Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư
TÀI LIỆU
DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9 CHƯA ĐẠT CHUẨN KIẾN THỨC, KỸ NĂNG
MÔN TOÁN
( LƯU HÀNH NỘI BỘ)
I.PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
Nội dung Tiết thứ
CHUYÊN ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 tiết)
Tính chất cơ bản của phân thức 1 - 2
Phân tích đa thức thành nhân tử 3 - 4
Quy đồng mẫu nhiều phân thức 5 - 6
Phép cộng, trừ các phân thức đại số 7
Phép nhân, chia các phân thức đại số 8
Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai 9 - 10
Bài tập 11
Kiểm tra 1 tiết 12
CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH (13 tiết)
PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải. 13
Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0. 14
Phương trình tích. 15
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 16
PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương trình bậc hai một ẩn. 17
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai. 18
Công thức nghiệm thu gọn. 19
Hệ thức Vi-ét. 20
Ứng dụng hệ thức Vi-ét giải bài toán tìm hai số biết tổng và tích. 21
Tìm điều kiện xác định của một phương trình. 22
1
Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư

43 - 44
Dạng toán có nội dung Hình học - Hóa học
45
Kiểm tra theo chuyên đề
46
HÌNH HỌC
CHUYÊN ĐỀ 1: GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ tam gi¸c
Tam gi¸c
1
C¸c trêng hîp b»ng nhau cña tam gi¸c
2
2
Tai liờu ụn tõp mụn toan THCS Ngoc Linh ( s u tõm)
Tính chất các đờng đồng quy trong tam giác
3
Tam giác đồng dạng
4
Các trờng hợp đồng dạng của tam giác
5
Các trờng hợp đồng dạng của tam giác vuông
6
Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
7
Tỉ số lợng giác của góc nhọn
8
Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
9
Kiểm tra
10
CHUYấN 2: GII CC BI TON V T GIC

3
Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư
ng tròn.Cung ch a gócđườ ứ
T giác n i ti pứ ộ ế
30
d i ng tròn, di n tích hình trònĐộ à đườ ệ
31
Ki m tra ể
32
4
Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư
II. NỘI DUNG CÁC CHUYÊN ĐỀ
CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT)
Tiết 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Luỹ thừa của một số hữu tỷ:
a) Tính chất:
. .
n
a a a a a
=
142 43
(n
∈
N) a
0
= 1, a
1
= a (a
≠

.y
n
;
( )
0
n
n
n
x x
y
y y
 
= ≠
 ÷
 
b) Ví dụ:
a) 3x
5
. 5x
2
= 15x
5+2
=15x
7
b) 15m
9
: 3m
7
= 5m
2

2
- 5x + 1) = x.6x
2
+ x(-5x) + x.1 + (-2)6x
2
+ (-2)(-5x) + (-2).1
= 6x
3
- 5x
2
+ x - 12x
2
+ 10x - 2 = 6x
3
- 17x
2
+ 11x - 2.
2. (1 -
x
)(1 +
xx +
) = 1 +
xxxxxxx
−−−+
= 1
xx
−
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) (3xy - x

).
3
2
x
2
y + y.
3
2
x
2
y
= 2x
3
y
2
-
3
2
x
4
y +
3
2
x
2
y
2
b) (5x
3
- x

)
7
+ 2
21
=
7.77.3.47.7.4 −−
+ 2
21
=
2 7. 7 2 3. 7 7. 7− −
+ 2
21
= 2.7 –
212
- 7 + 2
21
= 7
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính:
a) (
2
1
x + y)(
2
1
x + y) b) (x -
2
1
y)(x -
2

với nhau.
Ví dụ:
(15x
2
y
3
+ 12x
3
y
2
- 10 xy
3
) : 3xy
2

= (15x
2
y
3
: 3xy
2
) + (12x
3
y
2
: 3xy
2
) + (-10xy
3
: 3xy

−
2. Sắp xếp đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia:

2 3 4 2
(12 14 3 6 ):(1 4 )x x x x x x− + − + − +
Giải: Ta có
2 3 4 4 3 2
12 14 3 6 6 12 14 3x x x x x x x x− + − + = − + − +
và
2 2
1 4 4 1x x x x− + = − +
4 3 2
6 12 14 3x x x x
− + − +
2
4 1x x− +
- (
4 3 2
4x x x− +
)

3 2
2 11 14 3x x x− + − +
- (
3 2
2 8 2x x x+ −
)

2
3 12 3x x− +

=
−
vì (x +1)(x - 1) = x
2
- 1
c) Tính chất cơ bản của phân thức:
7
A C
B D
=
nếu AD = BC
A A.M
=
B B.M
;
A A:N
=
B B:N
(M
≠
0; N
≠
0; B
≠
0)
Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư

d) Quy tắc đổi dấu:
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Các phân thức sau có bằng nhau không?

xx
xx
= – 3
Bài 3. Tính:
a)
23
2300
b)
x
x
7
63
3
với x > 0
Giải:
a)
23
2300
=
23
100.23
=
23
100.23
=
100
= 10
b)
x
x

yxxy
+
+
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
yx
xy
yxxyyx
−=
−+ ))((
với x > 0 và y > 0
b)
3 2
3 2 2 3
3 2 1
2 2
x xy y
x x y xy y x y
+ +
=
+ − − −
TIẾT 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
8
A -A A A -A
;
B -B B -B B
= =− =−
Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư

+ 5)
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
a) Phương pháp đặt nhân tử chung :
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được
biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.
Công thức:
Ví dụ:
1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)
2. 3x + 12
x
y = 3
x
(
x
+ 4y)
b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng
hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.
* Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(A - B)
2
= A
2
- 2AB + B

= (A+B) (A
2
- AB + B
2
)
A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. x
2
– 4x + 4 =
( )
2
2x −
2.
2
9 ( 3)( 3)x x x− = − +
3.
[ ] [ ]
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 .2 4x y x y x y x y x y x y x y xy+ − − = + + − + − − = =
Cách khác:
2 2 2 2 2 2

x
- 3)(
x
+ y)
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 14x
2
– 21xy
2
+ 28x
2
y
2
= 7x(2x - 3y
2
+ 4xy
2
)
b) 2(x + 3) – x(x + 3)
c) x
2
+ 4x – y
2
+ 4 = (x + 2)
2
- y
2
= (x + 2 - y)(x + 2 + y)
Bài 2: Giải phương trình sau :

(
x
- 2010) -
x
+ 2010 = 0 b) x
3
- 13 x = 0
TIẾT 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (Tiếp)
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)
Tam thức bậc hai có dạng: ax
2
+ bx + c = ax
2
+ b
1
x + b
2
x + c (
0a
≠
) nếu
1 2
1 2
b b ac
b b b
=



2
+ 64 - 16y
2= (y
2
+ 8)
2
- (4y)
2
= (y
2
+ 8 - 4y)(y
2
+ 8 + 4y)
b) x
2
+ 4 = x
2
+ 4x + 4 - 4x = (x + 2)
2
- 4x
= (x + 2)
2
-
( )
2
2 x
=

( )
3 3 3 3 3 3
3
3
2 2 2
b) 27 27
(3 )
3 9 3
− = −
 
= −
 
= − + +
x y a b y y x a b
y x ab
y x ab x xab a b

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x
3
+ 4x
2
- y
3
- y
2
= (8x
3
- y

2
+ 5x - 6 = x
2
+ 6x - x - 6
= x(x + 6) - (x + 6)
= (x + 6)(x - 1)
c) a
4
+ 16 = a
4
+ 8a
2
+ 16 - 8a
2

= (a
2
+ 4)
2
- (
8
a)
2

= (a
2
+ 4 +
8
a)( a
2

+ 1) + x
2
+ 1 = (x
2
+ 1)(x
3
+ 1)
nên (x
5
+ x
3
+ x
2
+ 1):(x
3
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
3
+ 1):(x
3
+ 1)
= (x
2
+ 1)
b) Vì x
2
- 5x + 6 = x
2

12
Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư

5 5.5 25
12 12.5 60
7 7.2 14
30 30.2 60
= =
= =
2. Quy đồng mẫu nhiều phân thức:
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của
3
2 4
x
x +
và
2
3
4
x
x
+
−
* Bước 1: Tìm MTC.
- Phân tích các mẫu thành nhân tử.
2x +4 = 2(x + 2)

+
+ +
= =
− + − + −
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
6x2
5
+
và
9x
3
2
−
MTC: 2(x - 3)(x + 3)
)3x)(3x(2
)3x(5
)3x(2
5
6x2
5
−+
−
=
+
=
+
)3x)(3x(2
6
)3x)(3x(2

−
b)
2x
10
+
;
4x2
5
−
TIẾT 6. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC (Tiếp)
I. Luyện tập:
Bài 1: Quy đồng mẫu phân thức sau:
16x8x
x2
2
+−
và
x12x3
x
2
−
Phân tích các mẫu:
x
2
- 8x + 16 = (x - 4)
2
3x
2
- 12x = 3x(x - 4)
MTC: 3x(x - 4)

=
−
Bài 2: Rút gọn biểu thức :
1 1
2 3 2 3
+
+ −
Giải: MTC : (2+
3
)(2-
3
)
Quy đồng:
1 1
2 3 2 3
+
+ −
=
2 3 2 3 4
4
4 3 1
− + +
= =
−
Bài 3: Giải phương trình:
( )
x 2 1 2
x 2 x x x 2
+
= +

II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
a)
;
x y x y
x y x y
+ −
− +
; b)
1 1
;
x y x y+ −
;
14
Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư
Bài 2: Chứng minh đẳng thức :
3 2 3 6
6 2 4
2 3 2 6
+ − =
TIẾT 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu:
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau
và giữ nguyên mẫu thức.

Ví dụ: Tính:
a)
3
2

+ 2.2
2.22
2.2
2.22
2.2
22
x
xx
x
x
x
x
( )
( )
2
2
22
2
2
+
=
+
+ x
x
x
2. Cộng hai phân thức không cùng mẫu:
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức
rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Ví dụ:
366

+
)6(
6
−yy
=
(y -12)y
6y(y-6)
+
6.6
6 ( 6)y y
−
=
)6(6
3612
2
−
+−
yy
yy
=
)6(6
)6(
2
−
−
yy
y
=
y
y

A
-
D
C
=
B
A
+






−
D
C
B
CA
B
C
B
A +
=+
Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư
Ví dụ:
a)
1
3
2

3
( 1)( 1)
x
x x
+
=
+ −
+
( 1)
( 1)
x
x x
 
+
−
 
−
 

( 3)
( 1)( 1)
x x
x x x
+
=
+ −
+
( 1)( 1)
( 1)( 1)
x x

x
x
-
)3(
2
x
x
−
+
( 3 )
2
x
x
+
=
−
+








−
+
−
x
x

− − −
=
− −

2
7 2
( 2)( 3 )
x
x x
−
=
− −
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Thực hiện phép tính sau:
1
2
2
−
−
x
xx
+
x
x
−
−
1
1
+
1

2
2
1
x
x
−
=
−

2
( 1)
1
x
x
−
=
−

1x= −
Bài 2: Rút gọn biểu thức
P
1 2 ( 1)( 2) 2 ( 2)
4
2 2
x x x x x x
x
x x
+ + + + −
= + =
−

x x
+ +
= + −
−
− +
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi x = 1.
TIẾT 8: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
16
Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư
1. Phép nhân các phân thức đại số:
Ví dụ:
a)
4
1
)2)(2(
)1)(1(
2
1
.
2
1
2
2
−
−
=
−+
−+

=
−
−
+
+
x
x
xx
xx
x
x
x
x
2. Phép chia các phân thức đại số:

Ví dụ:
a)
1
7
1
2
.
2
7
2
1
:
2
7
+

2
)2(
)2(
)1(
.
)1(
2
1
.2
:
2
x
x
xx
x
xx
x
x
xx
xx
x −
=
+
−
−
−
=
−
+
−

xxy
yxx
x
yx
xy
x
yx
x
xy
x
=
+
+
=
+
+
=
++
Bài 2: Rút gọn biểu thức: Q =
x
x
x
x
x
x
−
−
−



x
x
x
+
−
=
−
−−
=
−
−
1
3
1
)1(3
1
33
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn biểu thức: A=
x
x
x
x
x
x
4
2
.
22
−

x
x
17
DB
CA
D
C
B
A
.
.
. =
(B; D ≠ 0)
: . ( , , 0)
= ≠
A C A D
B C D
B D B C
Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư
TIẾT 9: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a,
2
A A 0
A A
A A 0
⇔ ≥

= =


− + − = − −
= − −
Thay a =
2
vào biểu thức trên ta được:
1224251 −=−−
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Rút gọn
20 45 75 180 2 5 3 5 5 5 6 5 2 5− + − = − + − = −
Bài 2: Cho biểu thức:
1 1 2
:
1
1 1
a
A
a
a a a a
 
 
= − +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− − +
 
 
a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A
b) Tìm a để A > 0

a a
a
−
> ⇔ − > ⇔ >
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn:
3 2
3 1 3 1
B = +
+ −
18
Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư
Bài 2: Cho biểu thức:
2 2 2 2 2 2
a a b
Q 1 :
a b a b a a b
 
= − +
 ÷
− − − −
 
a) Rút gọn Q.
b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b
Bài 3: Cho biểu thức P
2 x 2 x 4x x 3
:
x 4
2 x 2 x 2 x x
 

A A B
B 0
B
B
= >
;
d)
( )
( )
C A B
C
A 0,B 0,A B
A B
A B
−
= ≥ ≥ ≠
−
+
.
( )
( )
C A B
C
A 0,B 0,A B
A B
A B
+
= ≥ ≥ ≠
−
−

:
( 1) ( 1)
1 1
1
a
M
a a a a a
a a
a a a
a
a a
+
 
= +
 ÷
− − − +
 
 
+ +
=
 ÷
− −
 
−
= = −
Suy ra
1
a
1
1M

+ + − − + + −
= = =
− + + −
Bài 2: Cho biểu thức: P=
2
x x x x 1 x 1
.
4
4 x x 1 x 1
   
+ −
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− +
   
a) Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P?
b) Tìm giá trị của x để P = 0
Giải:
a) Điều kiện:
x 0;x 1> ≠

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2

=
b) Để P = 0
( )
x x 1 0
⇔ + =
⇔
x 0
x 1
=


= −

Các giá trị này không thỏa mãn điều kiện, do đó không có giá trị nào của x để P = 0.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
5 5 5 5
5 5 5 5
+ −
+
− +
Bài 2: Cho biểu thức Q =
1 x x
1 x
−
−
a) Tìm điều kiện xác định Q?
b) Rút gọn Q.
c) Tìm x để Q = 1.
Bài 3: Cho phân thức P =

− + −
− + − − +
− + − −
= = = =
− + − + − + − −
2
2
2 2
y 3y xy 3x
y y 3 x y 3 y 3 x y
y 3y xy 3x y 3
x y x y x y x y x y x y x y x y
b)
( )
( )
( )
2
2
3
2
2 2 4
2 4 8 2
8 2
2 2 4
x x
x x
x x
x x x
− +
− +

( )
2 2
2
2
2
2
1 1
1 1 1 2 2
2
1 1 2 4
1 1
1
4 1 4 1
1 1 4
2
x x
x x x x
P
x x x x
x x
x
x x x x
x x x
x x
 
− − +
  
− + −
 
 ÷

x
x
−
> ⇔ > ⇔ <
. Kết hợp với điều kiện ta được:
1
0
3
x
< <
Câu 3: Giải phương trình:
2
14 1
1
x 3
x 9
= +
−
−
Giải: Ta có phương trình
2
14 1
1
x 3
x 9
= +
−
−
( ) ( )
14 1

1
= 4; x
2
= -5 đều thoả mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình có hai nghiệm x
1
= 4; x
2
= -5.
21
Tai liêu ôn tâp môn toan THCS Ngoc Linh ( s u tâm)̀ ́ ̃ ̣̀ ̣ ̣ ư
TIẾT 12: KIỂM TRA
ĐỀ SỐ 1
Câu 1: Rút gọn các phân thức sau:
a)
2 3
2
x 4x 3
x 5x 6
− +
− +
b)
2 2
4 4x 9y 12xy
2x 2 3y
− − −
+ +
c)
2 3 2 3
xy 4y 2xy 4y

c) Tìm x để A < 8.
ĐỀ SỐ 2
Câu 1: Tính:
( ) ( )
2 2
1 1
2 5 2 5
−
− +
Câu 2: Giải phương trình:
4
2 0 (1)
2
x x
x
− + + =
+
Câu 3: Cho biểu thức:
3 2 3 9
1 :
9
3 2 6
a a a a a
A
a
a a a a
   
− − − −
= − + −
 ÷  ÷

4
4x 12xy 9y
4 4x 9y 12xy
b)
2x 2 3y 2x 3y 2
4
2x 3y 2 2x 3y 2 2x 3y
2 2x 3y
2x 3y 2 2 2x 3y
−
+ +
− − −
=
+ + + +
−
+ + + − −
= = = − −
+ + + +
2 3 2 3 2 3 2 3 2
xy 4y 2xy 4y xy 4y 2xy 4y 3xy 3
c)
x y x y x y x y xy
− + − + +
+ = = =
1 đ
1 đ
1đ
Câu 2
( )
( ) ( )

x 1
x
 
− + +
−
 
 
=
 ÷
 
−
 
 
( )
( )
2 2
x 1
x x x x
A .
x 1
x
−
− + +
=
−
2
2 x
A 2 x
x
= =

2 5 2 5
1 1 1 1
5 2 5 2
5 2 5 2
5 2 5 2
4
4
5 4
5 2 5 2
−
− +
= − = −
− +
− +
+ − −
= = =
−
+ −
1 đ
1 đ
Câu 2
Giải: Điều kiện:
0 2 0x x
≥ ⇒ + >
, Ta có:
( )
( )
(1) 2 4 2 0
2 2 (2)
x x x

a) TXĐ:
0; 4a a≥ ≠
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3
( 3) 2 3
1 :
3 2
3 3 2 3
a a
a a a a
A
a a
a a a a
   
− +
− − −
 ÷  ÷
= − + +
 ÷  ÷
+ −
+ − − +
   
2 3 3
1 :
3 3 2 2
a a a a
A
a a a a

3
2
A Z Z
a
∈ ⇔ ∈
−
( )
2a
⇔ −
là ước của 3
2 1 3 9
2 1 1 1
2 3 5 25
2 3 1( )
a a a
a a a
a a a
a a l
 
− = = ⇔ =
 
− = − = ⇔ =
 
⇔ ⇔
 
− = = ⇔ =
 
 
− = − = −
 

ta c x = - đượ
3
2
b) Quy t c nhân v i m t s :ắ ớ ộ ố
Trong m t ph ng trình ta có th nhân c hai v v i cùng m t s khác 0.ộ ươ ể ả ế ớ ộ ố
Ví d 3:ụ Cho ph ng trình: ươ
2
1
x = 3, nhân hai v c a ph ng trình v i 2 ta c:ế ủ ươ ớ đượ
x = 6
Trong m t ph ng trình ta có th chia c hai v cho cùng m t s khác 0.ộ ươ ể ả ế ộ ố
Ví d 4:ụ Cho ph ng trình 3x = -2, chia hai v c a ph ng trình cho 3 ta c: xươ ế ủ ươ đượ
=
3
2−
c) Cách gi i ph ng trình b c nh t m t nả ươ ậ ấ ộ ẩ
T m t ph ng trình, dùng quy t c chuy n v hay quy t c nhân, ta luônừ ộ ươ ắ ể ế ắ
nh n c m t ph ng trình m i t ng ng ph ng trình ã cho.ậ đượ ộ ươ ớ ươ đ ươ ươ đ
Ví d 5: ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
25