Chương 5
Ước lượng tham số
1. Phương pháp ước lượng điểm
2. Phương pháp ước lượng bằng
khoảng tin cậy
Giả sử  là biến ngẫu nhiên có dạng phân phối xác suất


 đã biết, nhưng phụ thuộc vào một hay một vài tham
số  chưa biết, chẳng hạn        ;     


   

. Phân phối xác suất của  được xác định nếu ta
tìm được hay ước lượng được giá trị của .
Ngay cả trong trường hợp ta chưa biết gì về phân phối của
, khi đó biết được các tham số đặc trưng của  là rất giá
trị. Vì vậy bài toán đi tìm các ước lượng cho các tham ẩn
của phân phối hoặc ước lượng các tham số đặc trưng của
biến ngẫu nhiên là bài toán rất cần thiết.

§1 Phương pháp ước lượng điểm
(sinh viên tự nghiên cứu) Bài toán tìm một thống kê 



 


là các ước lượng không chệch của 


•  là ước lượng không chệch của .

Ý nghĩa: Từ định nghĩa trên ta có  

    (trung bình
của độ lệch (sai số) giữa ước lượng với giá trị thật bằng 0). Sai
số trung bình bằng 0 được gọi là sai số ngẫu nhiên, ngược lại
gọi là sai số hệ thống. Như vậy 

là ước lượng không chệch
của  khi sai số ước lượng là sai số ngẫu nhiên.
Chú ý rằng 

là ước lượng không chệch của  không có
nghĩa là mọi giá trị của 

đều trùng khít với  mà chỉ có nghĩa
rằng trung bình các giá trị của 

bằng . Từng giá trị của 

có
thể sai lệch rất lớn so với .

2. Ước lượng vững
Định nghĩa: Thống kê 

thì 

là ước lượng vững của 
3. Ước lượng hiệu quả
Định nghĩa: Thống kê 

được gọi là ước lượng hiệu quả
của  nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai
bé nhất trong các ước lượng không chệch của .
Nếu hàm mật độ xác suất của  thỏa mãn một số điều
kiện nhất định thì ta có bất đẳng thức Crame-Rao:
 




    




 

 
Và 

là ước lượng hiệu quả của  khi:
 




 



 

   


sao cho:
 

   

   
Ta gọi:
   : độ tin cậy của ước lượng,
 

 

: khoảng tin cậy của ước lượng,
 

 

: độ dài khoảng tin cậy.
2. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng toán của biến ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn




sao cho
   


   

,    


 


từ đó:  


   


   
  





 












.
Trong thực hành người ta thường sử dụng các dạng khoảng
tin cậy sau:
 Khoảng tin cậy đối xứng (

 




):
 















Chú ý:
+) Ở khoảng tin cậy đối xứng, ta gọi  





là độ
chính xác của ước lượng, khi đó độ dài của khoảng
tin cậy đối xứng là     





.

+) Bài toán: Biết 1 – α, 

tìm kích thước mẫu tối thiểu
cần điều tra sao cho   


Từ công thức khoảng tin cậy, ta có:  



Ta thường dùng các khoảng tin cậy sau:

 Khoảng tin cậy đối xứng:
 




















 Khoảng tin cậy bên phải:
 











 Khoảng tin cậy bên phải:








 Khoảng tin cậy bên trái:








Bài toán: Biết    

tìm kích thước mẫu cần điều tra ,
sao cho   






với 











.
Ví dụ 2: Lượng xăng hao phí của một ôtô đi từ A đến B sau
30 lần chạy, kết quả cho trong bảng: Giả sử lượng xăng hao phí này là biến ngẫu nhiên phân phối
chuẩn. Với độ tin cậy 95%.
a) Ước lượng lượng xăng hao phí trung bình của ôtô đi từ A
đến B.
b) Ước lượng lượng xăng hao phí trung bình tối thiểu của

















 Khoảng tin cậy bên phải:







 Khoảng tin cậy bên trái:









 Khoảng tin cậy bên trái:
 
  



Ví dụ 3: Mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản
phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Để ước lượng
mức độ phân tán của mức hao phí này người ta cân thử
25 sản phẩm và thu được kết quả sau:

Với độ tin cậy 90% hãy tìm khoảng tin cậy cho độ phân
tán của mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản
phẩm trong hai trường hợp sau:
a) Biết μ = 20
b) Chưa biết μ

Hao phí nguyên liệu (gam)
19,5 20 20,5
Số sản phẩm tương ứng





  






 Khoảng tin cậy bên phải:
  
 



 
 Khoảng tin cậy bên trái:
   





Bài toán: Biết    

, tìm cỡ mẫu tối thiểu sao cho
  

.