1
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng quý thầy cô, cán bộ
công nhân viên tại trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên nói chung, và các thầy cô thuộc bộ
môn Xác Suất Thống Kê nói riêng đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất
cho tôi trong suốt thời gian theo học tại trường cũng như trong thời gian thực hiện luận
văn này.
Đặc biệt, tôi hết lòng biết ơn Thầy hướng dẫn, TS. Dương Tôn Đảm, người đã tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi về chuyên môn, kinh nghiệm để hoàn thành luận văn này một
cách tốt nhất.
Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến bố mẹ, anh chị em cùng các đồng nghiệp
đã luôn sẵn sàng giúp đỡ động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn
này đúng thời hạn quy định.

Sau cùng vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu xót,
tôi rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè
đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn.

Tp Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2011

Hà Mạnh Linh

Luận văn gồm có 4 chương
 Chương I Kiến thức cơ sở
 Chương II Tích phân Stratonovich
 Chương III Tích phân theo lớp các quá trình ngẫu nhiên
 Chương IV Phương pháp số để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên
3

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn……………………………………………………………………………………………………………………………………….1
Lời nói đầu……………………………………………………………………………………………………………………………………….2
Mục lục………………………………………………………………………………………………………………………………………………3
Ch
ương I Kiến thức cơ sở……………………………………………………………………………………………….……4
1.1. Tích phân ngẫu nhiên……………………………………………………………………………….……………4
1.2. Tích phân Wienner……………………………………………………………………………………………….…7
1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô…………………………………………………………………………………….11
Chương II Tích phân Stratonovich
………………………………………………………………………………….14
2.1. Tích phân Stratonovich………………………………………………………………………………….……14
2.2. Biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên………………………………………….………15

( , [ , ])
a
L L a b


Tập các quá trình ngẫu nhiên thỏa điều kiện:
 f(t) là phù hợp

2
( )
b
a
f t dt
 

; h.c
16
1
d
( , [ , ])
a
L L a b


Tập các quá trình ngẫu nhiên thỏa điều kiện:
 f(t) là phù hợp

( )
b
a


(1,1)
I

(0,1)
I

(1,0)
I

(1,1,1)
I

(Xem các hệ thức trong (4.1.7) )
43

,
 
không giao nhau (1.1)
( tính cộng tuyến )

1 2
( ( ), ( )) 0
  
  
với mọi
1 2
,
 
không giao nhau (Tính trực giao)(1.2)

( )

  

trong đó
t s
  
với
( , ]
s t
 
(1.3)
Ta thác triển hàm tập cộng tính trực giao nói trên lên các tâp

biểu diễn được dưới



. Và ta gọi
( )


là độ đo ngẫu nhiên trực giao.
1.1.2. Tích phân theo độ đo ngẫu nhiên trực giao

5
Ta xác định tích phân ngẫu nhiên
( ) ( )
T
t dt
 

đối với hàm không ngẫu nhiên
( )
t


thỏa điều kiện
2
( )

T T T
c t c t t t
      

  

2
2
( ) ( ) ( )
T T
t dt t dt
  

 1 2 1 2
( ) (dt), ( ) (dt) ( ). ( )
T T T
t t t t dt
     
 

 
 
  

Xét hàm
( )
t

( ) ( ) ( ) ( ) 0
n m n m
T T T
n m
n m
t t t t dt
t t dt
t t t t dt
      
 
   
 
 
    
  



Nghĩa là dãy các tích phân đó là dãy cơ bản trong không gian Hilbert
2
L
.
Vậy tồn tại giới hạn
(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

 Theo định nghĩa trên tích phân ngẫu nhiên khơng phụ thuộc vào cách chọn dãy hàm
xấp xỉ
( )
n
t


 Thơng thường chúng ta thường xét độ đo ngẫu nhiên có các giá trị kỳ vọng bằng 0.
khi đó ta sẽ có:
( ) ( ( ),1) 0
( ) ( ) ( ) ( ),1 0
T T
E
E t dt t dt
 
   
   
 
  
 
 
 

Hệ thức đó sẽ được bảo tồn khi ta chuyển qua giới hạn (1.9) trong
2
L
.

1.2 TÍCH PHÂN WIENER
Trong mục này ta xây dựng tích phân Wiener dạng:

các số thực
1
[ , ]
k k k
A t t


còn
A
I
ký hiệu hàm chỉ tiêu của tập hợp A. Trong trường hợp
f

có dạng (4.2) trên thì
1
1
0
( ) ( ) ( )
k k
b
n
k t t
k
a
f t dW t c W W



 




.
Ta có định lý sau:
Đònh lý 1.2.1.
Với
f S

thì
2
( ) ( )
I f L
 
và là
đại lượng ngẫu nhiên
Gauss có trung
bình 0 và phương sai
2
L
f
. Hơn nữa ánh xạ
2
: ( )
I S L
 
là tuyến tính, đẳng cự và bảo
toàn tính vô hướng tức là
( ) ( ) ( )
( )
( ), ( ) ,

2
2
( ) ( )
( )
n
k k k
k
b
a
I f c t t
f t dt f



 
 



Tính chất tuyến tính là hiển nhiên. Tính chất bảo toán tích vô hướng suy từ tính
chất đẳng cự và đẳng thức hình bình hành
2
2
,
4
u v u v
u v
  

.

( ) ( ) 0,
( ) W( ) ( ) W( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ) 0,( ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ).
b
a
b b
b
a
a a
b b
a a
c b
a d
c b
c
a
a a
E f t dW t
E f t d t g t d t f t g t dt
Var f t dW t f t dt
E f t dW t g t dW t a c b
E f t dW t g t dW t f t g t dt a c b

 

 
 
 

b
n
i i i
t
a
f t d t f s t t


 



khi

=max
1
0
i i
t t

 
trong
đó

là phân hoạch tùy ý
1 2 1

o n
a t t t t b


 
 

Chứng minh.
1. Vì f(t) liên tục trên [a,b] nên liên tục đều trên [a,b] do đó
0, 0
 
   
sao cho
nếu
t s

 
thì
( ) ( )f t f s

 
.
Đặt
1
( , ]
0
( ) ( )
i i
n
i t t
i

2
2
2
( )[W( ) W( )] ( ) W( )
( ) ( ) W( ) ( ) ( ) ( ).
b
n
i i i
i
a
b b
a a
E f s t t f t d t
E g t f t d t f t g t dt b a



 
  
     


 

Thành thử
1
0
0
lim ( )[W( ) W(t )] ( ) W( )
b

n
i i i
i
f t d t f s t t
f b b f a a t f t f t

 

 
 

  
 
   
 
 




Lại có
1
1 1 1
0 0
W( )[ ( ) ( )]= W( ) ( )
i
i
t
n n
i i i i

t
n
i
i
t
s f s ds f s ds
f s s t ds K b a







 


   

 



Trong đó
[ , ]
sup ( )
s a b
K f s






Công thức tích phân từng phần đã được chứng minh.
W 10

1.3.TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ

Ta muốn mở rộng tích phân Wiener cho phép hàm dưới dấu tích phân là một hàm
ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ định nghĩa tích phân
0
( ) ( , )
T
t
I f f t w dW



Cho một lớp nào đó các hàm ngẫu nhiên.
Ký hiệu
t
F
là


t
F
) ) nếu đối với mỗi t ánh xạ
w ( ,w)
f t


Là
t
F
-đo được .
Định nghĩa 1.3.2
Ký hiệu N=N(0,T) là lớp các hàm ngẫu nhiên
( ,w) :[0, )
f t R
 

Thỏa mãn điều kiện
1.
( ,w) f(t,w)
t a
là đo được đồng thời theo cả hai biến nghĩa là
F
 
đo được, ở
đó B là

-trường Borel của
[0, )
11

trong đó
1
( , ]
i i i
A t t


và
( )
i
A
lập thành một phân hoạch hữu hạn của [0,T]. Chú ý rằng vì
f(t,w) là phù hợp nên ta có
i
c
là
i
t
F
-đo được .
Bây giờ đối với hàm sơ cấp f(t,w) có dạng (3.1) ta định nghĩa
1
( ) (w)[W W ].
i i

Z

 
Khi đó với i<j
( ) [ ( ]
[ ] 0.
j
i j i j i j i j t
i j i j
E c c Z Z E E c c Z Z F
E c c Z EZ

 

Nếu i=j thì
2 2 2 2 2
1
( ) ( )( ).
i i i i i i i
E c Z Ec EZ E c t t

  

Vậy

Bổ đề 1.3.4
Giả sử
f N

bị chặn và

f
g t t



.
Khi đó
n
g
là hàm sơ cấp ,
g N

và vì
(.w)
f
liên tục nên
2
0
( ) 0
T
n
f g dt
 

khi
n
 
với mỗi w.
Theo định lý hội tụ bị chặn
2

T
n
E f g dt
 
 
 
 

khi
n
 
.
W

Từ đó ta định nghĩa tích phân Itô cho hàm ngẫu nhiên f thuộc lớp N theo hệ thức
sau :
0 0
( ) ( , w) W : lim ( , w) W
T T
t n t
n
I f f t d g t d

 
 

Vậy tích phân Itô là một ánh xạ I từ không gian
2 2
( ) ([0, ] , , es )
L BF L T BF m P

( )
L BF
vào
2
( , , )
L F P


2 2
2
2
0
( , , ) ( )
( ) ( ,w)
( )
T
L F P L BF
E I f E f t dt
I f f





Tính chất 3:
1, 2 2 1
[ ]
0
W (W W )
T


  

Bằng cách xác định tương tự như trên ta định nghĩa tích phân
0
( , w) W
t
s
f s d

,
(0, ]
t T
  13

CHƯƠNG II
TÍCH PHÂN STRATONOVICH
2.1. TÍCH PHÂN STRATONOVICH

  

      
khi đó ta định
nghĩa
0
1
1
0
0
( ( ), ) W(s) lim ( ( ), )(W(t ) W( )).
t
m
k k k k
k
t
B X s s d B X r r t


 

 



Trong tích phân ngẫu nhiên Itô ta có
0


dẫn đến

trung bình của tổng
n
S
:
1
1
1
0
[W W ]
2
k k
m
k k
n t t
k
t t
S f





 
 
 
 


Với f(t,w) là hàm ngẫu nhiên và f(t,w) phù hợp
Khi

Cho
( )
t
X
và
( )
t
Y
là hai quá trình liên tục, xác định với
0
t

. Ta gọi biến phân bậc
hai của hai quá trình ấy và kí hiệu là [X,Y] là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi một
giới hạn hầu chắc chắn sau đây, nếu nó tồn tại:
1 1
1
1
. .
0
ax
0
[X,Y] lim ( )( )
k k k k
k k
m
h c c
t t t t t
t t
m

1 1 2 2 1 2 2
[a , ]=a [ , ] [ , ]
X a X Y X Y a X Y
 

Biến phân bậc hai của một số quá trình
1. Nếu W là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì
[W ]
t
t


2. Nếu X là một quá trình Poisson tiêu chuẩn thì mac-tin-gan Poisson
t t
Y X t
 
có
biến phân bậc hai là
[Y]
t
t


3. Nếu X và Y là hai quá trình Itô cho bới:
0 1 1
0 0
( , w) s ( , w) W ,
t t
s
X X h s d f s d 


(2.3.1)

Tương tự trong tính toán Itô, với t=b ta có phương trình

15

( ) ( ) ( ) ( )
1
( )
2
b b
B t B b B a B t
a a
e dB t e e e dt
  
 
(2.3.2)

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng ý tưởng của Itô để xác định tích phân Stratonovich bên
trong lớp của quá trình Itô.
Định nghĩa 2.3.1.
Cho
t
X
và
t

t
X
,
t
Y
được xác định bởi
( ) ( ) ( ) s
t t
t a
a a
X X f s dB s s d

  
 
,
a t b
 

( ) ( ) ( ) s
t t
t a
a a
Y Y g s dB s s d

  
 
,
a t b
 


b b b
t t t t
a a a
X dY X g t dB t X t f t g t dt

  
  
o

(2.3.5)
Vì
t
X
là một quá trình ngẫu nhiên liên tục do đó hầu hết tất cả các thành phần của
nó là hàm liên tục. Khi đó ta có:
2
2
2
( ) sup ( )
b b
t s
a a
a s b
X g t dt X g t dt
 
  
 
, hầu chắc chắn.
Do
2

( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f t g t dt f t dt g t dt
 
 
  
 
 
 
 
  
, hầu chắc chắn.

16

Bởi vậy
1
d
( , [ , ]).
a
fg L L a b
 
Từ phương trình (2.3.5) với b=t ta có quá trình ngẫu
nhiên
t
t s s

b
B t
a
e dB t

o
, ta sử dụng công thức Itô:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
( ) ( )( ( ))
2
1 1
( ) ( ( ) ) ( )
2 2
1
( )
2
B t
B t B t
B t B t B t
B t B t
e dB t
e dB t de dB t
e dB t e dB t e dt dB t
e dB t e dt
 

2 2 3
2 3
2
2
( , ( )) ( )
1
( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ( ))
2
1 1
( ) ( ) ( )
2 2
1
( , ( )) ( ) ( , ( )) .
2
F
t B t dB t
x
F F
t B t dB t d t B t dB t
x x
F F F F
dB t dt dB t dt dB t
x x t x x
F F
t B t dB t t B t dt
x x


 
 

  
  
  

Vì vậy ta có phương trình
( , ( )) ( ) ( , ( )) ( , ( )) .
F F
t B t dB t dF t B t t B t dt
x t
 
 
 
o

Từ phương trình này ta có định lý tiếp theo sau:
Định lý 2.3.4.Cho F(t,x) là một nguyên hàm của f(t,x).Giả sử
, ,
F f f
t t x
  
  
là liên tục. Khi
đó
( , ( )) ( ) ( , ( )) ( , ( ))
b b
a
b
a a
F
f t B t dB t F t B t t B t dt

(2.3.7)

Ví dụ 2.3.5
Tính giá trị của tích phân Itô
sin ( ) ( )
b
a
B t dB t

và tích phân Stratonovich
sin ( ) ( )
b
a
B t dB t

o

Áp dụng (2.3.6) ta có:
sin ( ) ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( )
b
b
a
a
B t dB t B t B b B a
    

o

Áp dụng (2.3.7) ta có:
1

e dB s

o

Ta có
( ) ( ) ( )
0
( ) 1
t
B s B s t B t
o
e dB s e e
  

o

Phương trình này còn có thể viết dướng dạng khác là
( ) ( )
( ).
B t B t
de e dB t
 o

Do đó
( )
B t
t
X e

là một nghiệm của phương trình

 . Vì vậy
/ EX
t t t
Y X
.
Ví dụ 2.3.7
Để tính tích phân Ito
0
W W
t
s s
d

ta có thể chuyển sang tích phân Stratonovich để
tính:
2
0 0
1
W W W W [W, W] W
2
t t
s s s s t
d d t
   
 
o


R
được gọi là một quá trình cộng
tính nếu nó thỏa các tính chất sau:
(1) Với mọi cách chọn
0 1
0
m
t t t
   
,các đại lượng ngẫu nhiên
0 1 0 1
, , ,
m m
t t t t t
X X X X X

 
là các số gia độc lập .
(2)
0
0
X

h.c
(3)
t
X
là liên tục ngẫu nhiên
(4)
(w)

1
s s
X X


không phụ thuộc vào s ( hay còn gọi là có số gia dừng
hoặc thuần nhất theo thời gian )
 Nếu quá trình
{ : 0}
t
X t

chỉ thỏa điều kiện (1),(2),(3),và (5) thì ta gọi nó là quá trình
Levy theo luật (a Levy process in law)
 Tóm lại ta có thể nói gọi rằng quá trình Levy là quá trình liên tục ngẫu nhiên có số gia
dừng và độc lập.

Tính chất 3.1.3.Cho
{ : 0}
t
X t

là quá trình Levy trên
n
R
với phân phối
1 0
( )L X



s t
t s
t s
t s
s t
x E x X X X
E i x X E i x X x x

 


   
 

Lấy logarit hai vế hệ thức trên ta có
0 0 0
ˆ ˆ ˆ
log ( ) log ( ) log ( )
t s
s t
x x x
  

 

Đặt
0
ˆ
( ) log ( )
x

t
X
)
0
( ) ( )
x
t t x
 
 
vậy suy ra
0
ˆ
log ( )
t
x

=
0
( )
t x


Suy ra
0
ˆ
( )
t
x

=

%
là độ đo bước nhảy bù của
( )
t

được xác định
bởi:
( , ) : ( , ) ( )
N dt dz N dt dz v dz dt
 
%
, và
W
t
là quá trình Wiener tiêu chuẩn.
1. Với mỗi
0
( )
R
 

quá trình
: ( , )
t
M N t B

%
là martingale.
2. Nếu
0; L


có các quy đạo liên tục thì nó có thể biểu
diễn dưới dạng:
( ) W
t
t t
  
 

5.Nếu ta giả định rằng,


( ) ; 0
E t t

   

ta sẽ có

21

2
( )z v dz
 


Với độ đo Lêvy của

zv dz
 

 


 Quá trình Lêvy thuần bước nhảy:
Nếu trong phân tích (3.1.2) có
0


, thì quá trình
( )
t

được gọi là quá trình Lêvy
thuần bước nhảy. Hay nói một cách khác quá trình Lêvy thuần bước nhảy là quá trình
có dạng:
0
0
( ) ( s, )
t
R
t t z N d d z
 
 
 
%

Trong đó

 



với
1, 2
, ,
n
a a a R

(3.1.3)
Khi f(s) là hàm bậc thang, ta định nghĩa tích phân:
1
1
0
1
( ) ( )
j j
n
t
s j s s
t
j
f s dX a X X


 


(3.1.4)

1
0
1
1 0
1
1 0
1
0
exp , ( ) exp ,
exp( ) ( )
exp ( ) ( )
exp ( ) s.
j j
n
t
s j s s
t
j
n
j j j
j
n
j j j
j
t
t
E z f s dZ E i a z Z Z
s s a z
s s a z
f s z d


khi đó


,
0 0 0 0
{ 1}
1
( ) , , 1 , 1 ( )
2
n
i x i
y
R
x x A x i x e i x y y v dy
 

     

(3.1.6)
Tính chất 3.1.5
Cho f(s) là hàm đo được bị chặn , xác định trên


0 1
,
t t
và nhận giá trị thực sao cho
tồn tại những hàm bậc thang bị chặn đều
( )


. Phân phối
của X là khả phân vô hạn và ta có biểu diễn
1
0
0
exp , exp ( ( ) ) s
t
t
E i z X f s z d


(3.1.7)
Chứng minh
Dựa vào tính liên tục của hàm
0


0
(( ( ) ( )) ) s 0
n m
f s f s z d

 
hầu chắc chắn theo s,khi
,
n m

đó tồn tại một đại lượng ngẫu nhiên X là giới hạn theo xác suất của các đại lượng ngẫu
nhiên
1
0
( )
t
n s
t
f s dZ

.Bởi vì
1
0
( )
t
n s
t
f s dZ

là khả phân vô hạn nên phân
phối của X cũng là khả phân vô hạn. Hơn thế nữa:

23

1 1
0 0
0 0 1 0

Từ đó theo (3.1.3) ta sẽ suy ra (3.1.5)
Để chứng minh giới hạn X không phụ thuộc vào cách chọn dãy
( )
n
f s f


Ta giả sử
( )
n
g s f

(s) hầu chắc chắn ( cả
( )
n
f s
và
( )
n
g s
đều bị chặn ). Khi đó
Eexp
1 1
0 0
0
, ( ) exp (( ) ) s 1
t t
n n s n n
t t
i z f g dZ f g z d

đo được bị chặn trên
0 1
[ , ]
t t
theo quá trình Levy
{ : 0}
t
X t

và ta ký hiệu:
1
0
( )
t
s
t
X f s dX


(3.1.8)
 Các tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Levy có một số tính chất đặc biệt sau:
Tính chất 3.1.7
Nếu f(s) là một hàm đo được bị chăn địa phương trên
[0, )

; khi đó tồn tại một
quá trình cộng tính
{ , 0}
t
Y t

( ) s ( ) ( ) ( ) s
t t
u u
t u
s
t
t t
g s d f u dX f u dX g s d

   
h.c (3.1.9)
Hệ quả 3.1.9 (Công thức tích phân từng phần )
 Từ tính chất 3.1.8 ta có thể thu được công thức tích phân từng phần của tích phân
ngẫu nhiên theo quá trình Levy như sau: