CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO
MỤC LỤC
I. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH fx 570MS
II. CÁC DẠNG TOÁN
ĐẠI SỐ
1. Tính toán thông thường và sử dụng biến nhớ …………………… …………6
2. Sử lý số lớn……………………………… 7
3.Cách kiểm tra xem số a có là số nguyên tố hay không ? 7
4. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố … 7
5. Tìm số dư……………………………… 8
6. Tìm số chữ số cuối…………… 9
7. Tìm số các chữ số…………………… 13
8. Tìm USCLN và BSCNN…………………… 13
9. Dẫy số…………………… 14
10 Phương trình bậc I…………………… 15
11. Phương trình bậc II. …………………… 17
12. Phương trình bậc III…………………… 17
13. Phương trình vô tỉ…………………… 17
14. Giải phương trình dùng SHIFT SOLVE……………………………………18
15. Giải phương trình bằng phương pháp lặp………………… ………………18
16. Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. ……………………………………… …… 19
17. Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn. …………………………………… ………19
18. Hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn. ………………………………… …………19
19. Bài toán về đa thức: …………………… 19
20.bài toán lãi xuất…………………… 20
21. Dạng khác…………………… 23
HÌNH HỌC
A. Một số công thức hay sử dụng…………………… 25
B. Một số dạng toán: …………………… 26
1. Hệ thức lượng giác trong tam giác. …………………………… ……………26
2. Hệ thức lượng trong đường tròn. ………………………….….………………26

+
: Cộng thêm vào ô nhớ M.
• M

: Trừ bớt ô nhớ M.
• EXP: Luỹ thừa 10.
•
O
,,,: Nhập đọc Độ, Phút, Giây.
•
O
,,,: Đọc Độ, Phút, Giây.
• SHIFT + CLR: Xoá nhớ
o Chọn 1: Mcl: Xoá các biến nhớ.
o Chọn 2: Mode: Xoá kiểu, trạng thái, loại hình tính toán
o Chọn 3: ALL: Xoá tất cả
4. Hàm, tính toán, và chuyển đổi:
• SIN, COS, TAN: Sin, Cosin, tan
• Sin
-1
, COS
-1
, TAN
-1
: Hàm ngược Sin, Cosin, Tan.
• e
x
, 10
x
: Hàm mũ cơ số e, cơ số 10.

• ANS: Gọi kết quả.
• Arg: Argumen
• Abs: Giá trị tuyệt đối.
• (-): Dấu âm.
• +, -, *, / , ^: Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Mũ.
•

<-, ->, á, â: Di chuyển dữ liệu.
• . : Ngăn cách phần nguyên và phần thập phân
• , : Ngăn cách các giá trị trong hàm.
• ( : Mở ngoặc đơn.
• ) : Đóng ngoặc đơn.
• п : Số PI.
5. Sử dụng MODE:
• MODE 1:
o Chọn 1: COMP: Chữ D hiển thị ở góc trên bên phải, là trạng thái tính
toán cơ bản.
o Chọn 2: CMPLX: Trạng thái tính toán được cả với số phức
• MODE 2:
o Chọn 1: SD: Trạng thái giải bài toán thống kê 1 biến.
o Chọn 2: REG: Thống kê 2 biến
 Chọn 1: LIN: Tuyến tính
 Chọn 2: LOG:Logarit
 Chọn 3: Exp:Mũ
Chọn ->
 Chọn 1: Pwr: Luỹ thừa
 Chọn 2: Inv: Nghịch đảo
 Chọn 3: Quad: Bậc 2
o Chọn 3: BASE: Chọn và làm việc với các hệ đếm
• MODE 3:

• Chọn 1: ab/c: Kết quả ở dạng hỗn số.
• Chọn 2: d/c: Kết quả ở dạng phân số.
o Chọn ->
 Chọn 1: DOT: Dấu chấm ngăn cách phần thập phân.
 Chọn 2: COMMA: Dấu phảy ngăn cách phần thập phân.
GV: Phạm Xuân Ký TRƯỜNG THCS YÊN NHÂN
5
CHUYấN GII TON TRấN MY TINH CAISO
II. CC DNG TON
I S
1. Tớnh toỏn thụng thngcú s dng bin nh v gii phng trỡnh bc nht:
Lp 6,7
Ví dụ:1 . Tính giá trị của biẻu thức:
a)
2
24
)
9
8
5660000(
)
8
5
1
7
5
(:)6,3
5
4
1(

ữ ữ ữ
=


+ +
ữ ữ ữ

HD: a)
Kết quả: M =
b)
= N=
c)
Lp 8, 9
Ví dụ:2 Tính giá trị của A Với x = 3,545 và y = 1,479, bit
A =
)
21
(:)(
32233223
2
yxyyxx
xy
yx
yxyyxx

2. S lý s ln:
Lp 6, 7
GV: Phm Xuõn Ký TRNG THCS YấN NHN
A

2,431752178
6
A

2.526141499
CHUYấN GII TON TRấN MY TINH CAISO
S dng phng phỏp chia nh v kt hp gia mỏy v cng trờn giy.
Ví dụ:1: Tớnh chớnh xỏc A = 7684352 x 4325319
HD:
(768.10
4
+ 4352)(432.10
4
+5319)
= 331776.10
8
+4084992.10
4
+1880064.10
4
+23148288
= 33237273708288
Ví dụ:2 : Tớnh kt qu ỳng (khụng sai s) ca cỏc tớch sau :
P = 13032006 x 13032007
Q = 3333355555 x 3333377777

HD:
=(375.10
3
+214)
2
+(251.10
3
+843)
3
=140625.10
6
+160500.10
3
+45796+9938375.10
9
+16903025.10
6
+ 45836605.10
3
+599077107
=10055877778236903
3. Cỏch kim tra xem s a cú l s nguyờn t hay khụng ?
|a| |shift| |sto| |A| {gỏn a vo bin A trong mỏy}
|1| |shift| |sto| |B|
Nhp vo mỏy B=B+2 : A/B
CALC = = = nu l s nguyờn thỡ B l 1 c ca A
Kim tra cho n khi kt qu h xung di cn A thỡ ngng
{chỳ ý: vi cỏch ny xem A cú chia ht cho 2 khụng?}
Ví dụ: Hãy kiểm tra số F =11237 có phải là số nguyên tố không.
Nêu qui trình bấm phím để biết số F là số nguyên tồ hay không.

GV: Phm Xuõn Ký TRNG THCS YấN NHN
7
CHUYấN GII TON TRấN MY TINH CAISO
* Dng 1: Thụng thng.
Mod (a, b) = a b.[a, b]
Ví dụ:1. Tỡm s d ca 567891 v 54321

S: 24681
Ví dụ:2. Ngy 7 thỏng 7 nm 2007 l th 7. Theo cỏch tớnh dng lch t
in trờn mng wikipedia mt nm cú 365,2425 ngy .
Vy da vo cỏch tớnh trờn thỡ n ngy 7 thỏng 7 nm 7777 s l th my ?
(ta ch tớnh theo lớ thuyt cũn thc t cú th cú iu chnh khỏc ).
P S : Ngy 7 thỏng 7 nm 7777 l th 2
Li gii :
Ngy 7 thỏng 7 nm 7777 - Ngy 7 thỏng 7 nm 2007 = 5770 nm
5770 ì 365,2425 = 2107449,225 ngy
2107449,225 ữ 7 = 301064,175 tun
0,175 ì 7 = 1,225 ngy
So vi ngy 7 thỏng 7 nm 7777 tớnh tng lờn 2 ngy
Suy ra : Th 2 ngy 7 thỏng 7 nm 7777
Ví dụ:3. Biết rằng ngày 01/01/1992 là ngày Thứ T trong tuần. Cho biết ngày
01/01/2055 là ngày thứ mấy trong tuần ? (Cho biết năm 2000 là năm nhuận).
Khoảng cách giữa hai năm:
2055 1992 63 =
, trong 63 năm đó có 16 năm nhuận (366
ngày)
Khoảng cách ngày giữa hai năm là:
16 366 (63 16) 365 23011ì + ì =
ngày
23011 chia 7 d đợc 2.



75(mode 109)
2009
15
=2009
4.3+3
=2009
4.3
. 2009
3


55.75

92(mode 109)
Hay 2009
15
chia cho 109 d 92.
Ví dụ: 2. Tỡm s d 9
2009
cho 33.
GV: Phm Xuõn Ký TRNG THCS YấN NHN
8
CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO
Ta có: 9
1
≡
9 (mod 33) 9
6

⇒









≡
≡
≡
≡
≡
+
+
+
+
33) (mod 279
33) (mod 39
33) (mod 159
33) (mod 99
33) (mod 129
45k
35k
25k
15k
5k
Vậy: 9

)(mod
pma
pnmba
pnb
pma
αα
Ta có: 9
1
≡
9 (mod 12); 9
2
≡
9 (mod 12); 9
3
≡
9 (mod 12)
⇒
9
9
≡
9 (mod 12)
⇒
9
10
≡
9 (mod 12)
( Dùng máy để kiểm tra)
⇒
9
100

≡
9
2
(mod 12)
≡
9 (mod 12)
Vậy: 9
2009
=9
2000
.9
9

≡
9
2
(mod 12)
≡
9 (mod 12)
Hay 9
2009
chia cho 12 dư 9.
VÝ dô: 4. Tìm số dư 2004
376
cho 1975
HD: Xét số mũ ta thấy 376 = 6 . 62 +4
2004
2

≡

536 x 416
≡
1776(mode 1975) 2004
62

≡
1776 x 841
≡
516(mode 1975)
2004
62 x3

≡
516
3

≡
1171(mode 1975) 2004
62 x 6

≡
1171
2
≡
591(mode 1975)
2004
62 x 6 + 4

≡
591 x 231

9
CHUYấN GII TON TRấN MY TINH CAISO
HD : 3
21
= 3
10+11
=3
10
.3
11
= 59049. 3
11
= (5.10
4
+ 9049).3
11
Do ú 4 ch s tõn cựng phi tỡm l 4 ch s tn cựng ca tớch 9049.3
11
S: 3203
Ví dụ: 2. Cho A = 2
2004
.
a. Tỡm 2 s tn cựng ca A.
b. Tỡm 3 s tn cựng ca A.
HD:
a. Tỡm 2 s tn cựng ca A, thc cht l tỡm s d ca A khi chia cho 100.
Ta cú 100 = 4.25
Trc ht ta tỡm s d ca A khi chia cho 25.
2
10

50
)
4

16 (mod 125) do ú A = 125 k + 16
Mt khỏc A chia ht cho 8 nờn k = 8m
Vy A = 1000m + 16 hay 3 s cui ca A l 016.
Ví dụ:3. Tỡm ch s cui ca 7
2005
.
HD:
7
1
= 7 7
2
= 49 7
3
= 343
7
4
= 2401 7
5
= 16807 7
6
= 117649
7
7
=823543 7
8
=5764801 7

= (23
4
)
5


41
5


1 (mode 100) 23
2000


1
100


1 (mode 100)
23
2005


23
1
.23
4
.23
2000


20
= (2
10
)
2
=1024
2
= 1048576
Ta nhận thấy bất kỳ một số có đuôi là 76 thì lũy thừa luôn luôn có đuôi là 76
(dùng máy để kiểm tra)
Do đó: A = 255 x (76) = 80 . Vậy 2 số cuối của A có giá tr l 80
Ví dụ:6. Tớnh
GV: Phm Xuõn Ký TRNG THCS YấN NHN
10
CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO

2
7'17
29397236777 77 777777
−++++=
 
sô
P
ĐS : 526837050
Lời giải chi tiết :
Lập quy trình ấn phím như sau :
Gán 1 cho A ấn 1 SHIFT STO A
Gán 7 cho B ấn 7 SHIFT STO B
Gán 7 cho C ấn 7 SHIFT STO C
Ghi vào màn hình : A = A +1:B = 10B + 7 : C = C + B

)
Năm số cuối của P là :
P = 1019739 - 82689 = 37050
Ta thấy kết quả P = 526837050 ( chắc chắn số 8 đã không bị làm tròn vì sau số 8
là số 3 nên số 8 không thề làm tròn
* Mẹo nhỏ:
+) Để tìm 1 chữ số tận cùng của a
n
.
- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì a
n
lần lượt có số tận cùng là 0, 1,
5, và 6
- Nếu a có số tận cùng là 2, 3, 7 thì:
2
4k

≡
6 (mod 10)
3
4k

≡
1 (mod 10)
7
4k

≡
1 (mod 10).
Do đó để tìm 1 số tận cùng của a

(mod 10)
VD: Số tận cùng của tích 231
56
.456
32
. 2345
987
HD: Số tận cùng của tích 231
56
.456
32
. 2345
987
là số tận cùng của tích 1.6.5 là 0
+) Để tìm 2 chữ số tậm cùng của a
n
.
Ta có:
2
20

≡
76 (mod 100)
3
20

≡
01 (mod 100)
6
5

20k
≡
25 (mod 100) nếu a đồng dư 5 (mod 10)
- a
20k
≡
76 (mod 100) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 (mod 10)
+) Để tìm 3 chữ số tậm cùng của a
n
.
- a
100k
≡
000 (mod 1000) nếu a đồng dư 0 (mod 10)
- a
100k
≡
001 (mod 1000) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 (mod 10)
- a
100k
≡
625 (mod 1000) nếu a đồng dư 5 (mod 10)
- a
100k
≡
376 (mod 1000) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 (mod 10)
VD: Tìm 3 số cuối
1) 13
100


b, …, k, n thì:
)1000(mod
knknab
mm
≡
Khi m chứa thừa số 2 thì:
)1000(mod376
knknab
mm ≡
Khi m chứa thừa số 5 thì:
)1000(mod625
knknab
mm
≡
VD:
1) 7
2311
≡
7
11
≡
743 (mod 1000)
2) 2
2001
≡
376. 2
01
≡
752 (mod 1000)
3) 2

≡
3
4
≡
081 (mod 1000)
3) 5
1003
≡
5
3
≡
125 (mod 1000)
4) 6
5011
≡
6
11
≡
056 (mod 1000)
5) 21
1306
≡
21
06
≡
121 (mod 1000)
6) 27
1209
≡
27

ĐS: 657, 550
8. Tìm USCLN và BSCNN
* Tìm USCLN:
- Dạng 1: Số không quá lớn
USCLN(a, b) = m
y
b
x
a
m
y
x
b
a
ymb
xma
==⇒=⇒



=
=
⇒
.
.
VÝ dô:1 .Tìm USCLN (3456; 234)
HD: Bấm 3456/234 (a/b)=192/13)(x/y)
Vây: USCLN (3456; 234) = 3456/192 = 18.
- Dạng 2: Số quá lớn:
C1. USCLN(a, b)=

7401274 = 5 x 1408884 + 356854
1408884 = 3 x 356854 + 338322
356854 = 1 x 338322 + 18532
338322 = 18 x 18532 + 4746
18532 = 3 x 4746 + 4294
4294 = 1 x 4294 + 452
4294 = 9 x 452 + 226
452 = 226 x 2 + 0
Vậy USCLN(a;b) = 226
BSCNN(a, b) =
);(
.
baUSCLN
ba
=
226
74012741048884x
= 6234 x 7401274
= 6234 x(7401x10
3
+ 274)
= 46137834 x 10
3
+ 1708116
= 46139542116.
VÝ dô:2. Cho ba sè: A = 1193984; B = 157993 vµ C = 38743.
T×m íc sè chung lín nhÊt cña ba sè A, B, C.
T×m béi sè chung nhá nhÊt cña ba sè A, B, C víi kÕt qu¶ ®óng chÝnh x¸c.
GV: Phạm Xuân Ký TRƯỜNG THCS YÊN NHÂN
13

nnn
A= u
1
; B = u
2
Nhập: C=A+B:A=C+B:B=A+C
Ấn dấu bằng liên tiếp để có kết quả
9.2 Dẫy số Lucus:

)2(;
;
12
21
>



+=
==
++
n
uuu
buau
nnn
Cách làm: A= u
1
; B = u
2
Nhập: C=A+B:A=C+B:B=A+C
Ấn dấu bằng liên tiếp để có kết quả

VD: u
1
=2; u
2
=3; u
n+1
=2u
n
+3u
n-1
. Tính u
19
.
HD: A= 2; B = 3
Nhập: C=2A+3B:A=2B+3C:B=2C+3A
Ấn dấu bằng liên tiếp 17 lần để có kết quả
ĐS: 8501763049
Dạng 2:
)2(;
;
2
1
2
2
21
>



+=




−+=
===
+++
n
uuuu
uuu
nnnn
. Tính u
15
HD:
A=1; B=2;C=3;
Nhập: D=3A+4B-5C:A=3B+4C-5D:B=3C+4D-5A:C=3D+4A-5B
Ấn dấu bằng liên tiếp 19 lần để có kết quả.
-6245363930;
9.5 Quy về các dãy số trên:
VÝ dô: 1. Cho d·y sè
, )2,1,0(;
34
)34()34(
=
−−+
= nU
nn
n
1) TÝnh U
1
; U

và U
n+1
:
Đặt:
nnn
n
n
n
n
baUba +=

=
+
=
34
)34(
;
34
)34(

nn
nnnn
nnnnn
nnn
UU
baba
babaU
baU
138
)(13])34()34[(8

b) Tính U
5
và U
12
HD: a)
nnnnnn
nnnnn
nnn
nnn
UUbaba
babaU
baU
baU
2210)(22))31050()31050((
)31028()31028()35()35(
)35()35(
1
22
2
1
=+=
+=+=
+=
=
+
+
+
b)
ấn: 10 Shift Sto A X 10 22 X 1 Shift Sto B
Lặp lại:

6 7
y y
+ =
+ +
+ +
c)
4 1 2
4
1 8
2 1
1
9
3
2 4
4
2 1
4 1
1 2
7
5
1
8
x
+ = +

+ +
ữ

+
ữ

4752095 95630
45
103477 103477
x = =
b)
7130 3139
1
3991 3991
y = =
c)
70847109 1389159
64004388 1254988
x = =
Ví dụ:2. Gii phng trỡnh
532
1115
)
34
73
)(
23
61
()
53
32
(


=


+ + ++ +
S:
301
16714
x =
Ví dụ:4. Gii phng trỡnh
5
6
7
2
5
3
15
+
+
+
a
=
1342
5685
S: a=9
Ví dụ:5.Tìm giá trị gần đúng của x và y (chính xác đến 9 chữ số thập phân):
1)
8
5
6
4

3
2
6
4
2
2
9
7
7
5
3
4
+
+
+
=
+
+
+
+
+
yy
S:
x

13,86687956 y

0,91335986
Ví dụ:6.Tỡm x bit :
HD:

x

381978
382007
GV: Phm Xuõn Ký TRNG THCS YấN NHN
16
CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO
381978 ÷ 382007 = 0.999924085
ấn liên tiếp
1−
x
× 3 - 8 và ấn 9 lần phím = .
Ta có
Ans
x
=
+1
1
ti ếp tục ấn
1−
x
- 1 =
KQ : x = - 1.11963298
11. Phương trình bậc II.
VÝ dô: 1. giải ph¬ng tr×nh:
1,23785 x
2
+ 4,35816 x – 6,98753 = 0
HD: Chọn chế độ giải phương trình nhập số 2
Nhập 1,23785 ,=, 4,35816, = , – 6,98753 = =

Nhập 385 ,=, 261, = , - 157, = - 105, = ,=,=
ĐS: -5/7; -3/5; 7/11
13. Phương trình vô tỉ.
VÝ dô: 1. 1) Giải phương trình:
xbaxba −−+=−+ 111
theo a, b
(trích đề thi KV THCS 2004)
HD: Đặt
tx =−1
;Bình phương hai vế ta có

2
222
4
14
)(4)12(212)1(
b
a
tbtabtbtabtbtabta
+
=⇒−=−⇒−=−⇒−+=+
Suy ra x=
2
2
4
144
b
ab +−
2) Tính với a = 250204; b=260204
ĐS: 0,999996304

5 ))) ALPHA = 5685
c
b
a
1342,Tiếp tục ấn SHIFT, CALC, SHIFT, CALC Kết quả:
14.2. Phương trình bậc cao.
VÝ dơ: 1. Tìm 1 nghiệm pt: x
9
-2x
7
+x
4
+5x
3
+x-12=0
HD: Nhập cơng thức: Shifs Solve; X? nhập 1, = ; Shift Solve
ĐS: 1,26857 (45,85566667)
VÝ dơ: 2. Tìm 1 nghiệm pt: x
60
+x
20
-x
12
+8x
9
+4x-15=0
ĐS: Dò với x = 1: 1,011458; Dò với x = 10: -1.05918
VÝ dơ: 3. Giải phương trình:
1133200726612178381643133200726614178408256 =+−+++−+ xxxx


2
1
1
11
=
+
+
+
+
+
+
xxxx
n SHIFT SOLVE
Máy hỏi X ? ấn 3 =
n SHIFT SOLVE . Kết quả : x = 4,5
Làm tương tự như trên và thay đổi giá trò đầu
( ví dụ -1 , -1.5 , -2.5 ) ta được ba nghiệm còn lại .
ĐS :

4,5 ; - 0,4566 ; - 1,5761 ; - 2,6804
( Nếu chọn giá trò đầu không thích hợp thì không tìm đủ 4 nghiệm trên )
15. Giải phương trình bằng phương pháp lặp
a)
1
3
1
−
=+
x
x

GV: Phạm Xn Ký TRƯỜNG THCS N NHÂN
18
CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO






−=−−
=−+−
=++
239
23
20432
zyx
zyx
zyx
HD: Chọn chế độ giải hệ phương trình chon số 3
Nhập 2,=,3,=,4,=20,=,-1,=,3,=-1,=2,=9,-1,-3,-2,=,=,= ĐS: x=1, y= 2, z = 3
18. Hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn.
Giải hệ phương trình









n-1
, … khi biết các cặp (x
i
; y
i
)
VÝ dô: 1. Cho P(x) = x
3
+ax
2
+bx+c. Tìm a, b, c khi P(x) nhận các giá trị là
15, -12 và 7 khi x nhận các giá trị tương ứng là 1,-2, 3.
HD: Ta có P(1) = 1 + a + b + c = 15  a + b + c = 14
P(2) = - 8 + 4a -2b + c = -12  4a - 2b + c = - 4
P(3) = 27 + 9a + 3b + c = 7  9a + 3b + c = - 20
Giải hệ phương trình 3 ẩn ta được kết quả
ĐS: a = -23/5, b = 7/5, c = 86/5
VÝ dô: 2. Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+d x + e. Tìm a, b, c khi P(x) nhận
các giá trị là 11, 14, 19, 26 và 35 khi x nhận các giá trị tương ứng là 1,2, 3, 4, 5.
HD: Ta có Q(x) = x
2
+ 10 nhận các giá trị là 11, 14, 19, 26 và 35 khi x nhận

xP
++
2
)(
l Ax + B vi



+=
+=
BxP
BxP
22
11
Ax)(
Ax)(
trong ú x
1
v x
2
l
nghim ca ax
2
+ b x + c = 0
Ví dụ: 1. Tỡm s d
65
1
2
23
+

+x+1)
19
Ta cú P(1) =3
19
= 1162261467
Ví dụ: 2. Tớnh tng cỏc h s ca (3x
2
+2x+1)
15
=
(trớch thi HSG lp 9 TPHCM 2005)
S: E=470184984576
20.bi toỏn lói xut.
Ví dụ:1 .a) Mt ngi gi vo ngõn hng mt s tin l
a
ng vi lói sut l
%m
mt thỏng. Bit rng ngi ú khụng rỳt tin lói ra. Hi sau
n
thỏng ngi y
nhn c bao nhiờu tin c gc ln lói.
b) p dng bng s:
10.000.000a =
,
0,8m =
,
12n =
.
c) Mt ngi hng thỏng gi vo ngõn hng mt s tin l
a

2
(1 ) (1 ) (1 )A a x a x x a x
= + + + = +
.
Làm tơng tự, sau 3 năm ta có:
2 2 3
3
(1 ) (1 ) (1 )A a x a x x a x
= + + + = +
.
Sau 4 năm ta có:
4
4
(1 )A a x
= +
. Sau 5 năm ta có:
5
5
(1 )A a x= +
.
Sau
n
năm, số tiền cả gốc lẫn lãi là:
GV: Phm Xuõn Ký TRNG THCS YấN NHN
20
CHUYấN GII TON TRấN MY TINH CAISO
1
1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
n n

SHIFT
y
x
12
=
(11003386.93).
c) Giả sử ngời ấy bắt đầu gửi
a
đồng vào ngân hàng từ đầu tháng giêng với lãi
suất là
x
. Cuối tháng giêng số tiền trong sổ tiết kiệm của ngời ấy sẽ là:
(1 )a x+
. Vì
hàng tháng ngời ấy tiếp tục gửi vào tiết kiệm
a
đồng nên số tiền gốc của đầu tháng
2 sẽ là:
2 2
(1 ) [(1 ) 1] [(1 ) 1] [(1 ) 1]
(1 ) 1
a a
a x a a x x x
x x
+ + = + + = + = +
+
đồng.
Số tiền cuối tháng 2 là:
2 3
[(1 ) 1](1 ) [(1 ) (1 )]

a a
x x a x
x x
+ + + = +
.
Tơng tự, số tiền trong sổ tiết kiệm cuối tháng
1n
là:
1
[(1 ) 1](1 ) [(1 ) (1 )]
n n
a a
x x x x
x x

+ + = + +
.
S tin ca u thỏng th
n
l:
[(1 ) (1 )] [(1 ) 1]
n n
a a
x x a x
x x
+ + + = +
.
Số tiền cả gốc lẫn lãi vào thời điểm cuối tháng thứ
n
là:

0.008
Min
)]
SHIFT
y
x
12

1
=
ì
[(
1
+
MR
)]
ì
1000000
ữ
MR
=
(12642675.41)

12
ì
1000000
=
Đáp số: a)
(1 %)
n

.
Suy ra:
3 5 5 3 15 7 7 15 35
; ;
2 4 4 2 8 6 6 8 16
a b a a c a a
b c d= = = ì = = = ì =
.
Mặt khác:
9902490255a b c d+ + + =
.
Vậy
3 15 35
(1 ) 9902490255
2 8 16
a b c d a+ + + = + + + ì =
.
Tính
a
trên máy:
9902490255
ữ
[(
1
+
3
/b c
a
2
+

(2829282930)
Tính tiếp
d
:
ì
7
/b c
a
6
=
(3300830085)
Đáp số: Số tiền của mỗi ngời là: I: 1508950896 đ;
II: 2263426344 đ; III: 2829282930 đ; IV: 3300830085 đ.
Ví dụ:3.a)Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi
suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì đợc cả
vốn lẫn lãi bằng hoặc vợt quá 1300000 đồng ?
b)Với cùng số tiền ban đầu và cùng số tháng đó, nếu bạn An gửi tiết kiệm có
kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,68%/tháng, thì bạn An sẽ nhận đợc số tiền cả vốn lẫn
lãi là bao nhiêu ? Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ
không cộng vốn và lãi tháng trớc để tình lãi tháng sau. Hết một kỳ hạn, lãi sẽ đợc
cộng vào vốn để tính lãi trong kỳ hạn tiếp theo (nếu còn gửi tiếp), nếu cha đến kỳ
hạn mà rút tiền thì số tháng d so với kỳ hạn sẽ đợc tính theo lãi suất không kỳ hạn
HD:
a) n = 46 (tháng)
b) 46 tháng = 15 quý + 1 tháng
Số tiền nhận đợc sau 46 tháng gửi có kỳ hạn:
1000000(1+0.0068ì3)
15
ì1,0058 =
1361659,061

121
có các chữ số giống nhau.
Do đó 1,00
121
=1; 1,01
121
=3,333333
KQ: n =101
BT: 1) Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 456456 của 13/23
(Đề thi HSG 9 TP HCM 2003)
ĐS: 9.
2) Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 12
2005
của 10000/17
(Đề thi HSG 9 TP HCM 2005)
ĐS: 8.
b) Dạng tìm n để a
n
là số tự nhiên.
VÝ dô: 1.Tìm số tự nhiên n (1000<n<2000) sao cho a
n
=
n3557121+
là số tự
nhiên.
HD:
Vì (1000<n<2000) nên
303,51441
≈
1000.3557121+

2
-1 chia hết cho 5 nên k = 44; 45; 49; 50. từ đó ta được a
n
= 309; 316;
344; 351 và n = 1096; 1221; 1749; 1888.
- Nếu a
n
=7k-1 thì 304<7k-1<356 hay 43<k<51
Vì a
n
2
-1 chia hết cho 5 nên k = 45; 46; 50; 51. từ đó ta được a
n
= 314; 321;
349; 356 và n = 1185; 1312; 1848; 1889.
Bài tập
1. Tìm số tự nhiên n (1000<n<2000) sao cho a
n
=
n1554756 +
là số tự nhiên.
2. Tìm số tự nhiên n (1000<n<2000) sao cho a
n
=
n2120203+
là số tự nhiên
VÝ dô:2. Để đắp một con đê , địa phương đã huy động 4 nhóm người gồm
học sinh , nông dân , công nhân và bộ đội .
Thời gian làm việc như sau (giả sử thời gian làm việc của mỗi người trong một
nhóm là như nhau ) : Nhóm bộ đội mỗi người làm việc 7 giờ ; nhóm công nhân

=+++
53605030702
4887465,0
100
tzyx
tzyx
tzyx




=++
=++
⇒
129012717
87613711
tzy
tzy

4146
−=⇒
yt
do
1000
<<
t

8669
<<⇒
y

+ c
2
b) Định lý Ceva: AM, BN, CP đồng quy
1 −=
PB
PA
NA
NC
NC
MB

c) Định lý Mencleit: M, N, P thẳng hàng
1 =
PB
PA
NA
NC
NC
MB
d) Công thức lượng giác:
*) Tam giác vuông:
BA
2
=BH.BC
BC
2
=AC
2
+AB
2

=b
2
+c
2
-2bccosA
- Diện tích: S =
))()((
4
sin
2
1
2
1
cpbpapp
R
abc
prCabah
a
−−−====
- Đường phân giác:
cb
A
bc
l
a
+
=
2
cos2


Π=Π= ;
3
1
2
- Hình chóp cụt:
hBBBBV )''(
3
1
++=
- Hình nón cụt:
lRRShRRRRV
xq
)'(;)''(
3
1
22
+Π=++Π=
- Hình cầu:
23
4;
3
4
RSRV
xq
Π=Π=
- Hình trụ:
RhShRV
xq
Π=Π= 2;
2

"12'4530;"59'5125;"49'824
000
≈≈≈ CBA
VD2: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; AC = 4dm; góc A=46
0
34’25”
1. Tính chu vi. ĐS: 2p
≈
12,67466dm
2. Tính gần đúng diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
ĐS: S
≈
20,10675dm
2
.
VD3: Cho tam giác ABC biết AB =6dm; góc A=84
0
13’38”;B=34
0
51’33”.
Tính diện tích tam giác. ĐS: S
≈
20,49315dm
2
.
VD4: Tính diện tích tam giác ABC biết A(8; -3); B(-5; 2); C(5; 7).
Tính diện tích tam giác. ĐS: S = 75,7 ĐVDT.
VD5: Tính diện tích tứ giác ABCD biết A(-3; 4); B(2; 3); C(
2
;5); D(-4;-3).




=
=
⇒



=+
=
cmIB
cmIA
ABIBIA
IDICIBIA
1,23
6,11
3. Đường thẳng:
VD: D1: 2x -3y-1=0
D2: 5x-2y+4 =0. Tìm giao và góc giữa 2 đường thẳng này.
ĐS: (-14/11; -13/11) và cos(D1; D2) = 34
0
30’30”
4. Một số bài toán về tam giác.
VD1
GV: Phạm Xuân Ký TRƯỜNG THCS YÊN NHÂN
26