BM ST TON 10 1
Tun 10,11,12 T CH VO H NG CA HAI VECTO

Phơng pháp 1
Sử dụng định nghĩa : đa hai véc tơ
a
r
và
b
r
về cùng gốc để xác định góc (
a
r
,
b
r
) rồi tính
a
r
.
b
r
=
a
r
.
b
r
cos(
a
r

uuur
.
Phơng pháp 4
Sử dụng biểu thức tọa độ.
Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC tại A,Â= 120 , AB=AC=a, I là tâm đờng tròn nội tiếp . a)
tính
A B
uuur
.
CA
uur
;
A B
uuur
.
IH
uur
; b)tính
A B
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur
+

BC=2BH=2ABsin60=
3a
I

B H C
áp dụng công thức: IH=
2
sin 120
2(2 3)
A B C
S
a
r
p
a a
= =
+
o
V
=
2
3
4 (2 3)
a
a +

Vậy
A B
uuur
.

uuur
+
BC
uuur
+
CA
uur
)
2
=0
AB
2
+BC
2
+CA
2
+2(
A B
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur
+
CA

uuur
.
A C
uuur
theo a, b, c.
suy ra
A B
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur
+
CA
uur
.
A B
uuur
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính độ dài AG và cos(
A G
uuur
,
BC
uuur
)

uuur
=
2 2 2
1
( )
2
A C A B BC+ -
=
1
2
(b
2
+c
2
-a
2
) (1) Ghi nhớ công thức (1)
b) Từ (1) :
CA
uur
.
A B
uuur
=
1
2
(a
2
-b
2

CA
uur
=
1
2
(c
2
-a
2
-b
2
)

A B
uuur
.
BC
uuur
+
A B
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur

(a
2
+b
2
+c
2
)
Chú ý : có thể làm theo cách nh ví dụ 1 (Câu b)
c)
A G
uuur
=
1
3
(
A B
uuur
+
A C
uuur
) ; AG
2
=
A G
uuur
2
=
1
9
(

2
-
a
2
)
=
1
9
(2b
2
+2c
2
-a
2
) AG=
1
3
2 2 2
2 2b c a+ -
.
Cos(
A G
uuur
,
BC
uuur
)=
.
.
A G BC

2
) (2)
Thay (2) vào (1) : Cos(
A G
uuur
,
BC
uuur
)=
2 2
2 2 2
. 2 2
b c
a b c a
-
+ -
Ví dụ 3 : Cho hình thang vuôngABCD, đờng cao AB=2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ
AD= a.
Tính các tích vô hớng
A B
uuur
.
CD
uuur
,
BD
uuur
.
BC
uuur

CD
uuur
=
A B
uuur
.
BA
uuur
=-
A B
uuur
2
=-4a
2

BD
uuur
.
BC
uuur
=
BH
uuur
.
BC
uuur
=a.3a=3a
2
=-4a
2
+3a
2
=-a
2
b)
A I
uur
.
BD
uuur
=
1
2
(
A D
uuur
+
A C
uuur
).(
A D
uuur
-
A B
uuur
) =
1
2

. . 4
A D a A D A B
A C A D A K A D a
A C A B A B A B a
ỡ
ù
ù
= =
ù
ù
ù
ù
= =
ớ
ù
ù
ù
= =
ù
ù
ù
ợ
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
Vậy
A I
uur
.
BD

rồi suy ra
A B
uuur
.
A C
uuur
và tính cosÂ; b) Tính
CA
uur
.
CB
uuur
c) Gọi I là trung điểm của AC. Tính
CI
uur
.
CB
uuur
3.Cho tam giác ABC có BC=4 , CA=3, AB=2.
a) Tính
A B
uuur
.
A C
uuur
suy ra cosÂ; b) G là trọng tâm tam giác ABC. Tính
A G
uuur
.
BC

5. Cho hình thang vuông ABCD có đờng cao AB, cạnh đáy AD=a, BC=2a.
Hãy tính AB trong các trờng hợp sau :
a)
A C
uuur
.
A B
uuur
=a
2
b)
A C
uuur
.
BD
uuur
=-a; c)
.IC ID
uur uur
=a
2
(I là trung điểm của AB)
6. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và B
với AD=2a , AB=BC =a.
a) Tính
A C
uuur
.
BD
uuur

. Tính
.a b
r
r
?
9.Cho tam giác ABC với BN vàCP là các trung tuyến.
Biết
BN
uuur
.
CP
uuur
=x ;
BN
uuur
.
CA
uur
=y ;
CP
uuur
.
A B
uuur
=z (x, y, z R) . Hãy tính 3 cạnh AB, BC, CA theo x, y, z.
10. Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 3a .
Lấy M, N, P lần lợt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM=a, CN=2a, AP=x
(0<x<3a) .
a) Tính
A M

2 0; 2IA IB J B JC+ = =
uur uur uur uuur
3. đs : a)
3
2
-
; cosÂ=
1
4
-
b)
A G
uuur
.
BC
uuur
=
5
3
c) =
2 2 2
1 29
( )
6 6
A B BC CA- + + = -
4. đs : a) BC=
19
; AM=
7
2

A C
uuur
.
BD
uuur
=(
A B
uuur
+
BC
uuur
)(
BA
uuur
+
A D
uuur
)=-
A B
uuur
2
+
BC
uuur
.
A D
uuur
=-
x
2

=-
2
a
2 2
x a+
Giải phơng trình ta đợc x=
3a
. Vậy AB=
3a
7. đs: AB=a, AC=
2a

8.đs :
.a b
r
r
=
1
2

9. Hớng dẫn giải :
phân tích
BN
uuur
=
BA
uuur
+
A N
uuur

CP
uuur
=x(-
A B
uuur
+
1
2
A C
uuur
).(
CA
uur
+
1
2
A B
uuur
)=x5
A B
uuur
.
A C
uuur
-2
A B
uuur
2
-2
A C

+2t=2z
Giải hệ
2 2
2
2
5 2 2 4
2 2
2 2
t c b x
b t y
c t z
ỡ
ù
- - =
ù
ù
ù
ù
- + =
ớ
ù
ù
ù
- + =
ù
ù
ợ

2
2

ù
= - -
ù
ù
ù
ù
= - -
ớ
ù
ù
ù
= - -
ù
ù
ợ
10.Giải : a) BM=a; BC=3a. Suy ra :

2 1
2 0 2( ) ( ) 0 2 3
3 3
MB MC A B A M A C A M AB AC A M A M A B A C+ = - + - = + = = +
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur
uuur uuuur
r r
b) AM PN
A M
uuuur
.
PN
uuur

3
x
a
A B
uuur
)=0 (2-
x
a
).
1
2
+9a
2
-18ax=0x=
4
5
a

Tun 13,14,15 Chứng minh một đẳng thức về tích vô hớng
Chứng minh hai véc tơ vuông góc
Thiết lập điều kiện vuông góc

Phơng pháp :
sử dụng 3 quy tắc nh ở vấn đề 1.
Về độ dài , chú ý rằng : AB
2
=
A B
uuur
2

=0
Gv: Trn Th Duyờn
A
H
B M C
A B
O
D C
BM ST TON 10 5
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC , G là trọng tâm , Chứng minh rằng :
a)
MA
uuur
.
BC
uuur
+
MB
uuur
.
CA
uur
+
MC
uuuur
.
A B
uuur
=0
b) MA

.(
MC
uuuur
-
MB
uuur
)=
MA
uuur
.
MC
uuuur
-
MA
uuur
.
MB
uuur
Tơng tự:
MB
uuur
.
CA
uur
=
MB
uuur
.
MA
uuur

2
=(
MG
uuuur
+
GA
uuur
)
2
=MG
2
+GA
2
+2
MG
uuuur
.
GA
uuur
Tơng tự MB
2
=MG
2
+GB
2
+2
MG
uuuur
.
GB

+MB
2
+MC
2
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng B
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC và H là trực tâm của tam giác.
Chứng minh rằng : a)
MH
uuuur
.
MA
uuur
=
1
4
BC
2
b) MA
2
+MH
2
=AH
2
+
1
2
BC
2
Giải :
a) Ta có : 4

.
CA
uur
=
=2(
MC
uuuur
+
CH
uuur
).
BA
uuur
+2(
MB
uuur
+
BH
uuur
)
CA
uur
=2
MC
uuuur
.
BA
uuur
+2
MB

-
MA
uuur
)
2
=MH
2
+MA
2
-2
MH
uuuur
.
MA
uuur
=MH
2
+MA
2
-
1
2
BC
2
MA
2
+MH
2
=AH
2

c) MA
2
+MC
2
=MB
2
+MD
2
Giải :
a ) Gọi O là giao điểm của AC và DB.
Ta có :
MA
uuur
+
MC
uuuur
=2
MO
uuur
;
MB
uuur
+
MD
uuur
=2
MO
uuur
Vậy
MA

uuur
+
OA
uuur
).(
MO
uuur
-
OA
uuur
)=MO
2
-OA
2
Gv: Trn Th Duyờn
A
E
D
O
B CBM ST TON 10 6

MB
uuur
.

c) Theo câu a) :
MA
uuur
+
MC
uuuur
=
MB
uuur
+
MD
uuur
(
MA
uuur
+
MC
uuuur
)
2
=(
MB
uuur
+
MD
uuur
)
2
MA
2

a) Chứng minh : 2
A C
uuur
.
BD
uuur
=AB
2
-BC
2
+CD
2
-DA
2
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đờng chéo vuông góc là :
AB
2
+CD
2
=BC
2
+DA
2
c) Chứng minh : AB
2
+BC
2
+CD
2
+DA

Chứng minh rằng OE vuông góc với CD.
4. Cho đờng tròn (O, R) .Chứng minh điều kiện cần và đủ
để AM là tiếp tuyến với đờng tròn tại M là:
OA
uuur
.
OM
uuur
=R
2
5. Cho hai điểm N, M nằm trên đờng tròn tâm O,
đờng kính AB=2R. Gọi I là giao điểm
của hai đờng thẳng AM và BN .
a) chứng minh :
A M
uuuur
.
A I
uur
=
A B
uuur
.
A I
uur
;
BN
uuur
.
BI

2
4
BC
=
1
2
(AB
2
+AC
2
-BC
2
); b) AB
2
+AC
2
= 2AM
2
+
1
2
BC
2
c) AB
2
-AC
2
=2
A B
uuur

uuur
.
BC
uuur
+
CB
uuur
.
CD
uuur
+
DC
uuur
.
DA
uuur
= 0
Lời giải và đáp số :
3. Giải :
Gv: Trn Th Duyờn
A a B
h M
D C

A
N M
B N
BM ST TON 10 7
Ta chứng minh
OE

(
A C
uuur
+
A D
uuur
) (vì E là trọng tâm của tam giác ADC)

OE
uuur
.
CD
uuur
=[
1
3
(
A C
uuur
+
A D
uuur
)-
A O
uuur
].(
A D
uuur
-
A C

uuur
.
A C
uuur
(định lý hình chiếu, với F là trung điểm của AC bằng
1
2
AC
2
Và
A O
uuur
.
A D
uuur
=AD
2
(định lý hình chiếu) Vào (1) , ta đợc
OE
uuur
.
CD
uuur
=
1
6
(AC
2
- 4AD
2

uuur
=0
OM
uuur
.
A M
uuuur
=OM
2

OM
uuur
.
A M
uuuur
=R
2
5. Giải :
a)
A M
uuuur
là hình chiếu của
A B
uuur
trên đờng thẳng AI.
Vậy
A B
uuur
.
A I

.
A I
uur
+
BN
uuur
.
BI
uur
=
A B
uuur
.
A I
uur
+
BA
uuur
.
BI
uur
=
A B
uuur
.(
A I
uur
-
BI
uur

A C
uuur
.
A D
uuur
-
A C
uuur
.
A B
uuur
(1)
Mà
A C
uuur
.
AD
uuur
=
A D
uuur
.
A D
uuur
=h
2
Và
A C
uuur
.

uuur
.(
A B
uuur
+
A C
uuur
) = 0
BD
uuur
.
A B
uuur
+
BD
uuur
.
A C
uuur
= 0 (2)
Mà
BD
uuur
.
AB
uuur
=
BA
uuur
.

=0
1
2
(
BA
uuur
+
BC
uuur
).
1
2
(
CA
uur
+
CB
uuur
) =0

BA
uuur
.
CA
uur
+
BA
uuur
.
CB

CA
uur
-
CB
uuur
2
= 0

1
2
(AB
2
+AC
2
-BC
2
) -
1
2
(AB
2
+BC
2
-AC
2
)
1
2
(BC
2

B b C
A B
D C
BM ST TON 10 8
b) ab-
1
2
h
2
= 0
c)
1
2
h
2
-ab = 0
d) h
2
-2b
2
+ab = 0
10. Giải :

A B
uuur
.
A D
uuur
+
BA

CB
uuur
.
CD
uuur
+
DC
uuur
.
DA
uuur
) = 0

A B
uuur
.(
A D
uuur
-
BC
uuur
) -
DC
uuur
.(
A D
uuur
-
BC
uuur

Có thể sử dụng một trong các cách sau :
Đa đẳng thức cho trớc về dạng
MA
uuur
.
MB
uuur
=k( A, B :cố định; k : giá ttrị không đổi.)
Đa đẳng thức cho trớc về dạng
A M
uuuur
v
r
= 0 , trong đó A là điểm cố định và
v
r
là véctơ cố định.
Đa đẳng thức cho trớc về dạng AM
2
= k , trong đó A là điểm cố định và k là một số dơng không
đổi.
Ví dụ 1 : cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa :
a)
MA
uuur
.
MB
uuur
=k (k là giá trị cho trớc) . Biện luận.
b) MA

+
IA
uur
).(
MI
uuur
-
IA
uur
) =k
IM
2
-IA
2
=k IM
2
=
2
4
A B
+k
Biện luận : Nếu
2
4
A B
+k > 0 k >-
2
4
A B
:

.(
MA
uuur
+
MB
uuur
) = 0
MA
uuur
.
MI
uuur
= 0
tập hợp M là đờng tròn đờng tròn đờng kính AI.
Gv: Trn Th Duyờn
M
A I B

BM ST TON 10 9
c) 2MB
2
+
MB
uuur
.
MC
uuuur
=a
2


uuur
-
MK
uuuur
) +(
MC
uuuur
-
MK
uuuur
) =
0
r
(2
MB
uuur
+
MC
uuuur
) = 3
MK
uuuur
do đó : (1)
MB
uuur
.
MK
uuuur
=
2

0
r
KB =
3
a
Nên (1) MO
2
=
2
13
36
a
MO =
6
13a
.
Vậy tập hợp M là một đờng tròn tâm O, bán kính R=
6
13a
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M thỏa :
a)
A M
uuuur
.
BC
uuur
= k (k :số cho trớc ) b) (
MA
uuur
-

+BC
2
;
e) 3MA
2
-2MB
2
-MC
2
= 0
Giải :
a) Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của A và M lên BC.
áp dụng định lý hình chiếu , ta có :
A M
uuuur
.
BC
uuur
=
BCHK
=k

kBCHK =

BC
k
HK =
: giá trị không đổi.
Mà H cố định nên K cố định . Vậy tập hợp những điểm M
là một đờng thẳng vuông góc với BC tại K.

0IB IC+ =a b
uur uur r
(với +
ạ
0 ; B, C cố định) gọi là tâm tỷ cự của hai
điểm B, C ứng với hai hệ số , , trong đó +
ạ
0.( trong câu b) : =2, =-1)
c) MA
2
-MB
2
+CA
2
-CB
2
=0
(
MA
uuur
-
MB
uuur
).(
MA
uuur
+
MB
uuur
) +(

Vậy tập hợp M là một đờng thẳng qua J Và vuông góc với AB.
d)
MA
uuur
.
MB
uuur
-
MA
uuur
MC
=MC
2
-MB
2
+BC
2


MA
uuur
.
MB
uuur
-
MA
uuur
MC
+MB
2

MB
uuur
+
MC
).(
MB
uuur
-
MC
)=BC
2
(
MB
uuur
-
MC
).(
MA
uuur
+
MB
uuur
+
MC
) = BC
2
3
CB
uuur
.

2
= MO
2
+OA
2
+2
MO
uuur
.
OA
uuur
MB
2
=(
MO
uuur
+
OB
uuur
)
2
= MO
2
+OB
2
+2
MO
uuur
.
OB

uuur
.(3
OA
uuur
-2
OB
uuur
-
OC
uuur
)+
+3OA
2
-2OB
2
+OC
2
(1)
Mà OA=OB=OC=R3OA
2
-2OB
2
+OC
2
=0
Và 3
OA
uuur
-2
OB

2
-2MB
2
-MC
2
= 0 2
MO
uuur
.
v
r
=0
Vậy : tập hợp M là một đờng thẳng đi qua O và vuông góc với vec-tơ
v
r
.
Bài tập :
1. Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
a)
MB
uuur
.
MC
uuuur
-
MB
uuur
.
MG
uuur

uuuur
) = a
2
3. Cho đoạn thẳng AB=2a có I là trung điểm .
a) P là một điểm bất kỳ. Tính
PA
uuur
.
PB
uuur
theo PI và a.
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa
MA
uuur
.
MB
uuur
= a
2
4. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa :
A B
uuur
.
A M
uuuur
=
A B
uuur
.
A C

uuuur
=0; c)
MA
uuur
2
=
MB
uuur
.
MC
uuuur
6. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
a)
2 2
. . ( 0)MA MB k
a b a b
+ = + ạ
; b)
2 2 2
( 0)MA MB MC k
a b g a b g
+ + = + + ạ
7. Cho ABCD là hình bình hành . Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
Gv: Trn Th Duyờn
C
A d B
BM ST TON 10 11

1
2
IJ
2
(1)
10. Cho tam giác ABC . I là trung điểm của AB. J là điểm thỏa mãn:
JA
uur
+3
JB
uur
-2
JC
uur
=
0
r
a) Chứng minh BCIJ là hình bình hành.
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
MA
uuur
.
MC
uuuur
+3
MB
uuur
.
MC
uuuur

+
IA
uur
). (
PI
uur
+
IB
uur
)=(
PI
uur
+
IA
uur
).(
PI
uur
-
IA
uur
)=
2 2
PI a-
b) Sử dụng kết quả câu a) , ta tính đợc IM=a
2
.
Vậy tập hợp M là đờng tròn (I,R= a
2
)

2
=
MB
uuur
.
MC
uuuur

MA
uuur
2
=MI
2
-
2
4
BC

MI
uuur
2
-
MA
uuur
2
=
2
4
BC
(


B I C

C
A d B

BM ST TON 10 12

2
.
8
BC
IA JM =
uur uuur
. (1)
Gọi H là hình chiếu của M trên AI,thế thì : (1)
.IA JH
=
2
8
BC
JH=
2
8
BC
IA
(không đổi).H cố định.
Vậy tập hợp M là một đờng thẳng (d) đi qua H cố định và vuông góc với AI
6.Giải :
a) Gọi I là điểm xác định bởi hệ thức :

( ) .( )MA MB k MI k k MI k k
a b a b
a b
+ = + + = = -
+
Từ đó tập hợp M là ; là điểm I; hay là đờng tròn (I, R=
o
k k
a b
-
+
) tùy theo
0
k k
a b
-
+
nhỏ hơn, bằng hay lớn hơn 0
Chú ý :Giá trị k
0
có thể tính đợc theo , , AB bằng cách bình phơng vô hớng
biểu thức (1) dẫn đến kết quả : k
0
=
2
A B
ab
a b
+
b) Gọi I là điẻm xác định bởi hệ thức :

+ +
Vậy MI
2
=
0
1
( )k k
a b g
-
+ +
Do đó tập hợp M có thể ,{}, hoặc là đờng tròn (I, R=
0
k k
a b g
-
+ +
)
Tùy theo
0
k k
a b g
-
+ +
nhỏ hơn,bằng, hay lớn hơn 0.

7.H ớng dẫn giải :
Gv: Trn Th Duyờn
BM ST TON 10 13
Sử dụng kết quả bài tập 6, vấn đề 2 : MA
2

A C BD+
)
Tùy theo k
2
nhỏ hơn, bằng, hay lớn hơn AC
2
+BD
2
8.Giải :
Sử dụng định lý hình chiếu, đa (1) về dạng :
A I
uur
2
=
A B
uuur
.
A H
uuur
+
A C
uuur
.
A K
uuur
=
A B
uuur
.
A M

=2
A I
uur
.
0
A M
uuuur

2
0
2 .A I A I AM=

0
2
A I
A M =
M
0
là trung điểm của đoạn AI.
Vậy tập hợp M là một đoạn thẳng vuông góc với AI tại M
0
là trung điểm của AI
Và nằm trong tam giác ABC
9.Giải :
(1) 4
MA
uuur
.
MB
uuur

)
2
-(
MC
uuuur
-
MD
uuur
)
2
=2IJ
2
4MI
2
-AB
2
+4MJ
2
-CD
2
=2IJ
2
4MI
2
+4MJ
2
=AB
2
+CD
2

2
)-2IJ
2
=AB
2
+CD
2
4(MI
2
+MJ
2
) -2IJ
2
=AB
2
+CD
2
4.(2MO
2
+
1
2
IJ
2
) -2IJ
2
=AB
2
+CD
2

H M
0
M
B I C
B
I
A
O
D J C
A
J I
K

B C

BM ST TON 10 14
Bài 1: Cho tam giác ABC. Biết a=17,4;
à
à
0 0
44 30'; 64B C= =
. Tính góc A và các cạnh b,c của
tam giác đó.
Bài 2: Cho tam giác ABC biết a=49,4; b=26,4;
à
0
47 20'C =
. Tính hai góc B, C và cạnh c.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Biết a=24; b=13; c=15. Tính các góc A, B, C
Bài 4: Đờng dây cao thế nối thẳng tù vị trí A đến vị trí B dài 10km, từ vị trí A đến vị trí C dài