GV: ATr Pro 0989. 888. 999

VICTORY LOVES PREPARATION! 1
Buổi 1.
Vấn đề 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
 Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(

):
Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (

).
Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với (

).
 Cách chứng minh đường thẳng a và b vuông góc:
Cách 1: Ta chứng minh góc giữa hai đt đó bằng
0
90
.
Cách 2: Ta chứng minh a//c mà c

b.
Cách 3: Ta chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương
. 0
u v



. Gọi M là
trung điểm của BC. Vẽ AH

MD.
a) Chứng minh AH

(BCD).
b) Cho AD =
4
5
a
.Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.
c) Gọi G
1
, G
2
là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh G
1
G
2

(ABC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và
SBC. Chứng minh rằng:
a) SC vuông góc với mp(BHK). b) HK vuông góc với mp(SBC).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD.
a) Chứng minh SO

(ABCD) và AC


Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, biết SB = SD.
a) Chứng minh (SAC) là mp trung trực của đoạn thẳng BD.
b) Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SH = SK, OH = OK và HK//BD.
Chứng minh (SAC) là mp trung trực của HK.
Bài 8. Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mp khác nhau sao cho AC

BF. Gọi CH và
FK là hai đường cao của tam giác BCE và ADF. Chứng minh:
a) ACH và BFK là các tam giác vuông. b) BF

AH và AC

BK.

GV: ATr Pro 0989. 888. 999

VICTORY LOVES PREPARATION! 2
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có SA

đáy, tam giác ABC cân tại B. Gọi G là trọng tâm của tam giác
SAC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho SN = 2NB. Chứng minh
a) BC

(SAB). b) NG

(SAC).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều, SCD là tam

BAC =
0
30
. Gọi M là một điểm di đọng trên cạnh AC, H là hình chiếu của S trên BM.
a) Chứng minh AH

BM.
b) Đặt AM = x, với
0 3
x  . Tính khoảng cách từ S tới BM theo a và x. Tìm x để khoảng cách này
là lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 13. Cho tam giác ABC có BC = 2a và đường cao AD = a. Trên đường thẳng vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = a
2
. Gọi E, F là trung điểm SB, SC.
a) Chứng minh BC

(SAD).
b) Tính diện tích của tam giác AEF.
Bài 14. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. cạnh bên AA’ = a và vuông góc
với đáy.
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI

BC’.
b) Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh AM

BC’.
c) Gọi K là một điểm trên đoạn A’B’ sao cho KB’ =
4
a

sin sin sin
  
 
.
d) Giả sử AD = a,
0
30
 
 
. Tính BC và

.
Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = SB =
2 3
3
a
.
a) Kẻ SH

(ABC). Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) TÍnh đọ dài SH theo a.
c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC

(SAI).
d) Gọi

là góc giữa SA và SH. Tính

.
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA

Bài 20. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của
BC. Chứng minh:
a) BC

(SAI).
b) SI

(ABC).
Bài 21. Cho tứ diện ABCD có DA

(ABC). Gọi AI là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC.
Hạ HK

DI. Chứng minh:
a) HK

BC.
b) K là trực tâm của tam giác DBC.
Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S
di động. Gọi D, F là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh: AF

SB.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a,
0
120
ASB
 
,
0
90


(SHK).
b) CK

SD.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA

đáy. Hạ AH

SB, AK

SC.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Chứng minh SHK là tam giác vuông.
c) Gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh AC

AD.
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh tâm O, AB = SA = a, SA

đáy. Gọi (P) là
mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, (P) cắt SB, SC, SD tại H, I, K.
a) Chứng minh HK//BD.
b) Chứng minh AH

SB, AK

SD.
c) Chứng minh tứ giác AHIK có hai đường chéo vuông góc. Tính diện tích AHIK theo a.
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC =
3

b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh K là trực tâm của tam giác BCD.

Buổi 2.
Vấn đề 2. Hai mặt phẳng vuông góc.
 Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.(đường nào đây ta??)
Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là
0
90
.
 Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(

):
Cách 3: Nếu hai mp cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng
vuông góc với mặt phẳng này.
Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, một đường thẳng nằm trong mp này mà vuông góc với giao
tuyến thì vuông góc với mp kia.
 Kết quả: +
' os
S Sc



+ Nếu hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau, điểm A thuộc (P) thì mọi đư
ờng thẳng qua
A và vuông góc với (Q) đều nằm trong (P).
 Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương.
 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy.
Chú ý. + Cần phân biệt hai khái niệm Hình chóp đều và hình chóp có đáy là đa giác đều.

(SAC). b) Chứng minh (ABI)

(SBC).
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với mp(ABC).
a) Chứng minh (ABB’)

(ACC’).
b) Gọi AH, AK là đường cao của các tam giác ABC và AB’C’. Chứng minh hai mp(BCC’B’) và
(AB’C’) cùng vuông góc với mp(AHK).
Bài 6(SGK). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a.
a) Chứng minh (SBD)

(ABCD). b) Chứng minh tam giác SBD vuông.
Bài 7.(góc giữa hai mp =
0
90
) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, có cạnh bằng a
và đường chéo BD = a. SC =
6
2
a
và vuông góc với (ABCD). Chứng minh (SAB)

(SAD). GV: ATr Pro 0989. 888. 999

VICTORY LOVES PREPARATION!



(SBC).
b) Kẻ CI

AB, CK

SB. Chứng minh SB

(ICK).
c) Kẻ BM

AC, MN

SC. Chứng minh SC

BN.
d) Chứng minh (CIK)

(SBC) và (MBN)

(SBC).
e) MB cắt CI tại G, CK cắt BN tại H. Chứng minh GH

(SBC).
f) Chứng minh 6 điểm B, C, I, K, M, N cách đều D.
Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SH

đáy với H thuộc đoạn BC.
a) Chứng minh (SBC)


đáy.
a) Chứng minh (SAC)

(SBD).
b) Từ O kẻ OK

BC. Chứng minh BC

(SOA).
c) Chứng minh (SBC)

(SOK).
d) Kẻ OH

SK. Chứng minh OH

(SBC).
Bài 16. Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và nằm
trong mp vuông góc với đáy.
a) Chứng minh (SAB)

(SAD) và (SAB)

(SBC).
b) Tính góc giữa hai mp (SAD) và (SBC).
c) Gọi H, I là trung điểm của AB, BC. Chứng minh (SHC)

(SDI).
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai mp(ASB) và (SAD) cùng vuông góc
với đáy.

a
SC
c
 


. GV: ATr Pro 0989. 888. 999

VICTORY LOVES PREPARATION! 6
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có SA

đáy, đáy ABCD là hình chữ nhật. Hạ AH

SB, AK

SD.
Chứng minh:
a) (SBC)

(SAB). b) (AHK)

(SAC).
Bài 20. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông
góc với (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD =

a) Chứng minh tam giác SAC vuông tại S. b) Chứng minh (SBC)

(SCD).
Bài 23. Trong mp(P), cho hình thoi ABCD với AB = a, AC =
2 6
3
a
. Trên đường thẳng vuông góc với
mp(P) tại giao điểm O của hai đường chéo AC và BD, lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh:
a) Tam giác ASC vuông. b) (SAB)

(SAD).
Bài 24. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, các cạnh đáy có độ dài bằng a, M, N là trung điểm của SB,
SC. Biết (AMN)

(SBC). Tính theo a diện tích tam giác AMN.
Buổi 3.
Dạng 2. Tìm Thiết diện của hình chóp sử dụng quan hệ vuông góc.
 Cách xác định mp(

) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d:
Cách 1: + Kẻ đường thẳng a qua A và vuông góc với d.
+ Tìm đường thẳng b cắt a và b

d.
Khi đó, mp(a,b) chính là mp(

) cần dựng.
Cách 2: Sử dụng kết quả ở dưới.
 Cách xác định mp(

(SBC).
c) Tính độ dài đoạn AH.
d) Từ trung điểm O của đoạn AC vẽ OK

(SBC). Tính độ dài đoạn OK.
Bài 27. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Kẻ CK

BD.
a) Chứng minh C’K

BD.
b) Chứng minh (C’BD)

(C’CK).
c) Kẻ CH

C’K. Chứng minh CH

(C’BD).

GV: ATr Pro 0989. 888. 999

VICTORY LOVES PREPARATION! 7
Bài 28. Cho tam giác ACD và BCD nằm trong hai mp vuông góc với nhau. AC = AD = BC = BD = a và
CD = 2x. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD.
a) Chứng minh IJ


Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, hai đáy là AD = 2a, BC = a. Biết AB
= a, SA =
2
a
và SA

đáy.
a) Chứng minh (SAC)

(SDC).
b) Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P) chứa AB và vuông góc với mp(SDC). Tính diện
tích thiết diện theo a.
Bài 32. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a,
b, x, y để:
a) (ABC)

(BCD). b) (ABC)

(ACD).
Bài 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA

đáy. Gọi M, N là hai điểm thuộc các
cạnh BC, CD sao cho BM = x, DN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, x và y để (SAM)

(SMN).
Bài 34. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = a. Gọi I, K là trung điểm của AB, CD. Một
mp(P) qua CD và vuông góc với (SAB) cắt SA, SB tại M và N.
a) Chứng minh (SIK)

(SAB).

 
, SB

(ABC) và SB =
2a.
a) Chứng minh (SAC)

(SAB).
b) Lấy điểm M thuộc đoạn AB sao cho BM = x, 0 < x < a. Qua M dựng mp(Q) song song với AC và
SB.Tính diện tích thiết diện của (Q) với hình chóp. Tìm x để diện tích này lớn nhất.
GV: ATr Pro 0989. 888. 999

VICTORY LOVES PREPARATION! 8
Buổi 4.
Vấn đề 3. Góc.
I. Góc giữa hai đường thẳng.
 Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b:
Chọn điểm O thích hợp, rồi kẻ hai đường thẳng đi qua điểm O: a’//a và b’//b.

 Chú ý. +
0 0
0 90

 

+
. 0.
AB CD AB CD
  
 

+ Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì
0
0


.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC =
2
a
. Tính góc giữa hai đường
thẳng SC và AB.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của BC và AD.
a) Tính góc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện đều cạnh bằng a.
b) Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN =
3
a
.
c) Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN =


BC. Tính góc giữa hai đường
thẳng SD và BC.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K là trung điểm của BC, AC, AD, BD. Hãy tính góc giữa hai
đường thẳng AB và CD trong các trường hợp:
a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo IH =
3
IJ.
b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật.
Bài 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a (hình hộp thoi),
0
60
BAD
 
,
0
' ' 120
BAA DAA
   
.
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D.
b) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’.
c) Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.
Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b và AA’ = c.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và A’C.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và các tam giác SAB, SBC, SCA vuông tại S. Gọi M
là trung điểm BC. Tính góc giữa AC và SM.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy là hình vuông. Gọi N là trung điểm
SB. Tính góc giữa AN và CN, AN và SD.

hoặc
( )
d mp P

thì
0
0


.
+ Tính chất của trục đường tròn:
a) ĐN. Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
1 2

n
A A A
. Đường thẳng đi qua O và vuông góc
với mp chứa đa giác gọi là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đã cho.
b) Tính chất: Nếu
1 2

n
SA SA SA
  
thì S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đa giác
1 2

n
A A A
.


 
. Gọi I là hình chiếu của B trên SC. Xác định

để góc giữa BI và mp(SAC) là
0
60
.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Biết SD =
3
a
, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a.
b) Chứng minh (SBD) là mặt phẳng trung trực của AC và SBD là tam giác vuông.
c) Xác định góc giữa SD và mp(ABCD).
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a nằm trong mp(P), cạnh AC =
2
a
và tạo với (P) một
góc
0
60
. Tính góc giữa BC và (P).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC =
2 3
3
a
và đáy ABC là tam giác đều cạnh a.
a) Gọi H là hình chiếu của S trên mp(ABC). Tính SH.
b) Tính góc giữa SA và (ABC).
A

b) Tính góc giữa SD và (SAC).
Buổi 5.
Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SA,
BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là
0
60
.
a) Tính MN và SO.
b) Tính góc giữa MN và (SBD).
Bài 12. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết BC’ hợp với
mp(ABB’A’) góc
0
30
.
a) Tính AA’.
b) Gọi M, N là trung điểm của AC và BB’. Tính góc giữa MN và mp(BA’C’).
Bài 13. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Gọi M, N là
trung điểm của AB và B’C’. Biết MN = a và MN hợp với đáy góc

và mặt bên (BCC’B’) góc

.
a) Tính cạnh bên và các cạnh đáy của lăng trụ theo a và

.
b) Chứng minh
os 2sin
c
 



Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AD

(BCD) và AB = a. Biết BCD là tam giác đều cạnh 2a. Tính góc


giữa hai mp(ACD) và (BCD).
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc
0
60
. Tính
góc giữa các mặt phẳng:
a) (SAB) và (SCD).
b) (SAB) và (SBC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA

đáy, SA = x. Tìm x để hai mp(SBC)
và (SCD) tạo với nhau góc
0
60
.
Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a nằm trong mp(P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) vẽ từ B
và C lấy các đoạn BD =
2
2
a
, CE =
2
a
nằm cùng một bên đối với (P).

(SCB).
b) Gọi

là góc giữa hai mp(SBC) và (ABCD). Tính
tan

.
Bài 8. Cho tứ diện SABC, hai mp(SAB) và (SBC) vuông góc với nhau và SA

(ABC), SB =
2
a
,
0
45
BSC
  ,
ASB

 
.
a) Chứng minh BC

SB. Tìm điểm cách đều 4 điểm S, A, B, C.
b) Xác định

để hai mp(SAC) và (SCB) tạo với nhau góc
0
60
.

D, trong đó B
1
, D
1
là trung điểm của SA, SB. Gọi H
1
là giao điểm
của đường cao SH của tam giác SAB với mp(A
1
B
1
CD). Chứng minh SO
1
vuông góc với SA và CD.
Tính góc giữa mp(A
1
B
1
O
1
) với các mp(P) và (Q).
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA
=
3
a
và vuông góc với đáy.
a) Tính góc giữa hai mp(SAD) và (SBC).
b) Tính góc giữa hai mp(SCD) và (SBC).
Bài 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = a. Tính góc giữa hai
mp(ABC’) và (BCA’).

BC.
b) Tính góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD).
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có SA

đáy, hai mặt bên (SBC) và (SCD) hợp với nhau góc
0
45
. Mặt
đáy ABCD có AB = AD = a, CB = CD =
2
a
. DA

DC và BA

BC. Tính góc giữa:
a) SC và (ABCD).
b) (SBD) và (ABCD).
Bài 19. Cho hình chóp M.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.
a) Tính góc giữa hai mp(ABC) và (MBC) khi biết diện tích tam giác MBC =
2
3
2
a
.
b) Cho MA = a. Tính góc giữa hai mp(MBC) và (MAB).
Bài 20.

GV: ATr Pro 0989. 888. 999

VICTORY LOVES PREPARATION! 13
Buổi 6.
Vấn đề 4. Khoảng cách.
I. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng – khoảng cách từ đường
thẳng đến mặt phẳng song song – khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
 Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng

, đến mp(P):
+
( , )
d A AH


, H là hình chiếu của A trên

.
+
( ,( ))
d A P AH

, H là hình chiếu của A trên mp(P).
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: là khoảng cách từ một điểm nằm trên đường thẳng

trung điểm của SC và AB.
a) Chứng minh IO

(ABCD).
b) Tính khoảng cách từ I đến CJ.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD =
2a, SA

đáy và SA =
6
a
.
a) Tính khoảng cách từ A, B đến (SCD).
b) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).
Bài 3. Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a và
0
' ' 60
BAD BAA DAA
      . Tính khoảng cách giữa hai mp đáy (ABCD) và (A’B’C’D’).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với BC = 2a,
0
60
ABC
 
. Gọi M là trung
điểm BC. Biết SA = SB = SC =
5
a
.
a) Tính chiều cao của hình chóp.

Bài 9. Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, AC = 8cm. Trên đường thẳng vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho AS = 4cm. Tính khoảng cách từ O đến BC.
Bài 10. Cho góc vuông xOy và điểm M nằm ngoài mp chứa góc vuông. Biết OM = 23cm và khoảng
cách từ M tới hai cạnh góc vuông Ox, Oy đều bằng 17cm. Tính khoảng cách từ M đến mp chứa góc
vuông.
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = a và nằm trong mp(P), cạnh AC =
2
a
và tạo với
(P) góc
0
60
.
a) Tính khoảng cách từ C tới (P).
b) Tính góc tạo bởi BC và (P).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có SA

đáy, SA = 2a, tam giác ABC vuông tại C với AB = 2a,
0
30
BAC
  . Gọi M là điểm di động trên AC, H là hình chiếu của S trên BM.
a) Chứng minh AH

BM.
b) Đặt AM = x,
0 3
x  . Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x. Tìm x để khoảng cách này lớn
nhất, nhỏ nhất.
Bài 13. Cho tam giác ABC cân đỉnh A có

0 0 0
90 , 60 , 120
ASB BSC ASC     
và SA = SB = SC = a. Gọi
I là trung điểm của AC.
a) Chứng minh SI

(ABC).
b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC).
Bài 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB = a,
BAC

 
, SA = SB = SC =
2
2
a
. Tính chiều cao của hình chóp.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, SA = a và vuông góc với
đáy.
a) Chứng minh (SAB)

(SBC).
b) Tính chiều cao của hình chóp.
c) Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
 
. Tính khoảng cách từ D đến BM theo a và x. Tìm
x để khoảng cách này lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SA

đáy và SA =
3
a
.
a) Tính khoảng cách từ A tới mp(SBC).
b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
c) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp(SAC).
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và SA

đáy.
a) Gọi I là trung điểm của SD. Chứng minh AI

(SCD).
b) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SBC đến mp(ABCD).
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA = a và SA

đáy. Gọi
I, M là trung điểm của SC, CD.
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
b) Tính khoảng cách từ I đến (SBD).
c) Tính khoảng cách từ A đến (SBM).
Bài 25. Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a và AC = a. Từ trung điểm H của AB dựng SH

(ABCD)
với SH = a.

VICTORY LOVES PREPARATION! 16
Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi với
0
120
A
 
, BD = a, SA

đáy, góc giữa
mp(SBC) và mp đáy là
0
60
. Tính:
a) Đường cao của hình chóp.
b) Khoảng cách từ A đến (SBC).
Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có SA

đáy, đáy là hình thoi tâm O, SA = AC = 2a,
0
60
ABC
  .
Tính:
a) Khoảng cách từ O đến SC.
b) Khoảng cách từ D đến SB.
Bài 32. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c.
a) Tính khoảng cách từ AA’ đến mp(BDD’B’).

 Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
+ Tính thông qua khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song.
+ Tính thông qua khoảng cách giữa hai mp song song chứa hai đường thẳng đã cho.
+ Tính độ dài đường vuông góc chung.
 Cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1:
Cách 2:
Cách 3:
Bài 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng BB’ và AC’.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA

đáy và SA = a. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng:
a) SB và AD. b) BD và SC.
Bài 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm
của tam giác ABC.
a) Tính chiều cao của hình chóp.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG.

GV: ATr Pro 0989. 888. 999

VICTORY LOVES PREPARATION! 17
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A bằng
0
60
và có đường cao SO

Bài 10. Cho hai tam giác cân ABC và ABD có chung đáy BC và nằm trên hai mp khác nhau.
a) Chứng minh AB

CD.
b) Xác định đường vuông góc chung của AB và CD.
Bài 11. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD

BC, AD = a và khoảng cách từ D đến
BC là a. Gọi H là trung điểm BC và I là trung điểm của AH.
a) Chứng minh BD

(ADH) và DH = a.
b) Chứng minh DI

(ABC).
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AD và BC.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở C, SA

đáy, AC = a, BC = b, SA = h. Gọi M,
N là trung điểm của AC, SB.
a) Tính độ dài MN.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h để MN là đoạn vuông góc chung của AC và SB.
Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, CA = b, CB = a, SA = h và SA

đáy. Gọi
D là trung điểm của AB. Tính:
a) Góc giữa hai đường thẳng AC và SD.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có SA

(SBC).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên hình chóp
bẳng nhau và bằng
2
a
.
a) Tính chiều cao của hình chóp.
b) Gọi E, F là trung điểm của AB, CD; K là điểm bất kì thuộc AD. Chứng minh khoảng cách giữa hai
đường thẳng EF và SK không phụ thuộc vào vị trí của K, hãy tính khoảng cách đó theo a.
Bài 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a, I là trung điểm AB. Dựng IS

(ABCD) sao cho
3
2
a
SI  . Gọi
M, N, P là trung điểm của BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp
đường thẳng sau:
a) AB và SD. b) SA và BD. c) NP và AC. d) MN và AP.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA

đáy và SA = a. Tính :
a) Khoảng cách từ S đến mp(A’CD) với A’ là trung điểm SA.
b) Khoảng cách giữa AC và SD.
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi H là trung điểm của AD,
SH

đáy, SAD là tam giác đều.
a) Chứng minh

GV: ATr Pro 0989. 888. 999

VICTORY LOVES PREPARATION! 19
Vấn đề 5. Một số bài toán HHKG trong các đề thi ĐH – CĐ.
Bài 1. (ĐH – CĐ A 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN)
vuông góc với mp(SBC).
Bài 2. (ĐH – CĐ B 2002). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
Bài 3. (ĐH – CĐ D 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD
= 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD).
Bài 4. (ĐH – CĐ B 2003). Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi
cạnh a, góc

BAD bằng
0
60

, BA
= BC =a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a
2
. Gọi H là hình chiếu cuông góc của A
trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H tới mặt phẳng (SCD).
Bài 11. (ĐH – CĐ A 2008). Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC = a
3
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm
của cạnh BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.
Bài 12. (ĐH – CĐ B 2008). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a
3

và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính cosin góc giữa hai
đường thẳng SM và DN.
Bài 13. (ĐH – CĐ D 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC
= a, cạnh bên AA’ = a
2
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và
B’C.
Bài 14. (ĐH – CĐ D 2009). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a, AA’ = a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính khoảng
cách từ A đến mp(IBC).
Bài 15. (ĐH – CĐ A 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N là trung
điểm của AB, AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH = a
3
.
Tính theo a khoảng cách giữa DM và SC.
Sương thì đẫm quá trăng sao lại nhoà
Người ta mặc kệ người ta
Chỉ em rất thật đàn bà với anh

Thôi rồi đắt lắm tiết trinh
Hồn em nhập bát cháo hành nghìn năm./.”