 1.
A
dim R = d. q R

R
(0 :
A

(q; A) > 0 N-dim A < d e

(q; A) = 0 N-dim A = d
e

(q; A) A q.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
A q
A N-dim A = dim R = d
x = (x
1
, . . . , x
t
) A n
1
, . . . , n
t
x(n) = (x
n
1
1
, . . . , x
n
t
t
)
(0 :
A
x
(n)R)  n

(x; A

) + e

(x; A

).
0  e

(x; A)  (0 :
A
xR) e

(x; A) > 0
t = d = N-dim A
I R M
R i M I
H
i
I
(M)
H
i
I
(M) = R
i
(Γ
I
(M)),
R

−→ H
0
I
(N)
−→ H
1
I
(L)
H
1
I
(f)
−→ H
1
I
(M)
H
1
I
(g)
−→ H
1
I
(N)
−→ . . .
−→ H
i
I
(L)
H

(R, m)
M R R H
i
m
(M)
i ∈ N
0
(R, m) I R M
R dim M = d
R H
d
I
(M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
f : R −→ R

H
i
I
(M) ⊗
R
R

∼
=
H
i
I
(M ⊗
R

(H
i
I
(M))  i,
i = 0, 1, . . . , t.
M dim M = d I R
H
d
I
(M) 0
N-dim
R
(H
d
I
(M)) = d
H
d
I
(M) d > 0
(R, m) M
dim M = d
Att
R
(H
d
m
(M)) = {p ∈ Ass
R
M | dim R/p = d}.

Supp M R/ Ann
R
M
M Supp M
dim R/p + dim M
p
= dim M p ∈ Supp M.
R R
S R a
1
, . . . , a
t
∈ S
S = R[a
1
, . . . , a
t
] ϕ : R[x
1
, . . . , x
t
] −→ S
t R[x
1
, . . . , x
t
] S ϕ(x
i
) = a
i

p
p ∈ Spec R
I R R/I R/I
R
R/p p ∈ Spec R
dim

R/

p = dim R/p,

p ∈ min Ass

R/p

R.
R
R[x]
R N 0 −→ L

−→
L −→ L

−→ 0 R
0 −→ L

⊗ N −→ L ⊗ N −→ L

⊗ N −→ 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ψ : R
p
−→

R

p
.

R

p
⊗
R
p
(R
p
/pR
p
) ψ p
R p
ϕ : R −→ S
P ∈ Spec S p = ϕ
−1
(P ) := P ∩ R
ht P  ht p + dim

S
P
⊗

i
m
(M)
R/ Ann
R
M
R/p p ∈ Supp
R
M
(∗)
R
M p R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ann
R
M p ∈ Supp
R
M M
p
= 0
(M/pM)
p
= M
p
/pM
p
= 0.
p ∈ Supp(M/pM) p ⊇ Ann
R
(M/pM)

R
A dim
R
A
dim R/p p
dim
R
A = max{dim R/p | p ∈ Att
R
A}.
N-dim A  dim A.
(∗)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
A (∗)
N-dim
R
A = dim
R
A
dim
R
M = d
(∗)
H
d
m
(M) M
M
M M
M d U


p∈Ass M, dim R/p=d
V (p).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Supp(M/U
M
(0))
M Usupp M.
Att
R
H
d
m
(M) = {q ∈ Ass M : dim R/q = d},
Ann
R
H
d
m
(M)
Att
R
H
d
m
(M)
p ∈ Supp M p ∈ Usupp M
p ⊇ Ann
R
(H

N-dim H
d
m
(M) = dim

R/ Ann
R
H
d
m
(M)

H
d
m
(M)
(∗)
H
d
m
(M) (∗)
M
Usupp M
H
d
m
(M) (∗)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
⇒ p ∈ Var(Ann
R

M
(0))
Rad Ann

M/U
M
(0)/p(M/U
M
(0))

= Rad(Ann
R
(M/U
M
(0)) + p) = p.
dim

M/U
M
(0)/p(M/U
M
(0))

= dim R/p = d − r.
(x
1
, , x
r
) M/U
M

) M/U
M
(0)
m

M/U
M
(0) M/U
M
(0)

M
1

M/U
M
(0) dim

M
1
= dim

M/U
M
(0)
(x
1
, , x
r
)


R


M
1
/(x
1
, , x
r−1
)

M
1

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
x
r

M
1
/(x
1
, , x
r−1
)

M
1

r
∈ p p ⊃ p
1
p = p
1

p
2
∈ Supp

R


M
1
/(x
1
, , x
r−2
)

M
1

.

p
1
⊇


1
⊃ . . . ⊃ p
r
p
i
= p
i+1
i = 1, . . . , r − 1 dim M
p
= r.
(∗)
M R (∗)
i < d.
i
H
i
m
(M) (∗)
Psupp
i
R
(M)
H
i
m
(M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
{p ∈ Spec R : H
i−dim(R/p)
pR

(Ext
i
S
(M, S), E) = D(Ext
i
S
(M, S)).
K
i
M
= Ext
r−i
S
(M, S) ∀i = 0, 1, . . . , dim M.
H
i
m
(M)
∼
=
Hom(K
i
M
, E), ∀i = 0, 1, . . . , dim M
K
dim M
M
M K
M
.