class="bi x0 y0 w1 h1"
class="bi x0 y1 w1 h1"
class="bi x0 y1 w1 h1"
class="bi x0 y2 w2 h2"
class="bi x0 y3 w3 h3"
Đề thi chọn Đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia các tỉnh năm học
2014 - 2015
Đang cập nhật:
- Phần 1: http://www.vnmath.com/2014/09/e-thi-chon-oi-tuyen-thi-hoc-sinh-gioi.html
- Phần 2: http://www.vnmath.com/2014/10/e-thi-hoc-sinh-gioi-thi-quoc-gia-nam.html
- Phần 3: http://www.vnmath.com/2014/10/e-thi-hoc-sinh-gioi-toan-cac-tinh-nam.html
1. Đề thi chọn Đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia Tp. Đà Nẵng năm học 2014 - 2015
VÒNG 1 (11/9/2014)
Bài 1 (5đ)
Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $(x_n)$ biết $x_1=\dfrac{2013}{2014}$ và
:
$$x_{n+1}=\dfrac{1}{4+2011x_n}$$
Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó
Bài 2 (5đ)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ sao cho $f(0)\neq 0$,$f(1)=6$ và
$$f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) \forall x,y\in \mathbb{Z}$$
Bài 3 (5đ)
Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tâm O
của $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$. Gọi A là điểm trên $(C_1)$ và B là điểm nằm trên $(C_2)$
sao cho đường thẳng AC tiếp xúc với $(C_2)$ tại C và đường thẳng BC tiếp xúc với $(C_1)$
tại C. Đường thẳng AB cắt lại $(C_2)$ tại E và cắt $(C_1)$ tại F. Gọi G là giao điểm thứ hai
của đường thẳng CE và $(C_1)$. Hai đường thẳng CF và GD cắt nhau tại H. Chứng minh
rằng giao điểm của GO và EH là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
Bài 4 (5đ)
Tại một hội nghị quốc tế, các thành viên tham dự đều biết ít nhất một trong ba thứ tiếng: Anh,
Pháp, Đức. Biết rằng số thành viên biết Tiếng Anh, số thành viên biết Tiếng Pháp và số thành

Câu 2: (4 điểm) Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác. Xét các số thực $x,y,z$ thỏa
mãn
$$\left\{\begin{matrix}cy+bz=a\\az+cx=b \\bx+ay=c \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng $$x+y+z\le \frac{3}{2}$$
Câu 3 (4 điểm) Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và đường thẳng $l$ không cắt $(O)
$ ($AB$ vuông góc với $l$ và $B$ gần với $l$ hơn so với $A$). Trên $(O)$ lấy điểm $C$
khác với $A$ và $B$, gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $AC$ và $l$. Vẽ tiếp tuyến
$DE$ của $(O)$ (E là tiếp điểm và nằm cùng phía với $B$ đối với đường thẳng $AC$),
đường thẳng $BE$ cắt $l$ tại $F$, đường thẳng $AF$ cắt $(O)$ tại $G\neq A$. Chứng minh
$D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFG$.
Câu 4: (4 điểm ) Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)
+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\forall x,y\in (0;+\infty).$$
Câu 5 (4 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có $10$ chữ số từ tập $\{0,1, ,6\}$ sao cho chữ số
đầu tiên bên trái bằng $1$ và hai chữ số kề nhau bất kì hơn kém nhau 1 đơn vị?
VÒNG 2
Câu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}=2\sqrt{5}\\
(x+y)(\dfrac{1}{xy}+1)= 3\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$
Câu 2: (4 điểm) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=\frac{1}{2},$ và $
$a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n^2}{n(a_n+1)},\; \forall n\ge 1.$$
Chứng minh dãy số $(a_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
Câu 3: (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau
$$3(x^2-x+1)(y^2-y+1)\ge 2(x^2y^2-xy+1)\; \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Dấu "=" xảy ra khi nào?
Câu 4 (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $H$ là trực tâm tam giác,
$M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC$. Đường tròn $(M,MH)$ cắt cạnh $AB$
tại $M_1,M_2$, đường tròn $(N,NH)$ cắt cạnh $AC$ tại $N_1,N_2$. Các đường tròn ngoại
tiếp các tam giác $BN_1N_2,CM_1M_2$ cắt nhau tại $P,Q$. Chứng minh rằng ba điểm
$A,P,Q$ cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳng này đi qua trung điểm $BC$.
Câu 5 (4 điểm) Ban đầu trên bảng điện tử hiển thị hai số phân biệt $a$ và $b$. Sau mỗi giây,

4. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm học 2014 - 2015
Ngày 1 (03/10/2014) :
Câu 1 :
1) Giải hệ phương trình trên tập số thực :
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x+y−xy−−√=x2+y22−−−−−−−√2014x+y−1−3x+y+1=4x2−3x−y+2−−−−−−−−−−−−
−√
2) Tìm tất cả các hàm số f:R→R thỏa mãn điều kiện :
f(x2+f(y))=y+((f(x))2∀x,y∈R
Câu 2 : Cho dãy số (xn) được xác định như sau :
x1=1,x2=2013,xn+2=4026xn+1−xn,n=1,2,
Chứng minh rằng x2014+12014 là số chính phương.
Câu 3 :
Cho tam giác ABC (AB<AC), và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. Trên cạnh AC lấy
D sao cho ABDˆ=ACBˆ, đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IDC tại E.
Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BD tại P. Gọi F là điểm đối xứng
của A qua I, J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD. Đường thẳng JP cắt CF tại Q.
Chứng minh rằng QF=QJ.
Câu 4 :
Với mỗi số nguyên dương n, đặt Sn={1;2; ;n}. Phần tử j của Sn được gọi là điểm bất động
của song ánh p:Sn→Sn nếu p(j)=j. Gọi f(n) là số song ánh từ Sn đến Sn mà không có điểm bất
động nào, g(n) là số song ánh từ Sn đến Sn mà có đúng 1 điểm bất động. Chứng minh rằng :
|f(n)−g(n)|=1∀n∈N∗
Ngày 2 (04/10/2014) :
Câu 5 :
1) Chứng minh rằng với mọi a;b;c>0 ta có
a(b+c)(b+c)2+a2+b(a+c)(a+c)2+b2+c(a+b)(a+b)2+c2≤65
2) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n≥3, phương trình sau
xne−x=1,n∈N,n>2
Có 1 nghiệm duy nhất xn trên đoạn [0;n]. Tìm limxn.
Câu 6 :

P=a+3ca+2b+c+4ba+b+2c−8ca+b+3c.
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại C có góc A < góc B, O và I lần lượt là tâm đường tròn
ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC và đặt a=BC,b=AC,c=AB.
Chứng minh rằng nếu tam giác BIO vuông thì a3=b4=c5.
Câu 7: Cho 2014 sô thực x1,x2, ,x2014 thỏa ∣∣∑2014i=1xi∣∣>1 và |xi|≤1 (i=1,2, ,2014).
Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương k sao cho ∣∣∑ki=1xi−∑2014i=k+1xi∣∣≤1.
Đang cập nhật
Đang cập nhật
Đề thi học sinh giỏi thi quốc gia năm 2014 _ 2015 các tỉnh - Phần
2
Posted: 11 Oct 2014 04:55 AM PDT
Tiếp theo Phần 1: Đề thi học sinh giỏi thi quốc gia năm 2014 _ 2015 các tỉnh
Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2014-2015
Ngày 1:
Câu 1: Cho dãy số $\left ( x_n \right )^\infty _{n=1}$ thỏa mãn với $x_1=1$ và
$x_{n+1}=5\left ( \sqrt{x_n+11}-\sqrt{x_n+4} \right )$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng
minh rằng dãy số $\left ( x_n \right )^\infty _{n=1}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn ấy.
Câu 2: Xét $M$ là tập tất cả các đa thức $p(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+
+a_{1}x+a_0$ trong đó $n$ là số nguyên dương và $a_k$ là số thực thuộc đoạn $\left
[ 100;101 \right ]$ với mọi $k=0,1, ,2n$
1. Chứng minh rằng tồn tại đa thức $p(x)$ thuộc $M$ có bậc bằng 200 và có nghiệm
thực.
2. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn tính chất : tồn tại một đa thức $p(x)$
thuộc $M$ có bậc bằng $2n$ và có nghiệm thực.
Câu 3: Cho tam giác $ABC$ . Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ ở
$D$. $M$ là một điểm thay đổi trên $BC$ khác $B,C$. $(I_1),(I_2)$ theo thứ tự là đường
tròn nội tiếp tam giác $ABM$ và $ACM$. $PQ$ là tiếp tuyến chung ngoài khác $BC$ của $
(I_1),(I_2)$ (với $P\in\left ( I_1 \right )$ và $Q\in\left ( I_2 \right )$) . $S$ là giao điểm $BP$
và $CQ$. Chứng minh rằng :
1. Bốn điểm $M,I_1,I_2,D$ cùng nằm trên một đường tròn.

Câu 3 : Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất
thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến
$MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh
trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.
Câu 4: Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh
và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai
giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh
rằng : $k\geq 12$
Câu 5: Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của
:
$$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}.$$
Câu 6: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )
=x^{11}-1$.
Câu 7: Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2
màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng
và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.
Tìm giá trị lớn nhất của $T$
Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐH Vinh năm học 2014-2015

Tiếp tục cập nhật
Đề thi học sinh giỏi Toán các tỉnh năm học 2014 - 2015 - Phần 3
Posted: 19 Oct 2014 04:48 AM PDT
Đã đăng: Đề thi học sinh giỏi các tỉnh năm học 2014 - 2015. Phần 1 | Phần 2
1. Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của trường THPT chuyên KHTN năm
học 2014 - 2015
Ngày 1
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} (4x-y^2)(x^2+2)=12x+1\\ (4y-z^2)(y^2+2)=12y+1\\ (4z-x^2)
(z^2+2)=12z+1 \end{matrix}\right.$$
Bài 2. Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn :

Bài 3. Cho số nguyên tố $p$. Gọi $a_p$ là hệ số của $n^p$ trong $\sum_{k=0}^pC_p^k
(n+2014)^{n+p}$. Chứng minh rằng $a_p\equiv 2014^p+2015^p (mod p^2)$.
Bài 4. Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$, đường cao $AL, BD, CE$ cắt nhau tại $H$.
Đường tròn $(O)$ đi qua $A,E$ tiếp xúc $BC$ tại $M$. Gọi $K$ là giao điểm của $ME$ với
đường tròn $(AED)$ và $M$ là giao điểm của $KD$ với $BC$. Chứng minh $MH, KL, AN$
đồng quy.
Bài 5. Cho $A=\{a_1,a_2, ,a_n\}$ với $2\le n\le 2014$ và $a_i\le 2014$ sao cho nếu tồn tại
$(a_i+a_j)\le 2014$ thì $(a_i+a_j)\in A$. Chứng minh rằng $\dfrac{a_1+a_2+ +a_n}
{2}\ge \dfrac{2015}{2}$.
Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Lâm Đồng năm học 2014-2015
Câu 1. Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{matrix}(x+y)^3-27x=5(\sqrt[3]{32x-15}-3-y)\\
2x^3=y(y^2+x^2)\end{matrix}\right.$$
Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=u_n^{2015}+3u_n^{2014}+u_n \end{matrix}\right.
$ với mọi $n=1,2,3, $
Tính
$$\lim \frac{u_1^{2014}}{u_2+3}+\frac{u_2^{2014}}{u_3+3}+\frac{u_3^{2014}}
{u_4+3} +\frac{u_n^{2014}}{u_{n+1}+3}$$
Câu 3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$
Chứng minh rằng : $$a^3+b^3+c^3+2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \geq
3(ab+bc+ca)$$
Câu 4. Cho đường tròn $(C_1)$ tâm $I$ . Lấy điểm $O$ trên $(C_1)$ , dưng đường tròn $
(C_2)$ tâm $O$ cắt $(C_1)$ tại $C$ và $D.$ Tiếp tuyến với $(C_2)$ tại $C$ cắt $(C_1)$ tại
$A$ và tiếp tuyến với $(C_1)$ tại $C$ cắt $(C_2)$ tại $B.$ Đường thẳng $AB$ cắt $(C_1)$
tại $F(F\neq A) $ và cắt $(C_2)$ tại $E(E \neq B).$ Đường thẳng $CE$ cắt $(C_1)$ tại $G(G
\neq C),$ đường thẳng $CF$ cắt đường thẳng $GD$ tại $H.$
1) Chứng minh $CG$ song song với $FD.$
2) Chứng minh tam giác $EGD$ cân.
3) Chứng minh $CH$ là đường trung trực của $FD.$


Đề thi chọn đội tuyển Quốc Gia tỉnh Hải Phòng 2014 - 2015

Đề thi HSG Bắc Ninh qua các năm
Tải về tại đây
1) Đề HSG BN 2014 không chuyên:
http://thpt-yenphong3-bacninh.violet.vn/present/show/entry_id/10292954
2) Đề HSG BN 2014 chuyên:
http://thpt-yenphong3-bacninh.violet.vn/present/show/entry_id/10262900
3) Đề thi thử ĐH BN:
http://thpt-yenphong3-bacninh.violet.vn/present/show/entry_id/10194438
4) Đề thi HSG BN 2013 tất cả các môn:
http://thpt-yenphong3-bacninh.violet.vn/present/show/entry_id/9065977
5) Đề thi YP1: http://thpt-yenphong3-bacninh.violet.vn/present/show/entry_id/10502468