Trng ai hoc S pham
Khoa ao tao giao viờn mõm non
Nguyễn Thị Tuyết Mai
Đề c ơng bài giảng
Toán cơ sở
Dùng cho sinh viên chuyên ngành giáo dục mầm non
Trình độ đại học
Thái Nguyên - 2009
1
Mục lục
Lời nói đầu
Ch ơng 1. Cơ sở của lý thuyết tập hợp
1.1. Tập hợp
1.2. Các phép toán trên tập hợp
1.3. ánh xạ
1.4. Quan hệ
1.5. Giải tích tổ hợp
Bài tập ch ơng 1
Ch ơng 2. Cấu trúc đại số
2.1. Phép toán hai ngôi
2.2. Cấu trúc nhóm
2.3. Cấu trúc vành
2.4. Cấu trúc tr ờng
Bài tập ch ơng 2
Ch ơng 3. Định thức, ma trận, hệ ph ơng trình tuyến tính
3.1. Ma trận
3.2. Định thức
3.3. Hệ ph ơng trình tuyến tính
Bài tập ch ơng 3
Ch ơng 4. Số tự nhiên
4.1. Hệ thống số tự nhiên

84
85
87
95
96
2
lời nói đầu
Một trong những nhiệm vụ của ng ời giáo viên mầm non là hình thành cho
trẻ những biểu t ợng toán học sơ đẳng. Vì vậy, ng ời giáo viên mầm non cần
phải nắm vững những kiến thức toán học cơ bản, có kỹ năng giải toán và ứng
dụng những kiến thức đã học vào việc giáo dục trẻ.
Học phần Toán cơ sở nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán
học cơ bản, giúp cho sinh viên có vốn kiến thức cần thiết để có thể học học phần
ph ơng pháp hình thành biểu t ợng toán học sơ đẳng cho trẻ mầm non. Đồng
thời giúp cho sinh viên có thể học tốt một số học phần: Toán thống kê, dinh d-
ỡng, ph ơng pháp nghiên cứu khoa học,
Giáo dục mầm non nói chung và sự nghiệp đào tạo giáo viên mầm non nói
riêng đang trên con đ ờng xây dựng và phát triển. Vì vậy tài liệu học tập còn rất
thiếu thốn. Để giúp cho sinh viên có đ ợc một tài liệu học tập, đ ợc sự phê duyệt
của Ban Giám hiệu tr ờng Đại học S phạm - Đại học Thái Nguyên tôi đã biên
soạn đề c ơng bài giảng Toán cơ sở cho sinh viên chuyên ngành Mầm non, hệ
đại học. Đề c ơng bài giảng tập hợp kiến thức trong các lĩnh vực khác nhau của
toán học nh số học, đại số, hình học và đ ợc tham khảo từ nhiều tài liệu. Nội
dung đề c ơng bài giảng Toán cơ sở trình bày những kiến thức cơ bản về tập hợp,
quan hệ, ánh xạ, cấu trúc đại số, đại số tuyến tính, tập hợp số tự nhiên, hình học
giải tích và giải tích tổ hợp.
Tác giả mong nhận đ ợc những góp ý của các bạn đồng nghiệp và độc giả
về nội dung cũng nh việc trình bày để đề c ơng bài giảng này đ ợc hoàn thiện
hơn.
3

+) Tập hợp các số tự nhiên chẵn: 2 = {0,2, 4,6, } .
+) Tập hợp cácc ớc của 20: 2 = {1,2,4,5,10,20} .
4
Chú ý: Một tập hợp đ ợc xác định không phụ thuộc vào thứ tự liệt kê các phần tử
của nó.
b) Ph ơng pháp nêu tính chất đặc tr ng
Một tập hợp có thể xác định bằng cách nêu các tính chất chung (tính chất
đặc tr ng) của các phần tử trong tập hợp mà nhờ vào các tính chất chung ấy ta có
thể xác định đ ợc một phần tử bất kỳ có thuộc tập hợp đó hay không.
Nếu tất cả các phần tử của tập hợp X đều có tính chất P thì ta có thể biểu
diễn X nh sau: X = {x | x có tính chất P} hoặc X = { x | P ( x)} .
Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên chẵn: 2 = { x | x = 2n, n
+) Tập hợp các ớc của 15: X = { x | x ;15M x} .
+) Tập hợp các bội của 3: X = { x | x = 3n, n
}.
}.
1.1.3. Các tập hợp đặc biệt
a) Tập hợp rỗng
Một tập hợp không chứa phần tử nào đ ợc gọi là tập rỗng, ký hiệu:
Ví dụ: +) Tập các nghiệm thực của ph ơng trình x 2 + 1 = 0 là tập rỗng.
+) Tập các đ ờng thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là tập rỗng.
b) Tập hợp một, hai phần tử
Giả sử x là một vật hay một đối t ợng nào đó, tập hợp kí hiệu là { x} chỉ
gồm một phần tử x đ ợc gọi là tập hợp một phần tử (tập đơn tử).
Giả sử x, y là hai vật hay hai đối t ợng nào đó, tập hợp kí hiệu là { x, y}
chỉ gồm 2 phần tử x, y đ ợc gọi là tập hợp hai phần tử.
T ơng tự nh trên ta có thể định nghĩa các tập hợp ba, bốn, phần tử, các
tập hợp đó cùng với tập hợp rỗng đ ợc gọi là các tập hữu hạn, còn các tập hợp
khác đ ợc gọi là các tập vô hạn.
Ví dụ: +) Tập các ớc của 15 là tập hữu hạn (vì nó chỉ có 5 phần tử).

P(X) và gọi là tập các tập con của tập hợp X. Tập hợp này bao gồm
ít nhất một phần tử chính là tập X.
6
b) Ví dụ: +) Nếu X = thì
+) Nếu X = {a} thì
P(X) = {} .
P(X) = {,{a}} .
+) Nếu X = {a, b} thì P(X) = {,{a} ,{b} ,{a, b}} .
P(X) là một tập hợp hữu hạn gồm 2
n
Chú ý: Ta có thể chứng minh đ ợc rằng nếu X là một tập hợp hữu hạn gồm n
phần tử thì
phần tử.
1.2. Các phép toán trên tập hợp
1.2.1. Hợp của các tập hợp
a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất
một trong hai tập hợp X, Y đ ợc gọi là hợp của hai tập hợp X, Y, kí hiệu X Y .
Theo định nghĩa X Y = {x | x X hoặc x Y } .
Ta có thể mở rộng định nghĩa cho tr ờng hợp n tập hợp:
Định nghĩa: Cho n tập hợp A1 , A2 , , An . Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít
nhất một trong n tập hợp A1 , A2 , , An đ ợc gọi là hợp của các tập hợp
A1 , A2 , , An , kí hiệu A1 A2 An .
b) Ví dụ: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } X Y = {a, b, c, d , e, f }.
+) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết
cho 6 thì X Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 2.
c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:
+) A A = A , A = A
+) Nếu B A thì A B = A
+) A B = B A
+) ( A B ) C = A ( B C )

kí hiệu A \ B = C A B .
8
+) B \ ( B \ A) = A .
+) Nếu B A thì C \ A C \ B .
1.2.4. Tích Đề Các của hai tập hợp.
a) Định nghĩa: +) Một dãy gồm 2 phần tử a, b sắp thứ tự đ ợc gọi là một cặp
sắp thứ tự, kí hiệu (a, b).
+) Cho hai tập hợp X, Y khác rỗng. Một tập hợp gồm tất cả các cặp sắp thứ
tự (x,y), trong đó x thuộc tập hợp X, y thuộc tập hợp Y đ ợc gọi là tích Đề Các
của tập hợp X và tập hợp Y, kí hiệu X ì Y .
Theo định nghĩa X ì Y = {( x, y ) | x X , y y} .
Khái niệm tích Đề các có thể mở rộng cho tr ờng hợp nhiều tập hợp:
Định nghĩa: Cho các tập hợp A1 , A2 , , An . Ta định nghĩa
A1 ì A2 ì A3 = ( A1 ì A2 ) ì A3 , A1 ì A2 ì A3 ì A4 = ( A1 ì A2 ì A3 ) ì A4 , ,
A1 ì A2 ì ì An = ( A1 ì A2 ì An1 ) ì An .
Tích Đề Các X ì X ì ì X của n tập hợp X kí hiệu X n . Tích Đề Các
X ì X = X 2 còn đ ợc gọi là bình ph ơng Đề Các của tập hợp X.
b) Ví dụ: X = {a, b, c} , Y = {1,2} X ì Y = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)} ;
Y ì X = {(1, a),(1, b),(1, c),(2, a ),(2, b),(2, c)} .
c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: A ì =
+) Nếu X, Y là hai tập hợp hữu hạn thì số phần tử của tập tích Đề Các
X ì Y bằng tích của số phần tử của tập X và số phần tử của tập Y.
*) Chú ý: Tích Đề Các của 2 tập hợp không có tính chất giao hoán nh ng có tính
chất kết hợp.
1.2.5. Mối quan hệ giữa các phép toán trên tập hợp
a) Định lý: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:
+) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
+) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
Hệ quả: Với các tập A, B bất kỳ ta có:
9

từ
đến
.
10
các số thực, t ơng ứng: x a x 2 3 x + 2 là một ánh xạ
các số tự nhiên, t ơng ứng: n a 2n là một ánh xạ từ
+) Việc xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một ánh xạ từ
tập các trẻ trong lớp đến tập các chỗ ngồi của lớp đó (với điều kiện số ghế trong
lớp lớn hơn hoặc bằng số trẻ).
+) T ơng ứng từ tập các con ng ời trên trái đất đến tập các con ng ời trên
trái đát theo quy tắc mỗi ng ời phụ nữ t ơng ứng với con đẻ của mình không phải
là một ánh xạ vì một ng ời phụ nữ có thể có nhiều hơn một con. Nh ng nếu theo
quy tắc mỗi ng ời với mẹ đẻ của mình thì là một ánh xạ vì mỗi ng ời đều có một
và chỉ một mẹ đẻ.
Nhận xét: +) Khái niệm ánh xạ là khái niệm mở rộng của khái niệm hàm số mà
ta đã học trong ch ơng trình phổ thông. Hàm số là những ánh xạ mà tập nguồn
và tập đích là tập hợp số thực
hoặc bộ phận của nó và số f(x) t ơng ứng với x
đ ợc xác định bởi một biểu thức đại số hoặc một biểu thức l ợng giác, chẳng hạn
f ( x) = 3x 2 2 x + 4 hay f ( x) = 2sin x + 4cos 2 x .
+) Trong định nghĩa ánh xạ, các tập nguồn, tập đích không nhất thiết là các
tập hợp số và phần tử f(x) t ơng ứng với x cũng không chỉ xác định bởi biểu thức
đại số, không bắt buộc là số.
1.3.2. ảnh và tạo ảnh
a) Định nghĩa: Giả sử f : X Y là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y. x
là một phần tử bất kỳ của X, A là một tập con bất kỳ của X, B là một tập con bất
kỳ của Y. Ta gọi:
+) f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của f tại x.
+) f ( A) = { y Y | x A sao cho f ( x) = y} là ảnh của tập hợp A bởi f.
+) f 1 ( B) = {x X | f ( x) B} là tạo ảnh toàn phần của tập hợp B bởi f.

gọi là một ánh xạ lên.
b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một toàn
12
ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ.
+) ánh xạ X X , x a x là một toàn ánh.
+) ánh xạ f :
+) ánh xạ f :
2 , n a 2n là một toàn ánh.
, x a x 2 3 x + 2 không là toàn ánh vì chẳng hạn có
sao cho f(x) = -2.
2
mà không có phần tử x nào thuộc
+) Nếu X Y thì ánh xạ X Y , x a x không là một toàn ánh.
1.3.5. Song ánh
a) Định nghĩa: ánh xạ f : X Y đ ợc gọi là một song ánh (ánh xạ 1 1) nếu
nó vữa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Nói cách khác ánh xạ f : X Y là một song
ánh nếu với mọi phần tử y thuộc tập Y có một và chỉ một phần tử x thuộc tập X
sao cho f(x) = y.
b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một
song ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ.
+) ánh xạ đồng nhất là một song ánh.
+) ánh xạ f :
+) ánh xạ f :
2 , n a 2n là một song ánh.

*
, n a n + 1 là một song ánh.
1.4. Quan hệ
1.4.1. Quan hệ hai ngôi
a) Định nghĩa: Cho X, Y là hai tập tùy ý, khác rỗng. Mỗi tập con S của tập tích

là
có
tính
chất
phản
đối
xứng
nếu
x, y X , xSy, ySx x = y .
+) S đ ợc gọi là có tính chất bắc cầu nếu x, y, z X , xSy, ySz xSz .
Ví dụ: +) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên của các cháu trong lớp Mầm non
có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
+) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số có các tính chất phản xạ, đối
xứng, bắc cầu.
+) Quan hệ chia hết cho trên tập
chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu.
1.4.2. Quan hệ t ơng đ ơng
a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X đ ợc gọi là quan hệ t ơng
đ ơng trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
*
các số tự nhiên khác 0 có các tính
14
Quan hệ t ơng đ ơng trên tập X th ờng ký hiệu
t ơng đ ơng với y thì ta viết x
, nếu x, y X , x
y.
Ví dụ: +) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số là một quan hệ t ơng đ ơng.
+) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên là những quan hệ t ơng đ ơng.
+) Quan hệ có cùng số d trong phép chia cho 3 trên tập số tự nhiên là một
quan hệ t ơng đ ơng.

+) Nếu a không t ơng đ ơng với b thì [ a ] [b ] = .
c) Tập th ơng
*) Định nghĩa: Giả sử trên tập X khác rỗng xác định một quan hệ t ơng đ ơng
. Tập hợp tất cả các lớp t ơng đ ơng của X trên qua hệ t ơng đ ơng
gọi là tập th ơng của X trên qua hệ t ơng đ ơng
Theo định nghĩa: X
th ơng X
, kí hiệu X
.
đ ợc
= {[ a ] | a X } . Nh vậy mỗi phần tử của tập
là một lớp t ơng đ ơng của một phần tử a của X, tức là một tập hợp
gồm tất cả các phần tử của X mà t ơng đ ơng với a.
*) Ví dụ: +) Xét quan hệ t ơng đ ơng trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số
d trong phép chia cho 3.
= {[ 0] , [1] , [ 2]} .
+) Xét quan hệ t ơng đ ơng trên tập X các học viên của lớp mầm non là quan
hệ cùng họ thì tập th ơng X
= {[Nguyễn], [Trần], [Lê], [Phạm], }.
1.4.3. Quan hệ thứ tự
a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X đ ợc gọi là quan hệ thứ tự
trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
Tập hợp X đ ợc gọi là tập sắp thứ tự nếu trên X có một quan hệ thứ tự.
Quan hệ thứ tự trên tập X th ờng ký hiệu , nếu x, y X , x có quan hệ
thứ tự với y thì ta viết x y .
*) Ví dụ:
+) Quan hệ nhỏ hơn hay bằng trên tập số tự nhiên là một quan hệ thứ tự.
+) Quan hệ chia hết cho trên tập
thứ tự.
+) Quan hệ bao hàm giữa các tập con của một tập hợp là một quan hệ thứ

*) Ví dụ: Xét quan hệ thứ tự trên tập hợp
chia hết cho.
+) Tập
*
*
các số tự nhiên khác 0 là quan hệ
chỉ có phần tử nhỏ nhất là 1, không có phần tử lớn nhất.
*
+) Tập A = {1, 2,5,7,35,70}
có phần tử lớn nhất là 70 vì 70 chia
hết cho mọi phần tử của A, phần tử nhỏ nhất là 1 vì mọi phần tử của A
đều chia hết cho 1.
+) Tập B = {2,5,7,35,70}
*
chỉ có phần tử lớn nhất là 70.
*
+) Tập C = {1, 2,3,5,7,9,10, 25}
chỉ có phần tử nhỏ nhất là 1.
17
+) Tập D = {2,3, 4,5,7,35}
nhỏ nhất.
c) Phần tử tối đại, phần tử tối tiểu
*
không có phần tử lớn nhất, phần tử
*) Định nghĩa: Giả sử X là một tập sắp thứ tự.
+) Một phần tử a X đ ợc gọi là phần tử tối đại của X nếu với mỗi
x X , quan hệ x a kéo theo x = a .
+) Một phần tử a X đ ợc gọi là phần tử tối tiểu của X nếu với mọi
x X , quan hệ x a kéo theo x = a .
*) Ví dụ: Xét quan hệ thứ tự trên tập hợp

sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Nh vậy số các chỉnh hợp chập k của n phần
tử chính là số các cách chọn k phần tử sắp thứ tự. Vì
Chọn phần tử thứ nhất có n cách.
Chọn phần tử thứ hai có n - 1 cách.
Chọn phần tử thứ ba có n - 2 cách
Chọn phần tử thứ k -1 có n - k +2 cách.
Chọn phần tử thứ k có n k + 1 cách.
Do đó có tất cả n.(n-1).(n-2) (n-k+2)(n-k+1) cách chọn.
Vậy An = n.(n-1).(n-2) (n-k+2)(n-k+1)=
k
n!
.
(n-k)!
1.5.2. Hoán vị
a) Định nghĩa: Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử đ ợc gọi là một hoán vị của n
phần tử. Số các hoán vị của n phần tử kí hiệu là Pn .
b) Công thức
Vì mỗi hoán vị của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử nên
số các hoán vị của n phần tử chính là số các chỉnh hợp chập n của n phần tử. Do
đó, số các hoán vị của n phần tử là:
Pn = n.(n-1).(n-2) (n-n+2)(n-n+1) = n.(n-1).(n-2) 2.1 = n!
1.5.3. Tổ hợp
a) Định nghĩa: Một tập hợp con gồm k phần tử khác nhau (không phân biệt thứ
tự) của một tập hợp gồm n phần tử đ ợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là Cn .
b) Công thức
Vì mỗi hoán vị của k phần tử trong một tổ hợp chập k của n phần tử chính là một
chỉnh hợp chập k của n phần tử nên mỗi tổ hợp chập k của n phần tử có k! chỉnh
19
k

2 3
4
5
B i tập ch ơng 1
1. Hãy trình bày các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp
a) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị là 3.
b) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng của hai chữ số bằng 15.
c) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ
số hàng chục.
d) Tập hợp các số tự nhiên là ớc của 15.
e) Tập hợp các số tự nhiên là bội của 3.
f) Tập hợp các chữ số x sao cho 13 x8 chia hết cho 3.
2. Hãy trình bày các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc tr ng
a) A = {1, 2, 4,8,16,32}
20
b) B = {1, 4,9,16, 25,36, }
c) A = {1, 4,7,10,13,16,19}
3. Tìm tập hợp
P(X) các tập con của tập hợp X sau:
a) X = {1,3,5}
b) X = {a, b, c, d }
4.
Hãy
liệt
kê
các
phần
tử
của
các

y có cùng chữ số hàng đơn vị.
c) Quan hệ S trên tập các số thực
nh sau: x, y , xSy nếu x,
nh sau: x, y , xSy x = y
. Tìm phần tử lớn nhất,
8. Xét quan hệ chia hết cho trên tập các số tự nhiên
a) A = {1, 2, 4,8,16,32}
b) B = {3,6,12, 24,36, 48}
c) C = {1, 2, 4,8,12,16,18, 24,32}
d) D = {2,3, 4,8,12,16,18, 24}
9. Hãy xét xem cấc quy tắc sau có phải là ánh xạ không?
phần tử nhỏ nhất, phần tử tối đại, phần tử tối tiểu của các tập hợp sau:
a) Quy tắc cho t ơng ứng mỗi ng ời với mẹ đẻ của mình.
b) Quy tắc cho t ơng ứng mỗi ng ời với anh cả của mình.
c) Quy tắc cho t ơng ứng mỗi tam giác với đ ờng tròn ngoại tiếp nó.
d) Quy tắc cho t ơng ứng mỗi đ ờng tròn với tam giác nội tiếp nó.
e) Quy tắc lấy một số tự nhiên nhân với 4 đ ợc bao nhiêu trừ đi 15.
10. Cho các ánh xạ:
a) f :
b) f :
, n a 2n + 5 . Tìm f (1), f (3), f (15); f 1 (1), f 1 (20).
; x a x 2 5 x + 4 .Tìm:
f (0), f (1), f (5); f 1 (10), f 1 (3).
11. Cho ánh xạ: f :
*
, n a 3n 1, và các tập A = {1, 2, 4,8} ,
B = {2,8,14,10, 47} . Hãy tìm: f ( A), f 1 ( B) .
12. Trong các ánh xạ d ới đây, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
a) f :
b) f :

d)
8!4!
23
Ch ơng 2: Cấu trúc đại số
2.1. Phép toán hai ngôi
2.1.1. Định nghĩa
Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ T: X ì X X đ ợc gọi là
một phép toán hai ngôi trên X.
Giá trị T(x, y) của T tại (x, y) đ ợc gọi là cái hợp thành của x và y, kí hiệu
xTy.
2.1.2. Ví dụ
+) Phép cộng, phép nhân thông th ờng trên các tập số là các phép toán hai
ngôi.
+) Phép trừ trên tập số tự nhiên không là phép toán hai ngôi vì phép trừ
không là ánh xạ từ
ì
tới
. Ví dụ: ( 3,5 ) ì
, tập số hữu tỉ
ì
, 3 5 = 2
. Nh ng
phép trừ trên tập số nguyên
ngôi.
, tập số thực
là phép toán hai
+) ánh xạ T: ( ì ) ì ( ì )
((a, b), (c, d)) a (a + c, b + d)
là phép toán hai ngôi trên
ì

+) Một phần tử e p X đ ợc gọi là phần tử trung lập phải của T nếu và chỉ
nếu x X; xTe p = x .
+) Nếu e X vừa là phần tử trung lập trái vừa là phần tử trung lập phải
của T thì e đ ợc gọi là phần tử trung lập của T.
b) Ví dụ
Với phép cộng và phép nhân trên các tập số
, , ,
số 0 là phần tử trung
lập của phép cộng (phần tử không). Số 1 là phần tử trung lập của phép nhân (phần
tử đơn vị).
c) Định lý
Nếu một phép toán hai ngôi trên tập hợp X có phần tử trung lập trái và
phần tử trung lập phải thì chúng bằng nhau.
Chứng minh: Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X và giả sử T
có các phần tử trung lập trái et , trung lập phải e p . Theo định nghĩa
25