Các công thức lượng giác - Pdf 23

Ô
n
t

p

Toán

T
H
PT

t
r
an
g

1
/
1
8

M
ỘT

S

CÔNG

t
c
ơ

b

n

c

a

b

t
đ

n
g
t
h

c
:
1.1.

nh

c
h


b

>

c


a

>

c

1.2.

nh

c
h

t

2
:

a

>


ng

2
v
ế

c

a

b

t
đ

ng
t
h

c
v

i

cùng

m

t
s


đ
ươ
ng
v

i

b

t
đ

ng
t
h

c

đ
ã

cho.

H


q
u



b

a

>

b

+

c


a



c

>

b




c

d


c

a

2

b

t
đ

ng
t
h

c

cùng

ch
i

u
t
a

đ
ượ
c

G



qu
y t

c
tr


h
a
i
v
ế

c

a

2

b

t
đ

ng
t

.c

>

b.c

n
ế
u

c

>

0

ho

c

a

>

b


c.c

<





c

d

0


a.c

b.d

N
ế
u

nh
â
n

c
á
c
v

u
t
a

đ
ượ
c

m

t
b

t
đ

ng

t
h

c

cùng

ch
i

u.


2

b

t
đ

ng
t
h

c

cùng

ch
i

u.

1.6

nh

c
h

t

6

ươ
ng
)
1.7

nh

c
h

t

7
:

a

b

0



n

a

n

b

au
c
hy
(C
ô
-
s
i):

a

b

Đ

nh
lí: N
ế
u

a



0

v
à

b

ch

k
h
i
:
a

=

b

T

c

l
à
:
Tr
ung

b
ì
nh

c

ng


ung

b
ì
nh

nh
â
n

c

a

chúng.

H


q
u


1
: N
ế
u

2


n

nh

t k
h
i

2

s


đõ

b

ng

nh
a
u.

Ý

n
g
h
ĩa



cùng

chu
v
i
,

h
ì
nh
v
uông



d
i

n


ch

l

n

nh


đ

i
t
h
ì t

ng

c

a

chùng

nh


nh

t k
h
i

2

s


đó


c
á
c

h
ì
nh

ch


nh

t


cùng

d
i

n

ch

h
ì
nh
v

r
an
g

2
/
1
8

3.

B

t
đ

n
g
t
h

c

c


0

x



n
ế
u
x
<

0



x

0

T


đ

nh

ngh
ĩ

x
2

c.
x

|
x
|
v
à
-x

|
x
|
x



R
t
a


:
|a

+

b
|


|a|

+

|
b
|
(
1
)
|a



b
|


|a|

+

k
h
i

a
.b


0

|a



b
|

=

|a|

+

|
b
|
k
h
i
v

ng
trì
nh

b

c

2
:
a
x
2

+

b
x
+
c

=

0
(
*
)


2

i

m

đó

l
à
:

Chú

ý
:
b

S

=
x
1

+
x


a

+

b

+

c

=

0
t
h
ì
ph
ươ
ng
trì
nh
(
*
)


nh
i



c

=

0
t
h
ì
ph
ươ
ng
trì
nh
(
*
)


nh
i

m
x
1

=
-
1
v

ng

S

=

u

+
v v
à

ch

P

=

u.
v t
h
ì
chúng

l
à

ngh
i


h
i
a

đ
o

n
t
h

n
g
t
h
e
o
t

l


c
h
o
t
r
ư

c

B
.
T
a


i

đi

m

M

ch
i
a

đo

n
t
h

ng

A
B t
h
e

lí: N
ế
u

đi

m

M

ch
i
a

đo

n
t
h

ng

A
B t
h
e
o
t







O
M 
OA

k

OB

1

k6.

T
rọ
n
g
t
â
m
t
a
m


k
h
i
v
à

ch

k
h
i
: 










GA















b.
N
ế
u

G

l
à
tr

ng
t
â
m
t
a


OB

OC
7.
C
á
c

H


T
h

c

L
ư

n
g

T
r
o
n

g
i
á
c
:
Đ

nh
lí:
V

i

m

i
t
a
m

g
i
á
c

A
B
C
,
t


b
2



a
2



c
2



2a
c
.
co
s

Bc
2




n
g

t
a
m

g
i
á
c
:
Đ

nh
lí: Tr
ong
t
a
m

g
i
á
c

A
B
C
,



:

a

si
n

A



b

s
i
n

B



c

si
n

C


g

t
r
un
g

t
u
y
ế
n
:
2

2

2

m
2



b



c



b

2

4

2

2

2

m
2



b



a



c

c


t
s



c

c

n

nh

: 0
0

30
0

45
0

60
0

90
0


3



2

2


3

3


4

5


6

s
i
n
0co
s1

3

2

2

2

1

20



1

2



3||–

31

1



30co
t
g||


Ô
n
t

p

Toán

T
H
PT

t
r
an
g

4
/
1
8
9.
C

c
o
s

b



1

[
c
o
s
(
a



b
)



c
o
s
(
a




b
)



c
o
s
(
a



b
)
]

2

s
i
n

a.
c
o
s


]

2
10.
C
ô
n
g
t
h

c

b
i
ế
n

đ

i t

n
g
t
hành


c
o
s

a



b

2

2

co
s

a



c
o
s

b








s
i
n

b



2

sin

a



b

.
c
o
s

a






b

.sin

a



b

2

2

11.
C
ô
n
g
t
h

c

nhân

đ
ô


a



1



1



2

s
i
n
2

a

s
i
n

2a




g

2

a

(
a







k


,

a







k



ba
:
s
i
n

3a



3
s
i
n

a



4

s
i
n
3

a
g
t
h

c

h


b

c
:
Ô
n
t

p

Toán

T
H
PT

t
r
an
g


n

2

a



1



c
os

2a

2

t
g

2

a



1


a



s
i
n

3a

4

c
o
s
3

a



3

c
os

a






b
)



s
i
n

a

c
o
s

b



c
o
s

a

s
i
n

c
o
s

a

s
i
n

b

c
o
s
(
a



b
)



c
o
s

a

)



c
o
s

a

c
o
s

b



s
i
n

a

s
i
n

b



đi

u
k
i

n
:t
g

(
a



b
)





t
g

(

t
gb

1



t
ga.
t
gb(
*
)
(
**
)







(



,

a



b





k


2

2

2







(

k


2

2

2
15.

M
C
ô
n
g
t
h

c

nh

tg
a,

c
o

s

a



2

2
t

1



t

2

1



t

2

1



2

k



Ô
n
t

p

Toán

T
H
PT

t
r
an
g

6
/
1
8



nhau,

ph


nhau,

đ

i
nhau



h
ơ
n
k
é
m

nhau

1


c





a
)



s
i
n

a

co
s
(



a
)





co
s



co
t
ga
16.2.

H
a
i

c

p
h


nhau
:
s
i
n(



a
) 
c

c
ot
ga

2

c
ot
g
(



a
)  t
ga

2
16.3.

H
a
i

c

đ

ga

c
ot
g
(
a
)  
c
ot
ga



16.4

H
a
i

c

h
ơ
n

k
é
m


n

a

2

t
g
(
a



)  t
ga

2

c
ot
g
(
a



)  
c
ot
ga


Toán

T
H
PT

t
r
an
g

7
/
1
8
n

n

n

n

n

n

n

a

c
o
s
(
a





)





c
o
s

a
t
g

(
a

ga

16.6.

M

t

s


c
ô
n
g

t
h

c

đ

c

b
i

t
:


x



)

4

2

s
i
n(

x



)

4

17.

T


h



nh

n
g
h
ĩ
a
:
M

t
ho
á
n
v


c

a

n

ph

n
t



x
ế
p

t
h
e
o

m

t t
h

t


nh

t
đ

nh,

m

i

ph


ho
á
n
v

k
h
á
c

nh
a
u

c

a

n

ph

n
t


h
i

u
P
n

=
1.2.3 n

=

n

!

+
Đ

nh

n
g
h
ĩa
:
M

t
ch

nh


m

t
b


s

p
t
h

t


g

m
k
ph

n
t


l

y r
a

nh

h

p

ch

p
k
c

a

n

ph

n
t


h
i

u

l
à




k



!A
k



n
(
n


1
)

(
n



k



PA
0



1

n
!A
n

1


A
n


n
!


n
g
h
ĩa
:
C
ho

m

t t

p

h

p

a

g

m

n

ph

n
t

a

n

ph

n
t

(
0

k

n

)
l
à

m

t t

p

con

c



p

ch

p
k
c

a

n

ph

n
t


h
i

u

l
à

C

k


n

n

n

n

n

C

C



C

2

1+

C


)
!

C

k



n
(
n


1
)

(
n



k



1
)



C

0



C

n



1C

0



C
1



17.4.

C
ô
n
g

t
h

c
N
e
w
to
n
:

T
k
l
à

s


h



b
)
n

: T



C

k

a
n

k

b
k


2 m

n


m

m

n

n

a



b




a

b





C
n

b

18.

Ph
ư
ơ
n
g

pháp
t

a

đ

n
g

m

t

p
h

n
g
:





C
ho

c
á
c
v
e
c
-t
ơ





x
1

x
2



y
1

y
2



v
à

c
á
c

đi

m



a

|

x
1


y
1d



AB








(

x
2

)



x
1

x
2



y
1

y
2

x
2



y
2



x
2

2



y
1

y
2



018.2
Tr
o
n
g

kh
ô
n
g

g
i
an
:

1

)
,

b
(
x
2

,

y
2

,

z
2

)





a.b




c
á
c

đi

m
A
(
x
1

,

y
1

,

z
1

)
,

PT

t
r
an
g

9
/
1
8


2

2

2

|

a

|

x
1


x
2



x
1

)



(

y
2



y
1

)



(

z


y
2



z
1

z
2

x
2



y
2



z

2

x
2






x
1

x
2



y
1

y
2



z
1

z
2



0
g
k
h
ô
n
g

g
i
an
:
19.1
Đ
ư

n
g

t
h

n
g

t
r
o
n
g



c
á
ch
t


đi

m

M
(x
0
,
y
0
)
đ
ế
n

đ
ươ
ng
t
h

ng
(


A
2


B
2+

K
ho

ng

c
á
ch

g
i

a

h
a
i

đ

+
By
+

C
2

=

0

|

C
1


C
2

|

A
2


B
2
(
d
1
) :
A
1

x
+
B
1

y
+

C
1

=

0
(
d
2
) :
A
2

x
+

A
2


B
1

B
2*
(
d
1

) / /(
d
2

) 


*
(
d
1

)  (
d

C
1

C
2


C
1

C
2

*
(
d
1

)  (
d
2

) 
A
1

A
2



g
:
(
d
1
) :
A
1

x
+
B
1

y
+

C
1

=

0
(
d
2
) :
A
2



p

Toán

T
H
PT

t
r
an
g

10
/
1
8

c
os



|

A

1

2

2d
.

Ph
ư
ơ
n
g

t

nh

đ
ư

n
g

p
hân

g

g
(
d
1
)
v
à
(
d
2
):
A
1

x

B
1

y

C
1

 
A
2

x



l

y
d

u



,

góc
t
ù

l

y
d

u

+
)
1

1

2

n
g

c
ó

t
â
m
l
à

g
i
a
o

c

a

2

đ
ư

n
g

t

) 

(
A
2

x

B
2

y

C
2

) 
0v

i

2



g
i

a

2

đ
ườ
ng
t
h

ng
:



(
d
1
)

v
e
c
t
o
r
ch

v
e
c
t
o
r
ch


ph
ươ
ng

v
 (
a
2

,

b
2

,

c
2

)


1
a
2


b
1
b
2


c
1
c
2

|

a
2


b
2


c
2

a


(
d
2

)



a
1
a
2



b
1
b
2



c
1
c
2





m

M
(
x
0
,

y
0
)
đ
ế
n

m

t

p
h

n
g
(
P
): A
x


z
0

 D
|

A
2


B
2


C

2b
.

Chù
m

m

t

p


p
h

n
g
:
(
P
) :
A
1

x

B
1

y

C
1

z
 D
1


0


trì
nh

m

t
ph

ng



d

ng
:


(
A
1

x

B
1

y

C
21.
C

p

s


c

n
g
:
+
Đ

nh

n
g
h
ĩa
:
C

p

s


ng
t
h


h
a
i

đ

u

l
à
t

ng

c

a

s


h

ng

c

0

g

i

l
à

công

sa
i
.


n

N
*
,
U
n

1

 U
n


Ô
n
t

p

Toán

T
H
PT
S
TT H
à
m

s

y Đ

o

h
à
m
y

u

2

3

e
u

u
'
.
e
u

4

a
u

a
u
.
l
n
a
.
u



.
l
n

a

7

s
i
n
u

T
c
r
o
a
s
n
u
g
.
u
1

1
/
1
8

2

u10co
t
gu


u

'

s
i
n
2

u1
1

y
=


(
u
)

(
x
)U
n

1

 U
n

 U
n


2

 U
n

1
g

q

t
:

U
n

 U
1


d
(
n

1
)

+
T

n
g

n

s

1


d
(
n

1
)
n

n

2

22.
C

p

s


nhân
:
+ Đ


ong

đó

s


h

ng

đ

u
k
h
á
c
k
hông
v
à
k

t


s



ng

đ

ng

ng
a
y tr
ướ
c


v

i

m

t
s

k
hông

đ

i
k
h


Є
N
*
,
U
n

+

1

=
U
n
.q

+

nh

c
h

t
: U
n

n


2
,
U
n

>

0

+

S


h

n
g

t

n
g


g

đ

u

t
i
ê
n
:
1

q
n

S
n

 U
1

 U
2




i
v
ô

h

n
:
V

i

|
q
|

<

1S
 U  U  U


U
1

O
H
À
M

&

T
Í
C
H

P
H
ÂN
12
I
.
Đ

o


m
:
1.



s

y Đ

o

h
à
m
y

Ô
n
t

p

Toán

T
H
PT

r
an
g
x

1

2

x

5
x
n

n.
x
n
-16

1

x



1


|

1

(x

0
)

x10l
og
a
x
1

x

l
n

a

11


14t
g
x
1

c
os
2

x15co
t
g
x

1

s
i
n
2


v)


=

u


+
v

b.
(
u


v)


=

u



v

c.

(

.
w
+

u.
v

.
w
+

u.
v
.
w


'

e
.

 
u



u

'

g

c
á
c

n
g
uy
ê
n


m

c
ơ

b

n
:
S
TT H
à
m



1



x

dx



1


C

(

 
1
)



Ô
n
t

p



l
n

|

x

|

C

(
x

0)



x

4



e
x

dx



l
n

a

6



s
i
n

xdx
 
c
os

x

C

7



c
os


(
x

2


k

)9

1



s
i
n
2

x

dx
 
c
ot
gx



u

'

-m

*
H
à
m

y

=

(
x


)
m

(
m



1
) v

i

u

=
x-



N
gu
y
ê
n

h
à
m

l
à
:
a

dx

( *
H
à
m

y

=

2ax

b

ax
2


bx

c

t
'.

m

s




d

ng
:

t



H


ngu
y
ê
n

h
à
m

c


bx

c

|

+

C



2ax

b

dx

l
n

|

ax
2


bx

c


c.
T
a



c
á
c
tr
ườ
ng

h

p

sa
u
:
+
M

u

s



g
i


s

x
1

<

x
2

.
T
a


:
ax
2


bx

c



sa
u
:

1

dx

=

1

=

1


(
x

x
1

)  (
x

x
2







(
x

x
)(
x

x
)


x

x

1

2


1

2

2

1


dx

x

x
2


=

1

l
n

a
(
x
2


x
1

)

x

/
1
8




22
2




+
M

u

s



1

dx


dx


1

dx


1


1


C



ax
2


bx

c

M

u

s


không



ngh
i

m
(


ngh
i

m
)
:

ax
2


bx

.
Đ

t
u

=

(
x

m
)
2

.
T
a


:



1

dx
au
2


2


n

1

dx
au
2


nu



.
N
gu
y
ê
n

h

a


C

n

au

n

a

u
2


a

n

n

a

2

a

u

v
ô
t

:

3.1.

H
à
m

s


c
ó

d

n
g
:

f (
x
) 
1

;

:
Đ

t
x

x
2


k

2

=
-x
+
t


t
=
x
+

x
2


k

x
2


k

2

)
dx

=x
2


k

2

dx

=x
2


t
.
D
o

đó
:




x
2


k

2

t


l
n

|
t
|

C

đ

i
:


x

x
2


k

2( N
h
â
n
t

v
à

m

u
v

x
2


k

2

(
x

x
2


k

2

)
T
a


:
f (
x
) 

x

x

x
2


k

2

) dt

x

dt

Đ

t
t


x



x

)
dx



f (
x
)
dx


t

V

y
ngu
y
ê
n

h
à
m

l
à
:



|

C
Ô
n
t

p

Toán

T
H
PT

r
an
g

15
/
1
8



2


x
2và

f (
u
) 
1

k

2


u

2

Đ

t
x





k

co
s

t

v

i

x

[
0
;


]

)
1

dx


os
t
dt






k

2


x
2



k

2

(
1

s
i
n
t

[
;
]

n
ê
n

co
s
t
>

0



c
os
t
.
dt






c
os

ươ
ng
t

:



k

2


u
2

=

t 
C

3.3.

H
à
m

s


N
gu
y
ê
n

h
à
m

l
à
:



x
2


k

2

dx


k






x
2


k

2

|

C

C
á
ch
k
h
á
c
:
đ

t

x

3.4.

H
à
m

s


d

n
g
:
f (
x
) 

ax
2


bx

c



T
a

ng
t
h
e
o

m

c

3.f (
x
) 

u
2


k

2ho

c


d

n
g
:
f (
x
) 

x
2


k

2



f (
u
) 

u
2


k

2

[-
;
]

2

2

1

1

3.6.

H
à
m

s


d

n
g
:
f
(

x

2P
h
â
n

ch
t
h
à
nh
:
f
(

x
)



1

x
2



m

e
o

công
t
h

c

đã

h

c.

3.7.

H
à
m

s


d

n


2


m
2+
Đ

t

x

m
t
gt,

u

m
t
gt







1

.

m
2

(t
g

2

t 
1
)
m

c
os
2

t

dt


|

2

2

Ô
n
t

p

Toán

T
H
PT

r
an
g

16
/
1
8
|

c
Ô
n
t

p

Toán

T
H
PT

r
an
g

17
/
1
8

x
dx



1


C

+
Đ

t t
i
ế
p
:
u



s
i
n

t



du

=

co

quá
t
c

n

c


ý
:



1

s
i
n

2

t



1

u




đ

i
v

i

co
s
x : Đ

t: t
=

s
i
n
x
b
.
Tr
ư

n
g

h


s
x
c
.
Tr
ư

n
g

h

p
:
f
(x)
l
à

h
à
m

ch

n

đ

i

n
x
,
-
co
s
x)

d
.
Tr
ư

n
g

h

p
:
f
(x)
l
à

h
à
m

l


n
g

h

p
:
f
(x)
ch


ch

a

s
i
n
x
ho

c

co
s
x : Đ

t

=

s
i
n
2n
x.co
s
2m
x

:(
a
)



s
i
n

2n

1

c
os

2

dx(
c
)


s

i
n

2n

xc
os
2m

xdx.
T
h
a
y
co



co
s
2
x r

i

chu
y

n
v


d

ng

(
a
)
ho

c
(
b
)
.

.
Đ

t t
=
t
gx

III
.

Ph
ư
ơ
n
g
t
r
ì
nh
l
ư

n
g

g


s
i
n
a
x
=

a

+
k
2
π

ho

c

x
=

π
-
a

+
k
2
π

a



x



a



k
π


x



k



*

co
t
g
x


nh

đ

n
g

c

p

đ

i
v

i
s
i
nx

v
à

c
o
s
x
:

i
n
x
.co
s
x
+

c.co
s
2
x
=

0
(
1
)
*

as
i
n
3
x
+

b
s
i


as
i
n
4
x
+

b
s
i
n
3
x
.co
s
x
+

c
s
i
n
2
x
.co
s
2
x
+

ph
ươ
ng
trì
nh

đ

ng

c

p

b

c

2,

3,

4

đ

i
v

i

1
8


bD
o

co
s
x


0

n
ê
n

ch
i
a

h
a

t


cho

co
s
2
x
,

co
s
3
x
,
co
s
4
x
đ
ư
a

ph
ươ
ng
trì
nh



c
á
c

ph
ươ
ng
trì
nh

n
à
y
.
3.

Ph
ư
ơ
n
g

t

nh


n
x
+

bco
s
x
+

c

=

0
(
1
)
,

a
2

+

b
2



0


l
o

i

ph
ươ
ng
trì
nh

n
à
y :
-
G
i


s


a



0
b

co
s

x



c



0

a

a(
2
)

Đ

t :
t
g




0

a



s
i
n
(

x





)





c

co
s



t : (
1
)

a

t
g

x



t

2

2
t
1
 t
2



b

c

h
a
i

đ

i
v

i
t
,

d


d
à
ng

g
i

i


i
a

h
a
i
v
ế

c

a

ph
ươ
ng
trì
nh

cho

a
2


b
2

:




ba
2



b
2c
o
s

x





ca
2


s
i
n






c
os



(
1
) 
s
i
n(
x
  )  
c

a
2


b
2


:

|

a

s
i
n

x



b

s
i
n

x

|


a
2



(x
+

a
)
=

1.

Ô
n
t

p

Toán

T
H
PT

r
an
g

19
/
1
8



i
v

i
s
i
nx

v
à

c
o
s
x
:
a
(
s
i
n
x
+

co
s
x)
+


)
G
i

i

ph
ươ
ng
trì
nh
(
1
)
b

ng

c
á
ch

đ

t :

s
i
n
x

t

2



2a
t



(
b



2c
)



0

G
i

i

ph
ươ


t

nh
l
ư

n
g

g
i
á
c
:
1
) H


ph
ươ
ng
trì
nh

l
ượ
ng

g


s
i
n

x

1


co
s

x

0

C
ó

h
a
i

ph
ươ
ng

ph
á

ph
ươ
ng
trì
nh

c

a

h

r

i
t
h
ế

ngh
i

m

m

đ
ượ
c
v

ngh
i

m

chung,

g
i

i

m

ngh
i

m

c

a

m

i

ph
ươ
ng

ng
trì
nh

l
ượ
ng

g
i
á
c

h
a
i


n.

C
h

ng

h

n




y

1

P
h
ươ
ng

ph
á
p

chung

l
à

đ
ư
a


v


h



ươ
ng
trì
nh

t

ng

ch.


Nhờ tải bản gốc

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Music ♫

Copyright: Tài liệu đại học © DMCA.com Protection Status