TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2
TỔ TOÁN

NGUYỄN VĂN XÁ 

TÀI LIỆU THAM KHẢO MÔN TOÁN


TẬP HAI
MỘT SỐ ðỀ THI HỌC SINH GIỎI










1

MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI


1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009
Bài 1 (6 ñiểm)

1/ So sánh hai số 2009
2010
và 2010
2009
.
2/ Tìm giới hạn
2
0 3
3
1 1
lim
3 ( 1 4 1)
2 ( (1 6 ) 1 6 1)
x
x x
x x x
→
 
−
 
+ +
 

o
và các cạnh bên

SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn
3
.
Bài 4 (4 ñiểm)

1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng
2 2 2
1 2 2+ 3
+ - m + n + p
m n p
≤
.
2/ Giải hệ phương trình
3 3 2
3 3 2
3 3 2
( ) 14
( ) 21
( ) 7
x y x y z xyz
y z y z x xyz
z x z x y xyz


0
, a
1
, a
2
, …,

a
n
.


2. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 -2007
BÀI 1: (3 ñiểm)
Tìm tất cả các giá trị a sao cho bất phương trình sau có một số hữu hạn nghiệm và tính các nghiệm này:
(
)
(
)
2 2 2 2 2
cos 4 4 . cos 4 2 2 0
tan x a tan x a
π π
− − − + + ≤
.
BÀI 2: (3 ñiểm)

Với những giá trị nào của a thì hàm số
( ) ( ) ( )
3 2


ðÁP ÁN

BÀI 1 (3 ñiểm)
ðặt t =
(
)
2 2
cos 4
tan x
π
−
, với
1
t tan
≤
. Dễ thấy rằng với
[
]
0
1, 1
t tan tan
∈ −
phương trình
(
)
2 2
0
cos 4
tan x t

ố

nghi
ệ
m h
ữ
u h
ạ
n.
ð
i
ề
u này ch
ỉ
có th
ể
khi h
ệ
có
ñ
úng m
ộ
t nghi
ệ
m.
N
ế
u bi
ể
u th

ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
s
ẽ
ch
ỉ
là
m
ộ
t
ñ
i
ể
m t = 2a. T
ừ
hai giá tr
ị
tìm
ñượ

)
2 2
cos 4
tan x
π
− = 1 hay
π
π
π
nx +−=−
4
4cos
22
, v
ớ
i
n Z
∈
.
Ph
ươ
ng trình này có nghi
ệ
m ch
ỉ
khi n = 0. Lúc
ñ
ó
4
4cos

ằ
ng ph
ươ
ng trình này có nghi
ệ
m:
2
2
4
arccos4






±−±=
π
ππ
x
.
N
ế
u
∆
> 0 thì nghi
ệ
m c
ủ
a b

ớ
i
ñ
o
ạ
n
[
]
1, 1
tan tan
−
. Suy ra t
1
=
tan
1 hay t
2
= -
tan
1 . Lúc
ñ
ó giá tr
ị
c
ầ
n tìm c
ủ
a tham s
ố


1
f tan
tan t
 − =

− >

v
ớ
i f(t) = t
2
– 4at +2 + 2a .
Suy ra
2
1 2
4 1 2
1
1
2
tan
a
tan
a tan

+
=


−


th
ấ
y r
ằ
ng h
ệ
th
ứ
nh
ấ
t có nghi
ệ
m , còn h
ệ
th
ứ
hai vô nghi
ệ
m. Giá tr
ị
v
ừ
a tìm c
ủ
a tham s
ố
t
ươ
ng
ứ

= -2
π
, x
3
= 2
π
.
K
ế
t lu
ậ
n :
N
ế
u a =
2
1
thì
2
2
4
arccos4






±−±=
π

π
, x
3
= 2
π
.
V
ớ
i các giá tr
ị
còn l
ạ
i c
ủ
a a ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m ho
ặ
c có vô s
ố
nghi
ệ
m .
BÀI 2 (3
ñ
i
ể
m)

ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm f . Ta vi
ế
t :
( )
0
3
2
cos
3
cos211 =+−+−
xx
aa

D
ễ
th
ấ
y r
ằ
ng ph
ươ
ng trình này t
ươ
ng
ñươ

t c
ủ
a t
ậ
p h
ợ
p có hai nghi
ệ
m x
1
=
π
2
và x
2
=
π
4 trên kho
ả
ng (
π
,
π
5
). Các
ñ
i
ể
m này là
ñ


+= a
xx
xf
3
cos
2
1
3
cos2
'

d
ễ
th
ấ
y r
ằ
ng các
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n tr
ở
thành
ñ

ể
m c
ự
c tr
ị
).
Nh
ư
v
ậ
y n
ế
u
2
1
−≠a
thì hàm f có ít nh
ấ
t hai
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
trên kho
ả
ng
ñượ

nh
ậ
n t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
thu
ộ
c
ñ
o
ạ
n
1
1;
2
 
−
 
 

9
8
7
6
5
4
3

và
2
1
−≠a
thì hàm f s
ẽ
có 4 c
ự
c tr
ị
. Có ngh
ĩ
a là v
ớ
i nh
ữ
ng giá tr
ị
a khác hàm
f s
ẽ
có không quá hai c
ự
c tr
ị
.
K
ế
t lu
ậ

ấ
t ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i t
ậ
p h
ợ
p hai h
ệ
:



+≥
≤
4
2
ax
ax
hay



các
ñườ
ng th
ẳ
ng x = k , v
ớ
i
Ζ
∈
k
.

14
12
10
8
6
4
2
-5
5
10
15
- 6 12
x=a+4
x=a
2
A

Lúc

ã
ñượ
c
ñ
ánh d
ấ
u, s
ẽ
là giá tr
ị
c
ầ
n tìm. C
ă
n c
ứ
vào hình v
ẽ
ta có các giá tr
ị
a c
ầ
n tìm là :
06 <−
,
1
0
<
<
a


+ = +


+ = +

.
Câu 2:
(4
ñ
i
ể
m)
Cho dãy s
ố

{
}
n
x
tho
ả
mãn:
0
3
1 1
3
3 2
n n n
x

c trên
*
+
R
và tho
ả
mãn:
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

5
2 2
2
(1) 5
4
( ) ( ) 4 , 0 .
f
f x x f x x x
x
=



− = − ∀ >

a m
ỗ
i t
ổ
ng
sau:
1)

T
2
= 2.MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
.
2)

T
1
= 2.MA + MB + MC + MD.
Câu 5: (4
ñ
i
ể
m)
Cho t

x = y) thì | x – y |
∈
T.
1)

Tìm t
ậ
p con “ngoan ngoãn” l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a A và khác A.
2)

Tìm t
ậ
p con “ngoan ngoãn” bé nh
ấ
t c
ủ
a A ch
ứ
a 2002 và 2005.


4.

ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007)

yx +
n
ế
u :
3 2 6
7 3 4
x y
x y
+ ≤
− ≤





.
Bài 3
: (4
ñ
) Cho dãy
n21
x, ,x,x
, v
ớ
i






+
+
+
=
.
Bài 4: (4
ñ
) Cho dãy (a
n
) v
ớ
i :







−−
=
=
+
2
a11
a
2
1
a
2

ọ
n
ñ
i
ể
m M và k
ẻ
qua M các
ñườ
ng th
ẳ
ng song song
v
ớ
i các c
ạ
nh AB,AC,AD c
ắ
t các m
ặ
t (ACD), (ABD) và (ABC) t
ạ
i
111
C,B,A
. Tìm v
ị
trí c
ủ
a M

23234
1
ln)ln()1222ln(
−
≤+−+−++
.
Câu 2: Cho tam giác ABC
ñề
u. Tìm t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m M n
ằ
m trong tam giác tho
ả
mãn h
ệ
th
ứ
c:
222
MCMBMA +=
.
Nguy
ễ

+
.
Câu 4
: Cho dãy )(
n
x xác
đị
nh:
1
1
2
2
n n
x
x x
+

=


= +


(n >0). Tìm lim
n
x .
Câu 5
: Cho tam giác
đề
u ABC c

Câu 7:
V
ớ
i m
ỗ
i s
ố
t
ự
nhiên n, g
ọ
i P(n) là t
ậ
p h
ợ
p các s
ố
t
ự
nhiên k sao cho:
1
50750
+
<<
nkn
. Kí hi
ệ
u S
là s
ố

6
.
KỲ THI CHỌN HSG 12 TỈNH ðỒNG THÁP NĂM HỌC 2007-2008

Bài 1: (5 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho PT x
2
+ (m
2
- m)x - m
3
+1 = 0 có một nghiệm nguyên.
b) Giải bất phương trình.
Bài 2
: (5 điểm).
a) Giải phương trình 4sin
2
5x - 4sin
2
x + 2(sin6x + sin4x) + 1 = 0.
b) Cho các số thực x
1
,x
2,
… ,x
n
thỏa mãn sin
2
x
1

n
đạt giá trò lớn nhất và tìm giá trò lớn nhất này theo a và n.
Bài 3
: (4 điểm).
a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc =1 .Chứng minh :
6 2 2 6 2 2 6 2 2
1 1 1 3
.
( ) ( ) ( ) 2
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +

b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện
cot (cot 2cot )
2cot( ) cot .
2
2cot( ) cot
2
A A B A B
B
A B
B
+ +
= −
+
+

Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
Bài 4

Tính u
n
và chứng minh rằng u
1
+ u
2
+…+ u
n .
Bài 6: (2 điểm).
Cho đa thức f(x)=x
3
+ ax
2
+ bx + b có ba nghiệm x
1
, x
2
, x
3
và đa thức g(x) = x
3
+ bx
2
+ bx + a. Tính
tổng S = g(x
1
) + g(x
2
) + g(x
3


>

])
2
1
(1[
4
1
1−
−+≥
n
π
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG mơn Tốn
Trang

7

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
Bài 1
: (5 điểm).

Câu Đáp án Điểm
a)(3 điểm) + Biến đổi:

0.5

0.5
0.5
0.5

Câu Đáp án Điểm
b)(2 điểm)

+ Biến đổi:
(1)
+Vì

nên
+ +Vậy
2 1 2 1
log 2 3log 2
x
+ +
≤ ≤0.5



−=−
=+
1
1
2
mx
mx
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG mơn Tốn
Trang

8
a)(2 điểm)

Biến đổi 4sin
2
5x+1-sin
2
x+4sin5xcosx=3sin
2
x
4sin
2
5x+4sin5xcosx+cos


0.5

0.5

Câu Đáp án Điểm
b)(3 điểm)

+ Biến đổi

+Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có:
+Dấu = xảõy ra khi

hay hay


1 2
2 2 2
1 2
tan tan tan
sin 2sin sin
sin 2 0
n
n
i
x x x
x x n x
x
= = =


+ + +


>

)cos.sin cos2.sin2cos(sin2
2211 nn
xnxnxxxxS +++=
)cos cos2)(cossin sin2(sin2
2
2
2
1
22
2

n
xn
xn
x
x
x
x
cos
sin

cos2
sin2
cos
sin
2
2
1
1
===







≤≤
=
+
====

sin(5sin
π
π
−=
−=
xx
xx
2
24
π
π
kx +−=
3
36
7
π
π
kx +=
2
24
5
π
π
kx +−=
3
36
11
π
π
kx +=



= = = =


=

+


≤ ≤



0.5

Bài 3: (4 điểm).

Câu Đáp án Điểm
a)(2 điểm)

p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 2 2 6 2 2 6 2 2

+ + + + + + + ≥
+ + +
≥ + + + + + =
+ + +
= + +
+ +
=
= + + ⇒
+ +
+ +
2 2 2 2 2 2 2
6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
4 4 4
( )
)
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
.
2 2 2
b c c a a b
c a b a b c b c a c a b
b c c a a b a b c
+ +
≥ =
+ + + + + +
+ +
= ≥ =



0.5
0.5

0.5 0.5

.
3
4
=x
2 2
(cot cot ) 4cot ( ) cot cot 2cot( )
2 2
A B A B
A B A B
+ +
+ = ⇔ + =
sin( ) 2sin( ) 2sin( )
cot cot
sin sin cos( ) cos( ) 1 cos( )
A B A B A B
A B
A B A B A B A B
+ + +

Câu Đáp án Điểm
2 điểm

+ Gọi S là diện tích tam giác ABC,ta có

Ta có

+Suy ra
+Suy ra
1 1
1 2 3
1 2 3
( )
s s
x x s x s s
s s s s
=
⇒
=
⇒
= +
− +
.
+Tương tự

Vậy (y+z-1) s
1
+(x+z-1)s
2
+(x+y-1)s


mà

+
+ Suy ra đpcm
0.5 0.5 0.5

0.5 Bài 6
: (2 điểm).

Câu
Đáp án

==
−
=
−
2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 3 1 1 2
( ), ( ); ( ) ( ) ( )
s y s s s z s s S s s s x s s y s s z s s
= + = + = + + = + + + + +
tan 0,0
2
n
u
π
α α
= > < <
2
1
1
1
1 tan 1
cos
tan
sin
tan 2
cos
n
u
α α
α
α

tan tan tan
2.2 2.2 2.2
1 1 1
1 1 ( ) 1 (1 ( ) )
2.2 2.2 2 2 2 4 2
n
n
n
n n
s
π π π
π π π π
−
= + + + ≥
≥ + + + = + + + = + −
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG mơn Tốn
Trang

11
2 điểm

+Theo đònh lý Vi ét,ta có
p
1
+

+

0.5 0.5

0.5

0.5
Chú ý : học sinh có thể đưa ra phương án giải quyết vấn đề khác nếu kết quả đúng, hợp lô gic khoa
học vẫn cho điểm tối đa của phần đó.


7. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1995
Bài I. Xét
đườ
ng cong:
3 2
y mx nx mx n= − − + (C). Tìm các c
ặ
p s
ố
(m; n) sao cho trong các giao
đ
i

c hồnh là 2000
đơ
n v
ị
.

Bài II
V
ớ
i nh
ữ
ng giá tr
ị
nào c
ủ
a m thì
∀
x
∈

0;
2
π
 
 
 
ta ln có:
3 2 2
sin 2 os 3 sin osm mc m c
α α α α

b a=
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: có ít nh
ấ
t m
ộ
t giá tr
ị
c
ủ
a
i
a sao cho dãy
( )
n
b
có gi
ớ
i h
ạ
n khác 0.
Bài IV

Cho hình Elíp
2 2
2 2

. '
OM OM
F N F N
.


8. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1996
Bài I
Cho dãy ( )
n
x
xác
đị
nh b
ở
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n: x
1
= a ;
2
1
3
4
n n n
x x x

3
2
2
2
1
−+−=+−=++
−=−=++
axxxbxxxbxxxS
3)()()(
321
2
3
2
2
2
1
3
3
3
2
3
1
+++++++++=
)32)((
3)()2()33(
2
23
++−−=
+−+−+−+−=
babaS

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
2
sinf(x) <
2
.
Bài III

Cho ph
ươ
ng trình:
( )
3 2
cos2 3 cos2 8sin 2cos 2 sin 4x m x m m
α α α
+ + = − + + +
.
Hãy xác
ñị
nh giá tr
ị
c
ủ
a m sao cho v
ớ
i m
ọ

ẳ
ng
( )
∆
vuông góc v
ớ
i AB t
ạ
i H và
ñườ
ng tròn (C) nh
ậ
n AB làm
ñườ
ng kính. Tìm qu
ỹ
tích tâm I c
ủ
a
ñườ
ng tròn ti
ế
p xúc v
ớ
i
( )
∆
và ti
ế
p xúc trong v

e e
=
+
.
1. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t và giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
trên
ñ
o
ạ
n ln 2;ln 5
 
 
.
2. Tính t
ổ

4
2 sin 1
1
3 log 4 6 3 log 0
2 sin 1 1
x x
x a
x x
x a
π π
− −
− − +
+ + + =
− + +
.
Câu 3 (5
ñiểm):
Cho
1 2 3 4
, , ,
6 4
x x x x
π π
≤ ≤ . Chứng minh rằng:
( )
( )
2
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3+1


10. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1998
Câu 1 (5 ñiểm):
Cho h
ọ ñường cong (C
m
):
3 2
3 4y x x mx m= − + + − ( m là tham số). ðường thẳng (d): y=3-x cắt một
ñường cong bất kỳ (C) của họ (C
m
) tại 3 ñiểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến
tại B của (C) lần lượt cắt ñường cong tại ñiểm thứ hai là M và N. Tìm m ñể tứ giác AMBN là hình thoi.
Câu 2 (5 ñiểm):
Gi
ải hệ phương trình:
( )
6 4
sinx
siny
10 x 1 3 2
5
;
4
x y
e
y
x y
π
π

cho trước
(
α
là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai ñường tròn tại M ).


11. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1999
Câu 1 (5 ñiểm):
Cho hai hàm s
ố ( )
1
x
f x
x
=
+
và ( ) arctanxg x = .
1. Cmr: ñồ thị của chúng tiếp xúc nhau.
2. Gi
ải bất phương trình: ( ) ( )
f x g x x
≥ + .
Câu 2
(5 ñiểm):
Cho tam giác ABC tho
ả mãn:
( )
( )
( )
2 2 2

π
π
π π π
π π
 
+ +
− − + − − − + + =
 
 
− − − − +
 
.
Nguyễn Văn Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

14
Câu 4
(5 ñiểm):
Trong h
ệ toạ ñộ trực chuẩn Oxy cho ñường tròn (C) có phương trình:
2 2
4x y+ = .
1. Tìm tham s
ố m ñể trên ñường thẳng y = m có ñúng 4 ñiểm sao cho qua mỗi ñiểm có 2 ñường thẳng tạo
v
ới nhau góc 45
0
và chúng ñều tiếp xúc với ñường tròn (C).

i
ể
m c
ự
c tr
ị
là các
ñỉ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác
ñề
u ngo
ạ
i ti
ế
p
m
ộ
t
ñườ
ng tròn có tâm là g
ố
c to
ạ

ñộ
.

b
> sao cho bi
ể
u th
ứ
c
( )
3
2 1a
P
b a b
+
=
−

ñạ
t
giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t

ị
c
ủ
a x,
ñể
v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a y luôn t
ồ
n t
ạ
i giá tr
ị
c
ủ
a z tho
ả
mãn:
( )
3
1
2
sin os 2x+
2 3 2 osx

ng minh r
ằ
ng: 4
ñườ
ng th
ẳ
ng MF
1
,
MF
2
, NF
1
, NF
2
cùng ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ộ
t
ñườ
ng tròn.


13. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2003
Câu 1 (4
ñ
i

nhiên l
ẻ
cho tr
ướ
c).
Câu 2
(4
ñ
i
ể
m):
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

15
Cho
ñườ
ng cong (C) có ph
ươ
ng trình
4 2
4 3y x x= − + − .Tìm m và n
ñể


ể
m):
Cho tam giác ABC có tr
ọ
ng tâm G. G
ọ
i R và R' l
ầ
n l
ượ
t là bán kính
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC
và bán kính
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác có
ñộ
dài 3 c
ạ
nh là GA, GB, GC. Ch
ứ
ng minh n

ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ

ñộ
Oxy cho Parabol (P):
2
2y px= (p > 0), tiêu
ñ
i
ể
m là F. T
ừ
m
ộ
t
ñ
i
ể
m I k
ẻ
2
ñườ
ng
th
ẳ
ng ti
ế

i T và c
ắ
t IM, IN t
ạ
i Q và Q'.
Cmr:
FQ.FQ'
FT
không ph
ụ
thu
ộ
c v
ị
trí c
ủ
a (d).


14. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2004
Bài 1
(4
ñ
i
ể
m)
:
Cho hàm s
ố
: f(x) = 1

ố
m
ñể
t
ồ
n t
ạ
i 4
ñườ
ng th
ẳ
ng khác nhau, cùng song song v
ớ
i tr
ụ
c tung và m
ỗ
i
ñườ
ng
trong chúng
ñề
u c
ắ
t (C) và (C’) t
ạ
i hai
ñ
i
ể

ấ
t ph
ươ
ng trình:
222
2222 xxaaxxxxx
xx
−+−<−
.
1.Gi
ả
i bpt khi a = -1.
2.Tìm a
ñể
bpt có nghi
ệ
m x >1.
Bài 3
(4
ñ
i
ể
m)
:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2

ng
4
33
. Hãy tính
ñộ
dài c
ạ
nh còn l
ạ
i và
ñộ
l
ớ
n các
góc c
ủ
a t
ứ
giác
ñ
ó.
Bài 5
(4
ñ
i
ể
m)
:
Nguy
ễ

i t
ứ

di
ệ
n.
1.G
ọ
i các góc t
ạ
o b
ở
i tia DM v
ớ
i DA, DB, DC là , ,
α β γ
. Cmr: 2sinsinsin
222
=++
γβα
.
2.G
ọ
i
DCBA
SSSS
,,, l
ầ
n l
ượ

ể
u th
ứ
c:
DCBA
SMDSMCSMBSMAQ
+++= .


15. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2006
Câu 1
(5
ñ
i
ể
m)
:
G
ọ
i
( )
m
C
là
ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s

ằ
ng tam giác ABC có tr
ọ
ng tâm c
ố

ñị
nh khi tham s
ố
m thay
ñổ
i.

Câu 2
(3
ñ
i
ể
m)
:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1.
5 3
15 11 28 1 3
x x x
+ + = − . 2.

ứ
c:
( )
3 2
bc R b c a
 
= + −
 
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác
ñ
ó là tam giác
ñề
u.
Câu 4
(4
ñ
i
ể
m)
:
Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố



 
+ − − = + − −

 

.
Câu 5
(5
ñ
i
ể
m)
:
Cho t
ứ
di
ệ
n
ñề
u ABCD có c
ạ
nh b
ằ
ng 1. Các
ñ
i
ể
n M, N l

ứ
a m
ộ
t
ñườ
ng ph
ẳ
ng c
ố

ñị
nh và x + y = 3xy.
2. Xác
ñị
nh v
ị
trí c
ủ
a M, N
ñể
di
ệ
n tích toàn ph
ầ
n t
ứ
di
ệ
n ADMN
ñạ

ề
u ki
ệ
n abc =1. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

17

4
3
)1)(1()1)(1()1)(1(
333
≥
++
+
++
+
++ ba
c

a th
ứ
c P (x) th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:
(3) 6
( 1) ( 3) ( ), x
P
xP x x P x R





=
− = − ∀ ∈
.
Bài 4
: (2.0
ñ
i
ể
m) Cho dãy s
ố



= − ≥

+ +

.
1) Xác
ñị
nh s
ố
h
ạ
ng t
ổ
ng quát
n
x
theo n
2) Tính s
ố

ướ
c d
ươ
ng c
ủ
a bi
ể
u th

ng tròn tâm O. Các
ñườ
ng th
ẳ
ng AB,CD, c
ắ
t nhau
ở
E, AD, BC
c
ắ
t nhau
ở
F, AC, BD c
ắ
t nhau
ở
M. Các
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p c
ủ
a các tam giác CBE, CDF c
ắ
t nhau
ở
N.

m) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng, Trong m
ọ
i tam giác ta luôn có:
+ + <
+ + +
sin sin sin
2
sin sin sin sin sin sin
A B C
B C C A A B
.
Bài 8: (3.0
ñ
i
ể
m) Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
1.




.



17. TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A – NGHỆ AN
Bài 1. (6.0
ñ
i
ể
m )
a) Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
( 3) (2 ) 3 0.
m x m x m
− + − + − =

b) Ch
ứ
ng minh r

ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
P =
3 2 2
2 3 4 5
x y x xy x
+ + + −
.
2. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 2
sinx
siny
3 8x 3 1 6 2 2 1 8
, (0; )

Bài 3
. ( 2,5
ñ
i
ể
m )
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng n luôn t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t s
ố
th
ự
c
n

ể
m )
a) Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ

ñộ
Oxy cho tam giác ABC có di
ệ
n tích b
ằ
ng
3
2
. Bi
ế
t A(2;-3) , B(3,-2) và tr
ọ
ng
tâm G thu
ộ
c
ñườ
ng th
ẳ
ng d có ph
ươ

ể
m A c
ố

ñị
nh . T
ừ

ñ
i
ể
m M n
ằ
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng và ngoài
ñườ
ng tròn (O,R) k
ẻ
ti
ế
p tuy
ế
n MT t
ớ
i
ñườ
ng

ñị
nh khi M di
ñộ
ng trên m
ặ
t ph
ẳ
ng sao cho: MT = MH.


18. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 2007 QUẢNG NAM
Câu 1
(3
ñ
i
ể
m)
: Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau :
( )
4
1 2 0
1
x
x


.
Câu 3
(3
ñ
i
ể
m)
: Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố
f th
ỏ
a mãn :
3 3
, , 1
1 1
x x
f f x x R x
x x
− +
   
+ = ∀ ∈ ≠
   
+ −
   
.

h
ạ
ng t
ổ
ng quát u
n
c
ủ
a dãy s
ố
(u
n
) th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
( )
1 2
1
2 *
3
2 1
, , ,
. ,
n n n

i
ể
m D và E sao cho DE song song v
ớ
i
c
ạ
nh BC và ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p
∆
ABC. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: DE ≤
1
8
( AB + BC + CA).
Câu 7
(2
ñ

ố
. Xác
ñị
nh t
ấ
t c
ả
giá tr
ị
c
ủ
a a, b, c.

Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

19


19. ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000.
Bài 1: ( 2.5
ñ
i
ể

1
v
ớ
i 0 < b
1
=
1
a
< 1. L
ậ
p hai dãy s
ố
(a
n
), (b
n
) v
ớ
i n = 1, 2,
theo quy t
ắ
c sau:
n 1 n n
1
a (a b )
2
+
= + ,
n 1 n 1 n
b a .b

ể
m 0) l
ầ
n l
ượ
t
trên Ox, Oy, Oz.
Dãy s
ố
(a
n
) là m
ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng có a
1
> 0 và công sai d > 0. V
ớ
i m
ỗ
i s
ố
n nguyên d
ươ
ng, trên các tia

ứ
ng minh các m
ặ
t ph
ẳ
ng (A
n,
B
n
, C
n
) luôn luôn
ñ
i qua m
ộ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng c
ố

ñị
nh.
Bài 4:(2.5
ñ
i
ể
m)
T

ạ
i
ñ
úng 4
ñ
i
ể
m
thu
ộ
c M có kho
ả
ng cách
ñế
n X b
ằ
ng 1.
H
ỏ
i t
ậ
p h
ợ
p Mcó th
ể
ch
ứ
a ít nh
ấ
t là bao nhiêu ph

− +
v =
4
(x 1)(x 33)
− −

+(0.25
ñ
) Ta có h
ệ

5 4
u (u 1) a 33
(I).
v u 1 0

− − = −

= − ≥


+(1.00
ñ
) Hàm s
ố
f(u) = u
5
– (u – 1)
4
có f’(u) = 5u

ươ
ng trình là: x = 17
257
± .
Câu b
: ( 0.5
ñ
i
ể
m)
+ f(u) t
ă
ng trên [1; + ∞) mà f(1) = 1 nên ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi a – 33 ≥ 1 hay a ≥ 34.

Bài 2
: (2.5
ñ
i
ể
m)
+(0.50
ñ
) Tính a
2
, b
2

a a
b cosacos cosa cosacos
2 2
= =

+(0.75
ñ
) B
ằ
ng quy n
ạ
p, ch
ứ
ng minh
ñượ
c:
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

20

n
n 1 n 1
a a a


n 1
n n
n n
n 1 n 1
a
sin 2a.cos
sin 2a
2
a , b
a a
2 .sin 2 .sin
2 2
−
− −
= = .
+(0.50
ñ
) Tính gi
ớ
i h
ạ
n:

n n
n n
sin 2a sin 2a
lima , lim b
2a 2a
→∞ →∞

ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ

ñể

ñ
i
ể
m S thu
ộ
c
ñườ
ng th
ẳ
ng XY là t
ồ
n t
ạ
i c
ặ
p s
ố

th
ự

n
) là c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng công sai d > 0 nên: a
n+1
= a
n
+ d
n 1 n
a a
1
d d
+
− =
.
+(0.75
ñ
) áp d
ụ
ng nh
ậ
n xét trên, ta có:

n 1 n
n n
a a


ñị
nh, nên
ñườ
ng th
ẳ
ng A
n
B
n
luôn
ñ
i qua m
ộ
t
ñ
i
ể
m c
ố

ñị
nh I.
+(0.50
ñ
) T
ươ
ng t
ự
, ch

=

.
•

A
n
C
n
luôn
ñ
i qua m
ộ
t
ñ
i
ể
m c
ố

ñị
nh K xác
ñị
nh b
ở
i:
1
OK AC
2d
=

m I, J, K c
ố

ñị
nh.
+(0.50
ñ
) Ch
ứ
ng minh ba
ñ
i
ể
m th
ẳ
ng hàng:
Ta có:
1
OI AB
d
=

,
1
OJ BC
d
=

,
1

ng A
n
B
n
C
n
luôn
ñ
i qua m
ộ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng c
ố

ñị
nh.

Bài 4: (2.5
ñ
i
ể
m)
+(0.50
ñ
) Rõ ràng có ít nh
ấ
t hai

p
∩ M
q
| ≤ 1 thì M ch
ứ
a ít nh
ấ
t 9
ñ
i
ể
m.
+(1.50
ñ
) Tr
ườ
ng h
ợ
p v
ớ
i m
ọ
i P,Q sao cho PQ ≠ 1 và |M
p
∩ M
q
| = 2.
Nguy
ễ
n V

u TR,TS,UR,US khác 1: suy ra M
t
∩ Mq = M
u
∩ M
q
= {V,W} suy ra T hay U trùng v
ớ
i Q, vô
lý.
•

N
ế
u TR,TS,UR,US có m
ộ
t s
ố
b
ằ
ng 1: Không gi
ả
m
ñ
i tính t
ổ
ng quát, gi
ả
s
ử

ñ
) V
ậ
y M ch
ứ
a ít nh
ấ
t là 9
ñ
i
ể
m. D
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra v
ớ
i hình2.
V
ậ
y M có th
ể
ch
ứ
a ít nh
ấ
t là 9
ñ

3
x + asinx.cosx + sin
3
x = 0.
a/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình khi a =
2
.
b/ V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a a thì ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m.
Bài 2 (5
ñ
i
ể
m)
Gi
ả
s

ng ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố
:
y =
1
x
x
(1 + a )
, (a > 0).
Bài 4
(5
ñ
i
ể
m)
Cho hình chóp S.ABCD,
ñ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh

a
ñ
o
ạ
n th
ẳ
ng AK và CD. Ch
ứ
ng minh: Các
ñườ
ng th
ẳ
ng BM và MN
vuông góc nhau. A
4

A
8

A
6

A
5

A
9

NG D
Ẫ
N CH
Ấ
M

Bài 1: ( 5
ñ
i
ể
m) cos
3
x + asinx.cosx + sin
3
x = 0.
(0.5
ñ
) +
ðặ
t t = sinx + cosx =
2 cos(x ), |t| 2.
4
π
− ≤
cos
3
x + sin
3
x = (cosx + sinx)(sin
2

t
(3 t )
2
−
+ a.
2
t 1
2
−
= 0 ⇔ t
3
– at
2
– 3t + a = 0 (2).
Câu a
/
(1
ñ
) + V
ớ
i a =
2
: (2) tr
ở
thành:
t
3
–
2
t

i
ề
u ki
ệ
n: | t | ≤
2
nên ph
ươ
ng trình (1) t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i:

5
cos(x ) 1 x k2
2 cos(x ) 2
4 4
4
,k Z
2 1 2 1
2 cos(x ) 2 1
cos(x ) x arcos k2
4
4 4
2 2
π π
 

khi f(t) = t
3
– at
2
– 3t + a = 0 có nghi
ệ
m
t ∈[-
2
;
2
]
(1.25
ñ
) + f(t) liên t
ụ
c trên R
f(-
2
) =
2
- a ; f(
2
) = -
2
- a; f(0) = a.
•

a = 0: f(t) có nghi
ệ

ậ
y ph
ươ
ng trình luôn có nghi
ệ
m v
ớ
i m
ọ
i a.

Bài 2: ( 5
ñ
i
ể
m) y = f(x) = x
3
+ x
2
+ ax + b
(0.5
ñ
) + T
ậ
p xác
ñị
nh: R.
y’ = 3x
2
+ 2x + a là tam th

2
)< 0.
(0.25
ñ
) + Suy ra:
1 2
1 3a 0
f(x ).f (x ) 0
− >


<

(x
1
, x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình 3x
2
+ 2x + a = 0).
(1
ñ
) + Th
ự

9
− + −
; f(x
2
) =
[ ]
2
1
(6a 2)x 9b a
9
− + −

(0.5
ñ
) + f(x
1
).f(x
2
) < 0 ⇒ (6a-2)
2
x
1
x
2
+ (6a-2)(9b-a)(x
1
+ x
2
) + (9b-a)
2

=
2
3

; x
1
.x
2
=
a
3
.
Do
ủ
ú:
2 2
a 2
(6a 2) (6a 2)(9b a) (9b a) 0
3 3
+ <

suy ra: 4(3a 1)(a
2
3b) + (9b a)
2
< 0
(1
ủ
) + Vỡ (9b a)
2



nón x = 0
laỡ õổồỡng tióỷm cỏỷn õổùng
.
a/+ Xeùt trổồỡng hồỹp: 0 < a 1
+ x (0; + ): 0 < 1 + a
x
2
Do õoù:
1
x
x
0 < (1 + a )
2

( vỗ
1
0
x
>
) nón:
1
x
x
x +
1 lim (1 + a )
1
x
x

Do õoù:
1
x
x
1
1 > 1 +
a
1
x
2







( vỗ
1
0
x
<
) nón
1






Suy ra
x
x -
1
lim 1 + = a
a
1
x
x
x
lim (1 a ) a



1
x
x
x
1 lim (1 + a )
1
x
x
lim 2 1

=

Do õoù:
1
x
x
x
lim (1 a ) 1

+ =
nón y = 1 laỡ õổồỡng tióỷm cỏỷn ngang nhaùnh traùi.
+ x (0; + ):
x
1
1 < 1 +
a
2




1
0
x
>
) nón
1
x
x
x x
1
1 lim 1 + lim
a
1
x
2 1
+ +


=



x
x
x
lim (1 a ) a
+ +


+ =


(1
õ
)

(1
õ
)

(1
õ
)

Câu a / (2.5
ñ
i
ể
m)
+ Theo gi
ả
thi
ế
t ta
ñượ
c: SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SAC) ⊥ (ABCD).
Mà BK ⊂ (SAC) và BK ⊥ AC
⇒ BK ⊥ SA.
+ G
ọ
i H là hình chi
ế
u c
ủ
a K xu

ñỉ
nh S, BH là
ñườ
ng cao nên
2
2
a
c .a
SI.AB
4
HB
SA c
−
= =
+ Do ∆HBK vuông t
ạ
i K nên:

2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
(4c a )a a b
HK HB BK
4c a b
−
= − = −
+

MN MB BC CN (AB KB) BC BA
2 2
= + + = + + ++
1
MN KB BC
2
= +

.
+ Do
ñ
ó:
_

D

_

C

_

B

_

A

(0.5
â
)

(0.5
â
)

(0.5
â
)

(0.5
â
)

(1.75
â
)