. ĐT: 0974.810.957
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ CHU KỲ CON LẮC ĐƠN
KHI THAY ĐỔI CHIỀU DÀI VÀ GIA TỐC TRỌNG TRƯỜNG.
Bắt đầu từ năm học 2005- 2006 Bộ GD& ĐT quyết định chuyển từ
hình thức từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan trong các
kỳ thi quốc gia như thi Tốt Nghiệp và thi Tuyển sinh đại học đã yêu cầu
sự đổi mới mạnh mẽ về phương pháp dạy và học của giáo viên và học
sinh.
Thực tế, trong quá trình giảng dạy và ôn luyện thi tôi thấy việc
dạy học theo phương pháp trắc nghiệm khách quan đòi hỏi người giáo
viên phải nghiên cứu cả chiều sâu lẫn chiều rộng của kiến thức nhằm
giúp học sinh không những hiểu kỹ lý thuyết mà còn xây dựng được hệ
thống các công thức giải nhanh và tối ưu trong các câu hỏi trắc nghiệm
nhất là các câu hỏi định lượng để đạt được kết quả cao trong các kỳ thi.
Chương “ Dao động cơ” là chương mở đầu của chương trình chuẩn Vật
lý 12 và là chương có số câu trắc nghiệm chiếm tỷ lệ lớn trong cấu trúc
đề thi quốc gia. Vì vậy việc dạy và học của chương này ảnh hưởng rất
lớn đến quá trình học tập của học sinh đối với bộ môn. Và Bài toán về
chu kỳ con lắc đơn là một dạng bài phố biến và quan trọng của chương.
Để giúp cho việc dạy và học về dạng bài tập này được tốt, tạo điều
kiện cho học sinh có phương pháp nhanh để làm bài tập, trong chuyên
đề này tôi đã đưa ra một số dạng bài tập về sự thay đổi chu kỳ con lắc
đơn khi chiều dài và gia tốc trọng trường thay đổi. Hy vọng chuyên đề
này sẽ giúp ích cho quá trình dạy và học tập.
1
. ĐT: 0974.810.957
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1.Khái niệm con lắc đơn.
- Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi
dây mềm không dãn, khối lượng không đáng kể, dài l.
- Trong hệ quy chiếu quán tính, vị trí cân bằng của con lắc đơn là

– T
1
. Nếu:
+
∆
T> 0: T
2
> T
1
: Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm.
+
∆
T< 0: T
2
< T
1
:Chu kỳ giảm, đồng hồ chạy nhanh.
+
∆
T= 0. Chu kỳ không đổi, con lắc chạy đúng.
- Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian
τ
:
+ Thời gian biểu kiến con lắc chạy sai chỉ là:
1
'
nT=
τ
.
Với n là số chu kỳ con lắc chạy sai T

Nếu T
2
thay đổi không đáng kể so với T
1
thì:
1
T
T∆
≈
τθ
II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l.
1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép.
1.2/ Chu kỳ của con lắc vướng đinh .
1.3/ Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi
trường.
1.4/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một
lượng rất nhỏ
l
∆
Dạng 2: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo gia tốc trọng trường
g.
2.1/ Gia tốc g thay đổi theo độ cao.
2.2/ Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu.
2.3/ Thay đổi vị trí địa lí đặt con lắc.
Dạng 3: Thay đổi đồng thời cả chiều dài l và gia tốc trọng
trường g.
3.1/ Thay đổi nhiệt độ môi trường và thay đổi gia tốc
trọng trường g.
3.2/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một

1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép.
* Phương pháp:
- Viết công thức tính chu kỳ T theo chiều dài l
1
;l
2
:( giả sử l
2
>l
1
).
g
l
T
1
1
2
π
=
g
l
T
2
2
2
π
=
- Chu kỳ T của con lắc chiều dài l là
g
l

= 1,5s. Con lắc đơn chiều dài l
2
cũng dao động điều hoà tại
nơi đó với chu kỳ T
2
=0,9s. Tính chu kỳ của con lắc chiều dài l dao
động điều hoà ở nơi trên với:
l = l
1
+l
2
và l = l
1
- l
2

Hướng dẫn:
-Với l = l
1
+l
2
Sử dụng công thức
2
2
2
1
TTT +=
Thay số:
sT 75,19,05,1
22

l
T
π
2
1
=
và
g
l
T
'
2
2
π
=
Tỷ số:
9,0%90
'
1
2
===
l
l
T
T

ll 81,0
'
=⇒
Ví dụ 3:

6
1
2
1
2
==⇒
l
l
T
T

25
36
1
2
=⇒
l
l

12
25
36
ll =⇒
và l
2
= l
1
+44.
Giải hệ được: l = 100 cm.
1.2/Chu kỳ của con lắc vướng đinh .

2
2
π
=
.
Chu kỳ của con lắc là:
)(
2
1
2
1
2
1
2121
TTTTT +=+=
* Ví dụ:
Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m làm bằng thép
treo vào đầu một sợi dây mềm có khối lượng không đáng kể dài l = 1
m.Phía dưới điểm treo Q theo phương thẳng đứng của sợi dây có một
chiếc đinh được đóng vào điểm O
’
cách Q một đoạn O
’
Q = 50 cm sao
cho con lắc bị vấp phải đinh trong quá trình dao động điều hoà.
a/ Xác định chu kỳ dao động của quả cầu? cho gia tốc g = 9,8 m/s
2
b/Nếu không đóng đinh vào O
’
mà đặt tại vị trí cân bằng O một tấm

T 4,1
8,9
5,0
22
'
2
===
ππ
.
Chu kỳ của con lắc bị vướng đinh là:

)(
2
1
2
1
2
1
2121
TTTTT +=+=
= 1/2 (2+1,4) = 1,7 s
b/ Tấm thép đặt tai VTCB O: Vì va chạm giữa
quả cầu và tấm thép là hoàn toàn đàn hồi nên
khi quả cầu va chạm vào tấm thép nó sẽ bật
ngược lại với vận tốc có cùng độ lớn ngay
trước lúc va chạm và vật lại lên đúng vị trí cao
nhất A ( Vì cơ năng bảo toàn).
Vậy con lắc chỉ dao động trên cung OA nên
chu kỳ dao động là:
T = 1/2T

2
1
1(
6
2
−+=
−
T
= 2,00017 s
+ Chu kỳ T
2
>T nên đồng hồ chạy chậm.
7
O
A
O
A
. ĐT: 0974.810.957
Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm :
τ
= 24.60.60 s là:

t
T
T
∆=
∆
=
αττθ
2

∆
=
αττθ
2
1
1
= 7.24.3600.1/2.2.10
-5
.15 = 90,72 s.
Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh.
khi nhiệt độ môi trường tăng thêm 10
0
c thì trong 12 giờ con lắc chạy
chậm 30s. Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ chậm 45s thì nhiệt độ
môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không
thay đổi.
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức:
t
T
T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
Khi nhiệt độ tăng thêm30
0

thì chiều dài của dây được xác định
bởi:
).1(
12
tll ∆+=
α

với
12
ttt −=∆
: Là độ biến thiên nhiệt độ của môi trường;
α
: là hệ số nở dài của kim loại (Thường có giá trị rất nhỏ).
* Phương pháp:
+ Công thức tính chu kỳ T
1
; T
2
tương ứng với chiều dài l
1
, l
2
của
con lắc:
g
l
T
1
1
2

1
1
1
1
2
1
2

12
)
2
1
1( TtT ∆+=⇒
α
Và :
t
T
TT
T
T
∆=
−
=
∆
α
2
1
1
12
1

0
c.
Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 30
0
c ? ở 30
0
c đồng hồ
chạy nhanh hay chậm? Mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?
Hướng dẫn: + Sử dụng công thức:
12
)
2
1
1( TtT ∆+=
α
Thay số:
2)).2030(10.17
2
1
1(
6
2
−+=
−
T
= 2,00017 s
+ Chu kỳ T
2
>T nên đồng hồ chạy chậm.
Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm :

chạy như thế nào? Một tuần nó chay sai bao nhiêu?
Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc
giảm, đồng hồ chạy nhanh. Một tuần :
τ
= 7.24.60.60 s đồng hồ chạy
nhanh một thời gian:

t
T
T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
= 7.24.3600.1/2.2.10
-5
.15 = 90,72 s.
Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh.
khi nhiệt độ môi trường tăng thêm 10
0
c thì trong 12 giờ con lắc chạy
10
. ĐT: 0974.810.957
chậm 30s. Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ chậm 45s thì nhiệt độ
môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không
thay đổi.
Hướng dẫn:

45 3 / 4 11,25
2
t s t t c
θ α
= ∆ = ⇒ ∆ = ∆ =
1.4/Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hay thêm)
một lượng rất nhỏ ∆l
* Phương pháp:
+ Chu kỳ T theo chiều dài l
1
; l
2
:( giả sử l
2
= l
1
+
l
∆
).
g
l
T
1
1
2
π
=
g
l

+≈
∆
+=
∆+
==

Khi đó:
1
1
2
)
2
1
1( T
l
l
T
∆
+≈
Và:
11
12
1
2
1
l
l
T
TT
T

Một con lắc đếm giây có chu kỳ chạy đúng T = 2 s. Người ta thay đổi
một lượng nhỏ chiều dài con lắc thì thấy mỗi ngày nó chạy nhanh 90s.
Hỏi chiều dài đã thay đổi một lượng bằng bao nhiêu chiều dài ban
đầu,biết gia tốc trọng trường của con lắc không thay đổi.
Hướng dẫn: Vì đồng hồ chạy nhanh (chu kỳ giảm) và gia tốc trọng
trường g không thay đổi nên chiều dài con lắc phải giảm.
Sử dụng công thức:
90
2
1
.3600.24
2
1
111
=
∆
=
∆
=
∆
=
l
l
l
l
T
T
ττθ

=

R
M
.
12
. ĐT: 0974.810.957
Chu kỳ
g
l
T
π
2
1
=
Tại độ cao h so với mặt đất ( h rất nhỏ so với R):
g
’
= G
2
)( hR
M
+
. Khi đó
'
2
2
g
l
T
π
=

* Nhận xét: Đưa con lắc lên cao chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy
chậm. Thời gian con lắc đồng hồ chạy chậm sau khoảng thời gian
τ
:

R
h
T
T
ττθ
=
∆
=
1

* Ví dụ 1:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T =2s.
Đưa con lắc lên độ cao h=1km so với mặt đất và coi như nhiệt độ ở độ
cao đó không đôi so với mặt đất.
a/ Xác định chu kỳ của con lắc tại độ cao đó? Cho bán kính trái đất R=
6370 km.
b/ Tại độ cao h con lắc chạy nhanh hay chậm , mỗi ngày chạy sai bao
nhiêu?
Hướng dẫn:
a/Chu kỳ của đồng hồ ở độ cao h:
12
)1( T
R
h
T +=

Hướng dẫn: + Tại mặt đất chu kỳ T = 4s. Lên độ cao h chu kỳ T
’
và
có:

∆
T = T
’
- T = 0,2% T
002,0=
∆
⇒
T
T
+ áp dụng công thức:
R
h
T
T
=
∆

002,0=⇒
R
h

kmRh 8,12002,0 ==⇒
2.2/ Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu.
*Phương pháp:
+ Tại mặt đất lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên vật:

'
2
3
2
'
2
'
'
)(
3
4
.
.

mg
R
mhR
G
R
mV
G
R
mM
GF =
−
===
πρ
ρ
Khi đó chu kỳ
'

. ĐT: 0974.810.957
12
)
2
1( T
R
h
T +=⇒

R
h
T
T
2
=
∆
⇒
* Nhận xét: Đưa con lắc xuống sâu trong lòng đất chu kỳ của con
lắc tăng lên, đồng hồ chạy chậm.
Thời gian đồng hồ quả lắc chạy chậm sau khoảng thời gian
τ
:
R
h
T
T
2
1
ττθ
=

b/ Sau một tuần thì đồng hồ chạy sai bao nhiêu thời gian? Coi trái đất
hình cầu đồng chât bán kính R = 6400km.
Giải:
15
. ĐT: 0974.810.957
a/ Gọi chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T
1
; chu kỳ ở độ cao h và ở
hầm mỏ là T
2
và T
2
’
.
⇒
T
2
= T
2
’

11
T
T
T
T ∆
=
∆
⇒
b/ Thời gian đồng hồ chạy chậm sau 1 tuần :

1
+
g∆
)
thì chu kỳ con lắc lần lượt là:
1
1
2
g
l
T
π
=
và
2
2
2
g
l
T
π
=
11
1
2
1
1
2
2
1

11
2g
g
T
T ∆
−=
∆
⇒
+ Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian
τ
:
11
2g
g
T
T
∆
=
∆
=
ττθ
*Ví dụ 1.
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội (T = 2s). Đưa con lắc
vào Hồ Chí Minh giả sử nhiệt độ không thay đổi, Biết gia tốc ở Hà Nội
và Hồ Chí Minh lần lượt là: g
1
= 9,793m/s
2
và g
2

)
2
1( T
g
g
T
∆
−=
Thay số T
2
= 2,006 s.
b/ Chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian con lắc chạy chậm
trong một ngày đêm:
s
g
g
T
T
23,13
793,9.2
006,0
.3600.12
2
11
==
∆
=
∆
=
ττθ

3.1/Thay đổi nhiệt độ môi trường và thay đổi gia tốc trọng
trường g.
Trường hợp 1: Gia tốc g thay đổi theo độ cao hoặc độ sâu.
*Phương pháp:
17
. ĐT: 0974.810.957
+ Tại mặt đất (nhiệt độ t
1
) chu kỳ con lắc :
g
l
T
1
1
2
π
=

+ Tại độ cao h so với mặt đất (nhiệt độ t
2
) chu kỳ là:
'
2
2
2
g
l
T
π
=

2
1
1( T
R
h
tT +∆+=⇒
α

R
h
t
T
T
+∆=
∆
⇒
α
2
1
1
Với
12
ttt
−=∆
+ Nếu con lắc ở độ sâu h trong lòng đất thì:
R
h
t
T
T

+ Thời gian con lắc chạy sai sau khoảng thời gian
τ
:
Độ cao h:
)
2
1
(
1
R
h
t
T
T
+∆=
∆
=
αττθ

Độ sâu h:
)
22
1
(
1
R
h
t
T
T

2
1
45
1
>=+−−=+∆=
∆
−−
R
h
t
T
T
α
Vậy đồng hồ chạy chậm.
Thời gian chạy chậm sau một ngày đêm:
s
R
h
t
T
T
87,1910.3,2.3600.24)
2
1
(
4
1
==+∆=
∆
=

R
h
T
T
75,141
6400
5,1
.3600.24.7
1
===
∆
=
ττθ
19
. ĐT: 0974.810.957
b/ ở độ cao h =1,5km, nhiệt độ t
2
. Muốn chu kỳ con lắc không thay đổi
( vẫn là T)
00
1
=
∆
⇒=∆⇒
T
T
T
.
Vận dụng công thức:
0

h
tt
Ví dụ 3:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T
0
ở nhiệt
độ t
1
. Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là
α
= 4.10
-5
K
-1
.
a/ Tại mặt đất nếu nhiệt độ của môi trường tăng thêm 30
0
c thì chu kỳ
của con lắc sẽ tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với lúc đầu?
b/ Đưa đồng hồ lên độ cao h so với mặt đất, nhiệt độ giảm 25
0
c. Muốn
đồng hồ vẫn chạy đúng thì h bằng bao nhiêu?
c/ Người ta đưa đồng hồ trên xuống hầm mỏ sâu 400m so với mặt đất,
nhiệt độ dưới hầm thấp hơn nhiệt độ trên mặt đất 15
0
c, hỏi đồng hồ chạy
thế nào? mỗi ngày đồng hồ chạy sai bao nhiêu?
Cho biết bán kính trái đất R = 6370km.
Hướng dẫn:

2
1
0

Muốn chu kỳ con lắc không thay đổi thì
0
2
1
0 =+∆⇒=∆
R
h
tT
α

km
tR
h 18,3
2
)25.(10.4.6370
2
5
=
−
−=
∆
−=⇒
−
α
c/ Khi đưa con lắc xuống độ sâu h so với mặt đất sự biến thiên chu kỳ
của con lắc thay đổi tính theo công thức:

T
T
20,23
6370.2
4,0
)15(10.4.
2
1
.3600.24)
22
1
(
5
0
=+−=+∆=
∆
=
−
αττθ
Trường hợp2: Gia tốc g thay đổi theo vị độ địa lí.
* Phương pháp:
+ Chiều dài con lắc phụ thuộc vào nhiệt độ: l
2
= l
1
(1+
t
∆
α
)

t
g
g
l
l
T
T
∆
−∆+≈
∆+
∆+==
αα
11
2
1
2
1
g
g
t
T
T ∆
−∆≈
∆
⇒
α
+ Thời gian đồng hồ quả lắc chạy sai sau một thời gian
τ
:
)

nhau là bao nhiêu? Cho hệ số nở dài của thanh treo là 2.10
-5
K
-1
Hướng dẫn:
a/ Khi đưa đồng hồ từ Hà Nội vào Hồ Chí Minh thì chu kỳ dao động
của quả lắc đồng hồ chịu ảnh hưởng đồng thời của nhiệt độ và gia tốc g
do thay đổi vĩ độ.
Vận dụng công thức:
)
2
1
2
1
(
11
g
g
t
T
T
∆
−∆≈
∆
=
αττθ
Vì đồng hồ chạy chậm mỗi ngày 34,56s nên:
56,34)
2
1

2
1
2
1
−
−∆=
∆
t
g
g
α
445
1
10.610.810.10.2
−−−
−=−=
∆
⇒
g
g
4 2
2 1 1 2
6.10 9,787 /g g g g m s
−
⇒ − = − ⇒ =
b/ Gọi nhiệt độ ở Hà Nội: t
1
; HCM: t
2
; trong phòng ở HCM : t

tt
T
T
∆
−−+≈
α
Và T
2
’
= T
1
.
Giải hệ được: Nhiệt độ trong phòng và bên ngoài ở TP.HCM
chêch
lệch -25
0
c.
22
. ĐT: 0974.810.957

3.2/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm)
một lượng ∆l và thay đổi gia tốc g.
Trường hợp 1: g thay đổi khi thay đổi độ cao (hoặc độ sâu)
của con lắc.

* Phương pháp:
Chiều dài của con lắc tại mặt đất và ở độ cao h là: l
1
; l
2

l
T
T
=
+ Con lắc ở độ cao h:
R
h
l
l
R
h
l
l
g
g
l
l
T
T
+
∆
+≈+
∆
+==
11
'
1
2
1
2

∆
=
∆
⇒
+Với con lắc đồng hồ, thời gian chạy sai sau khoảng thời gian
τ
:
Độ cao h:
)
2
1
(
1
R
h
l
l
T
T
+
∆
=
∆
=
ττθ
Độ sâu h:
)
22
1
(

ggg −=∆⇒
)
111
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
g
g
l
l
gg
g
l
ll
g
g
l
l
T

2
1
g
g
l
l
T
T ∆
−
∆
≈
∆
+Thời gian đồng hồ quả lắc chạy sai sau một thời gian
τ
:
)
2
1
2
1
(
111
g
g
l
l
T
T
∆
−

Vận dụng công thức:
R
h
l
l
T
T
+
∆
=
∆
⇒
11
2
1
.
0
2
R l
T h
l
∆
⇒ ∆ = ⇒ ≈
Thay số h=3,2km.
Ví dụ 2:
24
. ĐT: 0974.810.957
Một con lắc đơn dao động điều hoà có chu kỳ T= 1 s tại Hà Nội có gia
tốc trọng trường là g
1

1
−
−=
−
−=
∆
−≈
∆
g
g
T
T
0
'
TTT −=∆⇒
. Vậy chu kỳ tại Pa-ri giảm.

%092,010.2,9
4
==
∆
−
T
T
b/ Để tại Pa-ri chu kỳ con lắc vẫn là 1s thì
0
=∆
T
.
Vận dụng công thức:

T
T
Vậy chiều dài phải tăng thêm 0,18% chiều dài ban đầu.
Ví dụ 3: Đưa một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao h=9,6km. Biết bán
kính trái đất R=6400km, coi chiều dài của con lắc đơn không phụ thuộc
vào nhiệt độ. Muốn chu kỳ của con lắc đơn không thay đổi thì chiều dài
của con lắc phải thay đổi thế nào?
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức sự biến đổi chu kỳ theo độ cao và theo nhiệt
độ:
1
. .
2
T h
t
T R
α
∆
= + ∆
Vì chu kỳ không thay đổi nên
25