Một số phơng pháp giải toán cực trị
phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số
A . Yêu cầu
A . một số Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D
a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện
sau đồng thời đợc thoả mãn
1
o
. f(x) M với x D
2
o
. Tồn tại x
0
D sao cho f(x
0
) = M. kí hiệu là max f(x) = M
b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng
thời hai điều kiện sau:
1
o
. f(x) m với x D
2
o
. Tồn tại x
0
D sao cho f(x
0
) = m.
2. Các b ớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị
- B ớc 1 : Chứng minh bất đẳng thức:


m hoặc f(x)

M thì cha đủ để kết luận về
GTLN hoặc GTLN
Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1)
2
+(x-3)
2
Giải : Ta có (x-1)
2
0 x (1)
( x - 3 )
2
0 (2)
A 0 x nhng không thể kết luận đợc Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời
hai BĐT (1) và (2).
Ta có: f(x) = x
2
- 2x + 1 + x
2
-6x + 9 = 2 ( x
2
- 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 )
2
+ 2 2
1
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Vậy Min A = 2 x - 2 = 0 x = 2
2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên

n
aaa
...
...
21
21

+++
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= ... = a
n
.
b) Bất đẳng thức Bunhiacopski
+ Nếu a
1
, a
2
, ..., a
n
và b
1
, b
2
, ..., b
n
là 2n số tuỳ ý thì:
( )( )

.
(Quy ớc nếu a
i
= 0 thì b
i
= 0 i = 0, 1, 2, 3, ... n)
c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối
*.
0

a
a D dấu bằng xảy ra a = 0
*
baba
++
với a,b D dấu bằng xảy ra a.b 0.
Tổng quát : a
1
, a
2
, ..., a
n
D thì
nn
aaaaaa
++++++
......
2121
Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu.
2

( x
2
+ y
2
+ z
2
) ( xy + yz + zx )
2

Từ đó ta suy ra nếu ( x, y, z )

D Thì ( x
2
+ y
2
+ z
2
) 16
Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x
2
,y
2
,z
2
và 1,1 ,1 ta có
3 ( x
4
+ y
4
+z

3
2
,
3
2
,
3
2
)

D
Vậy Min f (x,y,z) = 16/3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B =
+

x
x 1
với x 1,y 2 , z 3
A =
+

x
x 1

+

y
y 2


+
=

32
2
33
.
3
1
3
3
1
3
zz
zz
=
+
=

A
z
z
y
y
x
x
3222
2
++


1
22
1
2
1
++






=
=
=

6
4
2
z
y
x
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) D =
12
+
xx
b) Cho x
1
, x


xx
11
22

xx
.................
11
20042004

xx
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc:
E =
1...11
200421
+++
xxx

200421
... xxx
+++
-

12004
1...11
só
+++
= 2005 - 2004 = 1
Vậy E 1 Dấu "=" xảy ra khi x
1

xzt
y
tzy
x
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
Học sinh có thể ngộ nhận và vận dụng ngay BĐT

2
+
a
b
b
a
( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b
Để ra ngay kết quả A 8


2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền
D =
{ }
1,0,0,0:),,(
=++>>>
zyxzyxxyx
3) Tìm giá trị bé nhất của hàm số :
f(x,y,z) = ( 1+
x
1
) ( 1+
y
1
) ( 1+
z
1
) Xét trên miền.
D =
{ }
1;0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxzyx
Ph ơng pháp 2
Tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc chẵn
2.1. Nội dung ph ơng pháp
5
Một số phơng pháp giải toán cực trị
*/ A
2
0 x ( x là biến của biểu thức A ) A
2k

Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 3x
2
+ 6x - 5
Giải: Ta có A = 3 ( x
2
+ 2x + 1 ) - 8 = 3 (x + 1 )
2
- 8 - 8
Dấu bằng xảy ra x + 1 = 0 x = - 1
Vậy Min A = - 8 x = - 1
Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x
2
- 4x + 1
Giải : A = -5 ( x
2
+ 4/5 x ) + 1 = -5 ( x
2
+ 4/5x + 4/25 ) + 9/5
( x
2
+ 2/5 )
2
+9/5 9/5
Dấu = xảy ra

x + 2 /5 = 0

x = - 2/5
* Chú ý : f(x) = ax
2

2
)1(
1
1
2
3
)1(
1)1(2)12(3

+

=

++
xxx
xxx
Đặt y =
1
1

x
(y

0 )
6
Một số phơng pháp giải toán cực trị
C = 3 - 2y + y
2
đến đây C đã đa về dạng cơ bản việc giải không còn gì khó khăn
nữa, giáo viên cần phải cho học sinh thấy rằng việc đổi biến số trong toán cực trị là

2
1
và y =
2
x
=
4
1
min f(x,y) = -
4
3








=
=
4
1
2
1
y
x
Sai lầm thờng gặp ở dạng toán này là:.
Nh ví dụ 4 các em có thể làm nh sau:
f(x,y) = x

4
9

Đẳng thức xảy ra x = -
2
1
min f(x,y) = -
4
9








=
=
4
1
2
1
y
x

7
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Các em không thấy đợc rằng đẳng thức xảy ra ở (1) khi


x
M = x +
x
= ( x +
x
+
4
1
) -
4
1
= (
x
+
2
1
)
2
-
4
1
-
4
1
Vậy min M = -
4
1
. Sai lầm ở chỗ M -
4
1

95
x
xx
++
B =
2
2
)1(
952
+
+
x
xx

Ph ơng pháp 3 :
Phơng pháp miền giá trị hàm số
3.1 . Nội dung ph ơng pháp.
8
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x

D gọi y
0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho. Điều đó có nghĩa hệ phơng
trình sau đây với ẩn x có nghiệm.




=

xx
xx
với x

R.
Giải
Gọi y
0
là giá trị tuỳ ý của hàm số . Vậy phơng trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm.
123
3102
2
2
++
++
xx
xx
= y
0
(1)
Do 3x
2
+2x + 1 > 0

x

R
(1) 2x
2
+ 10x + 3 = 3x

x

R
9
Một số phơng pháp giải toán cực trị
* Nếu 3y
0
- 2

0 y
0



3
2
thì (2) là phơng trình bậc 2 đối với ẩn x Do đó
(2) có nghiệm nếu:


= - 2y
0
+ 19y
0
- 35 0.

2
5
y
0

2
+ 4x
2
y
2
- x
2
- y
2
= 0
Giải: Gọi t
0
là một giá trị bất kì của hàm số f(x,y) trên miền D . Điều đó
chứng tỏ phơng trình ẩn (x,y) sau có nghiệm:






=++
=+
)()(
)(
`
2041
1
2222222
0
22

)(
40413
3
2
0
2
0
22
xtt
tyx
Để (4) ẩn x có nghiệm thì:
t
2
- 3t
0
+ 1

0


2
53
2
53
0
+


t
(5)

0
2
+ t
0
+ 1 > 0

t
0


với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm.
Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm.


Max(x,y) =
2
53
+
, Min(x,y) =
2
53

Tuy nhiên bài toán này ta có thể vận dụng bất đẳng thức để giải. Nhng với
phơng pháp này chúng ta có thể vận dụng để giải đợc nhiều bài và học sinh có thể
máy móc nhớ đợc phơng pháp giải.

Ph ơng pháp 4
Phơng pháp đồ thị và hình học
4.1 Nội dung ph ơng pháp
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) x D