GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

1
Giới hạn
A. Kiến thức sách giáo khoa
I. Giới hạn của dãy số
1. Dãy số có giới hạn 0
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dy số
(
)
n
u
có giới hạn 0, kí hiệu
(
)
n
lim u 0
=
(hay
n
lim u 0
=
), nếu với mọi số dơng nhỏ bao
nhiêu tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dơng đó.
b. Tính chất:
( ) ( )
n
1 1
lim 0; lim 0 0 ; lim q 0 | q | 1
n
n

, nếu
(
)
n
lim u L 0
=

(
)
n n
lim u L lim u L 0
= =

b. Các định lí:
Cho (u
n
) mà u
n
= c, n :
n
lim u c
=

limu
n
= L
n
3
3
n

n
n n
v u w , n
lim u L
lim v lim w L L




=

= =



(2)
Dy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dy (v
n
) giảm và bị chặn dới thì có giới hạn. (3)
c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

n
2 n 1
n 1 1 1 1 1
1 q
S u u q u q u q u . ;
1 q

3
lim n ; lim n ;lim n
= + = + = +

b. Dy số có giới hạn -
Ta nói rằng dy (u
n
) có giới hạn là - , kí hiệu limu
n
= -, nếu với mọi số âm tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dy số,
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
c. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc nhân
n
lim u

n
lim v

(
)
n n
lim u .vn
lim u

n
lim v






+



+






+



+

Quy tắc chia
n

+

II. Giới hạn của hàm số
1. Giới hạn hữu hạn
a. Giới hạn hữu hạn
Cho
(
)
0
x a; b

và f là hàm số xác định trên tập
(
)
{
}
0
a;b \ x
. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu
(
)
0
x x
lim f x L

=
, khi x dần đến
0
x
(hoặc tại điểm

(
)
0
x x
lim f x

= +
nếu mọi dy
(
)
n
x
trong tập
(
)
{
}
0
a;b \ x
mà
n 0
lim x x
=
thì
(
)
n
lim f x
= +


)
n
lim f x L
=

3. Các định lí
a. Định lí 1: Giả sử
(
)
0
x x
lim f x L

=
và
(
)
(
)
0
x x
lim g x M L, M

=

. Khi đó:

(
)
(

= (
)
( )
( )
0
x x
f x
L
lim M 0
g x M

=

b. Định lí 2: Giả sử
(
)
0
x x
lim f x L

=
. Khi đó:

(

thì
L 0

và
( )
0
x x
lim f x L

=
.
c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa
0
x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp
{
}
0
J \ x
. Khi đó:
{
}
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )

, kí hiệu:
(
)
0
x x
lim f x L
+

=
, nếu với mọi dy số
(
)
n
x
trong khoảng
(
)
0
x ;b
mà
n 0
lim x x
=
, ta đều có
(
)
n
lim f x L
=
.

n 0
lim x x
=
, ta đều có
(
)
n
lim f x L
=
.
Các định nghĩa
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0
x x x x x x x x
lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x
+ +

= + = = + =
đợc phát biểu tơng tự nh trên.
b. Định lí:

(
)


b. Quy tắc chia

(
)
0
x x
lim f x


(
)
0
x x
lim g x L 0

=
có dấu
(
)
(
)
0
x x
lim f x .g x

+
++ +
+

+



+






+


+


+
ta gặp các dạng
vô địn, kí hiệu
0
, , 0. ,
0



, lúc đó ta không dùng đợc các định lí về giới hạn cũng nh các quy tắc tìm giới hạn vô
cực. Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đ biết gọi là phép khử các dạng vô định
B. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Phơng pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dy số.
Ví dụ 1: Tìm:
2
3
2
8n 3n
lim
n


Giải:
GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

3
2
3
3

1
n= = =

+
+

Ví dụ 3: Tìm:
(
)
2
lim n 1 n 1
+

Giải:
(
)
2
2
2
2n 2
lim n 1 n 1 lim lim 1
1 1
n 1 n 1
1 1
n
n


n n
v u w , n
lim u L
lim v lim w L L



=

= =



(2)
Ví dụ: Chứng minh:
( )
n
1 cos n
lim 0
n

=

Giải:
Ta có:
( )
n
1 cos n
1
n n

n
u
cho bởi
( )
n
1
u
n n 1
=
+
có giới hạn.
Giải:
Ta có
( ) ( )
(
)
n 1
n
n n 1
u
1 n
. 1, n.
u n 1 n 2 1 n 2
+
+
= = <
+ + +
Do đó dy
(
)

= <


Ví dụ: Tính tổng
2 n
1 1 1
S 1
2
2 2
= + + + + +

Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
q 1
2
= <
và
1
u 1
=
. Vậy:
1
u
1
S 2
1
1 q
1
2

3 1
3n 1
n n
+
+
=
+
+

Lại có
2 3 2
4 3 3 1
lim 2 2 0,lim 0
nn n n

+ = < + =


và
( )
*
3
3 1
0 n
n
n
+ >

nên suy ra:


n 2
2
2n 4n 3
n n
n n
lim lim lim n.
1
1
3n 1
3
n 3
n
n +
+ +

= =

++
+
Phơng pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc
Ví dụ 1: Tính:
x 0
1
lim x.sin
x

.
Giải:
Xét dy
(
)
n
x
mà
n
x 0, n

và
n
lim x 0
=
. Ta có:
( )
n n n
n
1

+ +

Giải:
Ta có:
(
)
2 2
2
2 2
x x x x
2
1
1
x x 1 x x 1 1
x
lim x x 1 x lim lim lim
2
1 1
x x 1 x x x 1 x
1 1
x x
+ + + +
+
+ + +
+ + = = = =
+ + + + + +
+ + +

Ví dụ 3: Tính:
(

+ + + = = = =
+ + + +
+ +


(Chú ý: khi
x

là ta xét x < 0, nên
2
x x
=
)
Dạng 7: Chứng minh
(
)
0
x x
lim f x 0

=
(Hoặc bằng L)
Phơng pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp
Giả sử J là một khoảng chứa
0
x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp
{
}
0

Ví dụ: Chứng minh:
2
4
x
x sin x
lim 0
1 x
+
=
+

Giải:
Ta luôn có:
( ) ( )
2 2 2 2
4 4 4 4
x sin x x x x
| f x | f x
1 x 1 x 1 x 1 x
=
+ + + +

GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

5

2 2 2 2 2
2 2
4 4 4 4 4
x x x x x x x

=




với
với
. Tìm
(
)
x 1
lim f x


Giải:
Ta có:
( )
( )
( )
(
)
( )
2
2
x 1 x 1
lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1
+ +

= = =
(1)

khi

>


+
=



<

+

a. Tìm
(
)
x 2
lim f x


b. Tìm
(
)
x 1
lim f x


Giải:
a.

(
)
x 1
lim f x


(Chú ý:
(
)
0
x x
lim f x

tồn tại khi và chỉ khi
(
)
(
)
0 0
x x x x
lim f x lim f x L
+

= =
thì
(
)
0
x x
lim f x L

= +
và
2
2
x x
1
lim 4 2 0 lim 4x 1
x

= > = +

Dạng 10: Khử dạng vô định
Phơng pháp giải
1. Khi tìm giới hạn dạng
(
)
( )
0
x x
P x
lim
Q x

, với
(
)
(
)
0 0
x x x x

x 9x 14
lim lim lim x 7 5
x 2 x 2


+
= = = Ví dụ 2: Tìm:
x 0
4 x 2
lim
4x

+

Giải:

(
)
(
)
( ) ( ) ( )
x 0 x 0 x 0 x 0
4 x 2 4 x 2
4 x 2 4 x 4 1 1
lim lim lim lim
4x 16
4x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2

2
3 3
3
3
3
x 1 x 1 x 1
2 2
3 3
3 3
x 7 2 x 7 2. x 7 4
x 7 2 x 7 2
lim lim lim
x 1
x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 x 7 2. x 7 4

+ + + + +
+ +
= =

+ + + + + + + +( )
( )
x 1
2
3
3
1 1
lim

)
x 2 x 2 x 2 x 2
2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 2
2x 5 3 4
lim lim lim lim
3
x 2 2 2x 5 3
x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 4 2x 5 3

+ + + + + + + + + +
+
= = = =
+ + +
+ + + + + + + +

Ví dụ 5: Tìm:
3
x 1
x 3x 2
lim
x 1




Giải:

(
)
(
+
+
Ví dụ 6: Tìm:
4
3
x 1
x 2 1
lim
x 2 1

+
+

Giải:
Đặt
12 12
12
t x 2 x 2 t x t 2,khi x 1 t 1
đó thì
= + + = =
. Do đó:

(
)
(

x 1
x 7 x 3
lim
x 1

+ +


Giải:(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
3
3 3
x 1 x 1 x 1
3
2
x 1
3 3
2
x 1
3

+ +

+ + + +
= = =

+ +
+ + + +2. Khi tìm giới hạn dạng
(
)
( )
x
P x
lim
Q x

, ta lu ý:
Đặt
m
x
(m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
Sử dụng kết quả:

2
4 1
3
3x 4x 1 3
x x
lim lim
1 1
2
2x x 1
2
x x
+ +
+
+
= =
+ +
+ +

GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

7
Ví dụ 2:
Tìm:
2
x
x x 1 3x
lim
2 3x

+ +

lim
4x x 2 3x

+ +
+ +

Giải:3
3
3 2
3
3
2
x x
2
3 1
8 1
8x 3x 1 x 8 1
x x
lim lim 1
1 2 4 3
4x x 2 3x
4 3
x
x

+ +
+ +

3 2
2
x 3
x 4x 4x 3
lim
x 3x

+


4.
4 3 2
4 3 2
x 1
2x 5x 3x 1
lim
3x 8x 6x 1

+ +
+
5.
3
4
x 1
x 3x 2
lim
x 4x 3

+
+

lim
x

+ + +
9.
(
)
(
)
(
)
(
)
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1 nx 1
lim
x

+ + + +

2. Tìm các giới hạn hàm số sau:

1.
x 2
x 2
lim
3 x 7


+

x 2
4x 2
lim
x 2




6.
3
2
2
x 0
1 x 1
lim
x

+

7.
( )
3
2
3
2
x 1
x 2 x 1
lim
x 1



11.
( )
2
2
x 1
3x 2 4x x 2
lim
x 3x 2


+

12.
x 1
2x 2 3x 1
lim
x 1

+ +


13.
2 2
2
x 3
x 2x 6 x 2x 6
lim
x 4x 3


x 1
x 7 x 3
lim
x 3x 2

+ +
+

2.

3
x 0
2 1 x 8 x
lim
x

+
3.

3
x 0
1 x 1 x
lim
x

+

4.

3



7.
3
x 0
1 4x 1 6x 1
lim
x

+ +
8.
3
2
x 0
1 2x 1 3x
lim
x

+ +4. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1.

3 2
4 3 2
x
2x 3x 4x 1
lim
x 5x 2x x 3


( ) ( )
( )
20 30
50
x
2x 3 3x 2
lim
2x 1

+
+
5.

2
2
x
x 2x 3x
lim
4x 1 x 2

+ +
+ +

6.

x
5x 3 1 x
lim
1 x

lim x x x
+

+
4.

2
x
lim x. x 1 x
+

+

5.

2
x
lim x 4x 9 2x


+ +

6.

2 4 4
x
lim x 3x 5 3x 2

1. Dy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a.
1
n
b.
1
n
c.
2n 1
n
+
d.
cos n
n

2. Dy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a.
n
5
3
b.
n
1
3

1,013
d.
( )
n
1,901


4. Dy số nào sau đây không có giới hạn?
a.
( )
n
0,99
b.
( )
n
1

c.
( )
n
0,99

d.
( )
n
0,89


5. Gọi
( )


d.
( )
n
1
n


Dãy số có giới giạn hữu hạn
7. Cho
n
1 4n
u
5n

=
. Khi đó u
n
bằng
a.
3
5
b.
3
5

c.
4
5
d.

3
c. 3 d. 9
10. Tổng của cấp số nhân vô hạn
( )
n 1
n
1
1 1 1
, , , , ,
2 4 8 2
+


là
a. 1 b.
1
3
c.
1
3

d.
2
3


11. Tổng của cấp số nhân vô hạn
( )
n 1
n

là
a.
8
3
b.
3
4
c.
2
3
d.
3
8

13. Tổng của cấp số nhân vô hạn:
( )
n 1
n 1
1
1 1 1
1, , , , , ,
2 4 8 2
+



là
a.
2
3

b. 3 c. 5 d.
+

16.
(
)
3 2
lim 3n 2n 5
+
bằng
a.

b. 6 c. 3 d.
+

GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cò Nòi

9
17.
2
3
lim
4n 2n 1
−
− +
b»ng
a.
−∞
b.
3

c.
3
4
d.
2
7

20.
4
4
2n 2n 2
lim
4n 2n 5
− +
+ +
b
ằ
ng
a. 0 b.
+∞
c.
1
2
d.
3
11

21.
2 4
4

5
7
c. 0 d.
+∞

23. Dy sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ
+∞
?
a.
2 3
n
u 3n n
= −
b.
2 3
n
u n 4n
= −
c.
2
n
u 4n 3n
= −
d.
3 4
n
u 3n n
= −

24. Dy sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ -

b»ng
a. 0 b. 1 c. 2 d.
+∞

26. KÕt qu¶
(
)
lim n 10 n
+ −
lµ
a. +
∞
b. 10 c. 10 d. 0
27. KÕt qu¶
2
2
3 2n 4n
lim
4n 5n 3
− +
+ −
lµ
a. 0 b. 1 c.
3
4
d.
4
3
−


L 8
+
b.
1
L 8
+
c.
3
1
L 2
+
d.
3
1
L 8
+

30.
2n 3
lim
2n 5
+
+
b»ng
a.
5
7
b.
5
2

GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

10
33.
3
3
n n
lim
6n 2
+
+
bằng
a.
1
6
b.
1
4
c.
3
2
6
d. 0
34.
(
)
2 2
lim n n 1 n 3
+
bằng bao nhiêu?

2
1 2n
5n 3n

+
c.
2
2
1 2n
5n 3n

+
d.
2
n
2
n 2
u
5n 3n

=
+

37. Dy số nào sau đây có giới hạn là +

?
a.
2
n
2

+

38. Dy số nào sau đây có giới hạn +

?
a.
2
n
2
9n 7n
u
n n
+
=
+
b.
n
2007 2008n
u
n 1
+
=
+
c.
2
n
u 2008n 2007n
=
d.
2

3
2
2n 3
lim
2n 1
40. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
a.
2
3
2n 3
lim
2n 4


b.
3
2
2n 3n
lim
2n 1


c.
2 4
3 2
2n 3n
lim


c.
2 4
3 2
2n 3n
lim
2n n

+
d.
3
2
3 2n
lim
2n 1
+


42. Dy số nào sau đây có giới hạn bằng
1
5
?
a.
2
n
2
n 2n
u
5n 5n


(
)
2 2
L lim n n 2 n 4

= + thì L bằng
a.
+
b.
7 1

c.
7
2
d. 0
44. Gọi
(
)
2 2
L lim n n 2 n 4

= + . Khi đó L bằng
a.
+

2 2
lim n 2n n 2n
+
có kết quả là
a. 1 b. 2 c. 4 d.
+

50. Dy số nào sau đây có giới hạn
1
3

?
a.
2 3
n
3 2
n 3n
u
9n n 1

=
+
b.
2
n
2
2n n
u
3n 5
+

2
x 1
lim x x 7
→−
− +
b»ng
a. 5 b. 7 c. 9 d.
+∞

52.
(
)
2
x 2
lim 3x 3x 8
→−
− −
b»ng
a.
2
−
b. 5 c. 9 d. 10
53.
2
x 1
x 3x 2
lim
x 1
→
− +

3x 2x
lim
5x 3x 1
→
−
+ +
b»ng
a.
1
9
b.
3
5
c.
2
5
−
d.
2
3
−

56.
2 5
4
x 1
3x x
lim
x x 5
→−

−
b.
12
5
c.
4
3
d.
+∞

58.
4 5
4 5
x 1
x 2x
lim
2x 3x 2
→
−
+ +
b»ng
a.
1
12
−
b.
1
7
−
c.


60.
3
x 1
lim 4x 2x 3
→−
− −
b»ng
a. 5 b. 3 c. 1 d.
5
−

61.
3
3
2
x 1
x 1
lim
x 3 2
→−
+
+ −
b»ng
a. 0 b. 1 c.
3
1
4 2
−
−

→+∞
− +
+ +
b»ng
a. 0 b.
4
9
c.
3
5
d.
+∞

64.
4 5
4
x
3x 2x
lim
5x 3x 2
→+∞
−
+ +
b»ng
a.
2
5
−
b.
3

66.
4 5
5 4
x
3x 4x 2
lim
9x 5x 4
→+∞
+ +
+ +
b»ng
a. 0 b.
1
3
c.
5
3
d.
2
3

67.
4 2
2
x 2
x 4x 3
lim
7x 9x 1
→−
− +

8
c.
3
8
d.
+∞

Giíi h¹n mét bªn
69.
x 3
| x 3 |
lim
3x 6
+
→
−
−
b»ng
a.
1
2
b.
1
6
c. 0 d.
+∞

70.
3
2

1
2
c.
−∞
d.
+∞

72.
2
x 1
x 1
lim
x 1
+
→
+
−
lµ
a.
+∞
b. 2 c. 1 d.
−∞

73.
3
2
x 2
x 2x 3
lim
x 2x

2
5
c.
1
−
d.
−∞

75.
2
3 2
x 1
x 4x 3
lim
x x
+
→−
+ +
+
lµ
a.
1
−
b. 0 c. 1 d.
+∞

76. Cho hµm sè:
( )
2
x 3x 1 x 2

f x
x 3x x 1
víi
víi

− ≥

=

− <


. Khi ®ã
(
)
x 1
lim f x
−
→
b»ng
a. – 4 b. –3 c. –2 d. 2
78. Cho hµm sè
( )
2
2 x 3
x 1
x 1
y f x
1
khi x 1

+∞

GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cò Nòi

13
79. Cho hµm sè:
( )
2
x 1
x 1
f x
1 x
2x 2 x 1
víi
víi

+
<

=
−


− ≥

. Khi ®ã
(
)
x 1
lim f x

+
→
b»ng
a.
−∞
b. 2 c. 4 d.
+∞

Mét vµi quy t¨c t×m giíi h¹n v« cùc (d¹ng v« ®Þnh)
81. Cho
2
2
x 1
2x 3x 1
L lim
1 x
→
− +
=
−
. Khi ®ã
a.
1
L
2
=
b.

=
b.
4
L
5
= −
c.
1
L
2
=
d.
1
L
2
= −

83.
2
x 2
x 3x 2
lim
2x 4
→
− +
−
b»ng
a.
+∞
b.

85.
2
x 5
x 12x 35
lim
5x 25
→
− +
−
b»ng
a.
+∞
b.
1
5
c.
2
5
d.
2
5
−

86.
2
2
x
x 2x 3x
lim
4x 1 x 2

−∞

88.
(
)
2
x
lim x x 5 x
→+∞
+ −
b»ng
a.
5
b.
5
2
c.
5
2
d.
+∞

89.
(
)
2
x
lim x x 2 x
→+∞
+ −

2
4a
b.
3
3a
c.
3
4a
d.
+∞

92.
4
3
y 1
y 1
lim
y 1
→
−
−
b»ng
a.
+∞
b. 0 c.
3
4
d.
4
3

a. 0 b. 1 c. 2 d.
+

95.
2
x 0
x 1 x x 1
lim
x

+ + +
bằng
a. 0 b. 1 c.
1
2

d.


96.
3
2
x 1
x 1
lim
x 3 2

+
+
bằng

lim
2x 10



bằng
a. 4 b. 1 c. 4 d.
+

99.
2
x 5
x 9x 20
lim
2x 10


+
bằng
a.
5
2

b. 2 c.
3
2

d.
+



+
+
bằng
a. 3 b. 1 c. 0 d. 1
102.
( )
3
x
x
lim x 5
x 1
+
+

bằng
a. 0 b. 1 c. 2 d.
+

103.
2
3
x 1
x 3x 2
lim
x 1

+

bằng

)
x
lim x 5 x 7
+
+
bằng
a.
+
b. 4 c. 0 d.


106.
2
x 3
3x 7x
lim
2x 3


+
bằng
a.
3
2
b. 2 c. 6 d.
+

107.
2
x 1

x 2x 15
lim
2x 10
→
+ −
+
b»ng

a)
7
2
−

2.
2
x 5
x 3x 10
lim
2x 10
→
+ −
+
b»ng b) 0
3.
2
x 5
x 2x 15
lim
3x 15
→