Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp
Mục lục
Nội dung Trang
A. Đặt vấn đề 2
I. Lý do chọn đề tài 2
1. Cơ sở lý luận 2
2. Cơ sở thực tiễn 2
II. Mục đích nghiên cứu 3
III. Nhiệm vụ đề tài 3
IV. Giới hạn đề tài 3
B. Giải quyết vấn đề 4
I. Phương pháp nghiên cứu 4
II. Nội dung cụ thể 5
1. Kiến thức cơ bản 5
2. Bài tập minh hoạ 6
2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 6
Phương pháp 1 6
Phương pháp 2 7
Phương pháp 3 7
Phương pháp 4 8
2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác
nội tiếp
10
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. 10
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. 11
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng. 13
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một
điểm.
15
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. 16
III. Kết quả thu được 18

- 2 -
Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp
pháp tứ giác nội tiếp”
II.Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương
pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác
nội tiếp để giải một số bài toán hay và khó như sau:
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
Như vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu,
đầy đủ một cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp trong một
đường tròn”.
III. Nhiệm vụ của đề tài
+ Đưa ra các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa.
+ Đưa ra các loại bài tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp hay
và khó có bài tập minh họa.
IV. Giới hạn đề tài
Đề tài này được gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm ở bộ
môn Hình Học lớp 9.
- 3 -
Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp
B – Giải quyết vấn đề
I – Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp cơ bản sau:
1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có được với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã
sử dụng các tài liệu như:

* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180
o
thì tứ giác đó
nội tiếp được một đường tròn.
1.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm
đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới
một góc
α
.
1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
- 5 -
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 180
0
hoặc ∠B + ∠D = 180
0
Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp
2 - Bài tập minh hoạ
2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.

.
⇒ B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông
⇒ B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
Hay ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC.
- 6 -
Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp
Phương pháp 2: Dựa vào định lý
Bài toán 2:
Cho tam giác ABC nhọn và nội
tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’.
a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội
tiếp.
b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I.
Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp.
I
O
C'
B'
B
A
C
D
Chứng minh:
a/ (Bài toán 1)
b/ Từ câu a ⇒ ∠ C + ∠ BC’B’ = 180
0
(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Mà : ∠ C = ∠ D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
⇒ ∠ D + ∠ BC’I = 180
0

2
∆AOC cân tại O (vì OA = OC)
⇒ ∠A
2
= ∠C
1
nên ∠A
1
= ∠A
2
= ∠C
1

Mà ∠A
1
+ ∠OAM = 180
0
và ∠C
1
+ ∠OCN= 180
0
.
⇒ ∠AOM = ∠OCN
Xét ∆OAM và ∆OCN có : OA = OC; ∠AOM = ∠OCN; AM = CN
⇒ ∆OAM = ∆OCN (c.g.c)
⇒ ∠AMO = ∠CNO hay ∠AMO = ∠ANO
⇒ ◊ AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh
OA dưới cùng một góc).
Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong
của đỉnh đối diện.

2
s
DCP
(góc nội tiếp)
Hay
·
»
¼
+
=
®(AD )
2
s MA
DCP
Lại có :
¼
¼
=AM MB
Nên :
·
MEP
=
·
DCP
Nghĩa là: ◊ PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy ◊ PEDC nội tiếp được đường tròn.
- 8 -
Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp
Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp)
Cho hình vẽ:

⇒ ∠ OEH =∠HGD
Chứng minh tương tự ta được : ∠OEF = ∠FGC
Từ đó : ∠ OEH + ∠OEF =∠HGD + ∠FGC
⇒ ∠ FEH =∠HGD + ∠FGC
Mặt khác: ∠HGD + ∠FGC+ ∠HGF = 180
0
⇒ ∠ FEH + ∠HGF = 180
0
( điều phải chứng minh)
2.2. Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.
Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
- 9 -
Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp
a. Phương pháp:
Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường
tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy
ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai
đường tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định
đường tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng
nằm trên một đường tròn.
b. Ví dụ 1: (Bài toán về đường tròn Euler)
Chứng minh rằng, trong
một tam giác bất kì, ba trung điểm
của các cạnh, ba chân của các
đường cao, ba trung điểm của các
đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh
đều ở trên một đường tròn.
l
O
N

0
; ∠ NKE = 90
0
⇒ L; K ∈ (O; OM)
Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L ∈ (O; OM)
(Điều phải chứng minh)
c.Bài tập:
1. Cho hình bình hành ABCD có ∠ A nhọn. Đường tròn tâm A bán kính
AB cắt đường thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đường tròn tâm C bán kính CB cắt
đường thẳng AB ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng:
a. DE = DK
b. năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn.
2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chung
ngoài AB và A’B’, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A’, C, E ∈ (O); B,
B’, D, F ∈ (O’)). Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD và
A’B’. H là giao điểm của MN là OO’. Chứng minh rằng:
a. MN ⊥ OO’
b. năm điểm O’, B, M, H, F cùng thuộc một đường tròn
c. năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đường tròn
Bài tóan 2. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
a. Phương pháp:
Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định,
Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ
giác ABCD nội tiếp đường tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi
chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định.
b. Ví dụ 1:
- 11 -
Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp
Cho đường tròn tâm O đường

= ∠ F
2

⇒ K đối xứng với B qua C
Do B và C là hai điểm cố định nên suy ra K cố định
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua điểm K cố định.
Ví dụ 2:
Từ một điểm A ở ngoài
đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp
tuyến AB, AC với đường
tròn. Lấy điểm D nằm giữa
B và C. Qua D vẽ một
đường thẳng vuông góc với
OD cắt AB, AC lần lượt tại
E và F.
Khi điểm D di động trên
BC, chứng minh rằng đường
tròn (AEF) luôn đi qua một
điểm cố định khác A.
F
E
A
O
C
B
D
Chứng minh:
Ta có : ∠ EBO = 90
0
(AB là tiếp tuyến với (O) tại B)

cho BD = CE. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn
đi qua một điểm cố định khác A.
Bài tóan 3. Chứng minh quan hệ về đại lượng.
Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lượng như:
- Chứng minh các hệ thức hình học.
- Chứng tỉ số các đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng bằng nhau,
đoạn này gấp đôi đoạn kia….) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là
không đổi
* Định lý Ptô - lê – mê.
Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằng
tổng các tích của hai cặp cạnh đối.
- 13 -
Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp
Chứng minh:
Ta có : ◊ ABCD nội tiếp (O)
Ta phải chứng minh: AC. BD =
AB. DC + AD. BC
Thật vậy.
Lấy E ∈ BD sao cho ∠ BAC =
∠ EAD
⇒ ∆ DAE ∆ CAB (g. g)
⇒
AD DE
AC BC
=
C
O
B
D
A

+ Giới hạn quỹ tích
Bước 2: chứng minh phần đảo
Chứng minh mỗi điểm của hình H đề có tính chất đã cho.
Bước 3: Kết luận
b. Ví dụ 1 :
Cho hình vuông ABCD, tâm O.
Một đường thẳng xy quay quanh
O cắt hai cạnh AD và BC lần
lượt tại M và N. Trên CD lấy
điểm K sao cho DK = DM. Gọi
H là hình chiếu của K trên xy.
Tìm quỹ tích điểm H.
2
1
2
1
l
K
H
N
O
B
A
D
C
M
Chứng minh:
Phần thuận:
Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm)
Vì DK = DM (GT) nên CK = AM

Vì ∠ DHC =90
0
;
∠ DOC = 90
0
nên ◊ HOCD nội tiếp
⇒ ∠ DHM = ∠ DCO = 45
0
Mặt khác ∠ DKM = 45
0
nên ∠ DHM = ∠ DKM
⇒ ◊ HKDM nội tiếp ⇒ ∠ KHM = 90
0

⇒ KH ⊥ NM
⇒ H là hình chiếu của K trên MN.
Kết luận:
Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đường
tròn này nằm trong hình vuông.
Bài tóan 5 . Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
a. Ví dụ:
Cho tam giác ABC nhọn (AB <
AC), điểm D di động trên cạnh
BC. Vẽ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC.
Xác định vị trí của điểm D để:
a/ EF có độ dài nhỏ nhất.
b/ EF có độ dài lớn nhất.
a
M
O

⇔ D trùng với C.
b. Bài tập:
1. Cho ∆ ABC nhọn nội tiếp (O). Gọi M là một điểm trên cung ABC. Vẽ MD
⊥ BC; ME ⊥ AC; MF ⊥ AB. Xác định vị trí của M để EF có độ dài lớn
nhất.
- 17 -
Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp
III – Kết quả thu được
Sau chuyên đề “Phương pháp tứ giác nội tiếp” tôi đã tiến hành dạy cho các
đối tượng học sinh, đã thu được kết quả như sau:
1. Đối với đội tuyển học sinh giỏi của trường THCS Đại Đồng.
Kết quả bài kiểm tra cuối chuyên đề của 5 học sinh.
Phương : 9 Hoa : 8,5
Tiền : 8,5 Huyền : 6
Đức : 7
2. Đối với học sinh lớp 9A.
Sĩ số : 42 Số lượng bài làm : 42
Điểm 9 - 10 : 11 Điểm 7 - 8 : 21
Điểm 5 – 6 : 9 Điểm 1 – 4 : 1
IV – bài học kinh nghiệm
Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề đồng thời tôi
có lấy ý kiến của học sinh. Thấy được:
+ Bản thân tôi nắm rõ ràng hệ thống kiến thức về tứ giác nội tiếp.
+ Học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức hơn.
Vì vậy, các chuyên đề tiếp theo tôi đã đưa ra và yêu cầu học sinh dựa vào
cách học như vậy tự nghiên cứu trước ở nhà hoặc thảo luận nhóm nhỏ sau đó tôi
sẽ hoàn chỉnh giúp các em trong các buổi học chuyên đề.
Như vậy, học sinh đã từ học thụ động giờ có thể chủ động hình thành tri
thức bằng cách tự học.
- 18 -