Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học

2011
-

2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B

ôô
ôn
nn
n Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố
9
99
9
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh biết dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ
nhất của một biểu thức đại số
Kĩ năng
- Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức
Thái độ
- Học sinh tích cực giải bài tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: -

HS:C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức

-

-
Các phơng pháp
Các phơng phápCác phơng pháp
Các phơng pháp
Phơng pháp 1: áp dụng trực tiếp bất đẳng thức
*) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn điều kiện
1 1 1
x y 2
+ =
. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức A =
x y
+
.
Hớng dẫn: Vì x > 0 và y > 0 nên
1 1
0; 0; x 0; y 0
x y
> > > >

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Hớng dẫn: ĐKXĐ:
5 7
x
3 3Ta có
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
A 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x 4
= + + + + =

Dấu = xảy ra

x = 2
Vậy Max A
2
= 4 => Max A = 2

x = 2
Phơng pháp 3: Nhân và chia cả tử và mẫu của một biểu thức với
cùng một số khác 0
*) Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x 9
A
5x

=


x = 18
Phơng pháp 4: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các
biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số.
1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau
*) Bài tập 4: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
3
3x 16
A
x
+
=

Hớng dẫn:
4
4
3 3 3
3x 16 16 x.x.x.16
A x x x 4 8
x x x
+
= = + + + =

Dấu = xảy ra

x = 2
Vậy Min A = 8

x = 2

1
2

Phơng pháp 5: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
*) Bài tập 6: Cho ba số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2 2
y
x z
P
y z z x x y
= + +
+ + +

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học

2011
-

2012

G

nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i


2
y z
x
+ x
y z 4
+

+

Tơng tự :
2
y
z x
+ y
z x 4
+

+
và
2
x y
z
+ z
x y 4
+

+

Cộng vế với vế của ba bất đẳng trên ta đợc
P 1

x y
+

Hớng dẫn:
2
x y
xy a xy a
2
+
= =>
=>
2
x y
2a
2
A
xy a
a
+
= =

Dấu = xảy ra

x = y = a
Vậy Min A =
2
a

x = y = a
*) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Nếu x = 4 thì y = 11 và y = 3 thì x = 12 (vì x + y = 15)
B 8 MinB 8
=> =
(khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12 ; y = 3)
Max B
2
= 16 => Max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7)
*) Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2x 6x 5
A
2x
+
= (x > 0)
Hớng dẫn:
5
A x 3 10 3
2x
= +
. Dấu = xảy ra


1
x 10
2
=

Vậy Min A =
10 3


Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Ta có: A
2
= 3x - 5 + 7 - 3x +
2 (3 5)(7 3 )
x x

= 2 +
2 (3 5)(7 3 )
x xp dng BT Cụ-si ta cú: A
2


2 + ( 3x- 5 + 7 - 3x) = 4
Du = xy ra

3x - 5 = 7 - 3x

x = 2
Vy Max A
2
= 4 suy ra Max A= 2 khi x = 2

(
)
2
a b
+

x =
ab

*) Bài tập 2: Cho
x 0

, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
x 2x 17
Q
2(x 1)
+ +
=
+

Hớng dẫn:
( )
2
x 1 16
8 8
x 1 x 1
Q 2 . 4
2(x 1) 2 x 1 2 x 1
+ +

Min M = 10

x = 4
*) Bài tập 4: Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
x 2000
N
x
+
=

Hớng dẫn:

2 2 2
3
2000 1000 1000 1000 1000
N x x 3 x . . 3.100 300
x x x x x
= + = + + = =

Min N = 300

x = 10
*) Bài tập 5: Cho x > 0 và y > 0; x + y
6

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
16
12

áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG

9

( )
(
)
16 16
12 12
P 2 x y 3x y 12 2 3x. 2 y. 32
x y x y

= + + + + + + + =
Min P = 32

x = 2 và y = 4
*) Bài tập 6: Cho x > y và xy = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
x 1,2xy y
Q
Min A = 24

x = 3,5
*) Bài tập 8: Cho 0 < x <1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
4
B
1 x x
= +
Hớng dẫn: Đặt
4b(1 x)
3 3ax
4
B c
1 x x 1 x x

= + = + +Sử dụng phơng pháp đồng nhất hệ số ta tìm đợc a = b = 1; c = 7
Vậy
(
)
(
)


Hớng dẫn:
a)
2 2 2 2
2 2
x y y z
z x
xy ;yz ;zx (theo cô-si)
2 2 2
+ +
+


=>
( ) ( )
2
2 2 2
xy yz zx x y z x y z 2 xy yz zx
+ + + + = + + + +

=> A
2
a
3

. Max A =
2
a
3


x y z
3 3
<=> = = =

*) Bài tập 9: Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z

12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
y
x z
P
y z x
= + +

Hớng dẫn:
2
2 2
2
2x y
y 2y z
2z x
x z
P
y z x
z x y
= + + + + +

2 2
2
4

. Min P= 6

x = y = z = 4
*) Bài tập 10: Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z = a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
(
)
(
)
a a a
1 1 1
x y z

+ + +
Hớng dẫn:
2 2
4
2 x 2 yz 4 x yz
x x y z
a
1
x x x x
+
+ + +
+ =

Tơng tự:

x = y = z =
a
3

*) Bài tập 11 : Cho a, b, c là các số dơng thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(
)
(
)
(
)
( )( ) ( )
1 a 1 b 1 c
A
1 a 1 b 1 c
+ + +
=


Hớng dẫn :
a b c 1 1 a b c 0
+ + = => = + >
. Tơng tự 1 b > 0 và 1 c > 0
Mặt khác 1 + a = 1 + (1- b - c) = 1 b + 1 c
( ) ( )
2 1 b 1 c


Tơng tự :

2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d


ii
i

s
ss
số
ốố
ố
9
99
9
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 06/11/11

Kiến thức
- Học sinh sử dụng thành thạo bất đẳng thức đã học để tìm giá trị lớn
nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức đại số , giải đợc đề thi các huyện,
tỉnh, thành phố có liên quan đến cực trị đại số
Kĩ năng
- Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức
Thái độ
- Học sinh tích cực giải bài tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
-

GV: -

HS:C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức

-

-

sĩ số

3 3 2 2 2 2 3 3
3 4 4 0
x y xy x y x y x y x y
+ + + + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y.
Hớng dẫn:
Đặt a = x+y = M; b = xy;
2
4
a b

Từ giả thiết có:
3 2 2 2 3
3 3 6 4 4
a ab a b b ab b
+ +
= 0

2 2
( 2 )( 2 3 ) 0
+ =
a b a ab b b

2 2
2
2 3 0
=



2 2
2 ( 3) 0
+ + =
b a b a
(1)
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Giả sử
=
(1) có nghiệm b thoả mãn b
2
4
a

thì
b=
2
3
2 4
a a
+

2
2 6 0 1 7;( : 0)
a a a Do a
+ >

+ +

Hớng dẫn:
(
)
(
)
2 2 2
2
2
1 1 1 1 1
M 4x 3x 2011 3 x x x 2010
4x 4 8x 8x 4
1 1 1 1
M 3 x x 2010
2 8x 8x 4
= + + = + + + + + +
= + + + + +

p dng cụ si cho ba s
x
x
x
8
1
,
8
1
,
2

Vy 20112010
4
1
4
3
0 =+++M
Vy giỏ tr nh nht ca M bng 2011 khi x = 1/2
*) Bài tập 3 :
Đề thi
Đề thiĐề thi
Đề thi

vào THPT tỉnh Hải
vào THPT tỉnh Hảivào THPT tỉnh Hải
vào THPT tỉnh Hải

Dơng năm học 2011
Dơng năm học 2011 Dơng năm học 2011
Dơng năm học 2011 -

-

2012, ngày thứ hai
2012, ngày thứ hai2012, ngày thứ hai
2012, ngày thứ hai

Cho ba số x, y, z thoả mãn 0 < x, y, z

1 và x + y + z = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

c a b
= + +


p dng bt ng thc Bunhiacoxki cho ba cp s
( )
1 ; 1 ; 1 ; ; ;
1 1 1
a b c
c a b
c a b



Ta cú :
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2
1
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 2

= + + + + + + + +



a b c a b c

oo
o

¸
¸¸
¸n
nn
n

B
BB
Bå
åå
åi
ii
i

d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g

H
9
99
9

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
x y z
A
z x y
− − −
= + +

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
4 4 4 4
x y z

1 / 2
2
x z
z y
y x
x y z
− =


− =


− =


+ + =

⇔
2 2
2 2
2 2
2
x z
z y
y x
x y z
− =


− =

§Ị thi vµo THPT tØnh L¹ng S¬n n¨m häc 2011
§Ị thi vµo THPT tØnh L¹ng S¬n n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh L¹ng S¬n n¨m häc 2011
§Ị thi vµo THPT tØnh L¹ng S¬n n¨m häc 2011 -

-

2012
20122012
2012

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn
2011 x;y 2012.
≤ ≤

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
2
(x y)(x y )
A
xy
+ +
=
.
H−íng dÉn:
2 2 3 3 2 2
2 2
(x y)(x y ) x y yx xy
A
xy xy
+ + + + +

Xét
1 2
2011 2012
t t
2012 2011
≤ < ≤
ta tính A(t
1
) - A(t
2
) = < 0
Do đó A(t
1
) < A(t
2
) . Nên từ
2011 2011
t A( ) A(t)
2012 2012
≤ ⇒ ≤

2011 16188554
min A A( )
2012 4048144
⇒ = =
khi
2011
t
2012
=

2 2 2 2
2 2 2
x 2x 2011 2011x 2.2011x 2011.2011 2010x (x 2.201
1x 2011.2011)
x 2011x 2011x
− + − + + − +
= =

2
2
2010 (x 2011) 2010
2011 2011
2011x
−
= + ≥

Vậy MinA =
2010
2011
<=> x – 2011 = 0 <=> x = 2011
* Cách 2: (Dùng kiến thức đại số lớp 8)
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiƯu

( )
− +
≠

= 2011 t dấu"=" t = x 2011 ; tho
2011 2011 2011 2011
 
≠
 
 
õa x 0

2010
Vậy MinA = x = 2011.
2011
⇔

* Cách 3: (Dùng kiến thức đại số 9)
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
x 2x 2011
A = với x 0
x
A.x x 2x 2011
A 1 x 2x 2011 0 *
coi đây là phương trình ẩn x
− +
≠
⇒ = − +

⇔ ≥ ⇔ = = = ≠
 
−
 
−
 

So sánh (1) và (2) thì 1 không phải là giá trò nhỏ nhất của A mà:
2010
MinA = x = 2011.
2011
⇔

*) Bµi tËp 6 :
§Ị thi vµo THPT tØnh Thanh Hãa n¨m häc 2011
§Ị thi vµo THPT tØnh Thanh Hãa n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh Thanh Hãa n¨m häc 2011
§Ị thi vµo THPT tØnh Thanh Hãa n¨m häc 2011 -

-

2012
20122012
2012

Cho a, b lµ c¸c sè d−¬ng tháa m·n: a+b =1
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: T =
)(2011
619
44
22

222
baab
baba
+
+++
=
)(.2.
2
1
3)(16
22
22
baab
ba
+
++
(1)
áp dụng bu nhi a copxky cho hai bộ số : b ; a
1 ; 1
(1
2
+1
2
)(a
2
+b
2
)
≥
( a.1+b.1)


Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học

2011
-

2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB

ôn
nn
n Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố
9
99
9

+
du = khi a= b =
2
1


)(.2.
2
1
3)(16
22
22
baab
ba
+
++

(
)
2
22
2
2
2
2
1
38




4


2
1
(a
2
+ b
2
)
2
du = khi a= b =
2
1

tng t : a
2
+ b
2


2
1
(a+ b)
2
nờn a
4
+ b
4


88 +
8
1
.2011 khi va ch khi khi a= b =
2
1

*) Bài tập 7 :
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng
Hải Dơng Hải Dơng
Hải Dơng năm học 20
năm học 20năm học 20
năm học 2009
0909
09

-

-

2010
20102010
2010 Cho x, y thỏa mãn:
3 3
x 2 y y 2 x

2 2
( ) ( ) 2 2 1 0

+ + + + + + =

x y x xy y x y

( ) 0
x y
=
(vì
(
)
2 2
( ) 2 2 1
+ + + + + +
x xy y x y
> 0) x = y
2 2
B x 2x 10 (x 1) 9 9 x 2

= + + = + +
. Min B = 9 Khi x = y = -1
Cách khác:
3 3
x 2 y y 2 x
+ = +

3 3
x 2 x y 2 y (x,y 2)

Bắc Giang Bắc Giang
Bắc Giang năm học 2009
năm học 2009năm học 2009
năm học 2009

-

-

2010, ngày thứ nhất
2010, ngày thứ nhất2010, ngày thứ nhất
2010, ngày thứ nhất Cho các số dơng x, y, z thỏa mãn xyz -
16
0
x y z
=
+ +

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x+y)(x+z)
Hớng dẫn:
Vì xyz -
16
0
x y z
=
+ +
=> xyz(x+y+z) = 16

yz
yz
yz
xyz
x +=+
1616

áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dơng là
yz
16
và yz ta có
P =
yz
yz
+
16
816.2
16
2 == yz
yz
; dấu đẳng thức xẩy ra khi
yz
yz
=
16

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8
*) Bài tập 9:
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh


2 2 2 2
a b 2 a b 2ab
+ =
(Bdt Cụ si)
2 2 2
a b 2ab 4ab (a b) 4ab
+ + +

(a b)(a b) a b 4 a a 4 1 1 4
4 (*)
ab ab a b ab ab a b a b a b
+ + +
+ +
+ + +

p dng BéT (*) v i a =
2 2
x y
+
; b = 2xy ; ta cú:

2 2 2 2 2
1 1 4 4
x y 2xy x y 2xy (x y)
+ =
+ + + +
(1)
Mt khỏc :
2

x y 1 0 (x y) 1
+ < +
]

minA = 6
khi
1
x = y =
2

*) Bài tập 10:
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng
Hải Dơng Hải Dơng
Hải Dơng năm học 2009
năm học 2009năm học 2009
năm học 2009

-

-

2010
20102010
2010

Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc: K
2
6 8

= 16 - k (k - 6)

0
2 8
k
<=>
.
Max k = 8

x =
1
2

.
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học

2011
-

2012

G
GG

ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s

+ +

(
)
( ) ( )
2
2 2
2 2 2
2 x 1
2 x 2 2 x 2
2 2
x 1 x 1 x 1
+

= + = +
+ + +

Vy Min K = - 2 khi x = 2
(
)
( ) ( )
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
8 x 1
2 2x 1 2 2x 1
6 8x 8x 8 8x 8x 2
K 8
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

Cho hai số a,b khác 0 thoả mãn 2a
2
+
2
2
1
4
+
b
a
= 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ab + 2009.
Hớng dẫn:
Từ 2a
2
+
2
4
b
+
2
1
a
= 4 (ab)
2
= - 8a
4
+ 16a
2
- 4 = 4 - 8(a


-

2012
20122012
2012

Cho cỏc s a, b, c u ln hn
25
4
.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
2 5 2 5 2 5
a b c
Q
b c a
= + +

.
Hớng dẫn:
Do a, b, c >
25
4
(*) nờn suy ra:
2 5 0
a
>
,
2 5 0
b

(3)
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Cng v theo v ca (1),(2) v (3), ta cú:
5.3 15
Q
=
.
Du = xy ra
25
a b c
= = =
(tha món iu kin (*))
Vy Min Q = 15
25
a b c
= = =

*) Bài tập 2 :
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Vĩnh Phúc
Vĩnh Phúc Vĩnh Phúc
Vĩnh Phúc năm học 20
năm học 20năm học 20
năm học 2011

=
( )( )
c a c b
+ +( )( ) 2
a b
ab ab
c a c b
c ab c a c b
+
+ +
=
+ + +

Tng t:
( )( )
( )( )
a bc a b a c
b ca b c b a
+ = + +
+ = + +

;
( )( ) 2 ( )( ) 2
+ +
+ + + +
= =
+ + + + + +

3
2
t c khi v ch khi
1
3
a b c
= = =

*) Bài tập 3 :
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Hòa Bình
Hòa Bình Hòa Bình
Hòa Bình năm học
năm học năm học
năm học 2010
2010 2010
2010 -

-

2011
20112011
2011

Cho x, y > 0 và
2 2
8
x y
+

1 1
1
x y
+
. Vậy A
min
= 1
1 1 1
2
2
x y
x y
= = = =

*) Bài tập 4 :
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn
Lạng Sơn Lạng Sơn
Lạng Sơn năm học
năm học năm học
năm học 2010
2010 2010
2010 -

-

2011
20112011
2011

áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

ố
9
99
9
Ta cú A =
2
2 2 2 2 2
2 ( ) 2 3
2 2 3.4 2 2 3 2.( ) 4 3
x y xy
x y xy x y x y xy
x y x y x y x y

+ +
+ + + + + +

= = =
+ + + +

Xột
1
( )x y
x y
+ +
+

p dng Cosi cho 2 s (x+y) v (
1
x y
+
) ta cú:
(x+y) + (
1
x y
+
) 2
( )
1
x y .( )
x y
+
+
= 2
Do ú: A =
1
2 ( )x y
x y

+ +

2
= 5
Hớng dẫn:
Trớc hết chứng minh bất đẳng thức bunhia-côp-xki
( )
(
)
(
)
2
2 2 2 2
am bn a b m n
+ + +
; đẳng thức xảy ra
a b
m n
=

Chứng minh bằng cách biến đổi tơng đơng
áp dụng:
(
)
(
)
(
)
( )
2
2 2 2 2
2

2x 3y 5
=

<=> = =

+ =


Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

*) Bài tập 6 : Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
1 4
y x x y
M
xy
+
=

Hớng dẫn:
Vi iu kin
1, 4
x y

ta cú: M =
4
1

y y
y y
+
= =

4
1
4
y
y


(vỡ y dng)
Suy ra: M =
4
1 1 1 3
2 4 4
y
x
x y


+ + =

Vy giỏ tr ln nht ca M l
3
4


x = 2, y = 8

à
c
á
c s
ố
th
ỏ
a m
ã
n
đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
mn
2
=
.
T
ì
m gi
á
tr
ị
nh
ỏ
nh

gi
ả
thi
ế
t suy ra
2 2
m n 2mn 1
+ =
.
Do
đó

(
)
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
15 m n
m n m n m n m n
P .
m n m n 16m n m n 16m n
+

+ +
= + = + +

+ +áp d

t lu
ậ
n:
min
17
P
4
=
,
đạ
t
đợ
c khi
1
m n
2
= =
.
*) Bài tập 9 : Tỡm GTLN ca :
a) A x 1 y 2
= +
bit x + y = 4
Hớng dẫn:
iu kin : x 1 , y 2. Bt ng thc Cauchy cho phộp lm gim mt tng :
a b
ab
2
+
. õy ta mun lm tng mt tng. Ta dựng bt ng thc :
2 2

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS

99
9
x 1 y 2 x 1,5
max A 2
x y 4 y 2,5
= =

=

+ = =*) Bài tập 10 :
a. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau :
A = x
2
+ 2y
2
2xy - 4y + 2014
b. Cho cỏc s x,y,z tha món ng thi:
x + y + z = 1; x

+ 2010
Do (x-y)
2


0 ; (y - 2)
2


0
Nờn:(x-y)
2
+ (y - 2)
2
+ 2010

2010
Du ''='' xảy ra

x y = 0 v y 2 = 0

x = y = 2.
Vy GTNN ca A l 2010 tại x = y =2
b) Ta cú: (x + y + z)
3
= x
3
+ y
3
+ z

x x x x x
+ + + + + + + + +

Tìm x để
5
4050150
A =

2) Cho hệ phơng trình
2 2 2 2
x y a b
x y a b
+ = +


+ = +


Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dơng n ta có
n n n n
x y a b
+ = +

3) Cho x, y, z 0 và
x + y + z 3

.
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
1 1 1

Để
5
4050150
A =



( )
5 5
5 4050150
x x
=
+



2
5 4050150 0
x x
+ =

Giải phơng trình này ta đợc
1
2010
x
=
;
2
2015
=


+ y
2

= a
2+ b
2


(x
2



a
2
) + (y
2



b
2
) = 0



0
b y
x a y b
=


+ = +


Nếu b y = 0

y = b

x = a

n n n n
x y a b
+ = +

Nếu x + a = y + b

x b
y a
=


=




2
2 2
2 1
1
1 1
x x
x x
+
=
+ +

2
1
1 2
x
x

+
.
2 2
1 1
;
1 2 1 2
y z
y z

x x
+ +
; F =
( 1)( 2)( 3) 5
x x x x
+ + + +

Hớng dẫn:
a) E =
2
2 4 5 1
x x
+ +
=
( )
( )
2
2
2 2 1 3 1 2 1 3 1
x x x
+ + + = + +

3 1
+

Suy ra : Giỏ tr nh nht ca E bng
3 1
+
khi ( x - 1)
2

3 5
2*) Bài tập 13 : Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010
Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010
Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010 -

-

2011
20112011
2011
1) Tỡm 7 s nguyờn dng sao cho tớch cỏc bỡnh phng ca chỳng bng
2 ln tng cỏc bỡnh phng ca chỳng.
2) Cho cỏc s thc khụng õm x. y thay i v tha món x+y=1. Tỡm giỏ
tr ln nht v giỏ tr nh nht ca:
B=(4x
2
+3y)(4y
2
+3x)+25xy
Hớng dẫn:
1) * Gọi

7 s


nguyên dơng


1 2 7
x .x x
2.7
2
1
x
=14
2
1
x

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học

2011
-

2012

G
GG
Gi
ii
iá


H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố

7
=1

2 2
1 2
x .x
=
2 2
1 2
2(x x 5)
+ +
)
* t
2
1
x
=a,
2
2
x

=b vi a, b l cỏc s nguyờn dng chớnh phng
ab=2a+2b+10 (a-2)(b-2)=14.1=7.2
* Trng hp 1:
a 2 14
b 3 khụng
b 2 2
=

=

3
+34xy

* B=16x
2
y
2
+12(x+y)
3
-2xy= = 16(xy-
1
16
)
2
+
191
16

* B
191
16
, B nh nht =
191
16
xy=
1
16
. Gii c:
2 3 2 3
x , y=

16

* B=16(xy -
1
16
)
2
+
19
1
16
16. (
3
16
)
2
+
191
16
=
25
52
. Vy B ln nht
=
25
52
(x+y) =1 v xy =
1
4
x=y=


Thay vào bắt đẳng thức đã cho có : a + b + c + ab + bc + ac 6
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

2
2
2
1 1
b c 0
c
b
+ + + + + + +


1 1 1
1
a b c 6 a -
c a b
a





++






++






+=
2
38
2
6
2
3
2
3
2
3



2
2
.
2
66.
2
3
++
M 9 + 6 + 4 = 19
Dấu bằng xảy ra khi x = 2; y = 4 M nhỏ nhất bằng 19 (khi x = 2; y = 4)
*) Bài tập 15 : Cho 2 số dơng x, y thỏa mãn x + y =1
a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x
2
+
2
1
y
)( y
2
+
2
1
x
)
b) Chứng minh rằng : N = ( x +
x
1
)
2
+ ( y +

xy
yx
yx
+=
+

Mặt khác : xy +
xy
1
= ( xy +
)
16
1
xy
+
xy16
15
( 1).
áp dụng BĐT Côsi : xy +
xy16
1
2
16
1
=
2
1
(2).

2

(
4
17
)
2
=
16
289

Vậy min M =
16
289
, đạt đợc khi





=
=
yx
xy
xy
16
1


x = y =
2
1

áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

ố
9
99
9
N = ( x +
x
1
)
2
+ ( y +
y
1
)
2

2
)(
2

4
1
1
1
2
)
1
1(
2
2
=












+

+
xy
. Vậy N
2
25

xy
yx
11
33
+
+

Hớng dẫn:
a. Rút gọn : A =
6 2 2 3 2 12 4 2
+ + +
=
6 2 2 3 4 2 3
+ +

=
6 2 2 2 3
+
=
6 2 4 2 3
+
=
)
(
6 2 3 1
+
=
3 1
+


1
2006
21
x
x
+ 1 -
2006
1

= 2006
2
2006
11







x
+
2006
2005



2006
2005


xy
yx
yx
xy
33
33
3
4
+
+
+
+

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
xy
yx
yx
xy
33
33
3
4
+
+
+
+
324.
3
24
33

1
; y =










3
322
1
2
1

Hoặc x =










3

2
-10xy + 14x 76y + 11
Tìm giá trị x; y để f(x,y) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất
Hớng dẫn:
Ta có: f(x,y) = x
2
+ y
2
+ 25y
2
10xy 6y 70y + 9 +14x + 2
= (x
2
10xy + 25y
2
) + (y
2
- 6y + 9) + (14x 70y) + 2
= (x-5y)
2
+ (y-3)
2
+ 14(x 5y) +2
Đặt: t = x 5y Ta có: f(x,y) = t
2
+ (y 3)
2
+ 14t + 2
= (t + 7)
2

= =

. Vậy: f(x,y)
Min
= - 47 khi x = 8 ; y = 3
*) Bài tập 18 :
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A(x)=
2
2 1
2
x
x
+
+

Hớng dẫn:
(1)
2 2
2 2 1 2 2 1 0
Ax A x Ax x A
+ = + + + =

Xét: A=0 thì x=
1
2

Xét: A
0




khi x = -2
*) Bài tập 19 :
a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x
2
+ 4x = 19 - 3y
2

b/ Giải phơng trình:
4524428183
22
+++ xxxx
= x
2
+ 6x -5
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
12
2
68
2
3
+
+
xx
xx

d/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =
1
24
2

mà y

Z => y =
2;1;0



+ Với y =

1 => (2x + 2)
2
= 6(7 - 1) <=> 2x
2
+ 4x - 16 = 0=> x
1
= 4; x
2
= -2.
+ Với y =

2 =>2x
2
+ 4x - 7 = 0 => x
1
, x
2


Z (loại)
+ Với y = 0 =>2x

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ


s
ss
số
ốố
ố
9
99
9
Vì 3(x-3)
2


0 nên
1)3(3
2
+x


1)1(2)12
2
(3

+

=

++
x
x
x
xxx

Đặt y =
1
1
x
=> A = y
2
2y + 3 = (y 1)
2
+ 2

2
=> min A = 2 => y = 1
1
1
1
=

x +
nhỏ nhất
=>
2
1
2
x
x +
= 2 => x =

1. Vậy M lớn nhất bằng
1
3
khi x =

1
*) Bài tập 20 : Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011
Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011 Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011
Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011 -

-

2012
20122012
2012
a) Rỳt gn:
3 3 4 3 4
2 3 1 5 2 3
A
+

+
=
(3 3 4)(2 3 1) ( 3 4)(5 2 3)
11 13
+ +
+

=
22 11 3 26 13 3
11 13
+
+
=
2 3 2 3
+ +

=
1
( 4 2 3 4 2 3)
2
+ +
=
2 2
1
( ( 3 1) ( 3 1) )
2
+ +

=
1

x x x x x x
x x
+ + +
+
=
2 28 8 16 9 8
( 1)( 4)
x x x x x x x
x x
+ +
+

=
4 4
( 1)( 4)
x x x x
x x
+
+
=
( 1)( 1)( 4)
( 1)( 4)
x x x
x x
+
+
=
1
x


3 3 3 3
x 1 3

+ = =
+

*) Bài tập 21 : Đề khảo sát đợt II chọn HSG năm học 2011
Đề khảo sát đợt II chọn HSG năm học 2011 Đề khảo sát đợt II chọn HSG năm học 2011
Đề khảo sát đợt II chọn HSG năm học 2011

2012 huyện Gia Lộc
2012 huyện Gia Lộc2012 huyện Gia Lộc
2012 huyện Gia Lộc Cho x, y là các số dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M =
2 2
y xy
x
y x
x y
+ +
+

Hớng dẫn:
Vì x > 0 , y > 0 nên
y
x
0, 0

x
y x
+

2

nên
3a 3
4 2


Lại có :
a
1
1
4 a
+
(cô - si). Do đó M
3 5
1
2 2
+ =

5
M a 2 x y
2
= <=> = <=> =
. Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng
5
x y


N¨m häc

2011
-

2012

G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o

¸
¸¸
¸n
nn
n

B
BB
Bå
åå
åi
ii


§
§§
§¹
¹¹
¹i
ii
i

s
ss
sè
èè
è
9
99
9