ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN THỊ YẾN MAI
TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG
CỦA HÀM TỰA LỒI
LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN THỊ YẾN MAI
TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG
CỦA HÀM TỰA LỒI
LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Mở đầu 1
Nội dung 4
1 ĐẶC TRƯNG CỦA ÁNH XẠ K- TỰA LỒI VÔ HƯỚNG 4
1.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Đặc trưng của ánh xạ tựa đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Các ánh xạ đơn điệu và tựa đơn điệu . . . . . . . . . . . . . 17

) ≤ max{f(x
1
), f(x
2
)},
với mọi x
1
, x
2
∈ R
m
và λ ∈ [0, 1].
Lớp các hàm tựa lồi có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu hóa.
Nhiều nghiên cứu đã cho ta các tính chất phong phú của hàm tựa lồi, đặc
biệt là các tính chất đặc trưng qua tính tựa đơn điệu của đạo hàm, đạo
hàm suy rộng hoặc jacobian suy rộng.
P. H. Sach [10] đã nghiên cứu các tính chất đặc trưng để một hàm
véc tơ Lipschitz địa phương f : R
m
→ R
n
là K- tựa lồi vô hướng theo
nghĩa: ∀η ∈ K
+
(nón cực không âm của nón lồi đóng K), η
T
f là hàm
tựa lồi giá trị thực. Tác giả đã thiết lập các điều kiện cần và đủ để f
là K- tựa lồi vô hướng dưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu của
Jacobian suy rộng Clarke của f và các ánh xạ đa trị được xây dựng từ nón

các khái niệm i- đơn điệu và s- đơn điệu thích hợp.
Chương 2 trình bày các tính chất đặc trưng để một hàm véc tơ Lipschitz
địa phương là K- tựa lồi của Benoist [3]. Các tiêu chuẩn được trình bày
dưới ngôn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu của đạo hàm theo phương suy
rộng và jacobian suy rộng. Chú ý rằng một hàm là K- tựa lồi vô hướng là
K- tựa lồi.
Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Đỗ
Văn Lưu đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận
văn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng
Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên
đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học toán K3b đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản
thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được
sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, 20 tháng 10 năm 2011.
Tác giả
Trần Thị Yến Mai
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Chương 1
ĐẶC TRƯNG CỦA ÁNH XẠ K-
TỰA LỒI VÔ HƯỚNG

: F (x) = ∅},
grF = {(x, y) ∈ R
m
× R
m
: y ∈ F (x)}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Ta sử dụng kí hiệu intB; coB; clB để kí hiệu phần trong, bao lồi, bao
đóng của tập B ⊂ R
m
. Nếu K ⊂ R
n
là nón lồi đóng và y, y
,
là hai điểm
của R
n
, ta đặt [y, y
,
] = co{y, y

, } và viết S(y, y

, ) ≤ 0 nếu và chỉ nếu
min{η
T
y, η
T
y

).
Tương tự đối với supF .
Cho f : R
m
→ R là một hàm Lipschitz địa phương. Kí hiệu ∂
0
f
x
là
dưới vi phân Clarke của f tại x (xem [2]):
∂
0
f
x
= {ξ ∈ R
m
: ξ
T
u ≤ f
0
(x, u) ∀u ∈ R
m
}, (1.2)
trong đó
f
0
(x, u) = lim
x

→x

{lim f
x
i
: x
i
→ x, f là khả vi Freschet tại x
i
},
trong đó f
x
i
kí hiệu Jacobian thông thường của f tại x
i
và giới hạn của
f
x
i
được lấy trong không gian các (m × n)- ma trận . Chú ý rằng mọi
phần tử A của Jf
x
là một m ×n- ma trận. Khi n = 1, Jf
x
là dưới vi phân
Clarke của f tại x ( xem [4, Mệnh đề 2.6.2]).
Với mọi η ∈ R
n
ta có [4, Định lý 2.6.6].
√
b
2

(nửa đường thẳng không
âm) epif quy về định nghĩa thông thường của trên đồ thị của một hàm số.
Ta sẽ cần kết quả dưới đây nó là hệ quả đơn giản của một định lý tách
[12, Hệ quả 11.4.2]:
y ∈ K ⇔ η
T
y ≥ 0(∀η ∈ K
+
) ⇔ η
T
y ≥ 0(∀η ∈ K
+
\ {0}). (1.6)
Kí hiệu T
0
(epif, (x, f(x))) (tương ứng T (epif, (x, f(x)) ) là nón tiếp tuyến
Clarke ( tương ứng nón Bouligand) của epif tại (x, f(x)). Ta cũng sử dụng
nón tiếp tuyến trung gian (intermediate tangent cone) T
b
(epif, (x, f(x))).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
Nhắc lại: Cho một tập con M ⊂ X và điểm x ∈ M,
T
0
(M, x) =

u ∈ R
m
: lim

inf t
−1
(x + tu, M) = 0

,
trong đó (x, M) kí hiệu khoảng cách từ x ∈ R
m
tới M và x

M
→ x
nghĩa là x ở trong M và hội tụ tới x. Kí hiệu bằng Cf
x
(tương ứng
D
b
f
x
, Df
x
, Df
x
) là ánh xạ đa trị từ R
m
vào R
n
mà đồ thị của nó trùng
với T
0
(epif, (x, f(x))) (tương ứng T

⊂ Df
x
. (1.7)
Khi f là K- lồi ta có
Cf
x
= D
b
f
x
= Df
x
= Df
x
. (1.7’)
Điều đó được suy ra từ tính lồi của epif và một sự kiện trong giải tích lồi:
các nón tiếp tuyến Clarke và Bouligand của một tập lồi là trùng nhau và
là các tập lồi đóng.
Bổ đề 1.1
Cf
x
(.) = {v ∈ R
n
: v − Jf
x
(.) ⊂ K}. (1.8)
Hơn nữa, dom Cf
x
= R
m

}.
Để chứng minh phần hai của bổ đề, ta giả sử rằng intK = ∅. Lấy một
điểm u bất kì thuộc R
m
. Cho v ∈ intK và V là lân cận của 0 ∈ R
m
sao
cho v − V ⊂ K. Bởi vì tập Jf
x
(u) là bị chặn [4, hệ quả 2.6.2], tồn tại
γ > 0 sao cho γJf
x
(u) ⊂ V . Do đó, v − γJf
x
(u) ⊂ K. Do tính thuần
nhất dương của K, từ đó suy ra γ
−1
v − Jf
x
(u) ⊂ K. Nói cách khác,
v

:= γ
−1
v ∈ Cf
x
(u) và chứng minh của đẳng thức dom Cf
x
= R
m

x
(u)}.
2. Với tất cả x ∈ R
m
, dom Df
x
= R
m
.
Bổ đề 1.3
Giả sử rằng f khả vi theo phương, tức là với tất cả x ∈ R
m
và u ∈ R
m
,
tồn tại giới hạn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
f

(x, u) = lim
t↓0
t
−1
[f(x + tu) − f(x)].
Khi đó,
1. Với mọi η ∈ K
+
, x ∈ R
m

b
f
x
(u). (1.9)
Vì vậy, dom D
b
f
x
= R
m
.
Ta cố định η ∈ K
+
, x ∈ R
m
và u ∈ R
m
. Do tính chất Lipschitz địa
phương của η
T
f,
d(η
T
f)(x, u) = lim
t↓0
inf t
−1
[η
T
f(x + tu) − η

(u)} ≥ inf{η
T
v : v ∈ Df
x
(u)}
≥ d(η
T
f)(x, u).
(1.11)
Phát biểu thứ nhất của Bổ đề 1.3 là hệ quả trực tiếp của (1.10) và (1.11).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Nhắc lại: hàm f : R
m
→ R là tựa lồi (quasiconvex) nếu với mọi
x
1
, x
2
∈ R
m
và t ∈ [0, 1],
f(tx
1
+ (1 − t)x
2
) ≤ max{f(x
1
), f(x

là K- lồi (K- convex), nếu ∀x
j
∈ R
m
(j =
1, 2), ∀t ∈ [0, 1], thì
tf(x
1
) + (1 − t)f(x
2
) ∈ f(tx
1
+ (1 − t)x
2
) + K.
Định nghĩa 1.3
Một ánh xạ K-tựa lồi vô hướng (scalarly K- quasiconvex) f : R
m
→ R
n
là một ánh xạ sao cho với mọi η ∈ K
+
, η
T
f là một hàm tựa lồi.
Dễ thấy rằng f là K- lồi nếu và chỉ nếu f là K- lồi vô hướng theo
nghĩa: với ∀η ∈ K
+
, η
T

− x
2
)} ≤ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
Nếu bất dẳng thức trên được thay thế bởi
g(x
1
, x
2
− x
1
) + g(x
2
, x
1
− x
2
) ≤ 0,
thì g được gọi là đơn điệu. ( Ở đây ta đặt −∞ + ∞ = ∞ −∞ = 0).
Bổ đề 1.4 [8]
Cho f : R
m
→ R là một hàm Lipschitz địa phương. Khi đó, các phát
biểu dưới đây là tương đương:
1. f là tựa lồi, tức là
f(tx
1
+ (1 − t)x
2

m
(x
1
= x
2
), ta có
0 ∈ cl co{F (x
1
, x
2
− x
1
) ∪F (x
2
, x
1
− x
2
) + K}. (1.12)
Rõ ràng là (1.12) có thể được viết lại là
0 ∈ co H(x
1
, x
2
) + K, (1.13)
nếu bao lồi của tập
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
H(x
1

1
) và F(x
2
, x
1
− x
2
) lồi thì (1.13) trở thành
0 ∈

{tF (x
1
, x
2
− x
1
) + (1 − t)F(x
2
, x
1
− x
2
) : t ∈ [0, 1]} + K.
.
Từ đó ta suy ra rằng tính i- tựa đơn điệu của ánh xạ đa trị F có giá trị
không rỗng lồi, com pắc có nghĩa là: với ∀x
1
∈ R
m
và ∀x

m
(x
1
= x
2
) tồn tại
y
1
∈ F(x
1
, x
2
− x
1
) và y
2
∈ F(x
2
, x
1
− x
2
) sao cho S(y
1
, y
2
) ≤ 0, tức là
ty
1
+ (1 − t)y

, x
1
− x
2
), ta có S(y
1
, y
2
) ≤ 0, tức là
ty
1
+ (1 − t)y
2
∈ −K (1.15)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
với t nào đó t ∈ [0, 1] (xem (1.1)).
Nhận xét 1.1
Nếu domF = R
m
× R
m
thì tính s- tựa đơn điệu của F kéo theo tính
i- tựa đơn điệu của F . Điều ngược lại đúng cho F là đơn trị.
1.2 Đặc trưng của ánh xạ tựa đơn điệu
Mệnh đề 1.1
Cho F
j
: R
m

Kí hiệu Df là ánh xạ đa trị: R
m
× R
m
⇒ R
n
trong đó gán (x, u) bất
kì thuộc R
m
×R
m
với tập Df
x
(u). Một cách tương tự cho Cf, D
b
f và Df.
Do Cf
x
⊂ D
b
f
x
⊂ Df
x
⊂ Df
x
ta suy ra
Cf ⊂ D
b
f ⊂ Df ⊂ Df.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
Điều này có nghĩa là với bất kì η ∈ K
+
, ta xây dựng ánh xạ đa trị
η
T
F : R
m
× R
m
⇒ R. Ta thiết lập hai hàm giá trị thực mở rộng từ
R
m
× R
m
→ R ∪ {±∞}: Hàm thứ nhất nhận được từ η
T
F bằng cách lấy
infimum, còn hàm thứ hai nhận được từ η
T
F bằng cách lấy supremum.
Tiền tố "i" (tương ứng "s") của cụm từ "i- tựa đơn điệu"(tương ứng "s- tựa
đơn điệu") là viết tắt của từ "infimum" (tương ứng " supremum"). Tiền tố
"i" hay "s" tương ứng với sự kiện sau đây: nếu ta muốn kiểm tra tính chất
i- tựa đơn điệu (hay s- tựa đơn điệu) của F qua cách tiếp cận vô hướng
trên, thì sau khi có η
T
F ta phải lấy infimum ( tương ứng supremum) của
η

) khác rỗng.
b. Với mọi η ∈ K
+
(η = 0) hàm giá trị thực mở rộng inf η
T
F là tựa
đơn điệu.
(nói riêng, khi domF = R
m
×R
m
, tính i- tựa đơn điệu của F là tương
đương với điều kiện (b)).
2. F là s- tựa đơn điệu nếu và chỉ nếu với mọi η ∈ K
+
, η = 0 hàm
sup η
T
F là tựa đơn điệu.
Chứng minh
Với η ∈ K
+
, ta đặt
F
η
= inf η
T
F, (1.16)
F
η

T
0 ≥ inf{η
T
y : y ∈ coH(x
1
, x
2
) + K}
≥ inf{η
T
y : y ∈ coH(x
1
, x
2
)} + inf{η
T
y : y ∈ K}
≥ inf{η
T
y : y ∈ coH(x
1
, x
2
)}
≥ min{inf η
T
F (x
1
, x
2

= x
2
) sao cho
0 ∈ cl co{H(x
1
, x
2
) + K}, (1.19)
trong đó theo giả thiết (a) tập H(x
1
, x
2
) định nghĩa bởi (1.14) là không
rỗng.
Theo định lý tách, tồn tại số  dương và véc tơ khác không η ∈ R
n
sao
cho
0 <  ≤ η
T
(h + k), (1.20)
với mọi h ∈ coH(x
1
, x
2
) và k ∈ H. Do tính chất thuần nhất dương của K,
ta suy ra từ (1.20) rằng η ∈ K
+
. Bây giờ cho k = 0 trong (1.20) ta nhận
được  < η

+
, ta có F
η
là
tựa đơn điệu. Thật vậy giả sử ngược lại rằng tồn tại η = 0 thuộc K
+
, F
η
không là tựa đơn điệu, tức là
F
η
(x
1
, x
2
− x
1
) > 0,
F
η
(x
2
, x
1
− x
2
) > 0,
các điểm thích hợp x
1
∈ R

1
> 0 và η
T
y
2
> 0. Từ đó suy ra (1.15) không đúng với bất kì t ∈ [0, 1].
Điều này mâu thuẫn với tính s- tựa đơn điệu của F.
Bây giờ giả sử F không là s- tựa đơn điệu. ta khẳng định rằng rằng
tồn tại véc tơ η = 0, η ∈ K
+
sao cho F
η
không là tựa đơn điệu. Thật vậy,
lấy x
1
∈ R
m
, x
2
∈ R
m
(x
1
= x
2
) và y
1
∈ F(x
1
, x

y
2
} > 0
với η thuộc K
+
. Điều này kéo theo rằng
min{F
η
(x
1
, x
2
− x
1
; F
η
(x
2
, x
2
− x
1
))} > 0,
Chứng tỏ F
η
không là tựa đơn điệu. 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
1.3 Các ánh xạ đơn điệu và tựa đơn điệu
Định nghĩa 1.7

− x
2
) + K}. (1.21)
Rõ ràng (1.21) có thể được viết lại là
0 ∈ co{F (x
1
, x
2
− x
1
) + F (x
2
, x
1
− x
2
) + K}, (1.22)
nếu tập co{F (x
1
, x
2
− x
1
) + F (x
2
, x
1
− x
2
)} là com pắc.

∈ R
m
và ∀x
2
∈ R
m
(x
1
= x
2
) tồn tại
y
1
∈ F(x
1
, x
2
− x
1
) và y
2
∈ F(x
2
, x
1
− x
2
) sao cho y
1
+ y

1
), y
2
∈ F(x
2
, x
1
− x
2
), ta có
y
1
+ y
2
∈ −K. (1.24)
Nhận xét 1.4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
Đặt R
m
0
= R
m
\ {0} và lấy x ∈ R
m
, u ∈ R
m
0
. Khi đó, bằng cách
đặt x

m
× R
m
⇒ R
n
(j = 1, 2) sao cho F
1
⊂ F
2
.
1. Nếu F
1
là i- đơn điệu thì F
2
cũng i- đơn điệu.
2. Nếu F
2
là s- đơn điệu thì F
1
cũng s- đơn điệu.
Chứng minh
Từ định nghĩa, ta suy ra điều phải chứng minh. 
Ta sẽ chỉ ra rằng hai khái niệm đơn điệu đưa ra ở trên có thể đặc trưng
dưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu. Kí hiệu L(R
m
, R
n
) là họ các
ánh xạ tuyến tính từ R
m

), F + E là i- tựa đơn điệu.
Chứng minh
Nếu F là i- đơn điệu thì từ nhận xét (1.4) R
m
× R
m
0
⊂ domF . Hơn
nữa với bất kì E ∈ L(R
m
, R
n
), F + E là i- đơn điệu và do đó là i- tựa đơn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
điệu. Bây giờ nếu F không là i- đơn điệu, thì tồn tại 2 điểm phân biệt
x
1
∈ R
m
và x
2
∈ R
m
sao cho (1.21) không đúng. Ta có vế phải của (1.21)
là một tập không rỗng, bởi vì domF ⊃ R
m
× R
m
0

2
) + K}. (1.25)
Từ bất đẳng thức này và tính thuần dương của K ta suy ra η ∈ K
+
. Từ
(1.25) ta suy ra −α
1
< α
2
, trong đó
α
1
= inf η
T
F (x
1
, x
2
− x
1
),
α
2
= inf η
T
F (x
2
, x
1
− x

m
),
trong đó e ∈ R
m
là điểm thỏa mãn η
T
e = 0 (một điểm như vậy tồn tại
bởi vì η = 0). Hiển nhiên là E ∈ L(R
m
, R
n
). Theo giả thiết

F := F + E
là i- tựa đơn điệu, tức là (1.12) đúng, với

F thay cho F. Từ đó và (1.18)
ta suy ra
η
T
0 = 0 ≥ inf{η
T

v :

v ∈

F (x
1
, x

1
− x
2
)}.
(1.27)
Bây giờ ta chú ý rằng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20

v ∈

F (x
1
, x
2
− x
1
) ⇒

v = v + (

ξ
T
(x
2
− x
1
))e, với v nào đó v ∈ F (x
1
, x

T

F (x
1
, x
2
− x
1
) > 0. (1.28)
Tương tự,
inf η
T

F (x
2
, x
1
− x
2
) > 0. (1.29)
Từ (1.27)- (1.29) ta suy ra rằng
0 ≥ inf{η
T

v :

v ∈ F (x
1
, x
2

3. Với giả thiết inf K = ∅, Cf là i- đơn điệu nếu và chỉ nếu với mọi
E ∈ L(R
m
, R
n
), Cf + E là i- tựa đơn điệu.
Bổ đề 1.6
Ánh xạ đa trị F : R
m
× R
n
⇒ R
n
là s- đơn điệu nếu và chỉ nếu với
mọi E ∈ L(R
m
, R
n
), F + E là s- tựa đơn điệu.
Chứng minh
Nếu F là s- đơn điệu, thì với mọi E ∈ L(R
m
, R
n
), F + E là s- đơn
điệu, và do đó là s- tựa đơn điệu. Để chứng minh tính đủ của bổ đề, ta chú
ý rằng, đối với bất kì η = 0, η ∈ K
+
, hàm giá trị thực mở rộng sup η
T

) và chú ý rằng
g(x, u) = sup η
T
(F + E)(x, u),
ta có g là tựa đơn điệu. Do ξ là bất kì, từ [7, Bổ đề 1.4] ta suy ra η
T
F là
đơn điệu .
Bây giờ ta chứng minh F là s- đơn điệu. Thật vậy, nếu ngược lại sẽ
tồn tại các điểm x
1
∈ R
m
, x
2
∈ R
m
(x
1
= x
2
); y
1
∈ F (x
1
, x
2
− x
1
) và

⇒ R
n
là i- đơn điệu nếu và chỉ nếu R
m
×R
m
0
⊂ dom F
và với mọi η = 0, η ∈ K
+
, hàm giá trị thực mở rộng inf η
T
F là đơn điệu.
2. F : R
m
×R
m
⇒ R
n
là s- đơn điệu nếu và chỉ nếu với mọi η = 0, η ∈
K
+
, hàm giá trị thực mở rộng sup η
T
F là đơn điệu.
Chứng minh
Giả sử F là i- đơn điệu. Khi đó theo Bổ đề 1.5, R
m
× R
m