1
Mục lục
1 MỞ ĐẦU 2
2 NỘI DUNG 4
2.1 Phương pháp biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Phương pháp liên kết mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Phương pháp LCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 HàmWannier 20
3 KẾT LUẬN 26
4 TÀI LIỆU THAM KHẢO 28
2
Phần 1
MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, ngành khoa học vật liệu phát triển mạnh
mẽ đã tạo ra rất nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật phục vụ cho lợi
ích của con người. Việc nghiên cứu tính chất của điện tử là một trong những
nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lý chất rắn. Bởi vì điện tử là hạt mang
điện, có khối lượng bé, nó rất linh động và tham gia vào nhiều quá trình, qui
định nhiều tính chất của vật liệu. Tuy nhiên để mô tả đúng tính chất của
điện tử trong tinh thể là một công việc rất khó bởi vì ta cần phải xét một hệ
gồm rất nhiều hạt tương tác với nhau: điện tử, lỗ trống, phonon, tạp chất
Khi tính toán ta phải lập và giải một hệ phương trình rất lớn đến nỗi các
máy tính hiện đại ngày nay cũng không thể giải được. Vì vậy ta cần phải
đơn giản các phép toán bằng cách sử dụng các phương pháp tính gần đúng.
Với những vấn đề đã nêu trên, chúng tôi chọn đề tài "Các phương pháp tính
vùng năng lượng". Chúng tôi hy vọng rằng thông qua đề tài này chúng tôi
có thể hiểu hơn về môn lý thuyết chất rắn và áp dụng được nó vào trong đời
sống.
Trong phạm vi của đề tài này chúng tôi chỉ nghiên cứu 4 phương pháp
gần đúng để tính vùng năng lượng, đó là:
Tiểu luận: Lý thuyết chất rắn và bán dẫn 3


k
(r)=E
j
(

k)ψ
j

k
(r) (2.1)
Các phương pháp tính vùng năng lượng mà ta xét chính là các phương
pháp gần đúng để xác định các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
này. Các hàm riêng đó phải thỏa mãn điều kiện Bloch
ψ
j

k
(r +

R)=e
i

k

R
ψ
j

k

k
(r) (2.3)
với u
j

k
là hàm tuần hoàn có chu kỳ bằng chu kỳ của tinh thể
u
j

k
(r +

R)=u
j

k
(r) (2.4)
Nói chung trong các phương pháp gần đúng mà ta sẽ xét ở đây đều
khai triển hàm sóng ψ
j

k
theo một hệ hàm đã chọn trước với một số tính chất
đã biết.
2.1 Phương pháp biến thiên
Trong phương pháp này ta xuất phát từ một phương trình tích phân
tương đương với phương trình Schrodinger (2.1). Để viết phương trình này
ta đưa vào hàm Green thỏa mãn phương trình



= e
i

k

R
G

k
(r) (2.6)
Dễ thử lại rằng từ phương trình tích phân
Ψ
−→
k
(
−→
r )=

Ω
0
G
−→
k
(
−→
r −
−→
r


1
2m
∇
2
+ E

Ψ
−→
k
(
−→
r )=

Ω
0

1
2m
∇
2
+ E

G
−→
k
(
−→
r −
−→
r


Ω
0
δ (
−→
r −
−→
r

) V (
−→
r

)Ψ
−→
k
(
−→
r

) d
−→
r

⇒

1
2m
∇
2


Ψ
−→
k
(
−→
r )=EΨ
−→
k
(
−→
r )
Do đó ta có thể xác định hàm sóng Ψ
−→
k
bằng cách giải phương trình tích
phân (2.7) này.
Ta biết rằng mọi phương trình của các hàm sóng đều có thể suy ra từ
một nguyên lý biến thiên. Đặc biệt là phương trình (2.7) có thể thu được từ
nguyên lý biến thiên
δI =0 (2.8)
với
I =

Ω
0
Ψ
∗
−→
k

(
−→
r −
−→
r

) V (
−→
r

)Ψ
−→
k
(
−→
r

) d
−→
rd
−→
r

(2.9)
Trong biểu thức của I ta coi Ψ
−→
k
và Ψ
∗
−→

j
−→
k
(
−→
r ) (2.10)
GVHD: PGS.TS: Trương Minh Đức HVTH: Trương Hữu Sinh - Phạm Tùng Lâm
Tiểu luận: Lý thuyết chất rắn và bán dẫn 7
và đặt
I
ij
−→
k
=

Ω
0
ϕ
∗
i
−→
k
(
−→
r ) V (
−→
r ) ϕ
j
−→
k

) ϕ
j
−→
k
(
−→
r

) d
−→
rd
−→
r

(2.11)
Từ công thức khai triển (2.10) ta có:
I =

Ω
0

i
C
∗
i
−→
k
ϕ
∗
i

i
C
∗
i
−→
k
ϕ
∗
i
−→
k
(
−→
r ) V (
−→
r ) G
−→
k
(
−→
r −
−→
r

) V (
−→
r

)


Ω
0
ϕ
∗
i
−→
k
(
−→
r ) V (
−→
r ) ϕ
j
−→
k
(
−→
r ) d
−→
r −
−

Ω
0

Ω
0
ϕ
∗
i

−→
r


C
j
−→
k
Ta suy ra
I =

ij
C
∗
i
−→
k
I
ij
−→
k
C
j
−→
k
(2.12)
Nếu ta làm biến thiên Ψ
∗
−→
k

k
với i khác nhau thì độc lập với nhau. Biến thiên của I khi đó là
δI =

i
δC
∗
i
−→
k


j
I
ij
−→
k
C
j
−→
k

(2.13)
Từ nguyên lý biến thiên (2.8) dẫn đến phương trình

j
I
ij
−→
k

−→
k
(
−→
r ) và từ
phương trình Schr¨odinger ta giải ra được năng lượng E

−→
k

.
Để có thể áp dụng phương trình vừa trình bày ta phải biết biểu thức
của hàm Green. Chúng ta nhắc lại hàm Green thỏa mãn phương trình

−

H
0
+ E

G
−→
k
(
−→
r −
−→
r

)=δ (

r −
−→
r

)=

j
Ψ
j
(
−→
r )
1
E − E
0
j
Ψ
∗
j
(
−→
r

) (2.18)
Thực vậy, ta tác dụng toán tử

E −

H
0

) G (
−→
r −
−→
r

)=(E − H
0
)

j
Ψ
j
(
−→
r )
1
E−E
0
j
Ψ
∗
j
(
−→
r

)
=


r )

E − E
0
j

Ψ
∗
j
(
−→
r

)
=

j
Ψ
j
(
−→
r )Ψ
∗
j
(
−→
r

)=δ (
−→

−→
k
(
−→
r )
ta có
G
−→
k
(
−→
r −
−→
r

)=

j
ψ
j
−→
k
(
−→
r )
1
E−E
0
j
ψ

−→
r +
−→
R

1
E−E
0
j
ψ
∗
j
−→
k
(
−→
r

)
=

j
ψ
j
−→
k
(
−→
r ) e
i

(
−→
r )
1
E−E
0
j
ψ
∗
j
−→
k
(
−→
r

)
= e
i
−→
k
−→
R
G
−→
k
(
−→
r −
−→

(
−→
r −
−→
r

)=δ (
−→
r −
−→
r

)
thì toán tử

H
0
trong (2.16) và (2.17) là toán tử động năng

H
0
= −
1
2m
∇
2
Các hàm riêng Ψ
j
bây giờ là các sóng phẳng chuẩn hóa trong thể tích
Ω của tinh thể:


)=
1
Ω

−→
K
e
i

−→
k +
−→
K

(
−→
r −
−→
r

)
E −

−→
k +
−→
K

2

(
−→
r ) V (
−→
r ) ϕ
j
−→
k
(
−→
r ) d
−→
r −
−

Ω

Ω
ϕ
∗
i
−→
k
(
−→
r ) V (
−→
r ) G
−→
k

−→
k
(
−→
r ) V (
−→
r ) ϕ
j
−→
k
(
−→
r ) d
−→
r −
−

Ω

Ω
ϕ
∗
i
−→
k
(
−→
r ) V (
−→
r )

)
2
2m

V (
−→
r

) ϕ
j
−→
k
(
−→
r

) d
−→
rd
−→
r

=

Ω
ϕ
∗
i
−→
k



1
√
Ω

Ω
ϕ
∗
i
−→
k
(
−→
r ) V (
−→
r ) e
i

−→
k +
−→
K
3

−→
r
d
−→
r

−→
k
(
−→
r

) d
−→
r


= V

−→
K
1
−
−→
K
2

+

−→
K
3

V

−→

−→
K
1
−→
K
2
−→
k
= V

−→
K
1
−
−→
K
2

+

−→
K
3



V

−→
K

Trong đó
V


K
1
−

K
2

=

Ω
ϕ
∗
i
−→
k
(
−→
r ) V (
−→
r ) ϕ
j
−→
k
(
−→
r ) d

−→
k +
−→
K
3

−→
r
d
−→
r
V

−→
K
3
−
−→
K
2

=
1
√
Ω

Ω

e
i

−→
r ) đối xứng hình cầu. Ngoài ra, thế
năng này không đổi ở bên ngoài hình cầu bán kính nào đó nằm trong ô đối
xứng Ω
0
. Chọn gốc tính năng lượng một cách thích hợp, có thể coi hằng số
GVHD: PGS.TS: Trương Minh Đức HVTH: Trương Hữu Sinh - Phạm Tùng Lâm
Tiểu luận: Lý thuyết chất rắn và bán dẫn 11
này bằng không:
V (
−→
r )=0,r>r
0
(2.22)
Khi giả thiết rằng V (
−→
r ) bằng không ở ngoài hình cầu ω bán kính r
0
.
Vì hàm Green có điểm bất thường
−→
r =
−→
r

cho nên khi biến đổi các công
thức chúng ta cần phải thận trọng.
Đầu tiên ta xét hình cầu ω

bán kính r

−→
r

) d
−→
r

ta dùng hệ thức
V (
−→
r )Ψ(
−→
r )=

1
2m
∇
2
+ E

Ψ(
−→
r )
⇒

1
2m
∇
2
+ V (

G (
−→
r

−
−→
r ) V (
−→
r )Ψ(
−→
r ) d
−→
r =

ω

G (
−→
r

−
−→
r )

1
2m
∇
2
+ E


2m

ω

G (
−→
r

−
−→
r ) ∇
2
Ψ(
−→
r ) d
−→
r +

ω

G (
−→
r

−
−→
r ) EΨ(
−→
r ) d
−→

GVHD: PGS.TS: Trương Minh Đức HVTH: Trương Hữu Sinh - Phạm Tùng Lâm
Tiểu luận: Lý thuyết chất rắn và bán dẫn 12

ω

∇
2
[G (
−→
r

−
−→
r )Ψ(
−→
r )] d
−→
r =
=

ω

G (
−→
r

−
−→
r ) ∇
2

−→
r ) ∇
2
Ψ(
−→
r ) d
−→
r =

ω

∇
2
[G (
−→
r

−
−→
r )Ψ(
−→
r )] d
−→
r +
+

ω

Ψ(
−→


∇[G (
−→
r

−
−→
r )Ψ(
−→
r )]dS =
=

S

∇

G (
−→
r

−
−→
r )
∂Ψ(
−→
r )
∂r
− Ψ(
−→
r )

r ) d
−→
r =
=

ω

Ψ(
−→
r )

1
2m
∇
2
+ E

G (
−→
r

−
−→
r ) d
−→
r +
+
1
2m


0
− ε).
Từ phương trình (2.5) đối với hàm Green ta dễ thấy rằng tích phân
thứ nhất trong vế phải

ω

Ψ(
−→
r )

1
2m
∇
2
+ E

G (
−→
r

−
−→
r ) d
−→
r =Ψ(
−→
r

)


G (
−→
r

−
−→
r )
∂Ψ(
−→
r )
∂r
− Ψ(
−→
r )
∂G (
−→
r

−
−→
r )
∂r

dS (2.27)
Vì thế năng V (
−→
r ) triệt tiêu ở ngoài hình cầu bán kính r
0
cho nên ta

−→
r ) d
−→
r
Cho ε → 0 trong hệ thức (2.27), ta có thể viết lại phương trình (2.17)
như sau
lim
ε→0

Ψ(
−→
r

) −

ω

G (
−→
r

−
−→
r ) V (
−→
r )Ψ(
−→
r ) d
−→
r

−→
r )
∂r

dS
⇔ Ψ(
−→
r

) −

Ω
0
G (
−→
r

−
−→
r ) V (
−→
r )Ψ(
−→
r ) d
−→
r =
= −
1
2m
lim

ε→0

S


G (
−→
r

−
−→
r )
∂Ψ(
−→
r )
∂r
− Ψ(
−→
r )
∂G(
−→
r

−
−→
r )
∂r

dS =0
⇔

I =

Ω
0
Ψ
∗
(
−→
r ) V (
−→
r )

Ψ(
−→
r ) −

Ω
0
G (
−→
r −
−→
r

) V (
−→
r

)Ψ(
−→

−→
r −
−→
r

)
∂Ψ(
−→
r

)
∂r

− Ψ(
−→
r

)
∂G(
−→
r

−
−→
r )
∂r


dS


) d
−→
r =

ω

G (
−→
r −
−→
r

)

1
2m
∇
2
+ E

Ψ
∗
(
−→
r ) d
−→
r
=Ψ
∗
(

−→
r

)
∂r

dS
trong đó S

là mặt cầu bán kính (r
0
− 2ε) mà ta có thể chứng minh giống
như công thức (2.27), ta thu được biểu thức cuối cùng sau đây của I
I = lim
ε→0
1
4m
2

S

dS

S

dS


∂Ψ
∗



G (
−→
r −
−→
r

) (2.29)
Để tính các yếu tố ma trận của I ta lại thay Ψ(
−→
r ) bằng
Y
lm
(θ, ϕ) R
E
l
(r)
và dùng biểu thức của hàm Green G (
−→
r −
−→
r

) dưới dạng khai triển theo các
hàm cầu. Ta sẽ không trình bày các tính toán này ở đây nữa, mà chỉ giới hạn
ở việc chứng minh biểu thức (2.29) của I. Phương trình (2.28) là hệ quả của
nguyên lý biến thiên với I xác định bởi biểu thức (2.29).
Nhận xét
Phương pháp biến thiên là chúng ta khai triển hàm sóng theo một hệ

k
(
−→
r )=Eψ
−→
k
(
−→
r ) (2.30)
Với ψ
−→
k
(
−→
r ) là hàm sóng của điện tử và toán tử Hamiltonian có dạng

H = −

2
∇
2
2m
+ V (
−→
r ) (2.31)
trong đó V (
−→
r ) là lớn, không thể xem là một nhiễu loạn. Tuy vậy ta vẫn áp
dụng lý thuyết nhiễu loạn vào để giải bài toán này. Vì V (
−→

2m
∇
2
+ V
0
(
−→
r ) (2.33)
với V
0
(
−→
r ) là thế năng của điện tử trong nguyên tử cô lập.
Khi các nguyên tử tiến lại gần nhau, liên kết với nhau tạo thành mạng
tinh thể thì thế năng do các nguyên tử còn lại tác động lên điện tử trong
một nút mạng mà ta xét là yếu, được xem như là một nhiễu loạn. Do đó ta
áp dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải. Toán tử năng lượng:

H =

H
0
+

W
trong đó

W là toán tử nhiễu loạn với

W = V (

r )=

n
C
n
ψ
0
(
−→
r −
−→
R
n
) (2.34)
GVHD: PGS.TS: Trương Minh Đức HVTH: Trương Hữu Sinh - Phạm Tùng Lâm
Tiểu luận: Lý thuyết chất rắn và bán dẫn 17
trong đó tổng theo n là tổng theo các nút mạng. Vì hàm sóng của điện tử
trong tinh thể phải có dạng Bloch nên ta có thể chọn C
n
=
1
√
N
e
i
−→
k
−→
R
j

−→
k
(
−→
r )=
1
√
N

n
exp(i
−→
k
−→
R
j
)ψ
0
(
−→
r −
−→
R
n
) (2.36)
Năng lượng của điện tử trong gần đúng bậc nhất đượ c viết dưới dạng E =
E
(0)
+ E
(1)

−→
k
(
−→
r )
vào phương trình (2.37) ta có
E
(1)
=
1
N

m

n

−→
r
e
−i
−→
k (
−→
R
m
−
−→
R
n
)

=
−→
ρ
n
,
−→
r −
−→
R
m
=
−→
ρ
m
lúc đó phương trình được
viết dưới dạng như sau
E
(1)
=
1
N

m

n

−→
r
e
−i

n
)d
−→
r (2.38)
Vì các nút mạng là tương đương nên (2.38) không phụ thuộc vào vị trí tương
đối giữa các nút mạng, nghĩa là phụ thuộc vào hiệu giữa chúng
−→
R
m
−
−→
R
n
.Do
đó khi lấy tổng ta có thể giữ một nút cố định , nghĩa là :
m =0,
−→
R
m
=0,
−→
ρ
m
=
−→
r →

m
= N (2.39)
GVHD: PGS.TS: Trương Minh Đức HVTH: Trương Hữu Sinh - Phạm Tùng Lâm

)]ψ
0
(
−→
ρ
n
)d
−→
r (2.40)
a) Xét trường hợp n=0, lúc đó
E = E
(0)
+

−→
r
ψ
∗
0
(
−→
r )[V (
−→
r ) − V
0
(
−→
ρ
n
)]ψ

)]ψ
0
(
−→
ρ
n
)d
−→
r =0 (2.42)
do không có sự chồng phủ hàm sóng của điện tử mà ta xét với các điện tử
trong các nguyên tử khác lên nhau.
- Với n bé tương ứng với các nguyên tử lân cận ta có

−→
r
ψ
∗
0
(
−→
r )[V (
−→
r ) − V
0
(
−→
ρ
n
)]ψ
0

k
−→
R
n
(2.45)
GVHD: PGS.TS: Trương Minh Đức HVTH: Trương Hữu Sinh - Phạm Tùng Lâm
Tiểu luận: Lý thuyết chất rắn và bán dẫn 19
2.3 Phương pháp LCAO
LCAO = Lincar Combination of Atomic Orbitals (tức là tổ hợp tuyến
tính của các quỹ đạo nguyên tử).
Kết quả tính cho E trong phương pháp liên kết mạnh chỉ đúng cho trường
hợp bản thân mức năng lượng E
(0)
của nguyên tử không suy biến, tức là khi
chỉ có một hàm sóng ψ
0
tương ứng với một giá trị E
(0)
Khi mức năng lượng E
(0)
bị suy biến, tức là có nhiều hàm sóng ψ
0j
(
−→
r )
cùng tương ứng với nó thì hàm sóng ψ(
−→
r ) dùng làm lời giải cho phương trình
Schrodinger trong gần đúng một điện tử không thể viết đơn giản như trước
nữa mà phải viết dưới dạng LCAO:

suy biến ? nói chung điều này chỉ xảy ra trong hai
trường hợp:
a) Khi các điện tử trong nguyên tử không phải là s- điện tử. Để thấy
rõ điều này ta xét như sau:
- Nếu không tính đến spin thì hàm sóng của điện tử trong nguyên tử được
đặc trưng bởi ba số lượng tử chính n, l, m, tức là:
ψ
0
(
−→
r )=ψ
n,l,m
(
−→
r )
GVHD: PGS.TS: Trương Minh Đức HVTH: Trương Hữu Sinh - Phạm Tùng Lâm
Tiểu luận: Lý thuyết chất rắn và bán dẫn 20
- Nếu xét các s- điện tử : khi đó l=0 làm cho m=0 và như vậy dù n có bằng
bao nhiêu thì ta cũng chỉ có một hàm sóng ψ
n,0,0
(
−→
r ) tương ứng với E
(0)
n
.
- Nếu xét các p- điện tử : khi đó l=1 làm cho m=-1, 0, 1 và như vậy có 3
hàm sóng cùng tương ứng với một năng lượng E
(0)
n

r ), là hàm sóng
của điện tử tronh mỗi ô riêng biệt khi tách rời hẳn khỏi các ô khác. Ta sẽ
gọi u (
−→
r ) là các hàm sóng nguyên tử. Thay cho các hàm sóng nguyên tử này
chúng ta sẽ tìm dạng (2.36) của chúng là lời giải chính xác của phương trình
Schr¨odinger. Chú ý rằng các hàm sóng nguyên tử ứng với hai ô khác nhau
không trực giao nhau
GVHD: PGS.TS: Trương Minh Đức HVTH: Trương Hữu Sinh - Phạm Tùng Lâm
Tiểu luận: Lý thuyết chất rắn và bán dẫn 21

Ω
u
∗

−→
r −
−→
R

u (
−→
r ) d
−→
r =0,
−→
R =0
Điều đó dẫn tới một số khó khăn khi tính toán. Các hàm Wannier không
có nhược điểm này.
Giả sử Ψ

δ
−→
k
−→
k

(2.46)
Theo định nghĩa, hàm Wannier tương ứng với ô chứa điểm
−→
R bằng
a
j

−→
r −
−→
R

=

1
N

−→
k
e
−i
−→
k
−→

−→
r )
với u
j
−→
k
là hàm tuần hoàn, ta có
a
j

−→
r −
−→
R

=

1
N

−→
k
e
i
−→
k

−→
r −
−→

n

d
−→
r = δ
jj

δ
mn
(2.49)
trong đó
δ
mn
=



0 khi
−→
R
m
=
−→
R
n
1 khi
−→
R
m
=



k,

k


Ω
e
−i
(

k

R
n
−

k


R
m
)
Ψ
∗
j


k

(2.50)
Vì N vô cùng lớn, nên
1
N

−→
k

Ω
e
−i
−→
k

−→
R
n
−
−→
R
m

= δ
mn
(2.51)
Thế (2.51) vào (2.50), ta được biểu thức (2.49)

Ω
a
∗

công thức (2.47) với e
i
−→
k

−→
r
rồi công theo tất cả các giá trị của véc tơ
−→
R

−→
R
e
i
−→
k

−→
R
a
j

−→
r −
−→
R

=



−→
R
e
i

−→
k

−
−→
k

−→
R
= δ
−→
k
−→
k

⇒
1
√
N

−→
R
e
i

j

−→
r −
−→
R

=
√
N

−→
k
Ψ
j
−→
k
(
−→
r ) δ
−→
k
−→
k

=
√
NΨ
j
−→

r −
−→
R

⇒ Ψ
j
−→
k
(
−→
r )=
1
√
N

−→
R
e
i
−→
k
−→
R
a
j

−→
r −
−→
R

N

−→
k
e
−i
−→
k
−→
R

HΨ
j
−→
k
(
−→
r )
=
1
√
N

−→
k
e
−i
−→
k
−→

E
j

−→
k

e
i
−→
k
−→
R

a
j

−→
r −
−→
R


=
1
N

−→
R



Đặt
ε
j

−→
R

=
1
N

−→
k
e
i
−→
k
−→
R
E
j

−→
k

(2.54)
ta có thể viết tác dụng của toán tử

H lên a
j


a
j

−→
r −
−→
R


(2.55)
Từ công thức này và tính chất trực giao chuẩn hóa của các hàm Wannier
ta thu được ngay các yếu tố ma trận của

H
GVHD: PGS.TS: Trương Minh Đức HVTH: Trương Hữu Sinh - Phạm Tùng Lâm
Tiểu luận: Lý thuyết chất rắn và bán dẫn 24
H
im,jn
=

a
∗
i

−→
r −
−→
R
m

ε
j

−→
R

−
−→
R
n

a
j

−→
r −
−→
R
n

d
−→
r
=

−→
R

ε
j

−→
r
=

−→
R

ε
j

−→
R

−
−→
R
n

δ
ij
δ
mn
Ta suy ra
H
im,jn
= ε
j

−→
R

−→
R
ε
j

−→
R

(2.57)
Nhận xét
Hàm Wannier chẳng qua chỉ là hệ số khai triển Fourier của hàm Bloch
trong không gian đảo. Nhưng như vậy cũng có thể nói rằng hàm Bloch là hệ
số khai triển Fourier của hàm Wannier trong không gian thuận. Từ đây ta
thấy rằng hàm Bloch và hàm Wannier là hai hàm có giá trị hoàn toàn tương
đương như nhau, tùy vào từng trường hợp cụ thể mà dùng hàm nào cho thích
hợp.
- Hàm Bloch hơi thiên về việc mô tả điện tử thuộc về toàn tình thể, do
đó nên dùng nó để xét các trường hợp điện tử lan truyền chuyển động trong
toàn tinh thể, tức là dùng cho kim loại và bán dẫn.
- Hàm Wannier, giống như hàm sóng nguyên tử, hơi thiên vể việc mô
tả định xứ của điện tử (nên thường được dùng để xét điện tử trong điện môi).
Hàm Wannier và hàm sóng nguyên tử khác nhau ở những điểm sau:
GVHD: PGS.TS: Trương Minh Đức HVTH: Trương Hữu Sinh - Phạm Tùng Lâm
Tiểu luận: Lý thuyết chất rắn và bán dẫn 25
1) Đối với bất kì vùng năng lượng nào (dù vùng hóa trị hay các vùng
tương ứng với các mức nằm sâu bên trong nguyên tử) bao giờ cũng tồn tại
các hàm a
j

−→

Điều này chứng tỏ rằng hàm Wannier là khác hẳn và có ứng dụng rộng
lớn hơn rất nhiều so với hàm sóng nguyên tử vì các hàm sóng nguyên tử trong
gần đúng liên kết chặt chỉ có thể áp dụng cho các vùng năng lượng tương
ứng với các mức nằm sâu bên trong nguyên tử.
2) Khác với hàm sóng nguyên tử, hàm Wannier viết cho các nút mạng
khác nhau hoặc các vùng năng lượng khác nhau trực giao nhau (các hàm
sóng nguyên tử nói chung không trực giao nhau).
GVHD: PGS.TS: Trương Minh Đức HVTH: Trương Hữu Sinh - Phạm Tùng Lâm