ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TIỂU LUẬN BỘ MÔN
PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ
ĐỀ TÀI
VẬT PHỔ DỤNG, HẠT NHÂN,
HIỆU HẠT NHÂN, NÍU
Người thực hiện : HÀ VĂN QUÝ
Lớp : Cao học toán K20
Người hướng dẫn : TS. PHAN VĂN THIỆN
Huế, tháng 5-2012
Mục lục
1 LÝ THUYẾT 4
1.1 Phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Vật Phổ Dụng, Hạt Nhân, Hiệu Hạt Nhân, Níu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 BÀI TẬP VẬN DỤNG 9
3 TÀI LIỆU THAM KHẢO 12
2
3
Lời mở đầu
Học phần Phạm trù và Hàm tử là một trong những môn học khó, bởi những yêu cầu
chặt chẽ của một hệ thống các khái niệm và các tính chất liên quan. Được sự hướng dẫn của
TS. Phan Văn Thiện, tôi chỉ hy vọng nêu khái quát một số khái niệm và tính chất vừa đủ để
giải các bài tập phần sau. Các phép chứng minh cho các tính chất trong phần 1 sẽ được tìm
thấy trong [1]. Phần cuối cùng, tôi cố gắng trình bày một cách chân thực các bài tập kèm lời
giải chi tiết. Lần đầu tiên tìm hiểu một lĩnh vực mới trong toán học, hẳn không tránh khỏi
những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô cùng các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Phan Văn Thiện đã vượt qua trở ngại về sức
khỏe, truyền đạt những kiến thức đẹp đẽ về Phạm trù và Hàm tử, mở đầu cho tôi thấy vẻ đẹp
của Toán học hiện đại, đặc biệt là chuyên ngành Đại số - Lý thuyết số mà tôi cố theo đuổi.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn học viên cao học Toán K20 đã cùng trao đổi nhiều ý

3. Với A, B, C ∈ Ob(C), ta có ánh xạ:
Hom(B, C) × Hom(A, B) −→ Hom(A, C)
(g, f) −→ g ◦ f
gọi là phép hợp thành các xạ f và g, các điều kiện sau phải được thỏa mãn:
(a) Phép hợp thành có tính chất kết hợp:
Nếu
X
//
f
//
B
//
g
//
C
//
h
//
D
là các xạ đã cho thì ta có: h(gf ) = (hg)f.
(b) Với mọi A ∈ Ob(C) có một xạ 1
A
∈ Hom(A, A) gọi là xạ đồng nhất của A sao cho
với mọi f ∈ Hom(A, B), với mọi g ∈ Hom(C, A) ta có:
f.1
A
= f; 1
A
.g = g.
(c) Nếu các cặp (A, B), (A

Định lý 3. Nếu f : A → B và g : B → C là các toàn xạ thì gf : A → C là toàn xạ.
Định lý 4. Nếu gf là toàn xạ thì g là toàn xạ.
Đối với các phạm trù Set,
R
Mod, Group: các toàn xạ là các toàn ánh, toàn cấu tương ứng.
Định nghĩa 4. Xạ f được là song xạ nếu f đồng thời là đơn xạ và toàn xạ.
Nhận xét 1. • Hợp thành hai song xạ là song xạ.
• Nếu gf là song xạ thì f là đơn xạ và g là toàn xạ.
• Đối với phạm trù Set,
R
Mod, Group: các song xạ là các song ánh, đẳng cấu tương ứng.
Để kết thúc phần này, ta nêu các khái niệm vật con, vật thương trong một phạm trù.
Định nghĩa 5. Cho C là một phạm trù. Nếu f : A

→ A là đơn xạ thì A

gọi là một vật con
của A (hay A

⊂ A) và f : A

→ A được gọi là một phép lồng A

vào A. Khi đó, ta viết A

⊂ A
(hay f : A

→ A).
Định nghĩa 6. Cho C là một phạm trù. Nếu f : A → A

→ A thỏa f.u

= 0 tồn tại duy nhất cấu xạ γ : K

→ K sao cho uγ = u

. Để
thuận tiện, đôi khi ta cũng gọi K hay u : K → A là hạt nhân của f.
Định lý 5. Cho phạm trù C có vật 0, f : A → B cấu xạ. Khi đó:
1. Nếu (K, u : K → A) là các hạt nhân của f thì u đơn xạ.
2. Hai hạt nhân của f là đẳng xạ.
Mệnh đề 1. Cho C là phạm trù có vật 0, f : A → B, g : B → C là các cấu xạ. Khi đó:
1. Nếu f là đơn xạ thì Kerf = 0.
2. Nếu g là đơn xạ thì Kerf = Ker(gf).
Định nghĩa 13. Cho C là phạm trù có vật không, f : A → B cấu xạ. Đối hạt nhân của f, ký
hiệu Cokerf là cặp (C, v), với C ∈ Ob(C) và v : B → C thỏa mãn:
i) vf = 0.
ii) Với mọi cấu xạ v

: B → C

thỏa v

f = 0 thì ∃! cấu xạ γ : C → C

sao cho v

= γv.
Định lý 6. Cho C là phạm trù có vật không, f : A → B là cấu xạ. Khi đó,
i) Nếu (C, v : B → C) là đối hạt nhân của f thì v là toàn xạ.

p
1

p
2
//
A
2
f
2

A
1
f
1
//
B
gọi là một níu nếu:
1. f
2
p
2
= f
1
p
1
2. Với mọi cặp cấu xạ p

1
: P

2
= p
2
γ.
Định lý 7. Nếu biểu đồ
P
p
1

p
2
//
A
2
f
2

A
1
f
1
//
B
là một níu và u, v : P

→ P là hai cấu xạ thỏa mãn p
1
u = p
1
v và p

2
và được ký hiệu là f
1
∧ f
2
.
Ví dụ 4. Trong phạm trù Set,
f
1
: A
1
→ B
f
2
: A
2
→ B
Tích thớ f
1
∧ f
2
là:
P = {(x
1
, x
2
) ∈ A
1
× A
2

§ 2. BÀI TẬP VẬN DỤNG 9
2 BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài toán 1. Giả sử C là phạm trù có vật không. Chứng minh rằng với mọi vật A ∈ C, 0 : 0 → A
là đơn xạ và 0 : A → 0 là toàn xạ. Do đó có thể xem vật không là vật con và vật thương của
mọi vật.
Bài giải:
Xét X ∈ ObC, các xạ tùy ý k, l : 0 → X sao cho k0 = l0.
Vì 0 là vật không nên cũng là vật khởi đầu của C, theo định nghĩa 7, có duy nhất xạ từ 0 → X,
từ đó các xạ k = l. Vậy 0 : A → 0 là toàn xạ.
Với mỗi vật A tùy ý, ta có xạ 0 : 0 → A là đơn xạ nên theo định nghĩa 5 về vật con, 0 ⊂ A.
Mặt khác, theo định nghĩa 6 về vật thương, có xạ 0 : A → 0 là toàn xạ nên 0 là một vật thương
của A.
Bài toán 2. i) Cho hai ánh xạ f, g : A → B trong phạm trù Set các tập hợp. Tìm hiệu đối
hạt nhân của hai ánh xạ f và g.
ii) Cho hai đồng cấu f, g : A → B trong phạm trù Group các nhóm. Tìm hiệu đối hạt nhân
của f và g.
iii) Trong phạm trù
R
Mod các R-môđun. Hãy tìm hiệu đối hạt nhân của hai đồng cấu của f
và g.
Bài giải:
i) Cho hai ánh xạ f, g : A → B trong phạm trù Set các tập hợp. Trong tập B ta định nghĩa
quan hệ 2 ngôi R: ∀b
1
, b
2
∈ B.
b
1
Rb

Bài toán 3. Cho một níu
P
p
1

p
2
//
A
2
f
2

A
1
f
1
//
B
Chứng minh rằng:
a) Nếu f
1
là đơn xạ thì p
2
cũng vậy.
b) Các tích thớ của f
1
, f
2
là đẳng cấu.

2
)β
.
P

p

1

p

2
$$
α
''
β

γ
B
B
B
B

B
B
B
B
P
p
1

β.
Đặt p

1
= p
1
α, p

2
= p
2
β.
Khi đó tồn tại duy nhất một cấu xạ δ : P

→ P sao cho p
1
γ = p

1
α = p
1
β và p
2
γ = p

2
= p
2
β.
Do tính duy nhất của γ.


2
) là các tích thớ của hai cấu xạ f
1
, f
2
.
✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế
§ 2. BÀI TẬP VẬN DỤNG 11
Theo sơ đồ giao hoán (H1), vì (P, p
1
, p
2
) là tích thớ của f
1
, f
2
nên với P

, p

1
, p

2
nói trên, tồn
tại (duy nhất) xạ γ : P

→ P sao cho p


p
1

p
2
//
A
2
f
2

A
1
f
1
//
B
P
p
1

p
2
##
γ

A
A
A


, p

2
) là tích thớ của f
1
, f
2
nên với P, p
1
, p
2
ở trên, tồn tại (duy nhất) γ

: P → P

sao cho p
1
= p

1
γ

, p
2
= p

2
γ

(theo (H2)).


= p
2
(γγ

), suy ra γ

γ = 1
P

.
Do đó, P đẳng xạ với P

.
✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế
12 TÀI LIỆU
3 TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu
[1] TS. Phan Văn Thiện, Bài giảng Phạm trù và Hàm tử (Dành cho lớp cao học Toán K20),
2012.
[2] N.T.Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), NXB Giáo dục, 1985.
[3] B.Mitchell, Lý thuyết phạm trù (Tiếng Việt), NXB Đại học - THCN, 1981.
✎ Hà Văn Quý - Cao học Toán K20 - ĐHSP Huế