Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010
-
2011
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
ôô
ôn
nn
n Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố 9
99
9
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh biết dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ
nhất của một biểu thức đại số
Kĩ năng
- Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức
Thái độ
- Học sinh tích cực giải bài tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: - HS:C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chức Tổ chức
Tổ chức
II.
Hớng dẫn: Vì x > 0 và y > 0 nên
1 1
0; 0; x 0; y 0
x y
> > > >
Vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng
1 1
;
x y
tìm đợc
xy 4
Tiếp tục vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng
x và y
Ta có:
A x y 2 x . y 2 4 4
= + = =
Dấu = xảy ra
x = y = 4. Vậy Min A = 4
x = y = 4
Phơng pháp 2: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của
bình phơng biểu thức đó.
*) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
3x 5 7 3x
A
5x
=
Hớng dẫn: ĐKXĐ:
x 9
(
)
x 9
x 9
1
.3
3
x 9 3
2 3
1
A
5x 5x 5x 30
+
= = =
Dấu = xảy ra
x = 18
x = 2
Vậy Min A = 8
x = 2
2) Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với
một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của
một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho (có thể sai khác một
hằng số)
*) Bài tập 5: Cho
9x
2
0 x 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2 x x
< < +
Hớng dẫn:
9x 9x 9x
2 2 x 2 x
A = 1 2. . 1 7
2 x x 2 x x 2 x x
+ = + + + =
Dấu = xảy ra
x =
1
2
-
2011
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố 9
99
9
Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dơng
2
y z
x
và
y z 4
+
Cộng vế với vế của ba bất đẳng trên ta đợc
P 1
Dấu = xảy ra
x = y = z =
2
3
Vậy Min P = 1
x = y = z =
2
3
II
II II
II
Luyện tập
Luyện tập Luyện tập
Luyện tập *) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 và x + y = 2a (a > 0). Tìm giá trị nhỏ nhất
x = y = a
*) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A x 5 23 x
= +
Hớng dẫn: ĐKXĐ:
5 x 23
. Max A
2
= 36
Max A = 6
x = 14
*) Bài tập 3: Cho x + y = 15, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
biểu thức
B x 4 y 3
= +
Hớng dẫn: ĐKXĐ:
x 4;y 3( ) ( ) ( )( )
2
B x 4 y 3 2 x 4 y 3 8 2 x 4 y 3 8 B 8
= + + + =>
Dấu = xảy ra
Vậy Min A =
10 3
1
x 10
2
=
*) Bài tập 5: Tỡm giá trị lớn nhất ca biu thc
a) A =
3 5 7 3
x x
+
b) B =
5 23
x x
+
Hớng dẫn
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
a) KX:
5
3
2
= 4 suy ra Max A= 2 khi x = 2
b) Tơng tự câu a
*) Bài tập 6:
Hớng dẫn
*) Bài tập 7:
Hớng dẫn
*) Bài tập 8:
Hớng dẫn
*) Bài tập 4:
Hớng dẫn
IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài đã chữa, giải bài tập sau: Cho a, b, x là những số
dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(
)
(
)
x a x b
P
x
+ +
=
D/Bổ sung
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh sử dụng thành thạo bất đẳng thức cô - si để tìm giá trị lớn
nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức đại số
Kĩ năng
- Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức
Thái độ
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010
-
2011
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
I.
Tổ chức
Tổ chức Tổ chức
Tổ chức
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
- HS1:
Giải bài tập đã cho tiết trớc
Cho a, b, x là những số dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
(
)
(
)
x a x b
P
x
+ +
=
KQ:
( )
(
)
2
KQ:
( )
2
x 1 16
8 8
x 1 x 1
Q 2 . 4
2(x 1) 2 x 1 2 x 1
+ +
+ +
= = + =
+ + +
Min Q = 4
x = 3
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
*) Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x 6 x 34
M
x 3
+ +
=
+
Hớng dẫn: ĐKXĐ:
N x x 3 x . . 3.100 300
x x x x x
= + = + + = =
Min N = 300
x = 10
*) Bài tập 3: Cho x > 0 và y > 0; x + y
6
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
16
12
P 5x 3y
x y
= + + +
Hớng dẫn:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
( )
(
)
16 16
12 12
Min Q = 8 (khi và chỉ khi x = 5 và y = 1 hoặc x = - 1 và y = - 5)
*) Bài tập 5: Cho x > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
25
A 4x
x 1
= +
Hớng dẫn:
( ) ( )
25 25
A 4 x 1 4 2 4 x 1 4 24
x 1 x 1
= + + + =Min A = 24
x = 3,5
*) Bài tập 6: Cho 0 < x <1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
4
B
1 x x
= +
Hớng dẫn: Đặt
4b(1 x)
x =
(
)
2
3 1
*) Bài tập 7: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = a
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + zx
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
2 2 2
x y z
+ +
Hớng dẫn:
a)
2 2 2 2
2 2
x y y z
z x
xy ;yz ;zx (theo cô-si)
2 2 2
+ +
+
=>
( ) ( )
2
xy + yz +zx =
2
a
3
(theo câu a)
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010
-
2011
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
GG
G
m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố 9
99
9
2x y
y 2y z
2z x
x z
P
y z x
z x y
= + + + + +
2 2
2
4
x y x y
x .x .y.z
x
z 4 4x
y yz
z z
+ + + =
Tơng tự
2
y y z y z
x 4y
z
x x
+ + +
;
2
z x z x
2 2
4
2 x 2 yz 4 x yz
x x y z
a
1
x x x x
+
+ + +
+ =
Tơng tự:
2 2
4
2 y 2 xz 4 y xz
y y x z
a
1
y y y y
+
+ + +
+ =
;
2
4
4 z yx
a
1
z z
(
)
( ) ( )( )
1 a 1 b 1 c
A
1 a 1 b 1 c
+ + +
=
Hớng dẫn :
a b c 1 1 a b c 0
+ + = => = + >
. Tơng tự 1 b > 0 và 1 c > 0
Mặt khác 1 + a = 1 + (1- b - c) = 1 b + 1 c
( )( )
2 1 b 1 c
Tơng tự :
( ) ( ) ( ) ( )
1 b 2 1 a 1 c ;1 c 2 1 a 1 b
+ +
Suy ra
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c
+ + + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y.
Hớng dẫn:
Đặt a = x+y = M; b = xy;
2
4
a b
Từ giả thiết có:
3 2 2 2 3
3 3 6 4 4
a ab a b b ab b
+ +
= 0
2 2
( 2 )( 2 3 ) 0
+ =
a b a ab b b
2 2
2
2 3 0
=
+ =
a b
(1)
Giả sử
=
(1) có nghiệm b thoả mn b
2
4
a
thì
b=
2
3
2 4
a a
+
2
2 6 0 1 7;( : 0)
a a a Do a
+ >
và
2 2
3
( 3) 8 0 ( 3 2 2)( 3 2 2) 0
2 2 1
a a a a a a a+ + + +
Vậy a
1 7
4x 4 8x 8x 4
1 1 1 1
M 3 x x 2010
2 8x 8x 4
= + + = + + + + + +
= + + + + +
p dng cụ si cho ba s
x
x
x
8
1
,
8
1
,
2
ta cú
4
3
8
1
.
8
1
.3
8
1
8
Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2011
Dơng năm học 2011 Dơng năm học 2011
Dơng năm học 2011 -
- 2012, ngày thứ hai
2012, ngày thứ hai 2012, ngày thứ hai
2012, ngày thứ hai
Cho ba số x, y, z thoả mn 0 < x, y, z
1 và x + y + z = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2
(x 1)
z
+
2
(y 1)
x
+
2
(z 1)
y
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
m
mm
mô
ôô
ôn
Hớng dẫn:
t
1 0; 1 0; 1 0
= = =
a x b y c z0 , , 1; 2 ; ; 0; 1
< + + = + + =
x y z x y z a b c a b c
2 2 2
1 1 1
a b c
A
c a b
= + +
p dng bt ng thc Bunhiacoxki cho ba cp s
( )
1 ; 1 ; 1 ; ; ;
1 1 1
a b c
c a b
c a b
A
z x y
= + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
4 4 4 4
x y z
z x y x y z
z x y
+ +
= + + + + +
2
2 2
1
( 1) ( 1) ( 1)
2
x y z
+ +
( theo BĐT Cosi)
=1-x+1-y+1-z -
1
2
= 3-(x+y+z) -
1
2 2
2 2
2
x z
z y
y x
x y z
=
=
=
+ + =
2
3
2
x y
z x
x y z
y z
x y z
=
=
.
Hớng dẫn:
2 2 3 3 2 2
2 2
(x y)(x y ) x y yx xy
A
xy xy
+ + + + +
= =
2
2
x y x
A 1
x y
y
= + + +
t
x
t
y
=
ta cú
2
1
A t t 1 A(t)
t
= + + + =
) < A(t
2
) . Nờn t
2011 2011
t A( ) A(t)
2012 2012
2011 16188554
min A A( )
2012 4048144
= =
khi
2011
t
2012
=
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Hay x = 2011, y = 2012.
*) Bµi tËp 6 :
§Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011
§Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011
H−íng dÉn:
Cách 1: V
ớ
i x
≠
0 thì
A =
2 2 2 2
2 2 2
x 2x 2011 2011x 2.2011x 2011.2011 2010x (x 2.201
1x 2011.2011)
x 2011x 2011x
− + − + + − +
= =
2
2
2010 (x 2011) 2010
2011 2011
2011x
−
= + ≥
V
ậ
y MinA =
2010
2011
1 1 1
= 2011 t 2 t 1
2011 2011
2011
1 2010 2010 1
= 2011 t dấu"=" t = x 2011 ; tho
2011 2011 2011 2011
≠
õa x 0
2010
Vậy MinA = x = 2011.
2011
⇔
* Cách 3: (Dùng kiến thức đại số 9)
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
x 2x 2011
A = với x 0
x
A.x x 2x 2011
2011
⇔ ∆ ≥
⇔ + − ≥
− − −
⇔ ≥ ⇔ = = = ≠
−
−
So sánh (1) và (2) thì 1 không phải là giá trò nhỏ nhất của A mà:
2010
MinA = x = 2011.
2011
⇔
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
2012
Cho a, b là các số dơng thỏa mn: a+b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T =
)(2011
619
44
22
ba
b
a
ab
++
+
+
Hớng dẫn:
ta cú
)(
6)(19619
22
22
22
baab
abba
ba
ab
+
++
=
: b ; a
1 ; 1
(1
2
+1
2
)(a
2
+b
2
)
( a.1+b.1)
2
hay 2 (a
2
+b
2
)
( a+b)
2
d
u = khi a =b =
2
1
++
(
)
22
2
4
1
baab
+
d
u = khi a= b =
2
1
)(.2.
2
1
3)(16
22
22
baab
ba
+
38
+
= 88 d
u = khi a= b =
2
1
M a
4
+ b
4
2
1
(a
2
+ b
2
)
2
d
1
+ ba
=
8
1
(a+ b)
4
=
8
1
d
u = khi a= b =
2
1
V
y T
88 +
8
1
u ki
n a + b + c = 1.
Tỡm giỏ tr
l
n nh
t c
a bi
u th
c: P =
ab bc ca
c ab a bc b ca
+ +
+ + +
.
Hớng dẫn:
T
a + b + c = 1 => ac + bc + c
2
= c ( Do c > 0)
Vỡ v
y: c + ab = ac + ab + bc + c
2
c a
ca
c a a b
b ca
+
+ +
+
V
y
3
2 2
a c b c a b
a c b c a b
P
+ + +
+ +
+ + +
=
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Do
Hớng dẫn:
3 3
x 2 x y 2 y
+ + = + +
ĐK:
x,y 2
3 3
2 2
x y y x
+ + =
2 2
( )( )
2 2
x y x xy y
x y
x y
+ +
=
+ + +
2 2
( )
( )( 1) 0
2 2
x xy y
Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang
Bắc Giang Bắc Giang
Bắc Giang năm học 2009
năm học 2009năm học 2009
năm học 2009
-
- 2010, ngày thứ nhất
2010, ngày thứ nhất 2010, ngày thứ nhất
2010, ngày thứ nhất Cho các số dơng x, y, z thỏa mn xyz -
16
0
x y z
=
+ +
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x+y)(x+z)
Hớng dẫn:
Vì xyz -
16
0
x y z
=
+ +
=> xyz(x+y+z) = 16
P = (x+y)(x+z) = x
1616
áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dơng là
yz
16
và yz ta có
P =
yz
yz
+
16
816.2
16
2 == yz
yz
; dấu đẳng thức xẩy ra khi
yz
yz
=
16
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8
*) Bài tập 11:
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Tây Ngu
Tây NguTây Ngu
Tây Nguyên
yên yên
yên năm học 2009
+
Hớng dẫn:
Vỡ
a 0,b 0
> >
; Ta cú :
2 2 2 2
a b 2 a b 2ab
+ =
(Bdt Cụ si)
2 2 2
a b 2ab 4ab (a b) 4ab
+ + +
(a b)(a b) a b 4 a a 4 1 1 4
4 (*)
ab ab a b ab ab a b a b a b
+ + +
+
+
+ + +
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
m
mmp d
ng BéT (*) v i a =
2 2
x y
+
; b = 2xy ; ta cú:
2 2 2 2 2
1 1 4 4
x y 2xy x y 2xy (x y)
+ =
+ + + +
(1)
M
t khỏc :
2
2 2
1 1 1 4
(x y) 4xy
4xy (x y) xy (x y)
+
minA = 6
khi
1
x = y =
2
*) Bài tập 12:
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng
Hải Dơng Hải Dơng
Hải Dơng năm học 2009
năm học 2009năm học 2009
năm học 2009
-
- 2010
2010 2010
2010
Tỡm giỏ tr
l
n nh
t, nh
nh
ng 8x-6=0
x=
2
3
+) k
0 thỡ (1) phi cú nghim
'
= 16 - k (k - 6)
0
2 8
k
<=>
.
Max k = 8
x =
1
2
.
Min k = -2
x = 2 .
*) Bài tập 13 :
Đề thi vào THPT tỉnh
2
4
b
+
2
1
a
= 4 (ab)
2
= - 8a
4
+ 16a
2
- 4 = 4 - 8(a
4
- 2a
2
+1) 4
-2 ab 2
2007 S 2011
MinS = 2007 ab = -2 và a
2
= 1 a = 1 , b =
2
*) Bài tập 14:
Cho s thc m, n, p tha món :
2
2 2
3
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
(m p)
2
+ (n p)
2
= 2 B
2
v trỏi khụng õm 2 B
2
0 B
2
2
2 2
B
du bng m = n = p thay vo (1) ta cú m = n = p =
2
3
Max B =
2
khi m = n = p =
2
3
3;1,,
zyx
{
{
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 x 3
(x 1)(y 1)(z 1) 0
1 y 3
(3 x)(3 y)(3 z) 0
1 z 3
xyz xy yz xz x y z 1 0
2(xy yz xz) 2
27 9(x y z) 3(xy yz xz) xyz 0
x y z 2(xy yz xz) x y z 2 (x y z) x y z 2
3 2 x y z x y z
+ + +
+ + + + + + +
2
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(y +1) (z + 1)
= x
2
+ ( y + z )
2
+ 2 ( y + z ) + 2
= x
2
+ ( 3 - x )
2
+ 2 ( 3- x) + 2 = 2 x
2
- 8x + 17
= 2 ( x -1 ) . (x - 3) + 11 (2)
T (1) v (2) suy ra x
2
+ y
2
+ z
2
.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
2 5 2 5 2 5
a b c
Q
b c a
= + +
.
Hớng dẫn:
Do a, b, c >
25
4
(*) nờn suy ra:
2 5 0
a
>
,
2 5 0
b
>
,
2 5 0
c
>
p dng bt ng thc Cụ si cho 2 s dng, ta cú:
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
m
mm
mô
ôô
ôn
2 5 2
2 5
a
b a
b
+
(1)
2 5 2
2 5
b
c b
c
+
(2)
2 5 2
2 5
c
a c
a
+
(3)
Cng v theo v ca (1),(2) v (3), ta cú:
5.3 15
Q
=
.
+ + +
.
Hớng dẫn:
Cú:
(
)
2
1 .
a b c c a b c c ac bc c
+ + = = + + = + +2
( ) ( )
c ab ac bc c ab a c b c b c
+ = + + + = + + +
=
( )( )
c a c b
+ +( )( ) 2
a b
ab ab
c a c b
c ab c a c b
+
+ +
=
a c c b b a
a c c b b a
+ + +
+ +
+ + +
=
3
2
Du = xy ra khi
1
3
a b c
= = =
T ú giỏ tr ln nht ca P l
3
2
t c khi v ch khi
1
3
a b c
= = =
*) Bài tập 18 :
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Hòa Bình
Hòa Bình Hòa Bình
Hòa Bình nă
áp dụng BDT Cosi với hai số:
1 1
,
x y
ta có:
1 1 2
x y
xy
+
mà:
4
xy
Nên:
1 1
1
x y
+
. Vậy A
min
= 1
1 1 1
2
2
x y
x y
= = = =
Ta cú A =
2
2 2 2 2 2
2 ( ) 2 3
2 2 3.4 2 2 3 2.( ) 4 3
x y xy
x y xy x y x y xy
x y x y x y x y
+ +
+ + + + + +
= = =
+ + + +
2
2 2 2 2
2. ( ) 1
2.( ) 1 3 2.( ) 1 3 2.( ) 2 2( ) 2
x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
+ +
+ + + + + + + +
= = = = =
+ + + + +
2
) 2
( )
1
x y .( )
x y
+
+
= 2
Do ú: A =
1
2 ( )x y
x y
+ +
+
4
Vy Min A = 4 (x+y) = (
1
x y
+
(x+y)
2
=1 x + y = 1
Kt hp vi iu kin 4xy = 1 ta c x = y = -
1
2
; x = y =
1
Chứng minh bằng cách biến đổi tơng đơng
áp dụng:
(
)
(
)
(
)
( )
2
2 2 2 2
2
A (2x 3y) 2 x 2 3 y 3 2x 3y 2 3 5.5 25
3 y
2 x
A 25 x y
2 3
= + = + + + = == <=> = <=> =
Do
2
A 25 nên - 5 A 5
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
m
mm
mô
ôô
MinA = - 5
x y
x y 1
2x 3y 5
=
<=> = =
+ =
MaxA = 5
x y
x y 1
2x 3y 5
=
<=> = =
+ =
*) Bài tập 21 : Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
1 4
y x x y
M
xy
+
x
x
(vỡ x dng)
V:
( )
1 1 4 4
4 4 4
2 2 2 4
y y
y y
+
= =
4
1
4
y
y
(vỡ y dng)
Suy ra: M =
4
1 1 1 3
2 4 4
y
P ( x y 1) (2 y 1)
2 2
= +
1 1 9
P y ; x
2 4 4
= =
*) Bài tập 23 :
Cho m, n l
à
c
á
c s
ố
th
ỏ
a m
n
đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
mn
2
b) T
ừ
( )
2
2 2
m n 2mn m n 0
+ =
v
à
gi
ả
thi
ế
t suy ra
2 2
m n 2mn 1
+ =
.
Do
đó
(
)
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
15 m n
m n m n m n m n
P .
khi a = b,
ta c
ó
:
1 15 17
P
2 4 4
+ =
. K
ế
t lu
ậ
n:
min
17
P
4
=
,
đạ
t
đợ
c khi
1
m n
2
= =
.
*) Bài tập 24 : Tỡm GTLN ca :
a) A x 1 y 2
*) Bài tập 25 :
a. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau :
A = x
2
+ 2y
2
2xy - 4y + 2014
b. Cho cỏc s x,y,z tha món ng thi:
x + y + z = 1; x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 và x
3
+ y
3
+ z
3
= 1.
Tớnh tng: S = x
2009
+y
2010
+ z
2011
x y = 0 v y 2 = 0
x = y = 2.
Vy GTNN ca A l 2010 tại x = y =2
b) Ta cú: (x + y + z)
3
= x
3
+ y
3
+ z
3
+ 3(x + y)(y + z)(z + x)
Kt hp cỏc iu kin ó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0
Mt trong
cỏc tha s ca tớch (x + y)(y + z)(z + x) phi bng 0
Gi s (x + y) = 0, kt hp vi /k: x + y + z = 1
z = 1, lại kt hp vi
/k: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
x = y = 0.
Vy trong 3 s x,y,z phi cú hai s bng 0 v một s bng 1. Nờn tng S
Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dơng n ta có
n n n n
x y a b
+ = +
3) Cho x, y, z 0 và
x + y + z 3
.
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
+ +
+ + +
Hớng dẫn:
1) Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 1 1 1
A = + + + +
x 1 1 2 2 3 3 4 4 5
x x x x x x x x x
+ + + + + + + + +1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + - -
x 1 x + 1 2 x + 2 3 x + 4 5
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
ốố
ố 9
99
9
Để
5
4050150
A
=
( )
5 5
5 4050150
x x
=
+
5
4050150
A
=
.
2) Từ x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
(x
2
a
2
) + (y
2
b
2
) = 0
(x a)(x + b) + (y b)(y + b) = 0 (1)
Vì x + y = a + b
x y a b
+ = +
Nếu x + a = y + b
x b
y a
=
=
n n n n
x y a b
+ = +
Vậy trong mọi trờng hợp ta có
n n n n
x y a b
+ = +
3) Ta có:
( )
2
1 0
x
+
1 2
x
x
+
.
2 2
1 1
;
1 2 1 2
y z
y z
+ +
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
x y z
+ +
+ + +
Vậy biểu thức
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
2 2 1 3 1 2 1 3 1
x x x
+ + + = + +
3 1
+
Suy ra : Giỏ tr nh nht ca E bng
3 1
+
khi ( x - 1)
2
= 0 hay x = 1.
b) F =
( 1)( 2)( 3) 5
x x x x
+ + + +
=
(
)
(
)
2 2
3 3 2 5
x x x x
+ + + +
t t = x
2
+ 3x. Ta cú :
2
+3x)+25xy
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Hớng dẫn:
1) * Gọi 7 s nguyên dơng phi tỡm l x
1
, x
2
, , x
7
;
2 2 2 2 2 2
1 2 7 1 2 7
x .x x 2(x x x )
= + +
* Gi s x
1
x
2
x
7
1 cú
2 2 2
1 2 7
x .x x
2 2
1 2
2(x x 5)
+ +
)
* t
2
1
x
=a,
2
2
x
=b vi a, b l cỏc s nguyờn dng chớnh phng
ab=2a+2b+10 (a-2)(b-2)=14.1=7.2
* Trng hp 1:
a 2 14
b 3 khụng
b 2 2
=
=
=
phi lỏ s chớnh phng
* Trng hp 2:
1
2
1
16
)
2
+
191
16
* B
191
16
, B nh nht =
191
16
xy=
1
16
. Gii c:
2 3 2 3
x , y=
4 4
+
=
hoc
2 3 2 3
x , y=
4 4
+
=
16. (
3
16
)
2
+
191
16
=
25
52
. Vy B ln nht
=
25
52
(x+y) =1 v xy =
1
4
x=y=
1
2
*) Bài tập 28 :
1) Tìm các số thực dơng a, b, c biết chúng thoả mn
abc = 1 và a + b + c + ab + bc + ca 6
2) Cho x > 0 ; y > 0 tho mn: x + y 6 . Hy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: M = 3x + 2y +
yx
8
6
2010
-
2011
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
ạạ
ại
ii
i
s
ss
số
ốố
ố 9
99
9
2
2
2
1 1
b c 0
c
=
c
c
2) Biến đổi :
( )
yx
y
y
x
xyx +=
++
++
y
y
x
x 8
2
6
2
3
áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các số không âm ta có :
y
y
x
x 8
.
2
2
2
.
2
66.
2
3
++
M 9 + 6 + 4 = 19
Dấu bằng xảy ra khi x = 2; y = 4 M nhỏ nhất bằng 19 (khi x = 2; y = 4)
*) Bài tập 29 : Cho 2 số dơng x, y thỏa mn x + y =1
a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x
2
+
y
)( y
2
+
2
1
x
) =
2
22
222
)
1
(
)1(
xy
xy
yx
yx
+=
+
Mặt khác : xy +
xy
1
= ( xy +
)
16
1
xy
2
1
+
4
1
.16
15
=
4
17
(xy +
xy
1
)
2
(
4
17
)
2
=
16
289
Vậy min M =
16
289
, đạt đợc khi
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
N = ( x +
x
1
)
2
+ ( y +
y
1
)
2
2
)(
2
xy
yx
yx
+
++
=
2
)
1
1(
2
xy
+
+
+
xy
. Vậy N
2
25
.
Dấu "=" xảy ra khi
=
=+
yx
yx
1
x = y =
2
=
6 2 2 2 3
+
=
6 2 4 2 3
+
=
)
(
6 2 3 1
+
=
3 1
+
b. Tìm GTNN của A =
2
2
20062
x
xx +
A =
2
2
20062
x
xx +
= 1 -
x
+
2006
2005
2006
2005
GTNN của P =
2006
2005
khi x = 2006
c. Ta có: (x + y)
3
= x
3
+ y
3
+ 3xy( x + y ) = 1 hay x
3
+ y
xy
yx
yx
xy
33
33
3
4
+
+
+
+
324.
3
24
33
33
+=
+
+
+
xy
yx
yx
xy
.
Vậy A
324+
. MinA =
324+
1
2
1
Hoặc x =
3
322
1
2
1
; y =
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
99
9
*) Bài tập 31 : Cho biểu thức f(x,y) = x
2
+ 26y
2
-10xy + 14x 76y + 11
Tìm giá trị x; y để f(x,y) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất
Hớng dẫn:
Ta có: f(x,y) = x
2
+ y
2
+ 25y
2
10xy 6y 70y + 9 +14x + 2
= (x
2
10xy + 25y
2
) + (y
)
Do dó: f(x,y)
Min
= - 47 khi t = -7 và y = 3
Với: t = - 7 Ta có:
5 7 8
3 3
x y x
y y
= =
= =
. Vậy: f(x,y)
Min
= - 47 khi x = 8 ; y = 3
*) Bài tập 32 :
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A(x)=
2
2 1
2
x
x
+
+
Hớng dẫn:
1
1;
2
A A
= =
Vậy A
max
= 1 khi x = 1
A
min
=
1
2
khi x = -2
*) Bài tập 33 :
a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x
2
+ 4x = 19 - 3y
2
b/ Giải phơng trình:
4524428183
22
+++ xxxx
= x
2
+ 6x -5
= 6(7 - y
2
)
Vì (2x + 2)
2
0 => 7 - y
2
0 => 7
y
2
mà y
Z => y =
2;1;0
+ Với y =
1 => (2x + 2)
2
= 6(7 - 1) <=> 2x
2
+ 4x - 16 = 0=> x
1
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì 3(x-3)
2
0 nên
1)3(3
2
+x
1. Tơng tự :
9)3(4
2
+x
3
Do đó
9)3(41)3(3
22
+++ xx
1 + 3 = 4. Mặt khác : 4 (x - 3)
1
1
x
=> A = y
2
2y + 3 = (y 1)
2
+ 2
2
=> min A = 2 => y = 1
1
1
1
=
x
=> x = 2. Vậy min A = 2 khi x = 2
d/ Nhận xét rằng nếu x = 0 thì M = 0, giá trị này không phải là giá trị lớn nhất.
Vậy M đạt giá trị lớn nhất với x khác 0. Chia cả tử và mẫu cho x
2
ta đợc:
M =
1
2
1
2
1
++
1
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn: V× sù nghiÖp gi¸o dôc
i
d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
m
mm
m«
««
«n
nn
n
D/Bæ sung
*******************************
Copyright: Tài liệu đại học ©