✶
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❉✉♥❣✱ ♥❣➢ê✐ t❤➬② trù❝ t✐Õ♣
❤➢í♥❣ ❞➱♥ ✈➭ t❐♥ t×♥❤ ❝❤Ø ❜➯♦✱ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐✱ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦
t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ●❙✳ ❚❙❑❍ ◆❣✉②Ô♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ ●❙✳ ❚❙❑❍ ▲➟
❚✉✃♥ ❍♦❛✱ P●❙✳ ❚❙ ◆❣✉②Ô♥ ◗✉è❝ ❚❤➽♥❣ ë ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ❍➭ ◆é✐✱ ❝ï♥❣ t♦➭♥
t❤Ó ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ö✉ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✈➭ ♣❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦
s❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝✱ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ P●❙✳ ❚❙ ▲➟ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ ❝ï♥❣ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠
❣✐➳♦ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵②
✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣ ✈➭ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ➤Ò t➭✐ ♥➭②✳
❈✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ➤Õ♥ ❝❤❛ ♠Ñ✱ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ❜➵♥ ❜❒✱ ➤➷❝
❜✐Öt ❧➭ ❝❤å♥❣ t➠✐✱ ➤➲ ❧✉➠♥ ñ♥❣ ❤é✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ✈➭ ❦❤✉②Õ♥ ❦❤Ý❝❤ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤
❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣✱ ❝ò♥❣ ♥❤➢ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ➤Ò t➭✐ ❝ñ❛ ♠×♥❤✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ở
(R, m) ị tr ớ ự
t m; M R ữ s A R rt ố ớ
ỗ R ữ s M t ổ ề t ó tí t
Ann
R
M/pM = p, ớ ọ tố p ứ Ann
R
M ột ỏ
tự ợ t r ệ r ó ột tí t t tự ọ
rt tr t ỳ ờ
ỉ r r ì tr ờ ỏ tr ủ ị
ở ó ọ ớ tệ ột ớ rt t tr ờ
ị ủ ỏ tr s A ợ ọ t tí t () ò
ọ tí t tử ế

A t í tồ t ữ
rt s N-dim
R
A < dim
R
A í ụ ột ề t r
tì ề ệ r tứ ết q í ủ ệ ề
ỉ r r ế A t tí t () tì t ó N-dim
R
A = dim
R
A
ết q tế t ề tí t () tr ờ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

é t ứ tí tr ủ t
trộ ủ ột ữ s M sử r dim
R
M = d í
ệ U
M
(0) ớ t ủ M ó ề ỏ d ọ t
Usupp M = Supp(M/U
M
(0)) trộ ủ M t
t từ t ứ tí t () ột ớ rt ệt
ố ồ ề ị t H
d
m
(M) ọ t ợ ết

m
(M) t
tí t () q ó t ợ tí ó ủ t srt ủ M
ớ tết ọ ở rộ tứ ết ớ ộ
H
i
m
(M) ủ r r ữ ũ q ứ tí t ()
H
i
m
(M) ọ t ợ tí tr ổ ụ ủ
R/ Ann
R
M tí t trộ ủ R/p ớ p Supp M
t ết q tr ứ tỏ r tí t () ữ ó ý
ĩ tr ệ ứ rt ò t q ó ó tể
ể rõ trú ủ ữ s
ụ í ủ trì ột tết ết q ề
tí t () ở tr tr t ss rs
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✹
❝❛t❡♥❛r✐❝✐t② ♦❢ r✐♥❣s ❛♥❞ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s✧ ❝ñ❛ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ✈➭ ❚✳
◆✳ ❆♥ ë t➵♣ ❝❤Ý ➜➵✐ sè ♥➝♠ ✷✵✵✽ ✈➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❜➭✐ ❜➳♦ ❝ñ❛ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣✱ ◆✳
❚✳ ❉✉♥❣ ✈➭ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ✧❚♦♣ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ❛♥❞ t❤❡ ❝❛t❡♥❛r✐❝✐t② ♦❢ t❤❡
✉♥♠✐①❡❞ s✉♣♣♦rt ♦❢ ❛ ❢✐♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ♠♦❞✉❧❡✧ tr➟♥ t➵♣ ❝❤Ý ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥
✐♥ ❆❧❣❡❜r❛ ♥➝♠ ✷✵✵✼✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ■ ❞➭♥❤ ➤Ó ❤Ö t❤è♥❣ ❧➵✐ ♠ét sè
❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✱ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤ø ❝✃♣✱ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r✱ ✈➭♥❤ ❝❛t❡♥❛r②✱
✈➭♥❤ t❤í✱✳✳✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ✈Ò tÝ♥❤ ❝❤✃t (∗) ✭tÝ♥❤ ❝❤✃t ❧✐♥❤ ❤♦➳ tö✮ ❝ñ❛

ể ột số ế tứ ợ ù ụ ụ
ứ ở s ủ trú ủ rt
ể ễ tứ ề tr số ộ ủ rt ố ồ
ề ị tí tr tr ổ ụ tớ ì tứ ủ

rt
m ột ự ủ R r m

m
(A) ủ A ợ ị ĩ ở

m
(A) =

n0
(0 :
A
m
n
).
ó t ó ết q s
ệ ề ệ ề ổ ề
sử A ột R rt ó ỉ ó ữ
ự m ủ R s
m
(A) = 0 ế ự ệt ó
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

m
1

(A) ột R
ế ỉ ế ó R
m
j
ệt
A
m
j

=

m
j
(A), ớ ọ j = 1, . . . , r.
í ệ ể t tệ từ ờ trở t t
A = A
1
. . . A
r
J
A
=

mSupp A
m,
tr ó A
j
=
n>0
(0 :


R ủ A
ó A ó trú tự ủ

R rt
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

(R, m) ị ủ t E = E(R/m) ộ
ủ trờ t R/m í ệ D() = Hom
R
(, E) từ trù C
R
R Rồ í ó ớ ỗ R M t
à
M
: M DD(M) = Hom
R
(Hom
R
(M, E), E)
Rồ tự ở à
M
(x)(f) = f(x), ớ ọ x M,
f Hom(M, E). ó t ó ết q s ủ ts ợ trì
tr ị ý t ị ý
ệ ề
R E rt ớ ỗ f Hom
R
(E, E) tồ t t
a

i
tứ N
i
. ế
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

M = 0 M ó ột ể ễ tứ tì t ó ể ễ ợ ể
ễ tứ ợ ọ tố tể ế tố p
i
ột
ó tử N
i
từ ớ ọ i = 1, . . . , n
ễ t r ọ ể ễ tứ ủ M ề ó tể ợ ề
tố tể ó t ợ {p
1
, . . . , p
n
} ộ ớ ệ ọ ể ễ tứ
tố tể ủ M ợ ọ t tố ết ủ M í
ệ ở Att
R
M tử N
i
, i = 1, . . . , n ợ ọ t
tứ ủ M
ệ ề M ột R ể ễ ợ ó M = 0
ỉ Att
R
M = r trờ ợ t tố tố

R ề
t ủ A ét R

R
ừ ó t ó ết q s ệ q ệ q
ệ ề ệ ề s ú
Att
R
A = {

p R :

p Att

R
A}.
ế R ị ủ tì t ó
ế N R tr tì Att
R
(D(N)) = Ass
R
(N).
ế A R rt tì Ass
R
(D(A)) = Att
R
(A).
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ề tr số ộ ủ rt

ợ ị ĩ q s
A = 0, t N-dim
R
A = 1.
ớ A = 0, ột số d 0, t t N-dim
R
A = d ế
N-dim
R
A < d s ớ ỗ t A
0
A
1
. . .
ủ A, tồ t số n
0
s N-dim
R
(A
n+1
/A
n
) < d, ớ ọ
n > n
0
.
í ụ M R ó M R
tr ỉ N-dim
R
M = 0. t sử M R

R
M 0 ó t ị ĩ
N-dim
R
M = 0 ợ sử N-dim
R
M = 0 ó ột
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

t t ỳ N
0
N
1
. . . N
n
. . . ủ M ị
ĩ tồ t số n
0
s N-dim
R
(N
k+1
/N
k
) = 1 < 0
ớ ọ k > n
0
ó N
k+1
= N

A

, N-dim
R
A

}.
N-dim
R
A dim R/ Ann
R
A = max{dim R/p : p Att
R
A} tồ
t rt A s N-dim
R
A < dim R/ Ann
R
A.
N-dim

R
A = dim

R/ Ann

R
A = max{dim

R/

s ó ợ ễ ự ờ ị ý
ứ trờ ợ t ỳ
ệ ề
R
(0 :
A
J
n
A
) ột tứ ớ ệ số ữ tỷ n 0
N-dim A = deg((0 :
A
J
n
A
))
= inf{t : x
1
, . . . , x
t
J
A
s (0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < }.
ệ ề é t r ệ ệ ộ số ộ ệ t số ủ

R
(0 :
A
q
n+1
) tứ t n
N-dim A ớ ệ số ữ tỷ n 0 ổ ề t ó
N-dim A dim A = dim R/ Ann
R
A dim R.
ì tế t ó tể ể ễ tứ ớ

R
(0 :
A
q
n+1
) =
e

(q; A)
d!
n
d
+ tứ ó ỏ d, n 0,
tr ó e

(q; A) ột số ế N-dim A = d
tì e


) ó t ó tí t
s
(0 :
A
x
(n)R) n
1
. . . n
t
(0 :
A
xR) e


x(n); A

= n
1
. . . n
t
e

(x; A).
ớ R rt 0 A

A A

0.
ó x ột ệ ộ ủ ế ỉ ế x ột ệ ộ ủ A


(M) ợ ị ĩ ở
H
i
I
(M) = R
i
(
I
(M)),
tr ó R
i
(
I
(M)) st tứ i ủ tử I
I
()
ứ ớ M
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✶✸
❈❤♦ 0 −→ L
f
−→ M
g
−→ N −→ 0 ❧➭ ♠ét ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ R−♠➠➤✉♥✳
❑❤✐ ➤ã✱ ❞♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t δ✲❤➭♠ tö ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛
♣❤➢➡♥❣✱ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐
0 −→ H
0
I
(L)

I
(g)
−→ H
1
I
(N)
−→ . . .
−→ H
i
I
(L)
H
i
I
(f)
−→ H
i
I
(M)
H
i
I
(g)
−→ H
i
I
(N)
−→ H
i+1
I

t❤➢ê♥❣ ➤➢î❝ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✹
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✹✳✹✳ ❬✶✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✸✳✷❪ ●✐➯ sö f : R −→ R

❧➭ ➤å♥❣ ❝✃✉ ♣❤➻♥❣
❣✐÷❛ ❝➳❝ ✈➭♥❤✳ ❑❤✐ ➤ã
H
i
I
(M) ⊗
R
R

∼
=
H
i
I
(M ⊗
R
R

).
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✹✳✺✳ ❬✶✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✶✳✸✳✽❪ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ p ∈ Spec R✱
dim R/p = t✳ ◆Õ✉ ✈í✐ ♠ç✐ sè ♥❣✉②➟♥ i✱ q ∈ Spec R, q ⊆ p ♠➭ t❛ ❝ã
qR
p
∈ Att
R

d
I
(M) ❧➭ ❦❤➳❝ 0✳ ❑❤✐ ➤ã
N-dim
R
(H
d
I
(M)) = d
✈➭ ❞♦ ➤ã✱ H
d
I
(M) ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ♥Õ✉ d > 0✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✹✳✼✳ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ M ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ ❝❤✐Ò✉
dim M = d✳ ❑❤✐ ➤ã
Att
R
(H
d
m
(M)) = {p ∈ Ass
R
M | dim R/p = d}.
✶✳✺ ❚Ý♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤æ ❞ô♥❣✱ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✈➭ t❤í
❤×♥❤ t❤ø❝
◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ✈➭♥❤ R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ò✉ ♥Õ✉ dim R/q = dim R✱ ✈í✐
♠ä✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè tè✐ t❤✐Ó✉ q ∈ min(Ass R) ✈➭ ♠➠➤✉♥ M ➤➢î❝ ❣ä✐
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ề ế dim R/p = dim M ớ ọ tố tố tể

R
M tr ó
tr trờ ợ M ề tì Supp M tr ế ỉ ế
dim R/p + dim M
p
= dim M ớ ọ p Supp M.
ị ĩ R ợ ọ tr ổ ụ ế ọ R số
ữ s ề tr
ú ý r ế S R số ữ s tứ tồ t a
1
, . . . , a
t
S
s S = R[a
1
, . . . , a
t
] tì ó t : R[x
1
, . . . , x
t
] S
từ tứ t ế R[x
1
, . . . , x
t
] ế S s (x
i
) = a
i

ột số ết q ề ố ệ ữ tí tr ổ ụ
tự trộ
ổ ề ị ý (R, m) tr ị tự
trộ ó
R
p
tự trộ ớ ọ p Spec R
I ủ R ó R/I ề ỉ R/I
tự trộ
R tr ổ ụ
ổ ề ị ý ệ ề s t
R/p tự trộ ớ ọ p Spec R ĩ
dim

R/

p = dim R/p, ớ ọ

p min Ass

R/p

R.
R tr ổ ụ
R[x] tr
ể ế ệ tớ tớ ì tứ ủ trớ ết t
ệ ết q ề s
ột R N ợ ọ ế ớ ỗ ớ 0 L



ị ĩ : R S ồ ữ tr ị
ớ ỗ p Spec R t ọ S
R
R/p tớ ủ ứ
ớ p sử f : R

R ồ í t ó ớ ỗ p Spec R
tồ t

p Spec

R s

p R = p ồ f s r ồ
: R
p


R

p
. ó tớ

R

p

R
p
(R

í tớ ì tứ ủ R tr p ớ p ủ p tr R/I
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn