Nguyễn Thị Thu Thuỷ Trờng THCS Mạo Khê II
I.Phần mở đầu.
I.1Lý do chọn đề tài
Năm học 2007-2008 là năm thứ sáu thực hiện chơng trình sách giáo khoa mới. Sau
6 năm thực hiện tôi nhận thấy sách giáo khoa viết theo chơng trình mới đã có sự cảI
tiến rất tốt cho việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên. Yêu cầu học sinh
cần chủ động nắm kiến thức mới. Giáo viên đóng vai trò chủ đạo trong giờ học nên
việc đổi mới phơng pháp trong dạy học là rất quan trọng. Việc đổ mới phơng pháp
dạy học theo yêu cầu của sách giáo khoa mới theo t tởng: Tích cực hoá hoạt động
học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển năng lực tự học , nhằm hình thành cho
học sinh t duy tích cực, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề,
rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, tác động đến tình
cảm đem lại niềm tin, hứng thú cho học sinh. Để đạt đợc mục tiêu đó đòi hỏi ngời
giáo viên phải thể hiện rõ phơng pháp dạy học theo hớng đổi mới. Đó là cách thức
hoạt động của giáo viên trong việc chỉ đạo, tổ chức các hoạt động học tập giúp cho
học sinh phát hiện kiến thức mới và nắm chắc kiến thức của bài trong từng giờ học.
Qua thực tế giảng dạy với đối tợng học sinh đại trà, con em chủ yếu là các gia đình
kinh doanh, buôn bán nhỏ ít có thời gian quan tâm đến việc học của con em mình.
Các em học sinh cha ý thức đợc việc tự học cho mình nên kiến thức ở các lớp dới và
các kiến thức cũ còn hổng nhiều. Bên cạnh đó số học sinh khá giỏi lại đòi hỏi một
sự tìm tòi để nâng cao năng lực t duy và kiến thức cho các em nhằm bồi dỡng cho
chất lợng mũi nhọn của nhà trờng. Song song với việc cung cấp kiến thức cho học
sinh một cách đa dạng nh vậy là việc cập nhật các phơng tiện dạy học hiện đại giúp
học sinh hứng thú hơn trong quá trình học tập. Tất cả những việc làm này đòi hỏi
một sự cố gắng nỗ lực rất lớn ở mỗi giáo viên từ khâu soạn, giảng cho đến việc bồi
dỡng chuyên môn nâng cao tay nghề. Trong quá trình giảng dạy tôi luôn cố gắng
lựa chọn phơng pháp giảng dạy và sử dụng các phơng
tiện dạy học sao cho phù hợp với từng tiết dạy, từng phân môn, nghiên cứu kĩ nội
dung của bài để tìm ra cách truyền thụ dễ hiểu nhất cho học sinh,giúp các em luôn
hứng thú khi học bộ môn Toán.
Trong nội dung đề tài này tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình về vấn

Trong sách giáo khoa còn giới thiệu thêm hai phơng pháp: tách một hạng tử thành
hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử. Ngoài ra ta còn có thể sử dụng
một số phơng pháp khác: Đặt ẩn phụ( đổi biến), hệ số bất định,xét giá trị riêng.
Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp khác nhau do đó khi giảng
dạy ngời giáo viên phảI giúp học sinh có kĩ năng lựa chọn phơng pháp phù hợp với
2
Nguyễn Thị Thu Thuỷ Trờng THCS Mạo Khê II
từng bài tập. Đó chính là việc rèn luyện trí lực, phát triển t duy toán học cho học
sinh. Khi dạy phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần bồi dỡng
thêm cho học sinh các phơng phap ngoài sách giáo khoa. Đặc biệt đối với học sinh
khá giỏi giúp các em lựa chọn phơng pháp thích hợp để giảI quyết các bài toán khó.
Trong nội dung vấn đề nghiên cứu tôi đa ra hai mục tiêu lớn:
_Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Các phơng pháp cơ bản.
+ Các phơng pháp khác.
_Giải các bài toán có ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử .
+ Bài toán rút gọn biểu thức.
+ Bài toán giải phơng trình.
+ Bài toán giải bất phơng trình.
+ Bài toán chứng minh tính chia hết.
I.2 Chơng 2: Nội dung vấn đề nghiên cứu
II.2.1 Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
II.2.1.1 Các phơng pháp cơ bản.
II.2.1.1.1 Phơng pháp đặt nhân tử chung.
- Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
- Viết nhân tử chung ra ngoài ngoặc, viết các nhân tử còn lại vào trong ngoặc kèm
theo dấu của chúng.
VD: a) 5x
2

3
+ 1)
II.2.1.1.2.Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
-Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
-Lu ý mỗi hạng tử trong hằng đẳng thức có thể là đơn thức , cũng có thể là đa thức,
vì vậy học sinh cần nhận dạng tinh để phát hiện đợc hằng đẳng thức.
-Các hằng đẳng thức : Bình phơng một hiệu và hiệu các bình phơng học sinh thờng
rất hay nhầm lẫn với nhau, cần có sự so sánh để khắc sâu cho học sinh.
VD: a) 25x
2
- 16y
2
= (5x + 4y) (5x - 4y)
3
Nguyễn Thị Thu Thuỷ Trờng THCS Mạo Khê II
b)(x+y)
2
+2(x+y)(2m-n) +4m
2
-4mn+n
2
= (x+y)
2
+2(x+y)(2m-n) +(2m-n)
2
=(x + y + 2m - n)
2
II.2.1.1.3. Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
-Ap dụng tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng và phép trừ để phân
tích đa thức thành nhân tử :

= (2x 2)
2
1
2

= (2x- 2 -1)(2x -2 +1)
= (2x - 3)(2x - 1)
Hoặc : = 4x
2
- 2x - 6x + 3 ( tách hạng tử thứ hai )
= 2x(2x - 1) - 3( 2x - 1)
= (2x - 3)(2x - 1)
b) x
2
- 6x 8
Cách 1 : x
2
- 6x +8 = x
2
- 2x - 4x +8
= x(x - 2) -4(x- 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 2 : x
2
- 6x +8 = x
2
- 6x + 9 1
= (x - 3)
2
- 1
2

Tuy rằng có nhiều cách tách nhng thông dụng nhất là hai cách sau :
Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các
hạng tử và đặt nhân tử chung mới. Ap dụng phân tích tam thức ax
2
+bx + c thành
nhân tử ta làm theo các bớc nh sau :
B1 : Tìm tích a.c
B2 : Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
B3: Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
VD. Phân tích đa thức : 9x
2
+ 6x - 8
Có: a = 9 ; b = 6 ; c = - 8
+ Tích a.c = 9(-8) = - 72
+ phân tích -72 thành tích hai thừa số trái dấu trong đó thừa số dơng có GTTD lớn
hơn để tổng hai số bằng 6.
Có : -72 = (-2).36 = (-3).24 = (- 4).18 = (-6).12 = (-8).9
Chọn 2 số có tổng bằng 6 là -6 và 12.
Vậy 9x
2
+ 6x 8=9x
2
- 6x + 12x - 8
=3x(3x - 2) + 4(3x - 2)
= (3x - 2)(3x + 4)
Trong trờng hợp tam thức a x
2
+ bx + c có b là số lẻ hoặc a không là bình phơng của
một số nguyên thì giải theo cách 2.
Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu hai

VD a. 4x
4
+ 81 = 4x
4
+ 36x
2
+ 81 - 36x
2

=(2x
2
+ 9)
2
(6x)
2

=(2x
2
- 6x + 9)(2x
2
+ 6x + 9)
b. x
7
+ x
2
+ 1 = x
7
x + x
2
+ x +1

2
+ 4x 12 = (x
2
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x) -12
Ta nhận thấy nếu đặt x
2
+ x = y thì đa thức có dạng :y
2
+ 4y -12 là một tam thức bậc
hai đối vớ y. Ta có: y
2
+ 4y -12 =
=(y + 6)(y - 2)
=(x
2
+ x + 6)(x
2
+ x -2)
=.
=(x
2
+ x + 6)(x + 2)(x- 1)
*Chú ý : Tam thức bậc hai (x
2
+ x + 6) không phân tích đợc thành nhân tử nữa
( trong phạm vi số hữu tỉ ) .

2
+ 4myz + y
2
z
2

= (2m + yz)
2

Thay m = x
2
+ xy + xz ta có :
4x(x + y) (y + x + z) (x + z) + y
2
z
2
=(2x
2
+ 2xy + 2xz + yz)
2
II.2.1.2.2.Phơng pháp hệ số bất định :
VD1:Phân tích đa thức : x
3
- 19x -30
Nếu đa thức này phân tích đợc thành nhân tử thì tích đó có dạng:
(x + a)(x
2
+ bx +c)=x
3
+ (a +b)x

30,15,10,6,5,3,2,1
Với a=2 ; c= 15 khi đó b=-2 thoả mãn hệ trên. Đó là một bộ số phải tìm.
Nên : : x
3
- 19x -30 = (x + 2)(x
2
- 2x - 15)
VD2 :Phân tích đa thức : x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
+ 6x + 1
Nếu đa thức đã cho phân tích đợc thành nhân tử thì phảI có dạng:
(x
2
+a x+b) (x
2
+c x+d) = x
4
+( a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+(ad + bc)x + bd
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có :
x
4
+ 6x

Từ hệ này ta đợc : a = b = d = 1 ; c = 5
Vậy x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
+ 6x + 1 =(x
2
+x +1) (x
2
+5x +1)
II.2.1.2.3.Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức :
7
Nguyễn Thị Thu Thuỷ Trờng THCS Mạo Khê II
VD : Phân tích đa thức thành nhân tử : x
3
+3x
2
- 4
Ta tách các hgạng tử của đa thức trên bằng cách tìm nghiệm của đa thức .Ta có a là
nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0 .Vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử x-a thì a
phải là nghiệm của đa thức. Ta lu ý rằng nếu đa thức trên có một nhân tử là x-a thì
nhân tử còn lại là x
2
+bx+c ac = -4 tức a phải là ớc của -4.
TQ : trong đa thức với hệ số nguyên , nghiệm nguyên nếu có phảI là ớc của hạng tử
không đổi .
Ước của -4 là
4,2,1

3
=(x- 1)(x
2
+ x + 1) +3(x - 1)(x + 1)
= (x- 1)(x
2
+ x + 1+3x+3)
= (x- 1)(x
2
+ 4x + 4)
=(x - 1)(x + 2)
2
Chú ý
Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì chứa nhân tử x-1
Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của
hạng tử bậc lẻ thì chứa nhân tử x+1
II.2.2.Giải các bài toán có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử.
II.2.2.1.Bài toán rút gọn biểu thức.
VD: Cho A=
65
2
2
3
3
2
2
++

+
+

8(2x - 1)(x + 2) = 0





=+
=
02
012
x
x




=
=

2
2/1
x
x
II.2.2.3. Bài toán giải bất phơng trình:
Đ ờng lối giảI Với các bất phơng trình bậc cao hoặc các bất phơng trình có chứa ẩn
ở mẫu thì việc rút gọn đa các đa thức tử và mẫu thành nhân tử rất quan trọng khi đa
bất phơng trình về dạng bất phơng trình tích : A.B > 0 hoặc A.B < 0 hay bất phơng
trình dạng tổng quát.
VD Giải bất phơng trình
a.

22

+++

xx
xxxxxx
>0

( )( )
32
2



xx
>0
Vì -2 < 0 nên bất phơng trình

(x-2)(x-3) < 0
Vậy 2 < x < 3
b. x
2
- 10x 8 > 0
Phân tích vế trái thành nhân tử ta có :
x
2
- 10x 8
= (3x
2
-12x) +(2x 8)

Ta có : A =
623
32
nnn
++
=
6
32
32
nnn ++
=
6
22
322
nnnn +++
=
( )( )
6
21 ++ nnn
Ta có n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp vì vậy có ít nhất một thừa số chia hết
cho 2 , một thừa số chia hết cho 3 mà ( 2, 3) = 1 nên tích này chia hết cho 6.
Vậy

n
Z thì A chia hết cho 6.
Kết luận : Trên đây là 4 dạng bài tập áp dụng kĩ năng phân tích đa thức thành
nhân tử. Tất nhiên không chỉ có 4 dạng này mà còn một số bài tập
khác( không điển hình,ít gặp) có vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử .
Với


Kém 0 0
Bài 2
Lớp 8C2 Lớp 8C3
11
Nguyễn Thị Thu Thuỷ Trờng THCS Mạo Khê II
Giỏi 7 22
Khá 15 17
TB 10 4
Yếu 0 0
Kém 0 0
Bài 3
Lớp 8C2 Lớp 8C3
Giỏi 10 25
Khá 8 12
TB 11 4
Yếu 1 2
Kém 0 0
Bài 4
Lớp 8C2 Lớp 8C3
Giỏi 10 25
Khá 9 14
TB 10 4
Yếu 1 0
Kém 0 0
Đặc biệt có những em đã tham gia kì thi học sinh giỏi cấp Huyện đạt điểm rất cao
nh em : Trơng Mạnh Cờng Lớp 8C3
Đào Minh Tùng Lớp 8C3
12
Nguyễn Thị Thu Thuỷ Trờng THCS Mạo Khê II
III. Phần kết luận Kiến nghị.

II.3. Chơng 3: Phơng pháp nghiên cứu Kết quả nghiên cứu
III. Phần kết luận Kiến nghị. Trang 15
IV. Tài liệu tham khảo Phụ lục Trang 16
14
NguyÔn ThÞ Thu Thuû – Trêng THCS M¹o Khª II
IV. NhËn xÐt cña H§KH cÊp trêng,phßng GDDT
15