NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP
I. GIỚI THIỆU CƠ BẢN VỀ MÁY FX-500MS.
1. Các phím thông thường :
- Có 3 loại phím:
+ Phím màu trắng: bấm trực tiếp.
+ Phím màu vàng: bấm sau phím
IFTSH
+ Phím màu đỏ: bấm sau phím
ALPHA
- Các phím chức năng: (xem trong CATANO giới thiệu máy).
- Cài đặt cho máy:+ Ấn
MODE
nhiều lần để chọn các chức năng của máy.
+ Ấn
MODE

1
: Tính toán thông thường.
+ Ấn
MODE

2
: Tính toán với bài toán thống kê.
+ Ấn
MODE

MODE

1

2

3
: Giải phương trình bậc 3.
+ Ấn
IFTSH

CLR

1

=
: Xoá giá trị ở các ô nhớ A,B
+ Ấn
IFTSH

CLR

2

=
: Xoá cài đặt trước đó (ô nhớ vẫn còn)
+ Ấn
IFTSH

CLR

3

=
: Xoá tất cả cài đặt và các ô nhớ.
- Phép gán vào các ô nhớ:

A
(
ALPHA

A

=
): Kiểm tra giá trị của ô nhớ A.
Chú ý: Các ô nhớ A, B, C, D, E, F, X, Y, M là các biến nhớ mà khi gán giá trị mới vào thì giá trị
mới sẽ thay thế giá trị trước đó. Còn riêng ô nhớ M-ngoài chức năng trên-Nó còn là 1 số nhớ độc lập,
nghĩa là có thể thêm vào hoặc bớt ra ở ô nhớ này.
2. Cách SD phím
EXP
: Tính toán với các số dạng a.10
n
.
VD: 3.10
3
+ 4.10
5
= ?
Ấn phím:
3
x
EXP
3
+
4
x
EXP

3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
Cách ấn phím và ý nghĩa của từng lần ấn như sau:
3
=
Nhớ 3 vào phím
Ans
1
+
1
b
c
a
Ans
=
Máy thực hiện phép tính

1
An
+
được kq là
7
4
1
nhớ vào
Ans

=
Máy thực hiện phép tính
s
1
1
An
+
được kq là
11
7
1
nhớ vào
Ans

=
Máy thực hiện phép tính
s
1
1
An

=
một số lần nhất định ta sẽ nhận được kết quả của biểu
thức.
Phím
Ans
có tác dụng rất hữu hiệu với bài toán tính giá trị của biểu thức dạng phân số chồng như VD
trên.
II. SỬ DỤNG CASIO FX-500MS ĐỂ GIẢI TOÁN NHƯ THẾ NÀO?
1. Quy trình lặp cơ bản của máy FX-500MS.
Dòng lệnh 1.
Dòng lệnh 2.

Dòng lệnh 9.
8
IFTSHK
1 442 4 43
# # #
#
(Gọi các dòng lệnh để đưa vào quy trình)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ nhất)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 2 lần thứ nhất)

=
(Máy thực hiện dòng lệnh 9 lần thứ nhất)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ hai)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 2 lần thứ hai)

+
2
=
10
+
3
=
10
+
4
=
3
IFTSH
1 4 2 4 3
# # #
#

=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 1).
=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 2).
=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 3).
=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 4).
Lần
thứ nhất
=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 1).
=

1
IFTSH

STO

A
.(A tăng thêm 1, được 11 và 11 nhớ vào A)
DL2:
ALPHA
B
+
1
IFTSH

STO

B
.(B tăng thêm 1, được 101 và 101 nhớ vào B)
Lặp:
#

IFTSH
#
=
(A tăng thêm 1, được 12 và 12 nhớ vào A)
=
(B tăng thêm 1, được 102 và 102 nhớ vào B)
=
(A tăng thêm 1, được 13 và 13 nhớ vào A)
=

STO

A
.

100

IFTSH

STO

B
.

1000

IFTSH

STO

C
.
DL1:
ALPHA
A
+
1
IFTSH

STO

#
=
(A tăng thêm 1, được 12 và 12 nhớ vào A)
=
(B tăng thêm 1, được 102 và 102 nhớ vào B)
=
(C tăng thêm 1, được 1002 và 1002 nhớ vào C)
=
(A tăng thêm 1, được 13 và 13 nhớ vào A)
=
(B tăng thêm 1, được 103 và 103 nhớ vào B)
=
(C tăng thêm 1, được 1003 và 1003 nhớ vào C)

DẠNG I.CÁC BÀI TOÁN VỀ : “ PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH ”
Bài 1: Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16!.
Giải:
Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + + (17! – 16!)
S = 17! – 1!.
Không thể tính 17 bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình). Nên ta tính
theo cách sau: Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10
n
+ b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy
không bị tràn, cho kết quả chính xác.
Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120
Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 10
6
+ 208 . 10
2

= 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630
Tính trên giấy:
A
2
.10
10
4 9 3 8 1 7 2 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AB.10
5
1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0
AC.10
5
1 4 8 1 4 5 1 8 5 2 0 0 0 0 0
BC 3 7 0 3 6 2 9 6 3 0
M 4 9 3 8 4 4 4 4 4 3 2 0 9 8 2 9 6 3 0
b) Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có:
N = (X.10
4
+ X) (Y.10
4
+ Y) = XY.10
8
+ 2XY.10
4
+ XY
Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)
Kết quả:
M = 4938444443209829630.
N = 401481484254012.
Bài tập tương tự: Tính chính xác các phép tính sau:

VD1: Tìm thương và dư của phép chia (3
20
+1) cho (2
15
+1)?
Cách làm:
3
^
20
+
1
IFTSH

STO

A
:
2
^
15
+
1
IFTSH

STO

B
:
ALPHA
A

a) 983637955 cho 9604325 b)903566896235 cho 37869. c)1234567890987654321 : 123456
c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.
* Phép đồng dư:
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo
modun c ký hiệu
(mod )a b c
≡
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+

(mod )a a m
≡

(mod ) (mod )a b m b a m
≡ ⇔ ≡

(mod ); (mod ) (mod )a b m b c m a c m
≡ ≡ ⇒ ≡

(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m a c b d m
≡ ≡ ⇒ ± ≡ ±

(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m ac bd m
≡ ≡ ⇒⇒ ≡

(mod ) (mod )
n n
a b m a b m≡ ⇔ ≡
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 12
6
cho 19

≡ ≡
≡ ≡
Vậy
60
62
62.3 3
62.6 2
62.6 4
2004 416.536 1776(mod1975)
2004 1776.841 516(mod1975)
2004 513 1171(mod1975)
2004 1171 591(mod1975)
2004 591.231 246(mod1975)
+
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
Kết quả: Số dư của phép chia 2004
376
cho 1975 là 246
Bài tập thực hành: Tìm số dư của phép chia :
a) 13
8
cho 27 b)25
14
cho 65 c)1978
38
cho 3878. d)2005

STO

B
:
ALPHA
A
b
c
a
ALPHA
B

=

IFTSH
b
c
a
-Nếu kết quả là phân số
m
n
thì B:n = (được kết quả là ƯCLN(a,b))
-Nếu kết quả là số thập phân thì ta đi tìm số dư bằng cách
Lấy phần nguyên c của kết quả rồi lập biểu thức A – c.B → D
Bài toán trở về tìm ƯCLN(B,D).
Ta nhập vào máy biểu thức:
ALPHA
B
b
c

c
a
6
là một phân số thì chia mẫu cho mẫu sẽ được ƯCLN.
VD1: Tìm ƯCLN(44 505; 25 413)
Cách làm:
44505

IFTSH

STO

A
:

25413

IFTSH

STO

B
:
ALPHA
A
b
c
a
ALPHA
B

IFTSH

STO

A
:
4104184169

IFTSH

STO

B
:
ALPHA
A
b
c
a
ALPHA
B

=

IFTSH
b
c
a
Kết quả máy báo là một số thập phân 1,000815387
Ta đi tìm số dư: A – 1.B → A

c
a
Kết quả máy báo là một số thập phân 2,43351908. (lấy phần nguyên là 2)
Ta tiếp tục đi tìm số dư: A – 2.B → A
Lặp lại dòng lệnh:
ALPHA
B
b
c
a
ALPHA
A

=

IFTSH
b
c
a
Kết quả máy báo là một phân số
m
n
=
14177
6146
Khi đó ta lấy mẫu số của phân số
B
A
chia cho mẫu của phân số
m

7
Bài tập:Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510.
a) Hãy tìm UCLN của 1939938; 68102034.
b) Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510.
c) Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B
2
.
DẠNG IV. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM
CỦA MỘT LUỸ THỪA:
Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 17
2002
Giải:
( )
2
1000
2 2000 1000
17 9(mod10)
17 17 9 (mod10)
≡
= ≡
2
1000
2000
9 1(mod10)
9 1(mod10)
17 1(mod10)
≡
≡
≡
Vậy

23 01 01(mod100)
23 23 .23 .23 23.41.01 43(mod100)
= ≡ ≡
≡ ≡
⇒ = ≡ ≡
Vậy chữ số hàng chục của số 23
2005
là 4 (hai chữ số tận cùng của số 23
2005
là 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 23
2005
1
4
5
20 4
2000 100
23 023(mod1000)
23 841(mod1000)
23 343(mod1000)
23 343 201(mod1000)
23 201 (mod1000)
≡
≡
≡
≡ ≡
≡
5
100
2000

=

Lặp 2 DL trên, ấn dấu
=
và quan sát rồi chọn các
kết quả nguyên – đó là Ước.
VD: Tìm tất cả các ước của 60?
1 → A
60
÷
A → B
A + 1 → A
Được 60 là một ước.
#

IFTSH
#

=
=
=
=
Được 30 là một ước.
Được 20 là một ước.
Được 15 là một ước.
Được 12 là một ước.
8
=
=
=

=
Được 30 và 2 là 2 ước.
Được 20 và 3 là 2 ước.
Được 15 và 4 là 2 ước.
Được 12 và 5 là 2 ước.
Được 10 và 6 là 2 ước.
(các dấu
=
ở đây là của các kết quả nguyên)
Vậy Ư(60) =
{
1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
}
DẠNG VI-Kiểm tra một số là nguyên tố hay hợp số?
Cơ sở là nội dung Định lí sau: “a là một số nguyên tố nếu nó không chia hết cho mọi số nguyên tố
không vượt quá
a
”
Xuất phát từ cơ sở đó, ta lập 1 quy trình bấm phím liên tiếp để kiểm tra xem số a có chia hết cho các
số nguyên tố nhỏ hơn
a
hay không!
Nhận xét: Mọi số nguyên tố đều là lẻ (trừ 2), thế nên ta dùng phép chia a cho các số lẻ
không vượt quá
a
.
Cách làm:
1. Tính
a
.

được 90,50414355
2. Lấy phần nguyên được 90.
3. Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 89.
4. Lập quy trình:
89 → A
8191
÷
A → B
A – 2 → A
#

IFTSH
#
=

5. Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định 8191 là số nguyên tố.
VD2: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số?
1. Tính
99873
được 316,0268976.
2. Lấy phần nguyên được 316.
3. Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 315.
4. Lập quy trình:
315 → A
99 873
÷
A → B
A – 2 → A
#


B : A → C
#

IFTSH
#
=
=
=
=
Gán
Gán
Kq là số nguyên 32. Ghi TSNT 2
Kq là số nguyên 16. Ghi TSNT 2
Kq là số nguyên 8. Ghi TSNT 2
Kq là số nguyên 4. Ghi TSNT 2
Kq là số nguyên 2. Ghi TSNT 2
Kq là số nguyên 1. Ghi TSNT 2
Vậy 64 = 2
6
VD2: Phân tích 540 ra thừa số nguyên tố?
Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả
540 → C
2 → A
C : A → B
B : A → C
3 → A
C : A → B
B : A → C
C : A → B
Gán

Gán
Lập dòng lệnh 1
Lập dòng lệnh 2
Lặp 2 DL trên.
Kq là số nguyên 77.
Chứng tỏ C
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 5
∇
/ B:A → C
A + 2 → A
11
#

IFTSH
#
=
=
Kq là số nguyên 11.
Chứng tỏ B
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 7


=
(2 lần dấu
=
)
Gán
Gán
Lập dòng lệnh 1
Lập dòng lệnh 2
Lặp 2 DL trên.
Kq là số nguyên 17 017.
Chứng tỏ C
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 5
∇
/ B:A → C
A + 2 → A
#

IFTSH
#
=
Kq là số nguyên 2431.
Chứng tỏ B
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn

Kq là số nguyên 17.
Chứng tỏ B
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 13
∇
/ C:A → B
A + 2 → A
#

IFTSH
#
Kq là số nguyên 1. (Dừng lại ở đây)
12
=
=
Chứng tỏ C
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 17
Vậy 85 085 = 5.7.11.13.17
DẠNG VIII. SỐ THẬP PHÂN TUẦN HOÀN.
Ví dụ 1: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau:
a) 0,(123) b)7,(37) c)5,34(12)

==
a
VD 3: Tính
2 2 2
0,19981998 0,019981998 0,0019981998
A = + +
Giải : Đặt 0,0019981998 = a.
Ta có:
1 1 1 2.111
2.
100 10 100
A
a a a a
 
= + + =
 ÷
 
Trong khi đó : 100a = 0,19981998 = 0,(0001) . 1998 =
1998
9999
Vậy A =
2.111.9999
1111
1998
=
DẠNG IX. TÍNH SỐ LẺ THẬP PHÂN THỨ N SAU DẤU PHẨY.
Ví dụ 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13
Giải:
Bước 1:+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm tròn
và hiển thị kết quả trên màn hình)

sau dấu phẩy trong phép chia 17:19
Bước 1: Ấn 17 : 19 = 0,8947368421.
→
Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842
+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10
-9
Bước 2: Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.
→
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10
-8
= 17 . 10
-9
Bước 3: Lấy 17 : 19 = 0,8947368421.
→
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là
+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10
-9
Bước 4: Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.
→
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157

Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157
= 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số.
Ta có
( )
669
3 2007 3 669
13 1(mod18) 13 13 1 (mod18)
≡ ⇒ = ≡

0
= a
0
; b
1
= b
0
x
0
+ a
1
; b
2
= b
1
x
0
+ a
2
; …; b
n
= b
n-1
x
0
+ a
n
. Suy ra: P(x
0
) = b

Ans
Ấn phím: 1
.
8165
=
− + − +
÷ − + + =
2
2
( 3 Ans ^ 5 2 Ans ^ 4 3 Ans x Ans 1)
( 4 Ans ^ 3 Ans x 3 Ans 5 )
Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ
X
Aán phím: 1
.
8165
SHIFT STO X
− + − +
÷ − + + =
2
2
( 3 ALPHA X ^ 5 2 ALPHA X ^ 4 3 ALPHA X x ALPHA X 1)
( 4 ALPHA X ^ 3 ALPHA X x 3 ALPHA X 5 )
Kết quả: 1.498465582
14
Nhận xét:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220 và fx-500A, còn
đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa
biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm
CALC

quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết
quả gần đúng, có trường hợp sai hẳn).
Dạng 2: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là một số
(không chứa biến x). Thế
b
x
a
= −
ta được P(
b
a
−
) = r.
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(
b
a
−
),
lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
Ví dụ 2.1: (Sở GD TPHCM, 1998)
Tìm số dư trong phép chia:P=
14 9 5 4 2
x x x x x x 723
x 1,624
− − + + + −
−
Số dư r = 1,624
14
- 1,624

7 2 13 6 .f x x x x x a x Q x R
= + + + = + +
(R là số dư trong phép chia
( ) ( )
: 6f x x
+
)
Từ đẳng thức trên ta thấy rằng khi x= -6 thì
( )
6R f= −
⇔
( ) ( )
= − + − + − + − +
2
4 3
R ( 6) 7( 6) 2 6 13 6 a
( )
f x
chia hết cho
( )
6x +
khi và chỉ khi R=0
⇔
( ) ( )
= − + − + − + − + =
2
4 3
R ( 6) 7( 6) 2 6 13 6 a 0

⇔

(
ALPHA
X
^
4
+
7
ALPHA
X
3
x
+
2
ALPHA
X
2
x
+
13
ALPHA
X
)
=
Kết quả: a = -222
Ví dụ 3.2: (Sở GD Khánh Hòa, 2001)
Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625. Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3?

Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x
3
+ 17x – 625 = (3x
2
– 9x + 44)(x+3) – 757.
Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a
2
= 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
Vi du3.3 Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x
3
+ 3x
2
- 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x
3
+ 3x
2
- 4x + 5) + m = P
1
(x) + m. Khi đó:
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P
1
(x) + m = (3x + 2).H(x)
Ta có:
1 1
2 2
0
3 3
P m m P

1
2
P
 
−
 
 
, với P
1
(x) = 3x
2
- 4x + 5
0
1
2
x =
là nghiệm của Q(x) thì n=
1
1
2
Q
 
−
 
 
với Q
1
(x) = x
3
+ 3x

3
- 3x
2
+ 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có duy nhất một
nghiệm.
H.Dẫn: a) Giải tương tự VD 3.4, ta có: m = ;n =
b) P(x)
M
(x - 2) và Q(x)
M
(x - 2) ⇒ R(x)
M
(x - 2)
Ta lại có:R(x)= x
3
- x
2
+ x -6=(x -2)(x
2
+x +3), vì x
2
+ x +3 >0 với mọi x nên R(x) chỉ có một nghiệm x =2.
Ví dụ 3.6Cho đa thức f(x) = x
4
+ 9x
3
+ 2x
2

3
+ 2x
2
+ 11x + 642
Học sinh tính được x = 1. Thay x = 1 vào và tính đ úng P(1) = 665
16
Dạng 5. Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho nhị thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai
Q(x) = b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
và số dư r. Vậy a
0

-b
1
c)x + (r + b
2
c). Ta lại có công thức truy hồi Horner: b
0
= a
0
; b
1
= b
0
c + a
1
; b
2
= b
1
c + a
2
; r = b
2
c +
a
3
.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức
P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)
Cách giải: - Để tìm dư: ta giải như bài toán 1

x + b
2
dư là r. Theo sơ đồ Hor nơ ta có:
= = = =
Ví dụ 5.1 Tìm thương và số dư trong phép chia x
7
– 2x
5
– 3x
4
+ x – 1 cho x – 5.
Giải: Ta có: c = - 5; a
0
= 1; a
1
= 0; a
2
= -2; a
3
= -3; a
4
= a
5
= 0; a
6
= 1; a
7
= -1; b
0
= a

+ x – 1 = (x + 5)(x
6
– 5x
5
+ 23x
4
– 118x
3
+ 590x
2
– 2590x + 14751) – 73756.
Ví dụ5.2: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x
7
- 2x
5
- 3x
4
+ x - 1 cho (x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có:
1 0 -2 -3 0 0 1 -1
-5 1 -5 23 -118 590 -2950 14751 -73756
* Tính trên máy tính các giá trị trên như sau:
( )−
5
SHIFT

STO

M



-
3
=
(-118) : ghi ra giấy -118

×

ANPHA

M

+
0
=
(590) : ghi ra giấy 590

×

ANPHA

M

+
0
=
(-2950) : ghi ra giấy -2950

×


ab
1
+ a
2
ab
2
+ a
3

×

ANPHA

M

-
1
=
(-73756) : ghi ra giấy -73756
x
7
- 2x
5
- 3x
4
+ x - 1 = (x + 5)(x
6
- 5x
5
+ 23x

1
(x) + r
1
q
1
(x) = (x + 0,5).q
2
(x) + r
2
- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q
1
(x), q
2
(x) và các số dư r
1
, r
2
:
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1
2
−
1
1
2
−
1
4
1
8

2
1
16
r = −
VD5.6:Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) = x
3
-5x
2
+11x-19 cho (x-2)?.
Mô hình sơ đồ Hoocner:
Quy trình:
2 → A
1 x A + (-5) =
IFTSH
b
c
a
(Ghi kết quả -3)
x A + 11 =
IFTSH
b
c
a
(Ghi kết quả 5)
x A +(-19)=
IFTSH
b
c
a
(Ghi kết quả -9)

(x) và r
0
. Sau đó lại tiếp tục
tìm các q
k
(x) và r
k-1
ta được bảng sau:
1 -3 0 1 -2 x
4
-3x
2
+x-2
3 1 0 0 1 1 q
1
(x)=x
3
+1, r
0
= 1
3 1 3 9 28 q
2
(x)=x
3
+3x+1,r
1
=28
3 1 6 27 q
3
(x)=x+6, r

+ dx + f .
Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 25 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9)
Giải: Ta có P(1) = 1 = 1
2
; P(2) = 4 = 2
2
; P(3) = 9 = 3
2
; P(4) = 16 = 4
2
; P(5) = 25 = 5
2
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x
2
. ( đa thức H(x)= x
2
gọi là đa thức phụ )
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
Vì hệ số của x
5
bằng 1 nên Q(x) có dạng:
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 6
2
Hay P(6) = 5! + 6
2
= 156.
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 7
2

( 1)
2
x x +
.
Từ đó tính được:
(5) 2 (6)
(7)
P P
A
P
−
= =

Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức)
H.Dẫn:
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên:
10
12
8 4 2 4
27 9 3 1
d
a b c d
a b c d
a b c d
=

2
+ 11x
Từ đó tính được f(2005) =
Dạng 9 :Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.
Cơ sở kiến thức:
1. “Nếu tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c có 2 nghiệm là x
1
, x
2
thì nó viết được dưới dạng
ax
2
+ bx + c = a(x-x
1
)(x-x
2
)”.
2. “Nếu đa thức f(x)=a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x +a

+ x - 6 thành nhân tử?
Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 2 nghiệm là
x
1
= 2; x
2
= -3.Khi đó ta viết được: x
2
+ x - 6 = 1.(x-2)(x+3)
VD2: Phân tích đa thức f(x) = x
3
+3x
2
-13 x -15 thành nhân tử?
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 3 nghiệm là
x
1
= 3; x
2
= -5; x
3
= -1. Khi đó ta viết được: x
3
+3x
2
-13 x -15 = 1.(x-3)(x+5)(x+1).
VD3: Phân tích đa thức f(x) = x
3
- 5x
2

11
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 5
x
X
+
10−
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 0
Khi đó ta có f(x) = (x-2)(x
2
- 3x + 5)
Tam thức bậc hai x
2
- 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử được nữa.
Vậy x
3
- 5x
2
+11 x -10 = ( x-2)(x
2
- 3x + 5)

20;
±
30;
±
60}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức:
Gán: -1 → X
Nhập vào máy đa thức: X
5
+ 5X
4
– 3X
3
–X
2
+58X -60 rồi ấn dấu
=
máy báo kq -112
Gán tiếp: -2 → X /
#
/
=
/ máy báo kq -108
Gán tiếp: -3 →X/
#
/
=
/ máy báo kq 0
Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+3). Khi đó bài toán trớ về
tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-3).

a
Ghi 26
x
X
+
58
=
IFTSH
b
c
a
Ghi -20
x
X
−
60
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 0
20
Khi đó ta có f(x) = (x+3)(x
4
+2x
3
-9x
2
+26x-20)

máy báo kq -96
Gán tiếp: -2 → X /
#
/
=
/ máy báo kq -148
Gán tiếp: -4 → X /
#
/
=
/ máy báo kq -180
Gán tiếp: -5 → X /
#
/
=
/ máy báo kq 0
Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+5). Khi đó bài
toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5).
Quy trình:
-5 → X
1
x
X
+
2
=
IFTSH
b
c
a

Ghi 0
Khi đó ta có g(x) = (x+5)(x
3
-3x
2
+6x-4)
* Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của đa thức h(x) = x
3
-3x
2
+6x-4
Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x-1)(x
2
-2x+4)
Ta thấy đa thức (x
2
-2x+4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử.
Vậy f(x) = (x+3)(x+5)(x-1)(x
2
-2x+4)
Vidụ 5: Chia đa thức B(x) = 5x
4
- 9x
3
– 8x
2
- 21x + 17 cho đa thức C(x) = x – 4 ta lập bảng sau :
a
4
= 5 a

+ a
1
=4.36
– 21 = 123
r

= mb
0
+ a
0
=4.123 + 17 = 509
Kết luận : Đa thức thương : D(x) = 5 x
3
+ 11x
2
+ 36x + 123
số dư r = 509
Ấn:
4 SHIFT STO A

5 x ALPHA A + (-) 9 = Ghi 11
x ALPHA A + (-) 8 = Ghi 36
x ALPHA A + (-) 21 = Ghi 123
x ALPHA A + 17 = Ghi 509
Vậy B(x) = 5x
4
- 9x
3
– 8x
2

n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + + ab
n-2
+ b
n-1
). Ta có:
P(x) = 1 + x + x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
=
2 9 10
( 1)(1 ) 1
1 1
x x x x x
x x
− + + + + −
=
− −
Từ đó tính P(0,53241) =

9 7 5 3
1 1 13 82 32
( )
630 21 30 63 35
P x x x x x x
= − + − +
a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Giải:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên
1
( ) ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)
2.5.7.9
P x x x x x x x x x x
= − − − − + + + +
Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x nguyên thì tích:
( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)x x x x x x x x x
− − − − + + + +
chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố cùng nhau).
Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên.
Bài tập1.3:Cho
( )
2
3 2
35 37 60080
10 2007 20070
x x
P x
x x x

T x n
x x
chia hết cho x + 3
Dạng 2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x)cho nhị thức ax + b
Bài tập2.1: (Sở GD Cần Thơ, 2003) . Cho
( )
4 4 2
x
P x 5x 4x 3x 50= + − + −
.
Tìm phần dư r
1
, r
2
khi chia P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm BCNN(r
1
,r
2
)?
Bài tập2.2: Cho f(x) = 2x
6
-4x
5
+7x
4
-11x
3
-8x
2
+5x-2007. Gọi r

Bài tập3.3:Cho đa thức
( )
= − + − + +
5 4 3 2
3 4 5 6P x x x x x x m
a) Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005
b) Tìm giá trị m
1
để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5
c) Tìm giá trị m
2
để đa thức P(x) có nghiệm x = 3
Bài tập3.4:Cho đa thức P(x) = x
4
- 4x
3
- 19x
2
+ 106x + m.
a)Tìm m để đa thức P(x) chia hết cho x + 5.
b) Với m tìm được ở câu a), hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x) cho x – 3.
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số của P(x ) thỏa mãn một điều kiện nào đó:
Bài tập4.1:
Cho biết đa thức P(x) = x
4
+ mx
3
– 55x
2
+ nx – 156 chia hết cho x – 2 và chia

3
+ 27x
2
- 54x + 32
Sử dụng các phím nhớ. Lập quy trình tìm số dư trong phép chia đa thức Q(x) cho 2x + 3?
c)Tính a để x
4
+ 7x
3
+ 2x
2
+ 13x + a chia hết cho x + 6
d)Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625. Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3
Bài tập4.4:Cho đa thức P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x – 4 ?
b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?’
Bài tập4.5:Biết đa thức Q(x) = x
4
+ mx
3
- 44x
2

Bài tập5.1: Khi chia đa thức 2x
4
+8x
3
-7x
2
+8x -12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc
là 3 . Hãy tìm hệ số của x
2
trong Q(x) ?
Bài tập5.2:Cho P(x) =
4 3
2
2 5 7
3
x x x− + +
.
a)Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5.
b)Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân.
Bài tập5.3:Tìm số dư trong phép chia đa thức x
5
– 7,834x
3
+ 7,581x
2
– 4,568x + 3,194 cho x – 2,652.
Tìm hệ số của x
2
trong đ thức thương của phép chia trên.
Dạng8. tính giá trị của đa thức khi biết một số giá trị khác của đa thức

b, Nhập P(x) = x
4
- 10x
3
+ 35x
2
- 48x + 27 vào máy
Dùng lệnh Calc nhập 15 Shift Sto A ; Calc nhập (-)12 shift
Sto B; Nhập ( Alpha A + Alpha B ) : 20 + 15 =
a. a = - 10, b = 35
c = - 48, d = 27
b. 3400.8000
Bài tập8.3: Cho
( )
= + + + +
4 3 2
P x x ax bx cx d
. biết P(1) = 0,5 , P(2) = 2 , P(3) = 4,5 , P(4) = 8 .
Tính giá trị của a , b , c , d và P(8) , P(2007) ? (đa thức phụ H
(x)
=1/2 x
2
)
Bài tập8.4: Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx

f

( )
214
=
f
.
a) Hãy tính đúng giá trị của
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
9;8;7;6;5 fffff
(trình bày vắn tắt lời giải)(đa thức phụ H
(x)
= 5x +1)
23
b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho
( )
nf
chia hết cho 24. ( trình bày vắn tắt lời giải)
Giải
( )
15 += xxf
tại
( ) ( ) ( )
155;4;3;2;1 +−=⇒= xxfxgx
có 5 nghiệm là 1; 2; 3; 4;5
( ) ( )( )( )( )
4321 −−−−=⇒ xxxxxg
hay
( ) ( )( )( )( ) ( )
154321 ++−−−−= xxxxxxf

H.Dẫn:* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b).
Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0
1999 2000 0 1
2000 2001 0 1
a b a
a b b
+ + = =−
 
⇔ ⇔
 
+ + = = −
 
⇒ g(x) = f(x) - x - 1
* Tính giá trị của f(x):
- Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho:
(x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x
0
)
⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x
0
) + x + 1.
Từ đó tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số.
Bài tập khác
Bài tập1: Cho đa thức Q(x) = ( 3x
2
+ 2x – 7 )
64
.
Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị.
Giải:Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chính là giá trị của đa thức tại x = 1.

2XY.10
5
= 5 7 8 0 5 9 1 8 0 8 0 0 0 0 0
Y
2
= 4 5 2 8 7 5 1 6 1 6
A = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6
Vậy A = 18446744073709551616
Bài tập2: Cho x
1000
+ y
1000
= 6,912; x
2000
+ y
2000
= 33,76244
Tính A = x
3000
+ y
3000
Giải:Đặt a = x
1000
, b = y
1000
. Ta có: a + b = 6,912; a
2
+ b
2
= 33,76244

3 2
9 81 182Q x x x x n= − + +
a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 1 ?
b)Với m vừa tìm được, Tính số dư r khi chia P(x) chox–2 và phân tích P(x) thành tích các thừa số bậc nhất
c) Tìm n để 1 nghiệm của P(x) cũng là 1 nghiệm của Q(x) , biết nghiệm đó phải khác – 0,5 và 2 ? Phân
tích đa thức Q(x) thành tích các thừa số bậc nhất ?
Bài tập5: Cho đa thức
( )
= + + + +
4 3 2
P x x ax bx cx d
, biết P(1) = - 5 , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = 1
a)Tìm các hệ số a , b, c , d của đa thức P(x) .
b)Tính các giá trị của P(22) , P(23) , P(24) , P(25) . ( Đa thức phụ H
(x)
= 2x -7)
24
c)Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên
d)Tìm số dư r
1
trong phép chia P(x) cho (7x -5) ( chính xác đến 5 chữ số ở phần thập phân ) .
Bài tập6: Cho đa thức
( )
= + − + − +
5 4 2
5 8 12 7 1 3P x x x x x m
.
a) Tính số dư r trong phép chia P(x) cho x – 4,138 khi m = 2007 ?
b) Tính giá trị m
1

3639
2324
16
dcb
dcb
dcb
Gi ải hệ pt trên ta được: b= -2; c=2; d=- 15 Vậy f(x) = 2x
5
+ x
3
- 3x
2
- 2x - 15
2. Dùng lược đồ hoocne chia f(x) cho x+3 ta đ ược:
F(x) = (x+3)(2x
4
- x
3
+ x
2
- 60x + 182) – 561 Vậy hệ số của x
2
trong phép chia trên là 1.
Bài tập8: Cho P(x) = x
5
+ 2x
4
– 3x
3
+ 4x

Bài tập11: Cho P(x) = x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+ 3x + m và Q(x) = x
4
+ 4x
3
- 3x
2
+ 2x + n .
a) Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 .
b) Với giá trị của m và n tìm được , chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ
có một nghiệm duy nhất
Bài tập12: Cho Q(x)=22x
3
+ 2x-2008.
a) Tính
( )
Q 14 2
b) Tìm m để Q(x) + m
3
chia hết cho x-5
Bài tập13: Cho đa thức f(x) . Biết f(x) chia x-3 thì dư 7, chia x-2 dư 5, chia (x-2)(x-3) được thương là 3x
và còn dư.
a) Tìm f(x)
b) Tính chính xác tổng f(2007)+f(2008)+f(2009)
Bài 14. Khi chia đa thức 2x

M
16.
Bài 16 . Cho đa thức f(x) =
5
1
x
5
+
3
1
x
3
+
15
7
x + 2008
1. Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; -1 ; 3; -
2
1
;
2
.
2. Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
HD
25