MỤC LỤC

PHẦN I. MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Đối tượng nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Cấu trúc khóa luận 2
PHẦN II. NỘI DUNG 3
CHƢƠNG 1. PHÉP BIỂN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ
DESCARTES 3
1.1. Gradient của trƣờng vô hƣớng 3
1.1.1. Khái niệm trường vô hướng 3
1.1.2. Gradien của trường vô hướng 3
1.2.Dive của trƣờng vectơ 6
1.2.1. Khái niệm trường vecto-đường vectơ 6
1.2.1.1. Trường vecto-đường vecto 6
1.2.1.2. Thông lượng của trường vecto qua một mặt 7
1.2.2. Dive của trƣờng vectơ 9
1.2.2.1. Dive của trường vectơ 9
1.2.2.2. Trường hình ống: 11
1.2.2.3. Ý nghĩa vật lý của dive 12
1.3 .Rota của trƣờng vectơ 12
1.3.1. Lưu thông trường vectơ theo chu tuyến 12
1.3.2. Rota của trường vectơ 13
1.3.3. Định lý Stokes dưới dạng vecto 15
1.3.4. Ý nghĩa vật lý của rota 15
1.4. Các phép toán đối với dive và rote 15
1.5.Toán tử nabla và toán tử vi phân cấp 2 17
1.5.1.Toán từ nabla: 17
1.6. Các định lí tích phân 18

Những quy luật đơn giản đã được vật lý cổ điển giải quyết một cách trọn
vẹn. Nhưng những quy luật vĩ mô thì vật lý cổ điển bất lực. Cùng với điều đó
thì toán học ngày càng phát triển kể cả bề rộng lẫn bề sâu. Vì thế một ngành vật
lý mới đã ra đời có tên vật lý lý thuyết để giải quyết những vấn đề chưa được
giải quyết.
Sử dụng phương pháp toán học tìm ra các quy luật mới. Những quy luật
này tổng quát hơn quy luật đã biết, đoán trước được những mối quan hệ giữa
những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm được những quy
luật tổng quát nhất, phản ánh được nhiều bản chất vật lý của nhiều hiện tượng
xét một cách tổng quát hơn.
Các phương pháp toán học dùng cho vật lý học rất hiện đại và phong phú,
nó thuộc một khối kiến thức lớn với nhiều ngành như: hàm phức, hàm thực, các
phương trình vi phân. Các kiến thức ấy rất cần thiết cho sinh viên khi ra trường
và có nhu cầu nâng cao trình độ sau này.
Chọn đề tài: “Nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán học dùng cho vật lý
nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng”, tôi muốn giúp giải quyết một cách đơn
giản nhất các bài toán của vật lý sử dụng các công cụ toán học cần thiết được
nhắc đến trong đề tài này.
2.Mục đích nghiên cứu
-Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng trong nghiên cứu vật lý một
cách linh hoạt.
-Tìm hiểu phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.

2
-Tìm hiểu phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ tọa độ
thường gặp trong vật lý: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu.
3.Đối tượng nghiên cứu
-Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng.
4.Phương pháp nghiên cứu
-Vật lý lý thuyết.

cho tương ứng với một đại lượng vô hướng, đó là nhiệt độ tại điểm này.
Ví dụ 2: Xét một vật thể rắn không đồng chất, mật độ

phụ thuộc vào từng
điểm của vật và ta có trường mật độ

(M) của vật thể. Khi đó mật độ điểm M
đã cho là giới hạn :
0
lim
v
m
V


Trong đó m là khối lượng của miền nhỏ bao quanh điểm M, còn V là thể tích
của miền này.
Nếu mật độ của vật thể tại tất cả các điểm là như nhau thì vật thể được coi là
đồng nhất, còn ngược lại là không đồng nhất.
1.1.2. Gradien của trường vô hướng
Ta xét trường vô hướng u = f(x,y,z) và tính đạo hàm của u theo vectơ
j

Người ta gọi đạo hàm theo hướng của vectơ
j
tại điểm M là đạo hàm theo cung
bất kì đi qua M và tiếp xúc với
j
. Đạo hàm riêng
u

a
abc

, cos

=
2 2 2
b
a bc

, cos

=
2 2 2
c
abc


do đó :
u
j


=
2 22
. . .
u u u
abc
x y z
a b c

.gradu j
j

hay là:
. . os( , )gradu j c gradu j
u
j
j




vậy:
. os( , )
u
gradu c gradu j
j



(1.3)
Ta thấy vế phải của (1.3) là hình chiếu của gradu lên hướng
j
. Từ đây ta suy ra
đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu
j
là vectơ
hướng của nó hàm u tăng theo hướng lớn nhất.
Ví dụ 1: Cho trường vô hướng
2


Gradu tại M: Gradu =
12 4 4i j k
. Đạo hàm theo hướng gradien tức là:
axm
u
j


=
2
22
4
12 4
()


=
176


13,3
Ví dụ 2: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với parabonic z = x
2
+y
2
tại
M(2 , 1 , 5).
Mặt đã cho có thể coi như mặt mức của hàm u = z - x
2

1.1.4. Ý nghĩa vật lý của gradien
Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ,
nên trong vật lý tường dùng phương pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng
( không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưng gradien của nó lại cho ta một đại

6
lượng vật lý thực dưới dạng vectơ đơn thể đo trên thực nghiệm. Thí dụ trong
điện động lực học người ta tính thế vô hướng

( không đơn trị), nhưng
E
=
grad

là cường độ điện trường có thể đo trên thực nghiệm.
1.2.Dive của trƣờng vectơ
1.2.1. Khái niệm trường vectơ-đường vectơ
1.2.1.1. Trường vectơ-trường vectơ
Trong vật lý ta tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực, trường từ
hay trường điện từ như
E
= grad

nêu ở trên. Để biểu diễn hình học trường
vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà các điểm của
nó vecto
A
nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này.
Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ ( được gọi
là các đường lực) là các tia xuất phát từ các gốc tọa độ.

dx dy dz
dt dt dt
x y z x y z x y z

(1.7)
gọi giá trị chung của các tỉ sổ trên là

(x , y , z) ta có:

7
( , , , ) ( , , );
( , , , ) ( , , );
( , , , ) ( , , );
P
Q
R
dx
x y z t x y z
dt
dy
x y z t x y z
dt
dz
x y z t x y z
dt






+ Q
j
+ R
k
và các góc chỉ phương của veato tương ứng với
,,
  
tức là
n
= cos


i
+ cos

j
+ cos

k
thì f(M) = P cos

+ Q cos

+
R cos

, hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên
mặt S.
Tích phân này được gọi là thông lượng của trường vectơ qua mặt S và được kí
hiệu bằng

=
R
R
=
xi y j zk

do
2
2
2
y
x
z

= 1 đối với mọi điểm nằm trên mặt cầu đã cho.
như vậy:
( , )An
= (x + y)x + (y - x)y + zz =
2
2
2
y
x
z


vì thế thông lượng bằng:
2
2
2

,
mR R
R
R

) = = -
2
m
a


cho nên:
2
222
( , ) ( ) 4 4
S S S
m m m
A n ds ds ds m
a a a
a
  
  
       
  

Ví dụ 3: Tính thông lượng của trường vectơ
A
= (-y, x, 0) qua phần mặt
cầu x
2

z = a cos


trong đó: 0


,
2




ta có:
22
( , )
os
( , )
sin
yz
c
a




22
( , )







1.2.2.Dive của trƣờng vectơ
1.2.2.1. Dive của trường vectơ
Dive (divergent) của trường vectơ
A
tại điểm M là giới hạn của tỉ số thông
lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi bề mặt này

10
Div
A
=
( . )
lim
S
VM
An ds
V


(1.10)
Những điểm của trường vectơ tại đó dive mang dấu dương được gọi là
điểm nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm
hút.
Giả sử trường vectơ:

v
vM
P Q R
dV
x y z
V

  

  

(1.12)
Theo định lý giá trị trung bình ,trong miền V,ta tìm được một điểm
M
tb

sao cho:

0
0
( ) ( ) .
/
V
P Q R P Q R
dV
M
x y z x y z
V
     
    

tb
M
M

vì thế:
Div
A
=
P Q R
x y z
  

  
(1.13)
từ công thức: (1.12) và (1.13) ta có:

11

( , )
sv
A n ds divAdV
 
=(1.14)
Như vậy thông lượng của trường vecto
A
qua bề mặt kín bằng tích phân
ba lớp của div
A
trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức này
chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi div

ta nói
A
là trường hình ống trong miền này.
Ví dụ 1: Cho trường hấp dẫn F =
3
Rm
R


trong miền G nào đó không chứa
gốc tọa độ. Hãy tính dive
F
.
Giải
Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng :
Div
F
=0
Tại điểm bất kì khác gốc tọa độ. Vậy
F
là trường hình ống trong miền G.
Bây giờ ta tính dive tại gốc tọa độ.
Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng
4 m


, tỉ số thông lượng và
thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng:

3

  

1.2.2.3. Ý nghĩa vật lý của dive
Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của
một trường theo vectơ (1.14).Ngoài ra, qua biến dổi của tích phân khi tính thông
lượng người ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học
div
D
=

(1.15)
trong đó
D
là vectơ cảm ứng điện từ ,còn

là mật độ điện tích tự do.
1.3. Rota của trƣờng vectơ
1.3.1. Lưu thông trường vectơ theo chu tuyến
Ta xét trường vectơ:

A Pi Q j Rk  

Và chu tuyến đóng nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường:
Pdx Qdy Rdz

(1.16)
là lưu thông của trường vectơ
A
theo chu tuyến .
Ta hiểu ngầm rằng lưu thông phụ thuộc không chỉ vào
13
như vậy ,để tính lưu thông trường vectơ ta có thể áp dụng công thức Stockes:
( ) os ( ) os ( ) os
S
R Q P R Q P
Pdx Qdy Rdz c c c ds
y z z x x y
  


     

       

     



 

(1.18)
trong trường hợp đặc biệt:
()
s
QP
Pdx Qdy ds
xy


hạn bởi chu tuyến trên được gọi là mật độ lưu thông trung bình

Adl



Chú ý: Trong một số tài liệu, tích phân đường:

Pdx Qdy Rdz

được gọi là lưu số.
ta gọi giới hạn:
0
lim
Adl
M



là mật độ lưu thông tại điểm
0
M
trên mặt S. Ta có:
0
0
os os os
lim lim
dian
R Q P R Q P
c c c d

TB
dian
M
R Q P R Q P
c c c
y z z x x y

  



   
     

    

   

     

   

=
0
os os os /
R Q P R Q P
c c c
y z z x x x
M
  

R Q P R Q P
c c c
y z z x x x
M
  

     
   
    

   
     
   


biểu thức trên là tích vô hướng của vecto
n
và vectơ
n( ) ( ) ( )
R Q P R Q P
i j k
y z z x x y
     
    
     

Vectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho

Biểu thức (1.20) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau:
Rot
A
=
P Q R
i j k
x y z
  
  
(1.21)
Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ
A
cho bởi biểu thức:

15

A
=




 
2
2
22
22
i j k
y
y

Adl rotAds
 

trong đó
rotA
là hình chiếu của vectơ rot
A
lên pháp tuyến của mặt S
Như vậy, lưu thông của trường vecto theo chu tuyến đóng bằng thông lượng
của rot
A
của trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến .
1.3.4.Ý nghĩa vật lý của rota
Từ rot
A
có nghĩa là xoáy,cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ quan
trọng như rota thông thường của trường
H
thì sinh ra dòng điện mật độ
j

Rot
H
=
j
(1.22)
Còn rota của thông lượng trường điện từ
E
thì sinh ra sự biến thiên của
vecto cảm ứng từ

= 0
b,Dive và Rota có tính chất tuyến tính:
Điều này nghĩa là nếu
C
=
AB


trong đó
,AB
là các vectơ
,

là
các hằng số thì:
div
C
=

div
A
+

div
B

rot
C
=


QQ
PP RR
  
     

và
div
C
=
1 2 1 2
1
2
( ) ( ) ( )
x y z
Q
Q
P P R R
     
  
    
  
=
1 1 2 212
( ) ( ) AB
QQ
div div
x y z x y y
P R P R
  


17
Để chứng minh ta hãy viết vecto
A
dưới dạng:
A Pi Q j Rk  

-Giả sử
,AB
là các trường vectơ. Khi đó(
,AB
) là trường vô hướng,còn
tích vecto
.AB
là trường vectơ và ta có:
Div(
.AB
)=
B
rot
A
-
A
rot
B

1.5. Toán tử nabla và toán tử vi phân cấp 2
1.5.1.Toán từ nabla
Kí hiệu :

là toán tử nabla hay toán tử Haminton.Trong hệ tọa độ

 
 
 ()divA A graddivA A
divrotA A
A
rotA
rotrotA A
     

  



  



ta dễ dàng suy ra các hệ thức sau:
a, rotgrad

=0
thật vậy
   
0

   
vì tích vô hướng của hai vectơ cộng tuyến bằng 0


=
2
( ) ( )A A graddivA A     


d,Divgrad

=
2

 

(1.25)
1.6. Các định lý tích phân
Định lý 1: Nếu f(t) là một hàm gốc với chỉ số tăng là
S
0
và F(p) là ảnh của nó
thì tại điểm liên tục f(t) , ta có:
1
( ) ( )
2
ai
pt
ai
f t F p dp
i
e








Trong đó : a>
S
1
, Rep > a+
2
S

Định lý 3: Điều kiện đủ để F(p) là một hàm ảnh
Giả sử F(p) là một hàm biến phức thỏa mãn điều kiện sau:
1,F(p) giải tích trong nửa mặt Rep >
0
S

2,
0
p
F

khi
p  
trong nửa mặt phẳng Rep >
o
S
đều đối với argp

e






a >
0
S
, t > 0.

19
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1

Chương

chúng ta đã nghiên cứu những khái niệm quan trọng về trường
và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô hướng. Cùng với nó
là phép tính cơ bản của trường như: phép tính gradient của trường vô hướng,
phép tính dive của trường vectơ, phép tính rota của trường vectơ, đồng thời ta
tìm hiểu toán tử nabla và toán tử vi phân cấp 2. Trong phạm vi chương

chúng
ta chỉ tìm hiểu các phép tình này trong tọa độ Descarest vuông góc.
,,
q q q
được gọi là tọa độ cong của điểm M.
Vì mỗi điểm M ứng với tọa độ:
1 2 3
,,
q q q
do đó mỗi một tọa độ này là
một hàm của bán kính
r
.
11
22
33
( ) ( , , )
( ) ( , , )
( ) ( , , )
x y z
x y z
x y z
r
r
r
qq
qq
qq







21
Tập hợp tất cả các điểm trong không gia sao cho trên tập này
1
q
không đổi
được gọi là mặt tọa độ
q
1
. Tương tự ta có mặt tọa độ:
23
,
qq
.
Tập hợp tất cả các điểm sao cho trên tập này chỉ có tọa độ
1
q
thay đổi
(còn những tọa độ
23
,
qq
không thay đổi) được gọi là các đường tọa độ. Hiển
nhiên giao tuyến của hai mặt
qq
21


trong đó:
0,0 2r

  
,
z  

(Trừ trường hợp khi điểm M nằm trên trục Oz, r và z được xác định đơn
trị còn góc

có thể nhận giá trị tùy ý)
Những số:
,,rz

được gọi là tọa độ trụ của điểm M.
3
1
2
,,rz
qq
q

  

ta có thể dễ dàng thiết lập sự liên hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes
x=r cos

, y=r sin


Cho bộ ba số:
,,
  
đặc trưng cho điểm M trong không gian như sau:

là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm M,

là góc giữa chiều dương của trục
Oz và bán kính vecto OM,

là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và hình
chiếu của bán kính vecto lên mặt phẳng Oxy.
Rõ ràng rằng mỗi điểm trong không gian tương ứng với bộ ba
,,
  

0,0 ,0 2
    
    

Và ngược lại 3 số này tương ứng với một điểm xác định trong không gian.
sự liên hệ giữa tọa độ cầu và tọa độ Descarets:
sin os , sin sin , osx c y z c
       
  

và :
2
2
2


là đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu, đường

là đường kinh tuyến trên
mặt cầu.
2.1.3.HỆ TỌA ĐỘ CONG TRỰC GIAO
2.1.3.1.Khái niệm
Hệ tọa độ cong (
1 2 3
,,
q q q
) mà các đường tọa độ vuông góc với nhau từng

23
đôi một tại mỗi điểm được gọi là hệ tọa độ cong trực giao.
Trong các ví dụ trên, hệ tọa độ Descartes, hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu là
các hệ tọa độ cong trực giao.
Trong không gian cho một điểm M nào đó, gọi
e
i
, i = 1,2,3 là các vectơ
đơn vị tiếp xúc tại điểm này với các đường tọa độ
i
q
.
Ta nhận thấy rằng các hệ tọa độ Descartes hướng của các vectơ
i
e
không
phụ thuộc vào vị trí của M, còn trong hệ tọa độ cong, ba vetơ

1 2 3
,,
q q q
) và
1
1 1 2 3
( , , )
q q q q
M

.
Cả hai điểm này nằm trên cùng một đường tọa độ
1
q
. Ta kí hiệu độ dài cung
1
MM
là
1
s

và xét tỉ số
1
1
s
q


.Nếu khi
1


Rõ ràng rằng hệ số Lame, nói chung, phụ thuộc vào vi trí của điểm M. Cũng như
vậy ta định nghĩa hệ số Lame đối với tọa độ hệ thứ hai tại điểm M.

2
2
2
1 2 3
0
2
( , , ) lim
s
q
q q q
h
q





trong đó :
1
M
(
1 2 3
,,
q q q
) và
1 2 2 3