Phần I: Mở đầu
i. Đặt vấn đề:
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có một vị trí xứng đáng trong
chơng trình dạy và học toán ở trờng trung học cơ sở ( THCS ).
Các bài toán này rất phong phú, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, vận dụng một
cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo. Vì vậy, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị
nhỏ nhất gọi chung là: " Bài toán cực trị " thờng xuyên xuất hiện trong sách giáo khoa,
sách nâng cao của các lớp, các khối.
Làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các bài toán trên, vận
dụng kiến thức nào để giải, phơng hớng chung để giải loại toán này nh thế nào. Giải
quyết đợc vấn đề đó không phải dễ dàng khi mà trong phân phối chơng trình môn toán
THCS không có một tiết nào dành cho giáo viên dạy một cách hệ thống cho học sinh
những bài toán dạng này mà chúng chỉ xuất hiện một cách đơn lẻ.
Bài toán cực trị theo cá nhân tôi là một dạng bài toán rất hay, nó giúp cho học
sinh phát triển trí thông minh, sáng tạo, khả năng t duy toán học cao. Trong suốt quá
trình giảng dạy và học tập với kinh nghiệm của mình tôi mạnh dạn trình bày một số suy
nghĩ của bản thân về " Bài toán cực trị " trong chơng trình toán của THCS.
ii. Nội dung đề tài:
1. Mục đích yêu cầu:
* Với giáo viên:
- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị.
- Phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu phơng pháp giải từng dạng: Hệ
thống từ bài dễ đến bài khó.
- Rèn luyện, nâng cao khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc, tham khảo
kiến thức trong khi nghiên cứu.
- Trong quá trình giảng dạy phải chú ý tìm ra những vớng mắc, sai sót mà học sinh
hay vấp phải trong khi giải bài tập.
* Với học sinh:
- Hiểu đợc cơ bản, bản chất loại toán.
- Nhận dạng từng loại bài tập, vận dụng phơng pháp hợp lý của từng dạng vào giải
toán.

Nếu chỉ chứng minh đợc yêu cầu thứ nhất thì cha đủ để kết luận về giá trị lớn nhất
hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Ta ký hiệu minA là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
Ta ký hiệu maxA là giá trị lớn nhất của biểu thức A.
Một biểu thức có thể có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất hoặc chỉ có một trong hai
giá trị nêu trên.(Ví dụ: Xét biểu thức A = x
2
: Ta thấy x
2
> 0 (

x 0 );
x
2
= 0 (khi x = 0 ). Vậy biểu thức x
2
có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0
hay minA = 0 x = 0. Biểu thức này không có giá trị lớn nhất).
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức là vấn đề không đơn giản. ở đây
chúng ta chỉ đề cập tới một số dạng phổ biến trong chơng trình toán THCS.
B. Phân loại bài tậ p và ví dụ minh hoạ:
1. Cực trị của hàm đa thức một biến:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4( y + 5 )
2
- 7.
Bài giải:
Ta thấy ( y + 5 )
2
0 với


2
- 8x + 16 ) + 8
= 2( x - 4)
2
+ 8
Mà ( x - 4 )
2
0 với

x 2( x - 4 )
2
0 với

x 2( x - 4 )
2
+ 8 8 với

x
minB = 8 x - 4 = 0 hay x = 4
Vậy minB = 8 x = 4
Chú ý: ở bài này học sinh dễ mắc sai lầm khi làm bài nh sau:
Ta thấy ( x - 2 )
2
0 với

x ( 1 )
( x - 6 )
2
0 với



x
max C = - 4 khi x-2 = 0 hay x = 2
Vậy max C = - 4 x = 2.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của D = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 )
Bài giải:
Cách 1:
Ta có D = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 )
= [ ( x - 1 ) ( x - 4 ) ] [ ( x - 2 ) ( x - 3) ]
= ( x
2
- 5x + 4 ) ( x
2
- 5x + 6 )
= ( x
2
- 5x + 4 ) + 2( x
2
- 5x + 4 ) + 1 - 1
= [ ( x
2
- 5x + 4 ) + 1 ]
2
- 1
Vì [ ( x
2
- 5x + 4 ) + 1 ]
2
0 với


= [ ( x - 1 ) ( x - 4 ) ] [ ( x - 2 ) ( x - 3 ) ]
= ( x
2
- 5x + 4 ) ( x
2
- 5x + 6 )
Ta đặt x
2
- 5x + 4 = t khi đó ta có:
D = t ( t + 2 ) = t
2
+ 2t = t
2
+ 2t + 1 - 1 = ( t
2
+ 2t + 1 ) - 1
= ( t + 1 )
2
- 1
Vì ( t + 1 )
2
0 với

t ( t + 1 )
2
- 1 - 1 với

t
Do đó min D = -1 t + 1 = 0 hay t = -1 x
2

2
- 6x + 9 = ( x
4
- 6x
3
+ 9x
2
) + ( x
2
- 6x + 9 )
= ( x
2
- 3x )
2
+ ( x - 3 )
2
0
3
Dấu " = " xảy ra



=
=
03
03
2
x
xx


4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 1
Bài giải:
Ta có N = x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 1 = ( x
4
- x
3
+ x
2
) + ( - x
3
+ x
2
- x ) + ( x
2
- x + 1)
= x
2
( x
2

)
2
+
4
3
> 0
Nên N đạt giá trị nhỏ nhất x
2
- x + 1 đạt giá trị nhỏ nhất
x =
2
1
min N =
16
9
x =
2
1
Qua các ví dụ trên ta thấy những biểu thức có dạng tam thức bậc hai:
P = ax
2
+ bx + c
Hoặc có thể đa về tam thức bậc hai đều có thể giải theo phơng pháp sử dụng bằng bất
đẳng thức: A
2
0 hoặc -A
2
0.
+ Chú ý 1: Tam thức bậc hai P = ax
2

+ 2 ( x -
2
1
)
2
+
2
1
0 min N =
2
1
khi x = 1; x =
2
1
.
Điều này là sai vì x không đồng thời nhận 2 giá trị: 1 và
2
1
đợc.
* Các bài toán tơng tự:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x
2
+ 2x + 3 C = x( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3)
B = 2x
2
+ 3x + 1 D = x
4
- 6x
3

2
- 2xy - 2x + 3.
4
Bài giảI:
Ta có:
A = 2x
2
+ y
2
- 2xy - 2x + 3 = x
2
- 2xy + y
2
+ x
2
- 2x + 1 + 2
= ( x - y )
2
+ ( x - 1 )
2
+ 2 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi



=
=
01
0
x

2
+ ( y - 1 )
2
+ ( x - 1 ) ( y - 1 )
Đặt x - 1 = a; y - 1 = b
B + 3 = a
2
+ b
2
+ ab
B + 3 =
ba
bb
a ,0
4
3
2
2
2
+






+


B

2
+ 2xy - y
2
) - ( x
2
- 4x + 4 ) - ( y
2
- 4y +4 ) + 8
= 8 - ( x - y )
2
- ( x - 2 )
2
- ( y - 2 )
2


8
2D

8 D

4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi





=
=

E = xy ( x - 2 ) ( y + 6 ) + 12x
2
- 24x + 3y
2
+ 18y + 36
Bài giải:
Ta có: E = xy ( x - 2 ) ( y + 6 ) + 12x
2
- 24x + 3y
2
+ 18y + 36
= x ( x - 2 ) y ( y + 6 ) + 12 ( x
2
- 2x) + 3 ( y
2
+ 6y + 12 )
= ( x
2
- 2x ) ( y
2
+ 6y ) + 12 ( x
2
- 2x) + 3 ( y
2
+ 6y + 12 )
= ( x
2
- 2x + 3 ) ( y
2
+ 6y + 12 )


xy
E

6 với

xy
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1, y = - 3
5
Vậy min E = 6

x = 1, y = - 3
* Nhận xét: Với hàm đa thức nhiều biến ta có thể giải quyết nh đối với hàm đa thức
một biến về phơng pháp.
3. Các cực trị của hàm đa thức có dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3 ( x - 7 )
2
- 2 | x - 7 | + 1
Bài giải:
Ta đặt: | x - 7 | = t ( với t

0 )
Khi đó ta có A = 3t
2
- 2t + 1
= 3 [ t
2
-
3
2


t
min A =
3
2


t =
3
1
hay | x - 7 | =
3
1
min A =
3
2









=
=
3
2
6

So sánh các giá trị của B trong trên ta thấy min B = 2
42

x
.
Cách 2:
Ta có: B = | x - 2 | + | x - 4 | = | x - 2 | + | 4 - x |

| x - 2 + 4 - x |

2
min B = 2

( x - 2 ) ( 4 - x )

0


42

x
.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = ( x- 2 )
2
+ | y - 3 | - 5
Bài giải:
Ta có: C = ( x- 2 )
2
+ | y - 3 | - 5 đạt giá trị nhỏ nhất


Dùng tính chất: | a + b |

| a | + | b |. Dùng cách này sẽ nhanh hơn.
Đa về dạng thông thờng, dựa vào tính chất x
2


0; | x |

0 để lập luận.
* Các bài tập t ơng tự:
6