BÀI TẬP HÀM SỐ PHỨC
I.số phức và các phép toán
1,Tính các giá trị các căn số sau:
1.
3
A 1 i 3= +
2.
4
B 1 i= −
3.
3
D 1 i= − +

2, Chứng minh rằng:
1.
zzzz arg11 +−≤−
2. nếu
Rez 0>
,
Rea 0>
thì
a z
a z
−
+
< 1
3. Nếu
1 2
z z 1= =
và
1,2

4)Tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn

2
Re ln(x z 1) const
 
+ − =
 
 

II, Tích phân hàm biến phức:
1.
C
I z zdz=
∫Ñ
trong đó C là đường
z
= 1 và Imz > 0
2.
C
z
I dz
z
=
∫Ñ
trong đó C là biên của đường 1<
z
<2 và Imz >
2
3.
C

C
∫
−
++
2
3
)1(
12
trong đó C là đường
z
= 2
6.
3 2
C
cosz
I dz
(z 1) (z 5)
=
− −
∫Ñ
trong đó C là đường
24
=−
z
7.
2
C
(z 1)
I dz
z 2z 3 2i 3

1.
( )
( )
3
2
f z z +1 tanz=
2.
( )
2
f z z sinz=
3.
( )
( )
8
z
f z
z sinz
=
−
4.
3
z
z
f (z)
1 z e
=
+ −
5.
sin z tan z
f (z) e e= −

trong miền
z 1<
;
1 z 3< <
;
2 z< < ∞
<
∞

4.
2
2
z 2z 5
W
(z 5)(z 2)
− +
=
+ −
trong lân cận của z = 2 ;
1 z 2
< <
3.2.Tìm phần chính trong khai triển Laurent tại điểm z
0
của các hàm số sau:
1.
2
z 1
W
sin z
−

=
− +
2z 1
W
(z 1)(z 2)
3.
− +
=
+ −
2
2
z 2z 5
W
(z 5)(z 2)
4.
−
=
+ +
2
z 2
W
z 5z 6
5.
=
− −
1
W
(z 2)(z 3)
6.
=

3
z 1
C
I (z z 1)e dz trong®ã C lµ ® êng z 1 1
4.
+
= + =
∫Ñ
2
2
z 1
C
I (z 2)e dz trong®ã C lµ ® êng z 2
5.
= =
∫Ñ
2
Z
C
I ze dz trong®ã C lµ ® êng z 1
6.
+∞
−∞
=
− +
∫
2
xcosxdx
I
x 2x 10

v, phép biến đổi z
5.1 Tìm các biến đổi z của các dãy sau
1.
−

   
+ ≥

 ÷  ÷
=

   

<

n n 1
n
1 1
víi n 0
x
4 4
0 víi n 0
2.

 
≥−

 ÷
=


5
4.

 
+ ≥

 ÷
=

 

<

n
n
3
n n víi n 0
x
4
0 víi n 0
5.

+ ≥

=

<


2 n


n
n
n4 n víi n 0
x
0 víi n 0
8.

 
+ ≥

 ÷
=

 

<

n
n
3
n víi n 0
x
4
0 víi n 0
5.2.Tìm biến đổi z ngược của các hàm số sau:
1.
= >
− +
2

4z 2 3z 1
6.
= >
−
2
z
f(z) víi z 2
(4z 3)
7.
+
= >
+ +
2
2
z 1
f(z) víi z 3
(z 1) (z 2)
8.
+
= >
+ −
2
z 1
f(z) víi z 3
(z 2) (z 1)

6
VI, phép biến đổi Laplace
6.1.Tìm ảnh của các hàm gốc sau
1.

f(t) 2 t khi 1 t 2
0 khi t 2
7.

+ < <

=

>


2
t 1 khi 1 t 2
f(t)
0 khi t 2
8.
λ −α
= − α η − α
(t )
f(t) e sin(t ) (t )
9.

≤ <

= − ≤ <


≥

2

x(t) cos(t u)e du
6.2. Tìm các hàm gốc của các hàm ảnh sau:
1.
+
=
+ +
3 2
2p 3
F(p)
p 4p 5p
7
2.
=
− +
2
1
F(p)
(p 1) (p 2)
3.
=
−
3 3
1
F(p)
p (p 1)
4.
− −
=
+ −
2

F(p)
p 8p 16
8.
+
=
+ +
2
3p 19
F(p)
2p 8p 19
9.
−
=
− + +
2
p 1
F(p)
(p 3)(p 2p 2)
10.
−
=
3p
2
2
e
F(p)
p
11.
+
=

= =x(0) 1;x (0) 0
3.
′′ ′
+ + =x 2x 3x t cost
với
′
= − =x(0) 1 / 4;x (0) 0
4.
−
′′ ′
− + = −
2t
x 4x 4x (t 1)e
với
′
= =x(0) 2;x (0) 0
8
5.
′′ ′
+ =
2
x 2x 6t
với
′
= = −x(0) 0;x (0) 3 / 2
6.
′′ ′
− = − +x 7x (14t 15)
với
′

∫
t
0
e sin3t
I dt
t
3.
+∞
−
=
∫
0
cos6t cos4t
I dt
t
4.
+∞
− −
−
=
∫
3t 6t
0
e e
I dt
t
VII,Phép biến đổi Fourier:
7.1.Tìm biến đổi Fourier của các dãy số và hàm số sau:
1.
−

n
n
3
khi n 2
x
4
0 khi n 2
3.

 
≥−

 ÷
=

 

<−

n
n
3
n khi n 2
x
4
0 khi n 2
4.

 
+ ≥

n 3 2 khi n 0
x
0 khi n 0
6.

+
≥

=


<

2
n
n
n 1
khi n 0
x
3
0 khi n 0
7.

 
≥

 ÷
=

 

0 khi n 0
9.
 − − ≤ ≤
=

∉

1 2t 1 khi 0 t 1
f(t)
0 khi t (0,1)
10.
 − − ≤ ≤
=

∉

1 t 1 khi 0 t 2
f(t)
0 khi t (0,2)
11.
( )
− ≤ <


− < ≤

=

− − − ≤ < −


+∞
− α ≤ α <

α =

α >

∫
0
1 víi 0 1
f(u)cos udu
0 víi 1
qua đó tính
+∞
∫
2
2
0
sin u
du
u
14. Chứng minh
+∞
−
π
=
+
∫
x
2



>

∫
0
1 khi 0 t 1
f(u)sin(ut)du 2 khi 1 t 2
0 khi t 2
17. Tìm biến đổi Fourier theo cosin và sin của

≤ <

=

≥

1 khi 0 x 1
f(x)
0 khi x 1
11