Sở
gdđt quảng bình
TR
ƯờNG THPT Số 1 Bố TRạCH
-
SáNG KIếN KINH NGHIệM
Đề TàI
ứng dụng tích phân
để giải các bài toán tổ hợp
Giáo viên thực hiện:
N
guyễn Hữu Quyết
Tổ:
Toán
Năm học:
20
12-2013
B
Trch, thỏng 4 nm 2013
1
M
ỤC LỤC
Trang
PHẦN MỞ ĐẦU 2
1. Lí do chọn đề tài 2
2.
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong
những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện
trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều. Trong nội dung này
có một số bài toán ứng dụng tích phân để giải quyết. Tuy nhiên, tích phân được học
ở trong chương trình lớp 12, còn tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11. Hệ
thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các
bài toán tổ hợp thì không được trình bày, học sinh không được rèn luyện kỹ năng
này trên lớp. Do đó, khi gặp bài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, học sinh
phần lớn không làm được.
Nhằm giúp học sinh vận dụng được tích phân để giải các bài toán tổ hợp,
chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới, tôi chọn đề
tài “Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm
của mình.
2.
Đ
ối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứ
u
- Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình.
- Các bài toán của Đại số tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết.
3.
Ph
ương pháp nghiên cứ
u
Trong
quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, cấu
trúc đề thi tuyển vào Đại học và Cao đẳng của mỗi năm, phân tích kỹ đối tượng học
N
hận xét:
- Trong khai triển
n
a b
có
n + 1 số hạng.
- Tổng các số mũ trong mỗi số hạng của khai triển
n
a b
bằng n.
- Các hệ số của các số hạng có tính chất đối xứng:
k
n k
n
n
C C k , k n
n
0
n 1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 3 n n n
n
n n n n
a
b C a C a b C a b C a b ( 1) C b
2
)
n 0 1 2 3 n
n
n n n n
2
C C C C C
3
)
0
1 2 3 n n
n
n n n n
0 C C C C ( 1) C
4
Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức tích phân sau:
b
b
n
0 1 2 2 n n
n n n n
a a
b
b
n
1
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
a
a
1
) 1 x dx C C x C x C x dx
1 x
x x x
C x C C C
n 1 2 3 n 1
a a
b
b
n
1
2 3 n 1
n
0 1 2 n
n n n n
a
a
2)
1 x dx C C x C x 1 C x dx
1 x
x x x
C x C C 1 C
n 1 2 3 n 1
a
3) x 1 dx C x C x C x C dx
x
1
x x x
C C C C
n 1 n 1 n n 1
n n n n
a
a
x
1
x x x
C C C 1 C
n 1 n 1 n n 1
Ta
sẽ gọi hàm số
2
1 2 1 2 1
S
C C C C
2
3 n 1
(ĐH Khối B-2003)
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một
đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích
5
p
hân, các cận và số được thay vào cho biến. Vì số hạng cuối cùng có hệ số
n 1
2
1
n
1
nê
n ta biết cận từ 1 đến 2 và tổng không đan dấu nên ta sử dụng
n n n n n
1 1
1
x dx C C x C x C x C x dx
2
2
n
1
0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
1
1
n 1 n 1 2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
1
x
1 1 1
C x C x C x C x
n 1 2 3 n 1
3 2 2 1 2 1 2 1
C C C C
n
1 2 3 n 1
B
ài 2. Cho
*
n
.
Chứng minh rằng:
n
1
0 1 2 n
n n n n
1
1 1 2 1
C C C C
2
3 n 1 n 1
(ĐH
Sư phạm TPHCM Khối D-2000)
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân.
Tổng không đan dấu, ta sử dụng
n
0
0
1 x
2
1
1
x dx
n
1 n 1
(1)
1
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0
C
C x C x C x C x dx
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
n
1
0 1 2 n
n n n n
1
1 1 2 1
C
C C C
2
3 n 1 n 1
Bài 3. Cho
*
n
. Chứng minh rằng:
n
n
0
1 2 2 3 n n 1
2
n
0
1 x dx
Gi
ải
X
ét
n n
0
1 2 2 3 3 n n
n
n n n n
1 x C C x C x C x 1 C x
2
n 1
2
n
n
0
1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0
C
C x C x C x 1 C x dx
2
n
0 1 2 2 3 n n 1
n
n n n
0
1 1 1
C x C x C x 1 C x
2 3 n 1
7
B
ài 4. Cho
*
n
.
Chứng minh rằng:
n
1
2 3 n
n n n n
n-1 2 + 1
1
2 3 n
C + C + C + + C =
2 3 4 n +1 n+ 1
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số
hạng cuối cùng có hệ số
n
n
1
nên ta không thể nghĩ ra ngay một hàm số nào đó để
3 4 n+1
.
Từ
đó, ta sử dụng
2
n
n
1
2
1 x dx
Gi
ải
C
ách 1: Xét số hạng tổng quát trong vế trái
k
k
n
n
k
=
n
n+1
1
n
n
n
0
n-1 2 +1
2
-1
2 - 1+x dx=2 - =
n+1 n+1
Cách 2: Xét
n
0
1 2 2 3 3 n n
n
n n n n
1+
x =C +C x+C x +C x + +C x
L
ấy đạo hàm hai vế ta được:
1
n
+1 n
n
n+1 n
0
1+x 1+x n-1 2 +1
n
=
n - = 2 -1 - 2 -1 = (5)
n+1 n n+1 n+1
1
1 2 3 2 n n-1 1 2 3 n
n
n n n n n n n
0
1 2 3 n
C +2C x+3C x + +nC x dx= C + C + C + + C
2
3 4 n+1
(
2
4 6 2n 2n 1
(ĐH khối A - 2007)
Giải
Xét các khai triển
2n
0
1 2 2 3 3 2n 2n
2
n 2n 2n 2n 2n
1
x C C x C x C x C x
(7)
2n
0
1 2 2 3 3 2n 2n
n
2n 2n 2n 2n
1
Su
y ra
2
n 2n
1 1
1 3 3 2n 1 2n 1
2n 2n 2n
0 0
1
x 1 x
dx C x C x C x dx
2
1
2
n
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
1
1 1 1 2 1
C C C C
2 4 6 2n 2n 1
N
hận xét: Nếu phải tính tổng
0
2 4 2n
2n 2n 2n 2n
1 1 1
C
+ C + C + + C
3
5 2n+1
thì ta xét
thì ta lại xét
0
2 3 2n 2n+1
2
n 2n 2n
Q
x =x.P x =C x+C x + +C x
9
Sau
đó tính tích phân
1
0
Q
x dx
.
Ta sẽ gặp dạng này ở phần tiếp theo.
Bài 6. Cho
*
n
.
Chứng minh rằng:
1
2
n 1
1
2
n 1
2n
1
1
1
x
2
1 x dx
2
n 1 n 1
0
2 4 2n
2
n 2n 2n 2n
2
2 2
2
C C C C
3
5 2n 1
(10)
Từ (9) và (10) suy ra
2
n 1
0
2 4 2n
2n 2n 2n 2n
2
b) Chứng minh rằng:
n
1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2 1
C
C C C
3
6 9 3(n 1) 3(n 1)
(ĐH Mở Hà Nội - 1999)
Giải10
a) Đặt
3
2
dt
t
1 x x dx
3
(11)
b) Xét
1
2
0 1 3 2 6 3 9 n 3n
n n n n n
0
I
x C C x C x C x C x dx
1
0
2 1 5 3 8 5 11 n 3n 2
n n n n n
0
C
x C x C x C x C x dx
3 6 9 3(n 1)
(12)
Từ (11) và (12) suy ra
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2 1
C C C C
3 6 9 3(n 1) 3(n 1)
B
ài 2. Cho
*
n
.
a) Tính tíc
h phân
1
n
2
Đ
ổi cận
x
0 t 1
;
x
1 t 0
K
hi đó,
1
0
n
1
n
1
0
1
1 t 1
I
t dx
2
2 n 1 2(n 1)
1
n
0
1 3 2 5 3 7 n 2n 1
n n n n n
0
C
x C x C x C x 1 C x dx
1
0
2 1 4 1 6 1 2n 2
n n n n
0
1
1 1 1
C x C x C x C x
2 4 6 2n 2
- C + C - C + + C =
2
4 6 8 2(n+1) 2(n+1)
Bài 3. Cho
*
n
.
a) Tính tích phân
1
n
2
n
0
I
= 1-x dx
b) Chứng minh rằng:
n
1 2 3 n
n n n n
-
1
1
n
n 1
2 2 2
n
0
0
1 1
n 1 n 1
2 2 2
0 0
n 1 n
n
n 1
I x 1 x 2nx 1 x dx
2
n 1 x dx- 1-x 1 x dx
2n I I
I
2n
I 2n 1
n
n 1 1
n 1 n 2 0
2 n 1 2n !!
I
I I 2n 2
. .
I
I I 2n 1 2n 1 3 2n 1 !!
Su
y ra
n 0
2n !! 2n !!
I I
2n 1 !! 2n 1 !!
1 3 2 5 3 7 n 2n 1
n n n n n
0
n
1 2 3 n
n n n n
1 1 1 1
C x C x C x C x 1 C x
3 5 7 2n 1
-1
1 1 1
1- C + C - C + + C (16)
3
5 7 2n+1
Từ
(15) và (16) suy ra
2
thì ta
phải nhân thêm x vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân, còn nếu là
k
n
1
C
k
+3
thì
ta phải nhân thêm x
2
vào
hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân,…
Bài 1. Cho
*
n
.
Chứng minh rằng:
n
1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 n2 1
C C C C
2
X
ét
n
0
1 2 2 3 3 n n
n
n n n n
x
1 x x C C x C x C x C x
1
1 1
n n 1 n
0 0 0
1
n
2 n 1
0
x 1 x dx 1 x dx 1 x dx
1
7
n
2 n 1 n 1 n 2
1
1
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
1
0 1 2 2 3 3 4 n n 1
n n n n n
0
x 1 x dx x C C x C x C x C x dx
C
x C x C x C x C x dx
(18)
Từ (17) và (18) suy ra
n
1
0 1 2 n
n n n n
1
1 1 1 n2 1
C C C C
2
3 4 n 2 n 1 n 2
B
ài 2. Cho
*
n
.
Chứng minh rằng:
.
Giải
Xét
n
n
0 1 2 2 3 3 n n
n
n n n n
x 1 x x C C x C x C x 1 C x
Đặt
u
1 x du dx
Đổi cận
x
0 u 1
;
x
1 u 0
1
1 1
19
n
1 n 2 n 1 n 2
14
1
1
n n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
n
0
1 2 n
n
n n n
1
1 1 1
C
C C 1 C
2 3 4 n 2
(20)
Từ (19) và (20) suy ra
n
0
HD
: Vì tổng đan dấu và hệ số
1
n 1
g
ắn với
n
n
C
n
ên sử dụng
1
n
0
1
x dx
B
ài 2. Cho
*
n
n
0
x
1 dx
B
ài 3. Cho
*
n
.
Chứng minh rằng:
n
1
0 1 2 2 3 n n n 1
n n n n
1
1 1 3 1
2C
C 2 C 2 C 2
2
3 n 1 n 1
0
n
2
0
x
1 x dx
B
ài 5. Chứng minh rằng:
a)
n+1
n+1
n
n
k
k k 1
n
n
k=0
k=0
1+
e
1 2 1
+
C + C e
n+1 k+1 n+1 k+1
ài 6. Đặt
n
1
1 1 1
S
1
2
3 4 n
.
Chứng minh rằng:
a)
n
1
1
2 3 4 n
n
n n n n n
1
1 1 1
S
C C C C 1 C
2
3 4 n
n
1 .C
1.
C 2.C 3.C
S
A A A A
,
biết
0
1 2
n n n
C C C 211
HD
: Phân tích
0
1 2 3 n 1 2 n
n n n n n n n n
1 1 1
S
C C C C C C C C
2
3 n 1
phân và trình bày lời cho bài toán đặt ra.
2.
K
ết quả thực ngh
iệm
Sáng kiế
n được áp dụng trong năm học 2012-2013.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả
thi và hiệu quả của đề tài.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại lớp 12A1, 12A2, 12A3, trường
THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình.
+ Lớp 12A1 ( 46 học sinh), 12A2( 44 học sinh), được áp dụng sáng kiến.
+ Lớp 12A3 ( 46 học sinh) không áp dụng sáng kiến.
Sau khi dạy thực nghiệm cho lớp 12A1, 12A2, còn không dạy thực nghiệm ở
lớp 12A3, tôi cho cả 3 lớp làm bài kiểm tra.
Với kết quả như sau:
Sáng
kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com17
Xếp loại
Đối tượng
Giỏi Khá Tb Yếu Kém
12A1 10,9% 26,1% 34,8% 15,2% 13,0%
12A2 9,1% 22,7% 36,4% 18,2% 13,6%
12A3 0% 0% 13,6% 25,0% 61,4%
V
ì như đã nêu ở trên nên đa số các em lớp 12A3 làm không được, chỉ tính
được tích phân ở Bài 3. Còn lớp 12A1, 12A2, do các em đã được trang bị các kiến
n
n n n
1
1 1 1
S
C C C 1 C
n
3 n 2 n 1 3
B
ài 3. (4,0 điểm) Cho
*
n
.
a) Tí
nh tích phân
1
n
2
0
x
1 +x dx
guyên dương thỏa mãn
2 3 n 1
0 1 3 n
n n n n
2
2 2 6560
2C
C C C
2
3 n 1 n 1
18
H
ướng dẫn:
Bài 1. Sử dụng
1
20
13
1
1
x dx
à tính tích phân cả hai vế.
Ta
có thể rút gọn
1
2
và sử dụng
1
n
0
1 x dx
B
ài 4. Sử dụng
2
n
0
1 x dx
. K
ết quả: Hệ số cần tìm là
21
4
.
19
Copyright: Tài liệu đại học ©