ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TẬP TĨNH ĐIỆN
Thầy giáo: Phạm Hồng Quang – GV trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ tỉnh Hoà Bình
LỜI NÓI ĐẦU
Bài tập về tĩnh điện rất đa dạng và phong phú, có nhiều phương pháp để giải, trong đó có nhiều bài tập
cần đến tích phân để làm.
Dạng toán tích phân là dạng bài tập tương đối khó đối với học sinh cấp ba, và việc ứng dụng nó vào để
giải các bài tập vật lí cũng không phải là dễ. Chính vì lí do đó tôi viết chuyên đề “Ứng dụng tích phân để
giải bài tập tĩnh điện” giúp các học sinh làm quen với những dạng bài tập tĩnh điện có sử dụng đến tích
phân, cũng như ứng dụng rộng rãi của tích phân trong vật lí, từ cơ sở đó các em học sinh có thể làm quen
với các dạng bài tập vật lí khác có sử dụng đến tích phân.
Trong chuyên đề này, tôi chỉ đưa ra ứng dụng của tích phân để tính cường độ điện trường và điện thế do
một vật tích điện gây ra tại một điểm.
Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự góp ý của các thầy
cô giáo và các em học sinh.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
- Chia vật tích điện thành những phần tử nhỏ mang điện tích
dq
(cách chia này còn tuỳ thuộc vào hình
dạng của vật tích điện).
- Xét phần tử nhỏ mang điện tích
dq
bất kì, tìm cường độ điện trường
Ed
; điện thế
dV
do phần tử
dq

đó gây ra tại điểm đang cần tính điện trường hoặc điện thế.
- Lấy tích phân toàn bộ vật ta sẽ tìm được cường độ điện trường hoặc điện thế do toàn bộ vật tích điện
gây ra tại điểm đang xét.

σ
Mật độ điện tích khối
ρ
d
dq
=
λ
dq
là điện tích chứa trong yếu tố
d
.
dS
dq
=
σ
dq
là điện tích chứa trong yếu tố
dS
.
dV
dq
=
ρ
dq
là điện tích chứa trong yếu tố
dV
.
1
r
kdq

π
λ
=
- Chia vòng thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài
d
, với
ϕ
Rdd =
.
- Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ có chiều dài
d
là
π
ϕ
λ
2
.
qd
ddq == 
Cách 1: Cách 2:
* Tính cường độ điện trường tại M.
- Xét cường độ điện trường do phần tử
dq
gây ra
tại M là
1
Ed
có phương chiều như hình vẽ, độ lớn
).(2
222

1
zR
kq
zR
dkq
dEE
+
=
+
==
∫∫
θ
π
ϕθ
θ
ππ
Với
22
cos
zR
z
+
=
θ
2/322
)( zR
kqz
E
+
=⇒

2 zR
kqd
r
kdq
dV
+
==
π
ϕ
- Điện thế V do cả vòng tròn tích điện gây ra tại M
là:
22
2
0
22
2
0
2 zR
kq
d
zR
kq
dVV
+
=
+
==
∫∫
ππ
ϕ

M
q
d
ϕ
d
R
O
Cũng có thể tính V như sau:
dz
dV
zR
kqz
E −=
+
=
2/322
)(
dz
zR
kqz
dV
2/322
)( +
−=⇒
C
zR
kq
dz
zR
kqz

0
V
E
Rz
chính là cường độ điện trường và điện thế do điện tích điểm gây ra tại M.
+ Khi





=
=
⇒=
R
kq
V
E
z
0
0
như vậy cường độ điện trường tại tâm vòng tròn tích điện đều bằng không.
+ Nếu
0<q
, ta cũng thu được các kết quả tương tự nhưng chiều của
E
ngược lại.
Bài 2:
Một sợi dây có dạng một cung tròn mảnh, bán kính R, góc ở tâm 2α, sợi dây tích điện đều là
0>q

R
kdq
dE
ϕλ
.
2
1
==
- Chọn hệ trục toạ độ như HV.
- Do ta luôn tìm được hai phần tử
dq
trên cung tròn đối xứng
nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra tại O một cường độ
điện trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OX
triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó cường độ điện trường tại
O có phương trùng với trục OX, độ lớn:
∫ ∫
===
−
2
1
.
sin
.cos.cos.
R
kq
d
R
k
dEE

Nhận xét:
+ Véc tơ
E
do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm của nó có phương nằm trên trục đối xứng của cung
tròn (trục đối xứng này nằm trong mặt phẳng chứa cung tròn).
+ Nếu
πα
22
=
ứng với cả vòng tròn
0
=⇒
E
phù hợp với kết quả ở bài 1 phần cung tròn tích điện đều
ứng với
0=z
.
3
dφ
d
R
X
O
q
α
-α
1
dE
φ
φ

kq
E
π
=⇒
+ Nếu
2
2
π
α
=
ứng với
4
1
vòng tròn
2
.
22
R
kq
E
π
=⇒
+
⇒=
R
kq
V
điện thế do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm của nó không phụ thuộc vào
α
+ Nếu

* Tính cường độ điện trường tại O.
Áp dụng kết quả bài 2 (phần cung tròn tích điện đều).
- Cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích
dài
0
1
>
λ
gây ra tại O một cường độ điện trường
1
E
có phương
chiều như HV, độ lớn
R
k
R
kq
E
11
2
1
11
1
sin2
.
sin
αλ
α
α
==

(2)
(Với
R
q
.2
1
1
1
α
λ
=
;
R
q
.2
2
2
2
α
λ
=
;
21
2)22(
ααπ
=−
)
Theo nguyên lí chồng chất điện trường tại O ta có:
21
EEE +=

+ Nếu
⇒==
λλλ
21



=
=
πλ
2
0
kV
E
phù hợp với kết quả bài 1 phần cung tròn tích điện đều ứng với
0=z
.
4
R
1
λ
1
E
2
E
X
1
2
α
2

)(
222
1
zR
Rdk
r
kdq
dE
+
==
ϕλ
- Do ta luôn tìm được hai phần tử
dq
đối xứng nhau qua O,
mỗi phần tử
dq
này gây ra tại M một điện trường có thành
phần điện trường theo phương của trục OZ triệt tiêu lẫn nhau
từng đôi một do đó điện trường tại M có phương vuông góc
với trục OZ tức nằm trong mặt phẳng XOY.
- Nhận thấy khi
dq
di chuyển trên nửa đường tròn tâm O thì
véc tơ
Ed
cũng quay trong mặt phẳng XOY, tâm M , độ lớn
α
sin2
1
dEdE =

=
+
=
∫
αλ
ϕϕ
αλ
π
với
22
sin
zR
R
+
=
α
2/3222/322
2
)(
4
)(
.4
zR
kqR
zR
Rk
E
+
=
+

tròn).
- Khi
R
k
Ez
λ
4
0 =⇒=
phù hợp với kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều (khi sử dụng kết quả bài 2
với
πα
=
2
và nguyên lí chồng chất điện trường).
5
O
R
Z
M
λ
λ
−
O
R
Z
M
λ
λ
−
1

HD:
Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường
0;
4
==⇒ V
R
k
E
λ
B2:
Một cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài
0
1
>
λ
, góc ở tâm là
1
2
α
. Cung
tròn mảnh thứ hai cũng có bán kính R, góc ở tâm là
)22(
1
απ
−
tích điện đều với mật độ điện tích dài
0
2
<−
λ

Xắc định cường độ điện trường và điện thế gây ra tại tâm của cung tròn trên nếu:
Cung BC nhiễm điện đều với mật độ điện tích dài là
0>
λ
, cung AB và CD nhiễm điện đều với mật độ
điện tích dài là
λ
−
.
HD:
Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường.
1cos2.
2
sin.
2
−=
α
αλ
R
k
E
λαλαλαλα
kk
R
kq
R
kq
R
kq
V −=−+−=++= ][

O
Bài giải:
- Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài
d
, với
ϕ
Rdd =
⇒

ϕ
.R=
- Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ
d
là
ϕϕϕλ
daRRdaddq
2
=== 
* Tính cường độ điện trường tại O.
- Xét cường độ điện trường do phần tử
dq
gây ra tại M là
1
Ed
có phương chiều như hình vẽ, độ lớn
ϕϕ
dak
R
kdq
dE

R
kdq
dV ==
∫∫
===⇒
α
α
ϕϕ
0
2
2

kaR
dRakdVV
GA
2
2
α
kaRVV
O
==⇒
Bài 2:
Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm
α
2
đặt trong không
khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xắc định
cường độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O
của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai
đầu A và B theo quy luật: từ G đên A là

Làm tương tự







−=
=
⇒
2
2
2
2
α
α
kaR
V
kaR
V
BG
AG
0=+=⇒
BGAG
VVV
7
dφ
d
R

1
dE
φ
d
A
G
B
2
dE
Y
dE
Bài 3:
Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm
α
đặt trong không khí. Xắc định
cường độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu
mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía A về phía B của cung theo quy
luật
0.
>=
a
λ
với
consta =
;

là biến số theo chiều dài.
Bài giải:
- Chọn hệ trục toạ độ như HV, có OX trùng với OA.
- Chia cung tròn ra thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích

với







−====
−+====
∫∫∫
∫∫∫
)cos(sin sinsin
)1cossin( coscos
0
0
αααϕϕϕϕ
αααϕϕϕϕ
α
α
akdkadEdEE
akdkadEdEE
ABAB
YY
ABAB
XX
22
X Y
EEE +=⇒
;

dRakdVV
AB
Bài tập tự luyện
B1:
Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm
α
2
đặt trong không
khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xắc định
cường độ điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu
mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B
của cung theo quy luật
0.
2
>= a
λ
với
consta =
;

là biến số theo
chiều dài.
HD:
Làm tương tự như bài 1 phần cung tròn tích điện không đều, ta tìm
được điện trường tại O có phương nằm trên đường GO, điểm đặt tại
O, chiều từ
OG
→
độ lớn
)sin2cos2sin( 2

B
O
R
α
A
B
O
X
Y
Ed
Y
Ed
X
Ed
dq
ϕ
R
α
2
A
B
G
O
R
α
2
A
B
G
O




−++−=
−+=
)2cos2sin2cos(
)sin2cos2sin(
2
2
ααααα
ααααα
RakE
RakE
Y
X
DẠNG III: ĐƯỜNG THẲNG TÍCH ĐIỆN ĐỀU
Bài 1:
Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với
mật độ điện tích dài
0
>
λ
, đặt trong không khí.
Xắc định cường độ điện trường và điện thế do thanh gây
ra tại điểm M nằm trên trục của thanh cách đầu A của
thanh đoạn
aAM =
như HV.
Bài giải:
- Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài

+
=
+
==
L
AB
Laa
Lk
a
dk
dEE
0
2
)(
.
)(
λλ


* Tính điện thế tại M.
- Xét một phần tử nhỏ
dq
bất kì ở vị trí cách A đoạn là

bất kì như hình vẽ. Phần tử này gây ra tại M
một điện thế:


+
==



Bài 2:
Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật
độ điện tích dài
0
>
λ
, đặt trong không khí.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M
cách đầu A của thanh đoạn a như HV.
9
R
α
A
B
O
B
A
M
λ
A
B
M
λ
d

Ed
A
B

kdq
dE
λ
==
(1)
+ HV







=⇒=
=
⇒
θ
θ
θ
θ
d
a
dXtgaX
a
r
2
cos
.
cos
(2)

a
k
dEdEE
La
a
a
k
a
k
d
a
k
dEdEE
ABAB
Y
ABAB







>
+
=====
<




0.sin.cos.cos.
01)1(cos.sin.sin.
22
YX
EEE +=⇒
;
E
hợp với OX góc
β
thoả mãn:
X
Y
E
E
tg =
β
Nhận xét:
Nếu
2/
πα
=
ứng với thanh bán vô hạn hay
∞=L
thì
⇒=−=
a
k
E
a
k

A
B
L
M
O
Y
X
dX
X
dE
Y
dE
X
dE
r
a
θ
α
A
B
a
M
λ
O
A
B
a
M
λ
O


>
+
==
>








+
−=−=
0.sin
01)cos1(
2
1
2
1
1
2
1
2
1AMX
λ
α
λ
λ


>
+
==
<








−
+
=−=
0.sin
01)1(cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2BMX
λ
α
λ

+
+
=+=
<








+
+
+
−=+=
⇒
0
0
11
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2

β
Nhận xét:
- Nếu
∞==
21
XX
ứng với thanh AB dài vô hạn thì
a
k
EEE
YX
λ
2
0 ==⇒=
phù hợp với thực tế.
- Nếu
21
; XaXa >>>>
tức
⇒>> La
0
0
0
=⇒



=
=
E

λ
phù
hợp với thực tế (do tính đối xứng nên
0=
X
E
).
Bài 4:
Có hai thanh mảnh thẳng OA; OB chiều dài lần lượt là
21
; XOBXOA ==
đặt trong không khí. Hai thanh
tích điện đều với mật độ điện tích trên mỗi thanh là
0;0
21
>>
λλ
. Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với
nhau thành một thanh thẳng AOB. Giả sử không có sự phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M nằm trên đường thẳng đi qua O vuông góc với
thanh AB và cách thanh một đoạn bằng a.
Bài giải:
- Chọn hệ trục toạ độ như HV.
- Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện đều
⇒
riêng thanh AO gây ra tại M một cường độ
điện trường có các thành phần theo phương OX và OY là:
11
Xa
X





+
−=−=
0.sin
01)cos1(
2
1
2
11
1
1
2
1
2
1
1
1
AMX
λ
α
λ
λ
α
λ

- Một cách tương tự
⇒

<








−
+
=−=
0.sin
01)1(cos
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
BMX
λ
α
λ

+
+
=+=








+
+
+
−−=+=
⇒
0
2
2
2
22
2
1
2
11
2
2
2
2
2

β
thoả mãn:
X
Y
E
E
tg =
β
Nhận xét:
+ Nếu
λλλ
==
21










>







1
2
2
22
1
2
Xa
X
Xa
X
a
k
E
XaXa
kE
Y
X
λ
λ
phù hợp với kết quả bài 3 phần đường
tích điện đều.
+ Nếu
λλλ
==
21
và các thanh dài bán vô hạn tức
∞=∞=
21
; XX
a

E
a
k
E
Y
X
Bài tập tự luyện
B1:
Hai thanh OA; OB mảnh thẳng
LOBOA
==
, các thanh tích điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là
λ
và
λ
−
. Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với nhau thành một thanh thẳng AOB. Giả sử không có sự
phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M nằm trên đường thẳng đi qua O vuông góc với
thanh AB và cách thanh một đoạn bằng a.
HD:
12
A
B
a
M
2
λ
O
Y

k
E
λ
- Nếu
∞=L
tức hai thanh OA;OB dài bán vô hạn thì
a
k
E
λ
2
=
.
B2:
Hai thanh mảnh OA và OB dài bán vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là
0
1
>
λ
và
0
2
<−
λ
. Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với nhau thành một thanh thẳng AOB dài vô hạn. Giả sử
không có sự phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M nằm trên đường thẳng đi qua O vuông góc với
thanh AB và cách thanh một đoạn bằng a.
HD:
Chọn trục OX trùng với trục của thanh AOB

Bài 1:
Một thanh mảnh thẳng AB đặt trong không khí, chiều dài
L tích điện với mật độ điện tích dài tăng từ A đến B theo
quy luật
0.
>=
b
λ
, với
constb
=
;

là biến số theo
chiều dài. Xắc định cường độ điện trường và điện thế do
thanh gây ra tại điểm M nằm trên trục của thanh cách đầu
A của thanh đoạn
aAM =
như HV.
Bài giải:
- Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài
d
, mỗi phần tử mang điện tích
 dbddq ==
λ
* Tính cường độ điện trường tại M.
- Xét phần tử mang điện tích
dq
có chiều dài
d

)(



Chú ý:
La
L
a
L
a
da
a
d
a
d
T
L LL
+
−






+=
+
−
+
=



+=⇒
La
L
a
L
bkE 1ln.
* Tính điện thế tại M.
13
B
A
M
λ
A
B
M
λ
d

Ed
- Xét một phần tử nhỏ
dq
bất kì ở vị trí cách A đoạn là

bất kì như hình vẽ. Phần tử này gây ra tại M
một điện thế:
)(



+−=
+
−=
+
=
L LL
a
L
aL
a
ad
d
a
d
T
0 00
2
1ln













- Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài
d
, mỗi phần tử mang điện tích
 dbddq
2
==
λ
* Tính cường độ điện trường tại M.
- Xét phần tử mang điện tích
dq
có chiều dài
d
ở vị trí cách A đoạn là

bất kì như hình vẽ, phần tử này
gây ra tại M một cường độ điện trường
Ed
có phương chiều như HV, độ lớn
2
2
2
)(



+
==
a
dbk
r

)(
2
1
)( 





+
−
+
−=
+
+
−=
+
=
a
a
a
a
a
aa
a
J
1
2
0 0
22

−=
+
=
∫ ∫∫∫







Với
La
L
a
L
T
+
−






+= 1ln
1
đã tính ở bài 1 phần đường thẳng tích điện không đều



+
=⇒
a
L
a
La
aLL
bkE 1ln2
)2(
.
* Tính điện thế tại M.
- Xét một phần tử nhỏ
dq
bất kì ở vị trí cách A đoạn là

bất kì như hình vẽ. Phần tử này gây ra tại M
một điện thế:
)(

2


+
==
a
dbk
r
kdq
dV
.

L
aLa
L
a
d
ada
a
d
J
0
2
2
0 0
2
2
2
1ln.
2
)(












với mật độ điện tích dài tăng dần từ đầu A đến đầu B theo quy luật
0.
>=
Xb
λ
, với
constb
=
;
X
là biến số theo chiều dài.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M cách đầu A
của thanh đoạn a như HV.
HD:
Làm tương tự như bài 2 dạng III và bài 1 dạng IV ta được kết quả
sau:





−=






−
−

sin
La
a
La
L
α
α
B2:
Một thanh mảnh thẳng AB đặt trong không khí, chiều dài L tích điện
với mật độ điện tích dài tăng dần từ đầu A đến đầu B theo quy luật
0.
2
>= Xb
λ
, với
constb
=
;
X
là biến số theo chiều dài.
Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M cách đầu A
của thanh đoạn a như HV.
HD:
Làm tương tự như bài 2 dạng III và bài 1 dạng IV ta được kết quả sau:









+
=
+
=
22
22
cos
sin
La
a
La
L
α
α
B – BÀI TẬP VỀ MẶT TÍCH ĐIỆN
Bài 1:
Xác định cường độ điện trường và điện thế tại một điểm M nằm trên trục của
một đĩa tròn bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích mặt là
0>
σ
.
Bài giải:
- Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng vòng tròn như hình vẽ.
- Xét một phần tử diện tích ds bất kì, trong đó
drrrdds 2).(
2
ππ
==

+
==
πσ
16
A
B
a
M
λ
X
Y
O
A
B
a
M
λ
X
Y
O
O
R
Z
M
q
dE
z
ds
R
r

∫∫
2
0
2/322
1
1
12
)(
2
Z
R
kdr
Zr
r
kZdEE
R
S
πσπσ
* Tính điện thế tại M.
- Phần tử điện tích dq xét trên gây ra tại M một điện thế
2222
2.
zr
drrk
zr
kdq
dV
+
=
+

2
2
1
11
1
1






−≈














+=



2
→






+
Z
R

0
2
2
ε
σ
πσ
==⇒ kE
⇒
đĩa trong trường hợp này có thể coi như
mặt phẳng rộng vô hạn, tích điện đều.
- Nếu
RZ >>

⇒
0
22
=⇒≈+ VZZR
(điểm đang xét ở rất xa đĩa nên điện thế do đĩa gây ra tại đó

/
R
tích điện đều với mật độ điện tích mặt là
σ
−
.
Gọi
−+
EE ;
lần lượt là độ lớn cường độ điện trường do từng đĩa gây ra tại M.
Áp dụng kết quả bài 1 phần mặt tích điện ta có:
































+
−=
−
+
2
/
2
1
1
12
1
1
12
Z
R
kE
Z
R










+
−








+
=−=
−+
22
/
1
1
1
1
.2
Z

drrk
dVV
R
R
S
+−+=
+
==
∫∫
σπ
πσ
Bài 3:
Có hai mặt phẳng có dạng bán nguyệt giống hệt nhau bán kính
R đặt trong không khí. Hai mặt tích điện đều với mật độ điện
tích mặt lần lượt là
0
>
σ
và
σ
−
. Ghép hai mặt bán nguyệt lại
với nhau thành một mặt tròn tâm O bán kính R. Lấy trục OZ đi
qua tâm mặt tròn và vuông góc với mặt tròn. Xắc định cường độ
điện trường và điện thế tại điểm M nằm trên trục OZ, giả sử
không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai mặt bán
nguyệt lại với nhau.
Bài giải:
- Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng hình tròn như hình vẽ.
(*) Nhận xét:

.
.
2
.
2
2
σπ
π
σ
π
σ
=⇒=⇒=
(2)
- Từ (1)(2)
2/322
2
)(
4
zr
drrk
dE
+
=⇒
σ
⇒
Cường độ điện trường do cả đĩa trên gây ra tại M cũng sẽ vuông góc với trục OZ, chiều hướng về phía
mặt nhiễm điện tích âm, độ lớn:
∫∫
+
==

+
=
18
O
R
Z
M
σ
σ
−
dE
z
ds
O
M
dq
σ
σ
−
Z
RZR
Zr
dr
dr
Zr
Zr
I
rZr
R
RR

2/322
2
2
)(
Đặt
t
dtZ
drtgtZr
2
cos
.
. =⇒=
⇒
)sin(.cos
0
2
Z
R
arctgdttI
Z
R
arctg
==
∫







Bài giải:
+ Chia chỏm cầu thành nhiều phần tử nhỏ có chiều dài dL như HV.
+ Xét một phần tử nhỏ có diện tích dS bất kì, phần tử này cách O đoạn là z, vị trí của phần tử này được
xác dịnh bởi góc φ như hình vẽ.
+ Do dL rất nhỏ nên:
dLrdS 2
π
=
(1)
Theo hình vẽ có:





=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
cos
.
sin
Rz
dRdL
Rr
(2)
Từ (1)(2)
ϕϕπ

Cường độ điện trường do cả chỏm cầu gây ra tại O là:
19
R
O
α
2
σ
dE
O
z
N
z
dS
r
R
φ
dL
φ
dφ
r
R
O
N
z
2
)2cos1(
.
2
.2sin
2cos

=⇒
E
phù hợp với thực tế (cường độ điện trường
bên trong vật dẫn bằng 0).
+ Nếu
πα
=2
ứng với bán cầu rỗng
πσ
kE =⇒
.
Bài tập tự luyện
Bài 1:
Mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích mặt
σ
đặt ngoài không khí. Mặt phẳng trên bị
khoét đi một phần, phần bị khoét có dạng một hình tròn bán kính R. Gọi OZ là trục đi qua tâm hình tròn
bị khoét, OZ vuông với mặt phẳng tích điện rộng vô hạn. Xắc định cường độ điện trường tại M nằm trên
trục OZ cách O đoạn là Z.
HD:
Sử dụng kết quả bài 1 và phần nhận xét của bài 1 phần mặt tích điện và nguyên lí chồng chất điện trường
cách làm giống như bài 2 phần mặt tích điện.
2
2
2
2
1
2
1
1

2
α

và
1
22
απ
−
. Các chỏm cầu được tích điện với mật độ điện tích mặt lần lượt là
0;0
21
>>
σσ
. Ghép hai
chỏm cầu lại với nhau thành một quả cầu, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép. Xắc định
cường độ điện trường tại tâm O của quả cầu nói trên.
HD:
Sử dụng kết quả bài 4 phần mặt tích điện và nguyên lí chồng chất điện trường.
)2cos1()2cos1(
2
221121
ασασ
π
−−−=−=
k
EEE
; với
12
222
απα