Cực trị đai số và ppơng pháp giải
I- Giới thiệu
A- Khái niêm về bài toán cực trị.
B- Đờng lối chung
1- Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất luỹ thừa
chẵn.
2- Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất giá trị tuyệt
đối.
3- Phơng pháp tìm cực trị nhờ Bất đẳng thức
3.1) Bất đẳng thức Cauchy
3.2) Bất đẳng thức Bunhiacopxki
4- Phơng pháp miền giá trị của hàm số.
5- Phơng pháp đồ thị
C- Các dạng bài tập thờng gặp
1- Đa thức bậ nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối
2- Đa thức bậc hai
3- Đa thức bậc cao
4- Phân thức
4.1) Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc
hai
4.2) Phân thức có mẫu là bình phơng của một nhị thức
4.3) Các phân thức khác.
5- Căn thức
6- Cực trị có điều kiện
7- Một số bài tập tổng hợp
II- Kiến thức
A- Khái niệm về bài toán cực trị:
Trong thực tế có những bài toán yêu cầu ta đi tìm cái nhất
trong mối quan hệ dã biết. Đó là việc đi tìm giá trị lớn nhất (cực đại)
hay giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) của một đại lợng gọi chung là

hay A
k

thì cha đủ điều kiện
để kết luận về giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) của biểu thức.
Một biểu thức có thể chỉ có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ
nhất hoặc có cả hai.
B- Đờng lối chung
Giả sử cho một hàm số f(x) có miền xác định D . Ta phải
chứng minh
a. f(x)
M
hoặc f(x)
m
b. Chỉ ra trờng hợp x= x
0

D

để sao cho đẳng thức xảy ra.
1) Phơng pháp tìm cực trị dựa vào tính chất luỹ thừa chẵn.
A
2

0

với
0
2



với mọi x => 3(x- 2)
2
+ 15
15

Dấu bằng xảy ra khi x-2 = 0

x =2
Vậy min A = 15 khi x = 2
2
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

b. Ta thấy (2x- 3)
4

0

với mọi x => (2x- 3)
4
- 3
3

Dấu bằng xảy ra khi 2x- 3 = 0 x =
2
3
Vậy min B = -3 khi x =
2
3
c. Ta có C = x

2
- 6x + 9)
2
+ 2
= 2(x- 3)
2
+ 2
Ta thấy 2 (x- 3)
2

0

với mọi x => 2(x- 3)
2
+ 2
2

Dấu bằng xảy ra khi khi x- 3 = 0 x = 3
Vậy min A = 2 khi x = 3
Chú ý : Khi giải bài toán này học sinh có thể mắc sai lầm sau
Ta có (x- 2)
2

0

và (x- 4)
2
0

Từ đó suy ra A = (x- 2)

Giải
a. Ta có (2x- 1)
2
0

với mọi x => A = 2005- (2x- 1)
2
2005

Dấu bằng xảy ra khi
2
1
012
==
xx
Vậy max A = 2005 khi
2
1
=
x
3
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

b.Ta có B = 4x- x
2
+ 17
= 21 - (x
2
- 4x + 4)
= 21- (x- 2)

2
khi và chỉ khi x = 2
d.Ta có D =
3
215
2
2
=
+
x
x
=
3
6
5
3
6)3(5
3
6155
22
2
2
2
+
+=
+
++
=
+
++

Hay D =
{ }
2005

xRx
A
2005
=
xx

4
8019
2
1
2005
4
8019
4
1
2005)2005(
2
+






=
++=

Dấu bằng xảy ra khi
4
8021
4
1
20050
2
1
2005
===
xxx
(thoả mãn điều kiện xác định
của biểu thức)
Vậy min A =
4
8021
4
8019
=
x
Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)
Giải
Ta có M = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4)
4
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

= (x
2
+ 7x + 10) (x
2

=
x
Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
E = x
2
+ 2y
2
- 2xy- 4y + 7
Giải
Ta có: E = x
2
+ 2y
2
- 2xy- 4y + 7
= (x
2
- 2xy + y
2
) + (y
2
- 4y + 4) + 3
= (x- y)
2
+ (y- 2)
2
+ 3
Vì (x- y)
2

0

yx
y
yx
Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
G = x
2
+ 2y
2
- 3z
2
- 2xy + 2xz- 2x- 2y- 8z + 2011
Giải
Ta có G = (x- y + z- 1)
2
+ (y + z- 2)
2
+ (z- 1)
2
+ 2005
Vì (x- y + z- 1)
2

0

với
zyx ,,

(y + z- 2)
2
0

02
01
z
zy
zyx
1
===
zyx
Vậy min G = 2005 khi
1
===
zyx
2) Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất giá trị tuyệt đối.
5
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

Lí thuyết áp dụng
0

x
yxyx
++
Dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu
yxyx

Dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu
Ví dụ 1. a- Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau.
162
18
+=

xB
Vậy min B =1 khi x = 6
b- Tìm giá trị lớn nhất.
+) Vì
xx

;03
Dấu bằng xảy ra khi x-3 = 0 => x= 3
Suy ra C = -2
23

x
Vậy max C = -2 khi x = 3
+) Vì
xx

;02
Dấu bằng xảy ra khi x 2 = 0 => x = 2
Suy ra
15152
+=
xD
Vậy max D = 15 khi x = 2
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.
53
8
+=
+=
xxB
xxA

xx
=
25353
=++
xxxx
Dấu bằng xảy ra khi (x-3)(5-x)
0

(Lập bảng xét dấu nh câu trên) Suy ra
53

x
Vậy min B = 2 khi
53

x
(Còn cách giải khác sẽ trình bày ở phần sau)
Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=
9 6x - x1 2x - x
22
+++
Giải
Điều kiện xác định của biểu thức với
Rx

Ta có A
22
)3()1(
+=

Giải
Điều kiện xác định của biểu thức: D =
{ }
1

aRa
Ta có E
1815143
++=
aaaa
( ) ( )
24121
4121
4121
22
=+
=
=
aa
aa
aa
Vậy max E = 2 khi
( ) ( )
16
04121
1





2
k
=
khi a = b =
2
k
+) Nếu a.b = p thì a+b
p2

(p là hằng số)
Dấu bằng xảy ra khi a = b =
p
Vậy min a + b = 2
p
khi a = b =
p
Dạng tổng quát của Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số không âm a
1
; a
2
; ; a
n
thì
n
a a .a
n
a a a
n21
n21

n
b. Nếu a
1
. a
2
a
n
là hằng số thì (a
1
+ a
2
+ +a
n
) min

a
1
= a
2
=
= a
n
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
M =
4
25
+
+
x
x

( )
10
4
25
42
4
25
)4(
=






+
+
+
++
x
x
x
x
Dấu bằng xảy ra khi
154
4
25
4
==+
+

3
25
3
3
259
3
16

+
++=
+
+=
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
Vì
3
+
x
và

3
2
==+=+
+
=+
xxx
x
x

(vì
3
+
x
luôn dơng)
Vậy min M = 10- 5 = 5 khi x = 4
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B biết x,y là các số
thay đổi sao cho
;30

x

40

y
.
B = (3- x)( 4- y)(2x + 3y)
Giải
Ta có B = (3- x)( 4- y)(2x + 3y)
B =
2.




+++

yxyx
Suy ra B
366.
6
1
3
=
Dấu bằng xảy ra khi khi 6- 2x = 12- 3y = 2x + 3y
2;0
==
yx
Vậy max B = 36
2;0
==
yx
Ví dụ 4: Cho a, b là hai số dơng; các số dơng x, y thay đổi sao cho
2005
=+
y
b
x
a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + y
Giải
9














+++=
y
bx
x
ay
baC .
2005
1
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm
y
bx
x
ay
;
ta có.
ab
y

ay
ba
==+=
2
.
2005
1
3.2) Bất dẳng thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki :
Cho hai dãy số a
1
; a
2
;...; a
n
; b
1
; b
2
;....; b
n
ta

có
(a
1
b
1
+ a
2

b
a
b
a
===
.............
2
2
1
1
Ví dụ 1 : Cho x,y thoả mãn x
2
+ 4y
2
= 36 .
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A = x +2y
Giải
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(x + 2y)
2
(x
2
+ 2y
2
)(1
2
+ 1
2
) = 36.2 = 72



=
=
2
23
23
y
x
Ví dụ 2 : Cho hai số dơng a,b hai số dơng x,y thay đổi sao cho
1
=+
y
b
x
a
.
10
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
Ta có :










( )


















+






+=
2
2





+
2
2
22
y
b
x
a
yx
2








+
y
b
y
x
a
x


ba
+
khi x=
( )
baa
+
; y=
( )
bab
+
Ví dụ 3 : Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức
G =
zyx 3
++
Biết rằng x,y,z thoả mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
Giải
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
A=
( )
( )( )
222222
2

7
14
;
14
14
===
zyx
Vậy max G =
14
khi
14
43
;
7
14
;
14
14
===
zyx
4) Phơng pháp miền giá trị của hàm số
Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền xác
định (D). Gọi y
0
là một gía trị nào đó của f(x) với x(D). Điều này
có nghĩa là phơng trình f(x) = y
0
( Với x(D)) .Phải có nghiệm .
Sau khi giải phơng trình điều kiện có nghiệm thờng đa đến bất
đẳng thức m y

Do đó phơng trình (1) phải có nghiệm


( )
7
3
037174
000
/
==
yyy
Vậy min y=
7
2
7
3
=
x
(nghiệm kép vì lúc đó
0
/
=
)
b. Làm tơng tự câu a
- 6x
2
+ 5x - 2 - y
0
= 0


12
2
2
+
++
x
xx
Tìm gía trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A
(Đề thi học sinh giỏi toán 9 TP Hồ chí Minh 1990 )
Giải
Vì x
2
+1 > 0 với x nên A xác định với mọi x
Phơng rình : A
0
(x
2
+ 1) = 2(x
2
+ x+ 1)

(A
0
- 2) x
2
- 2x + (A
0
- 2) = 0 (*)
Có nghiệm khi
/

x = 1
12
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích

Vậy minA = 1

x= -1
Max A = 3

x=1
Chú ý : Bạn đọc có thể giải cách khác không dựa vào miền giá trị
của hàm số
5) Phơng pháp đồ thị
Để làm bài tập về phơng pháp này trớc tiên phải vẽ đợc đồ thị
cuả hàm số y=f(x) sau đó áp dụng một số các tính chất, chẳng hạn:
1. Khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng d ngắn nhất là AH với
H(d) và AH d
2. Để tổng khoảng cách MA+MB ngắn nhất (M (d) A,B cố định) thì tìm A
/

đối xứng với A qua đờng thẳng (d) khi đó (MA+MB) A
/
B => min
(MA+MB) A
/
B
3. A;B thuộc parabol (P) tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất .
Ví dụ 1: Cho parabol (P) : y =
2

2
1
+=
xy
3) Gọi (D

) là tiếp tuyến tại điểm M








4
;
2
m
m
và song song với đờng
thẳng
AB thì phơng trình của (D

) có dạng :
4
)(
2
1
).(

Để (D

) tiếp xúc với (P) thì phơng trình phải có nghiệm kép.
1021
2'
==+=
mmm
Vậy M có toạ độ M






4
1
;1
. Phơng trình của (D

) là
4
1
.
2
1
=
xy
Ta phải chứng minh rằng ngoài điểm M, các điểm khác thuộc
cung AB sẽ có khoảng cách tới đờng thẳng AB ngắn hơn khoảng
cách từ M tới đờng thẳng AB; điều này tơng đơng với việc chứng







4
1
;1
.
Ví dụ 2.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(-2;1) và B (2;3).
Tìm trên trục hoành điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Giải
Gọi A là điểm đối xứng của A qua trục hoành. Xét một điểm
M bất kỳ trên trục hoành, ta luôn có
MA + MB = MA + MB

AB
= MA + MB
= MA +MB
Vậy MA + MB

MA +MB (M là giao của AB với trục
hoành)
Vậy tổng MA + MB nhỏ nhất khi M

M
Phơng trình của đơng thẳng (d) qua hai điểm A, B có dạng y = ax +
b
A(-2;-1)

ba
Vậy phơng trình của (d) là y = x + 1
Giao điểm của (d ) với trục hoành: Cho y = 0 => x + 1 = 0 hay x = -1
Vậy điểm M phải tìm là M (-1; 0)
C- Các dạng bài tập thờng gặp
1- Đa thức bậc nhất có chức giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.
bxaxE
+=
với a < b
2006....21
5432
+++=
+++=
xxxG
xxxxF
Giải
+)
bxaxE
+=

xbaxE
+=
áp dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có:
xbaxE
+=
abxbax
=+
Dấu bằng xảy ra khi
( ) ( )

1
= 5 2 = 3 khi
52

x
min F
2
= 4 - 3 = 1 khi
43

x
Vậy min F = 3 + 1 = 4 khi
43

x
+) Tơng tự câu trên
min
20061(
+
xx
) = 2006- 1 = 2005 khi
20061

x
min
20052(
+
xx
) = 2005- 2 = 2003 khi
20052

Vậy min G = 2005 + 2003 +.. + 1 = 1003
2
khi
10031002

x
Ví dụ 2: Tìm giá trị ln nhất của các biểu thức.
a. C =
122005

x
b. D =
32
12
+
x
Giải:
a. Vì
012

x
với mọi x.
Dấu bằng xảy ra khi
2
1
012
==
xx
Vậy maxC = 2005 khi
2

2. B = (
112)13
+
x
3. C =
1412

a
4. D =
41
+
xx
5. E =
8542312
+++
zyx
6. F =
12231232
+
xx
7. G =
1414
+
xx
8. H =
200520042003
++
xxx
9. I =
cxbxax

52.
2
1
12
+
xx
17
Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích