Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ

ầầ
ần
nn
n

H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h

h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c

A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Ôn tập các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
- Ôn tập định nghĩa và tính chất các tỉ số lợng giác của góc nhọn
- Học sinh vận dụng đợc các kiến thức đã học để giải bài tập
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng vận dụng các hệ thức, định nghĩa, tính chất
- Nâng cao khả năng t duy
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập đúng đắn, cần cù, chịu khó
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:

Thớc, compa, máy tính
- HS:

Thớc, compa, máy tính
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chức Tổ chức
Tổ chức sĩ số
sĩ số sĩ số
sĩ số


2
. '
c a c
=
2.
2
'. '
h b c
=

3.
. .
a h b c
=

4.
2 2 2
1 1 1
h b c
= +

II. Bài tập:
Bài 1:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

GT




ABH

CAH (g.g)


AB AH
CA CH
=



5 30
6
CH
=


30.6
36
5
CH
= =
m
+) Mặt khác BH.CH = AH
2
( định lí 2)



vuông tại A
Ta có:
2 2 2
BC =AB + AC
( đ/l Pytago)

2 2 2
BC = 6 + 8 = 36 + 64 = 100


BC = 10cm
+) Vì AH

BC (gt)


AB.AC = AH.BC


. 6.8
AH = 4,8
10
AB AC
BC
= =

b) Ta có:
6
sinC = 0,6

vuông cân tại E

AE = EP (2)
Từ (1); (2)

Tứ giác AEPF là hình vuông
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Tính cạnh bên theo a và h với BC = a,
đờng cao AH = h.
Hớng dẫn: Tam giác ABC cân có AH là
đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến
=> HB = HC =
a
2

- áp dụng định lí Py ta go đối với tam
giác vuông AHB, tính đợc
AB = AC =
2 2
4h a
2
+Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có

0
B 60
=
, đờng cao AH.
S

oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H

ọọ
ọc
cc
c Chứng minh
CH AC
3
AH AB
= =

Hớng dẫn:
Tam giác ABC có

0
B 60
=
=> Tam giác ABC vuông
tại A là nửa tam giác đều cạnh BC, đờng cao AC
Ta có: AC =
2AB 3
AC
AB 3 3 (1)

trong tam giác ta có:
MB HB 4 MB 4
MA HA 3 MA MB 7
= = => =
+

=>
MB 11,43cm;MA 8,57cmvà
MN 12,9cm

(py ta go)

Bài 6: Cho tam giác ABC, biết AB = 11 cm, AC = 15 cm, BC = 20 cm. Kẻ
đờng cao AH.
a) Chứng minh hệ thức sau:
2 2 2 2
HC HB AC AB
=

b) Tính HC, HB, AH = ?
Hớng dẫn:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


cạnh huyền
=

cạnh kề
cos
cạnh huyền
=

cạnh đối
tan
cạnh kề
=

cạnh kề
cot
cạnh đối
=Ghi nhớ: sin đi học , cos không h, tang đoàn kết, côtang kết đoàn.
b) Bảng tỉ số lợng giác của một số góc đặc biệt:

Tỉ số lợng giác

30
0
45
0
60
0


1
3
3

c) Một số tính chất của các tỉ số lợng giác
+) Định lí về tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau
Cho hai góc và phụ nhau. Khi đó:
sin = cos; cos = sin; tan = cot; cot = tan.
+) Cho
0 0
0 90
< <
. Ta có:

2 2
0 sin 1; 0 cos 1; sin cos 1
< < < < + =sin cos
tan ; cot ; tan .cot 1
cos sin

= = =d) So sánh các tỉ số lợng giác
0 0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

Bài 1: Cho cos = 0,8. Hãy tìm
sin , tan , cot

(làm tròn đến chữ số thập
phân thứ t)
Hớng dẫn: áp dụng các hệ thức sau để tính

2 2
sin cos
sin cos 1; tan ; cot
cos sin

+ = = =Kết quả:
sin 0,6; tan 0,75; cot 1,3333
= =

Bài 2: Hãy tìm sin; cos (làm tròn đến chữ số thập phân thứ t) nếu biết
a) tan =
1
3
b) cot =

ABC 80 ;ACB 30 ;BAC 70
= = =

Lập một phơng trình tính x = AC = ?
Hớng dẫn: áp dụng định nghĩa các tỉ số
lợng giác của góc nhọn đối với các tam giác
vuông ABH và ACH, rồi suy ra phơng trình
x.sin30
0
= 4sin80
0Bài 4: Cho hình vẽ
Hãy tính sinL (làm tròn đến chữ số thập
phân thứ t)
Hớng dẫn:
Giải tơng tự bài tập 6
Kết quả: sinL =
0
2,8.sin30
0,3333
4,2
Bài 5:
1. Chứng minh các hệ thức
2
2

sin 0,8944;cos 0,4472;cot 0,5
=

Bài 6:
1. So sánh các tỉ số lợng giác sau:
H

C
B

A

70


30



80



4

x
30




về cùng một tỉ số lợng giác sin hoặc cosin để so sánh
Kết quả:
0 0 0 0 0
cos13 cos42 sin29 sin21 cos72
> > > >

Bài 7: Tính giá trị biểu thức
a) A =
0 0 0
3sin60 2cos30 3tan60
+

b)
0 2 0 2 0
B 3 2sin30 2cos 60 3tan 45
= +

Hớng dẫn: A =
7
3
2
b) B =
1
2


III.
III.III.
III.


AC
3

Hớng dẫn: áp dụng định lí Py ta go để giải
Kết quả chiều dài hai cạnh góc vuông: AC = 9,98 cm; AB = 6,65 cm
Bài 3: Cho (O), đờng kính AB = 26,5 cm; vẽ dây cung AC = 22,5 cm. Gọi H
là hình chiếu của C trên AB, nối C với B.
Tính BC, AH, BH, CH và OH ?
Hớng dẫn:
- Trớc hết chứng minh tam giác ABC vuông tại C
- áp dụng các hệ thức về cạnh và đờng cao trong
tam giác vuông để tính, kết quả nh sau:
BC = 14 cm; AH = 19,1 cm; BH = 7,4 cm;
CH = 11,9 cm; OH = 5,9 cm.

O

H

C

B

A

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng


d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

=

1. Tính cạnh BC
2. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD . Tính MN = ?
Hớng dẫn:
1. Kẻ
DE AB,CF ABChứng minh
DAE CBF
=

=> AE = BF =
AB CD
2

=
10 cm
Tam giác CBF là nửa tam giác đều
=> BC = 2BF = 20 cm
2. Trớc hết chứng minh MN = CF

Nối AN, BN và chứng minh
ADN BCN(c.g.c)
=
=> AN = BN
=> Tam giác ANB cân tại N, có MA = MB => MN
AB


Hớng dẫn:
a) Thay
1
cot
tan
=

b) Sử dụng hằng đẳng thức bình phơng của tổng
c)VT =
2 2 2 2 2
4
4
2 2 2 2 2 4
sin cos (1 cos ) sin (1 cos )
sin
tan VP
cos sin (1 sin ) cos (1 sin ) cos


= = = =


Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau
a) P =
2 2
2
1 4sin cos
(cos sin )

+

2.
sinB 0.8165; cosB 0,5774; tanB 1,4142; co
tB 0,7071

=>

0
B 54 44'

3. áp dụng định lí về tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau
Bài 8:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Chứng minh giá trị các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào góc


a) A =
4 2 2 2
cos cos . sin sin
+ +

b) B =
2 2
(tan cot ) (cot tan )
+



4. Tam giác BEC vuông cân => BE = CE =
5 2 cm
; DC =
5( 6 2 )cm


Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH chia BC thành hai
đoạn BH = 5cm, CH = 20cm. Chứng minh tan B = 4tan C.
Bài 11: Không dùng máy tính bỏ túi hay bảng lợng giác , hãy chứng minh:
a)
0
0
sin30
1
cos60
=
b)
0 0 0 0
tan32 .cot32 (tan47 cot43 ) 1
=

c)
sin
1
cos
cot cos

+ =


a 2
b)
a 3
2
c)
2
a 3
4

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h

h
hh
họ
ọọ
ọc


*******************************

Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 16/10/11

Ngày
NgàyNgày
Ngày dạy
dạy dạy
dạy
: 21/10/11

Chủ đề 1
Chủ đề 1Chủ đề 1
Chủ đề 1

Hệ thức lợng trong tam giác vuông

Buổi 2
Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

A/Mục tiêu
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
(10 phút)
- HS1:

Phát biểu định lí các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác
vuông ?
- HS2:

Vẽ tam giác vuông ABC rồi viết các hệ thức về cạnh và góc trong
tam giác đó
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(105 phút)
1. Lí thuyết:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
b = a.sinB; c = a.sinC
b = a.cosC; c = a.cosB
b = c.tanB; c = b.tanC
b = c.cotC; c = b.cotB
=> a =
b c b c

Bài 2: Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai cạnh bằng a và b, góc
nhọn tạo bởi hai đờng thẳng đó bằng thì diện tích của tam giác đó là
S =
1
absin
2


Hớng dẫn: Xét hai trờng hợp tam giác ABC nhọn hoặc tù

Bài 3: Tam giác ABC có :
AB = 16 cm, AC = 14 cm và

0
B 60
=

a) Tính BC
b) Tính diện tích tam giác ABC
Hớng dẫn: Kẻ AH vuông góc với BC
Kết quả:
a) BC = 10 cm
b) S
2
69,28cm



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h

h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c


(2)
sinB sin A
= = => = =
=> =

Từ (1) và (2) => đpcm
Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB = a, AC = b, BC = a
Chứng minh rằng:
2 2 2
b a c 2accosB
= +

Hớng dẫn:
Kẻ AH BC
Ta có :
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
b AC AH CH (py - ta - go)
AH (BC BH)
AH BH 2BC.BH BC
AB BC 2BC.AB.cosB a c 2accosB
= = +
= +
= + +
= + = + Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở A,

AMB
= sin2 =
AH 2h
AM a
=

b)
b
h
sin2 2. . 2sin .cos
b a
= = Bài 8: Cho tam giác ABC cân ở A, đờng cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở
đáy bằng . Chứng minh rằng:
2
ABC
h
S
4sin .cos
=Hớng dẫn:

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng


B,C

b) Đờng phân giác của góc A cắt BC ở D. Tính BD, DC
c) Từ D kẻ
DE AB,DF AC.

Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và
diện tích của tứ giác AEDF ?
Hớng dẫn:
a) BC = 10 cm;


0 0
B 53 8';C 36 52'b) áp dụng tính chất đờng phân giác
trong tam giác, đợc kết quả:
30 40
BD cm;DC cm
7 7
= =

c) Tứ giác AEDF là hình vuông

Vì DF // AB =>
CD
DF 24
CFD CAB DF cm
AB BC 7

Củng cố
Củng cố Củng cố
Củng cố -

- Luyện tập
Luyện tập Luyện tập
Luyện tập
(60 phút)
Bài 1: Cho hình thang ABCD có


0
A D 90
= =
; AB = 30 cm; CD = 18 cm và BC
= 20 cm
a) Tính các góc ABC và BCD
b) Tính các góc DAC, ADB và các đờng chéo AC, BD
Hớng dẫn:
a) Kẻ
CH AB BH 12cm
=> =



0 0
cosB 0,6 B 53 BCD 127
=> =>

b) CH = 16 cm

oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H

ọọ
ọc
cc
c Bài 2: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn AB = 20 cm, cạnh bên AD =8 cm
và tạo với đáy lớn AB góc 65
0

a) Tính đờng cao DH, đáy nhỏ CD
b) Tính góc ABD và đờng cao BD
Hớng dẫn:
a) Kẻ
DH AB,CK ABDH 7,25cm;AH 3,38cm
CD HK 13,24cm
=>
=> =

b)


B,C,
đờng cao AH
c) Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi hình chiếu của M trên AB, AC lần lợt là
P và Q. Chứng minh rằng: PQ = AM
Hỏi M ở vị trí nào thì PQ có độ dài nhỏ nhất
Hớng dẫn:
a) Dùng định lí đảo của định lí Py -
ta - go để chứng minh
b)


0 0
B 36 52'; C 53 8'; AH 3,6cm
=

c) Tứ giác APMQ là hình chữ nhật
suy ra PQ = AM
PQ nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất
<=> AM vuông góc với BC
<=> M
H
IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
(5 phút)
- Xem lại các bài đã chữa. Giải tiếp các bài tập sau:

A (sin + cos ) - 2sin .cos - 1
=

b)
2
B (sin - cos ) 2sin .cos + 1
= +

c)
( )
2 2
B (sin + cos ) sin cos + 2
= +

Kết quả: a) A = 0 b) B = 2 c) C = 4
Bài 17: Cho
0 0
0 x 90
< <
. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
6 6 2 2
sin x cos x 1 3sin x.cos x
+ =

b)
4 4 2
sin x cos x 1 2cos x
=

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo

HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h

h
hh
họ


Buổi 3
vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh hệ thức
tính số đo góc và độ dài đoạn thẳng

A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Củng cố và khắc sâu các hệ thức lợng trong tam giác vuông
- Học sinh biết vẽ yếu tố phụ một cách hợp lí để chứng minh các hệ thức
- áp dụng thành thạo hệ thức lợng để tính độ dài đoạn thẳng, tính số
đo góc
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng vận dụng, trình bày
- Rèn khả năng t duy, vận dụng kiến thức
Thái độ
- Có tinh thần tự giác, tích cực trong học tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:

Thớc, êke

1.Bài 1: Cho tứ giác ABCD có


0
ADC + DCB = 90
CMR:
2 2 2 2
AB + CD = AC + BD

- GV để cho học sinh suy nghĩ tìm
kiếm cách giải
- Nếu học sinh không làm đợc thì
gợi ý: Các em có nhận xét gì về kết
luận của bài toán ? có liên quan tới
định lí Py-ta-go trong tam giác
vuông không ? Vậy liên quan đến
tam giác vuông nào ? dựa vào giả
thiết


0
ADC + DCB = 180
ta cần tạo
ra

OCD vuông tại O bằng cách
kéo dài các cạnh AD và BC cắt
o
c
b

OAB, ODC, OAC, OBD


là các tam giác vuông tại O.
áp dụng định lí Pythagoras cho các
OAB, ODC, OAC, OBD

vuông tại O
Ta có:

2 2 2
AB = OA + OB2 2 2
CD = OC + OD


2 2 2 2 2 2
AB + CD = OA + OB + OC + OD (1)
2 2 2
AC = OA + OC2 2 2
BD = OB + OD


MB = NC



và
AP = BQ
PD = QC




(
)
1Xét
KAM

:
2 2 2
KA = AM + KMKNC:


2 2 2
KC = NC + KN


KA + KC = KB + KD
(đpcm)
- Cách khác: Vẽ
PQ AD

và trình bày tơng tự
3. Bài 3:
Cho hình vuông ABCD, qua A vẽ một cát tuyến bất kì cắt các cạnh BC, DC
(hoặc đờng thẳng chứa các cạnh đó) tại E, F.
CMR:
2 2 2
1 1 1
+ =
AE AF AD

Phân tích: Học sinh nhận thấy đẳng thức cần đợc chứng minh có liên
quan tới hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông. Do vậy cần
xác định một tam giác vuông có hai cạnh bằng AE, AF và có đờng cao AD
từ nhận xét đó các em kẻ thêm đờng phụ AK vuông góc với AF, từ đó các
em trình bày nh sau.
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

H
HH
Hì
ìì

ABE


Có:


1
3
A = A

(cùng phụ với

2
A
)
AD = AB (cạnh hình
vuông)



0
ADK = ABE = 90

Suy ra
ADK

đồng dạng với
ABE

(g.c.g)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC, trên cạnh BC lấy điểm M bất kì
đờng thẳng AM cắt cạnh CD kéo dài tại N
CMR:
2 2 2
1 1 1
4
AM AN AB
+ =

- Phân tích: Dựa vào ví dụ 3 các em cũng tạo ra tam giác vuông ANS tuy
nhiên cha tìm ra lời giải , gợi ý nh sau:
- Tam giác ABM đồng dạng với tam giác nào ? (
ADS

)
Cách giải:
Vì ABCD là hình chữ nhật
có
AB = 2BC AB = 2AD




1
AD = AB
2

Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc
với AN cắt CD tại S
- Xét


(g.g)

1
2
AD AS
AB AM
= =



1
2
AS AM
=

- Xét
ANS

vuông tại A có
AD NS

Ta có:
2 2 2
1 1 1
AS AN AD
+ =

S
Trờng THCS Hồng Hng

4
AM AN AB
+ =
(đpcm)
- Qua bài tập 3 và 4 có thể cho học sinh thấy rằng cách giải hai ví dụ này là
một, đều phải kẻ thêm đờng phụ để làm xuất hiện tam giác vuông và áp
dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông từ đó có cách kẻ
hợp lí.
5. Bài 5:
Cho hình bình hành ABCD, đờng chéo lớn AC. Gọi E , F là các hình chiếu
của C lên các cạnh AB và AD. CMR:
2
AB.AE + AF.BC = AC

Phân tích: Các em không tìm đợc mối liên hệ giữa các cạnh với đờng chéo
AC.
- Từ B kẻ đờng thẳng BK vuông góc với AC
- Xét hai tam giác đồng dạng nào để
=> AC.AK = AB.AE (1)
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng khác để suy ra AC.CK = BC.AF (2)
từ đó tìm đợc lời giải bài toán
Cách giải:
Từ B kẻ
BK AC

(hình vẽ bên)
- Xét
AEC

và



AB.AE = AC.AK (1)- Xét
AFC

và
CKB

có:



CAF = BCK
(so le trong)



0
AFC = CKB = 90

Suy ra
AFC


CKB

(g.g)

2 4
AB AC BC
MA
+
=

Đây là công thức tính độ dài
đờng trung tuyến trong tam giác
khi biết độ dài các cạnh của tam
giác

Cách giải: Kẻ AH vuông góc với BC
m

h

c

b

a

S
S
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n


AB + AC = (AM - MH ) + BH + (AM - MH )
+ HC


2 2 2 2 2 2 2 2
AB + AC = AM - MH + BH + AM - MH + H
C


2 2 2 2 2 2 2
AB + AC = 2AM - (BM - BH) + BH - ( HC -
CM) + HC


2 2 2 2 2 2 2 2 2
AB + AC = 2AM - BM + 2BM.BH - BH + BH - HC
+ 2HC.CM - CM + HC


2 2 2 2 2
AB + AC = 2AM - BM + 2BM.BH + 2HC.CM - CM


2 2 2 2 2
AB + AC = 2AM - BM + 2BM.BH + 2HC.BM - BM


(Vì MB = MC)
2 2 2 2
AB + AC = 2AM - 2BM + 2BM.(BH + HC)



2 2 2
2
2 4
AB AC BC
MA
+
=

- Lu ý HS : Đối với bài tập này việc biến đổi rất phức tạp nên trong quá
trình làm cần phải linh hoạt, hợp lí
7. Bài 7:
Cho ABC cân tại A có các đờng cao AH, BK, CD.
a, CMR:

2 2 2
1 1 1
4
= +
BK AH BC

b, CMR:
2 2 2 2 2 2
3BK +2AK + CK = AB + BC + CA

c, Qua C kẻ đờng thẳng song song với BK cắt AB tại J.
CMR: AB
2
= AD.AJ

Có

0
AHC = 90
, HE vuông góc với AC


2 2 2
1 1 1
= +
HE AH HC
=>
2 2 2
4 1 4
= +
BK AH BC
=>
2 2 2
1 1 1
4
= +
BK AH BC

b,Vì
ABC

cân tại A có CD, BK là các đờng cao (gt)




AC = AD + CD
BC = BK + KC





2 2 2 2 2 2 2 2 2
AB + AC + BC = BK + AK + AD + CD + BK + KC

2 2 2 2 2 2 2 2 2
AB + AC + BC = BK + AK +AK + BK + BK +KC

2 2 2 2 2 2
3BK +2AK + CK = AB + BC + CA
(đpcm)
c, Vì
BK // CJ
CJ AC
BK AC


ACJ

(g.g)



2
AD AC
= AC = AD.AJ
AC AJ

hay
2
AB = AD.AJ
(đpcm)
*) cách khác : áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác
vuông ACJ có CD vuông góc với AJ
tính Số đo góc và độ dài đoạn thẳng
(65 phút)

1. Bài 1: Bài 30 (SGK - 89)
Cho
ABC

có BC = 11cm,

ABC
= 30
0
,


0 0 0
1
A = 38 + 30 = 68
(góc ngoài
ABC

)
- Xét
BCK

Có BK = BC.SinC =11.Sin30
0
=11.0,5 = 5,5(cm)
- Xét
BK
A

: Có KB =AB.SinA
1

0
1
BK 5,5 5,5
AB = = 5,932(cm)
SinA Sin68 0,927- Xét


2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd

Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h

h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c tơng tự.
- Nếu không kẻ đờng phụ thì ta có tính đợc các đoạn AN, AC không ?
Cách 3:
Đặt:
0
AN = x BN = AN.cotg B BN = x.cotg38


0
.
Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ?
Hớng dẫn:
Dựa vào nhận xét trên ta kẻ thêm CH vuông góc với
AB ta tính đợc đoạn thẳng nào ?
Lời giải:
Từ C kẻ CH

AB

=> AH = AC. cos

HAC
= 16.Cos60
0
= 16.0,5 = 8(cm)
=> BH = AB - AH =13 - 8 = 5 (cm)
=> CH = 16.sin 60
0
= 16.0.866 = 13.86 (cm)
- áp dụng định lí Pythagoras cho
BCH

vuông tại H
ta có BC =
2 2
BH HC
+
=

+
0
70 9'
) = 49
0
51'

- Vậy các góc là

A
= 60
0
,

B
=
0
70 9'
,

C
= 49
0
51'
, BC = 14,73 cm
3. Bài 3: (đề thi HSG huyện Gia Lộc năm học: 2005 - 2006)
Cho hình thang vuông MNPQ biết:
PN // MQ, MN = 12, NP = 11,
PQ = 13 ,


=> HQ
2
= PQ
2
- PH
2 => HQ
2
= 13
2
- 12
2
=> HQ
2
= 169

- 144

=> HQ
2
= 25 => HQ = 5
=> MQ = MH + HQ = 11 + 5 = 16 áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông MNQ


- Giải đề thi
Giải đề thi Giải đề thi
Giải đề thi
(34 phút)
Bài 1: Đề thi khảo
Đề thi khảoĐề thi khảo
Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009
sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009 sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009
sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009 -

- 2010
2010 2010
2010

Cho tứ giác lồi ABCD. M là điểm bất kí trên AB. Qua M kẻ đờng
thẳng song song với AC cắt BC tại N; Qua M kẻ đờng thẳng song song với
BD cắt AD tại Q. Qua Q kẻ đờng thẳng song song với AC cắt CD tại P
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
b) Chứng minh MN.BD + MQ.AC = AC.BD
c) Tìm vị trí của M sao cho diện tích hình bình hành MNPQ lớn nhất
Hớng dẫn: Theo giả thiết
}
MN / / AC
MN / /PQ (*)
PQ / / AC
=>

- Theo định lí Ta_lét
MN//AC =>


- Theo định lí Ta_lét đảo áp dụng vào tam giác DCP
=> PN//BD mà QM//BD (gt) => PN//QM (**)
- Từ (*) và (**) =>
MNPQ

là HBH
b) Dùng định lí Talét ta có:
MQ
MN BM MA
;
AC BA BD AB
= =
do đó:
MQ
MN
1 (*)
AC BD
+ = => MN.BD + MQ.AC = AC.BD
c) Từ (*) ta có:
MN.MQ
1
1 2 MN.MQ AC.BD (không đổi)
AC.BD 4
=>

Dấu "=" xảy ra


MQ

oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H

ọọ
ọc
cc
c Từ đó có đáp số diện tích MNPQ lớn nhất khi M là trung điểm của AB
Bài 2: Đề thi khảo sát c
Đề thi khảo sát cĐề thi khảo sát c
Đề thi khảo sát chọn HS
họn HShọn HS
họn HS giỏi
giỏi giỏi
giỏi đợt II
đợt II đợt II
đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009
huyện Gia Lộc năm học 2009 huyện Gia Lộc năm học 2009
huyện Gia Lộc năm học 2009 -

- 2010
2010 2010
2010

Cho tam giác ABC và đờng cao AH; AD , AE là hai đờng phân giác



DOX OAD ODA 2OAD
= + = ; tơng tự


EOX 2OAE
=
=>






1
DOE 2DAE 2. A A 2DOM A (2)
2
= = = => =

Tứ giác APON có






0 0 0
P N 180 A PON 180 A 180 PON
+ = => + = => =

học 2009 học 2009
học 2009 -

- 2010
2010 2010
2010 Cho tam giác ABC, D là điểm trên cạnh BC (D không trùng với B, C).
Chứng minh AD.BC < BD.CA + CD.AB
Hớng dẫn:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Kẻ
DE / / AC;DF / / AB

áp dụng định lí Ta - lét, ta có:
DE BD DE
BD BC.
AC BC AC
CD
DF DF
CD BC.
CB AB AB
= => =
= => =

(
D AC;E AB

) thỏa mãn:
BI.CI
1
BD.CE 2
=

Hớng dẫn:
1. Chứng minh:
a) HC = 2.HD b) AH = 3.HD
a) Chứng minh:

ABM đồng dạng với HCD

(g.g)
b) Đặt DH = x > 0 => CH = 2x
á
p dụng hệ thức về cạnh và đờng cao
trong tam giác vuông DCM tính đợc :
MH = 0,5x
Ta có: CM = CH + MH = 2,5x
mà AM = CM nên AM = 2,5x
AH = AM + MH = 3x.
Vậy AH = 3DH
2. BD, CE là các đờng phân giác của

tam giác ABC cắt nhau tại I nên AI là
phân giác của góc BAC

Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-
2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i


H
HH
Hì
ìì
ìn
nn
nh
hh
h

h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c AB BC
BI AB
(3)
BD AB.AC AB BC AC

AB BC AC 2AB.BC 2AB.AC 2BC.AC
+ +
= =
+ +
+ + +
=
+ + + + +

*) Chứng minh nếu tam giác ABC vuông tại A thì
BI.CI
1
BD.CE 2
=

dựa vào định lí py-ta-go và (5) ta chứng minh đợc
BI.CI
1
BD.CE 2
=

*) Chứng minh nếu
BI.CI
1
BD.CE 2
=
thì tam giác ABC vuông tại A
Ta có:
2
2 2 2
BI.CI AB.AC AB.BC BC.AC BC

a) CN b)

ABN

c)

CAN
d) AD
Hớng dẫn:

34

a
b
c
d
n
3,6
6,4
9

a) áp dụng định lí Py-ta-go đối với tam giác vuông ACN tính đợc
CN
5,2915cm


b)


0