GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi
1

KỲ THI CHỌ HỌC SIH GIỎI TP. QUY HƠ ĂM HỌC 2010 – 2011
MƠ: TỐ LỚP 9 - gày: 11/01/2011 – Thời gian: 150 phút
ĐỀ:

Câu 1. (4 điểm)
a) Tính các số ngun dương x và y thỏa mãn các tính chất sau:
- Tổng các bình phương của chúng là B,
- Tổng các lập phương của chúng bằng K lần tổng của chúng,
- Và B – K = 28.
b) Tìm chữ số hàng đơn vị của: 37
2011
– 12
2011
+ 73
2011
.
Câu 2. (4 điểm)
a) Tìm các số ngun x, y, z thỏa mãn đồng thời các đẳng thức:
2
2
2 2 1
x y z
x xy x z

1
, d
2
song song và cách nhau 1 đơn vị. Đường tròn tâm
O có đường kính bé hơn 1, tiếp xúc với d
1
ở phần bên trong hai đường thẳng.
Tam giác đều ABC có đỉnh A nằm trên d
2,
cạnh BC tiếp xúc với

đường tròn
(O) và song song với d
1
, đoạn nối tâm O với trọng tâm G của tam giác ABC
vng góc với BC . Tính độ dài cạnh tam giác để cho tích số giữa diện tích tam
giác và diện tích hình tròn là lớn nhất.
Câu 5. (2 điểm)
Hình thang cân ABCD (AB // CD) có các cạnh ln tiếp xúc với đường tròn
tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng tích số AB.CD khơng đổi.
Câu 6. (3 điểm)
Cho M là một điểm trong tam giác ABC. Goi d
a
, d
b
, d
c
lần lượt là khoảng cách
từ M đến các đỉnh A, B, C và m
a


Câu 1.(4 đ)
a) Tính x, y
Từ điều kiện bài tốn, ta có:
( )
2 2 2 2
3 3 2 2
28
28
x y B x y B
x y K x y x xy y K
B K
B K
 
+ = + =
 
 
+ = + ⇔ − + =
 
 
− =
− =
 
 

⇒
xy = 28
Vì x, y ngun dương nên từ hệ thưc xy = 28, ta có bảng giá trị của x, y:
x 1 2 4 7 14 28
y 28 14 7 4 2 1

4
≡ 1 (mod 10)
⇒
73
4.502
.73
3
≡ 73
3
≡ 3
3
≡ 7 (mod 10)
Do đó: 37
2011
– 12
2011
+ 73
2011
≡ 3 – 8 + 7 (mod 10) ≡ 2 (mod 10)
Vậy 37
2011
– 12
2011
+ 73
2011
có chữ số hàng đơn vị là 2.

Câu 2.(4 điểm)
a) Tính x, y, z
Biến đổi điều kiện bài tốn:

= − −
+ +

Để y ∈ Z với x ∈ Z thì: x + 2 ∈ Ư(3)
⇒
x + 2 ∈ {-1; 1; -3; 3}
⇒
x ∈ {-3; -1; -5; 1}
Từ đó, ta có nghiệm của hệ là:
x -1 1 -3 -5
y -6 0 -4 -10
z -3 1 1 -3

b) Tìm hàm số f
Từ điều kiện của hàm số f:
f(a + b) = f(ab),
∀
a,
∀
b.
Thay a = 0, ta có: f(b) = f(0),
∀
b
Thay b = 0, ta có: f(a) = f(0),
∀
a.
Suy ra f(x) = f(0),
∀
x, do đó f(x) là hàm số hằng.


3
+ c(x – 1)
2
+ d(x – 1) + e] = x(x + 1)( x
+ 2)
⇔ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e – (ax
4
- 4ax
3
+ 6ax
2
- 4ax + a + bx
3
- 3bx
2
+ 3bx - b + cx
2
- 2cx + c
+ dx – d + e) = x(x + 1)( x + 2)
⇔ 4ax
3
+ (-6a + 3b)x
2
+ (4a – 3b + 2c)x = x


=


− + =

⇔
 
− + =
 
=
 
− + − + =



=


Do đó: f(x) =
4 3 2
1 3 11 3
4 2 4 2
x x x x e
+ + + +
(e ∈ R)
Cho x lần lượt lấy các giá trị 1, 2, …, n thay vào (1) rồi cộng vế theo vế các đẳng thức, ta
được:
1.2.3 + 2.3.4 + …+ n(n + 1)(n + 2) = f(n) – f(0)
1.2.3 + 2.3.4 + …+ n(n + 1)(n + 2) =

4
n n n n
+ + +
(n∈ N
*
)
Tương tự, để tính tổng S
2
= 1.2
2
+ 2.3
2
+ …+ n(n + 1)
2
ta xác định đa thức bậc 4
f(x) = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e (a ≠ 0) thỏa mãn điều kiện:
f(x) – f(x – 1) = x(x + 1)
2

⇔ 4ax
3
+ (-6a + 3b)x
2
+ (4a – 3b + 2c)x = x


=


− + =

⇔
 
− + =
 
=
 
− + − + =



=


Do đó: f(x) =
4 3 2
1 7 7 5
4 6 4 6
x x x x e
+ + + +
(e∈ R) GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi
4

A, G, H, O thẳng hàng
Gọi h là chiều cao tam giác đều ABC,
r là bán kính của (O), khi đó:
a = BC =
2
3
h
, r =
1
2
h
−

S
ABC
=
2
1 1 3 3
2 2 2 4
a a
AH.BC a.= =
=
2
2
2
3
3
4
3
h

1
2 4
3 4 3 4 3 16 3
h h
h h
. h( h .
+ −
− π π π
 
π = − ≤ ≤
 
 

Do đó S
ABC
.S(O) đạt GTLN là
16 3
π
khi và chỉ khi h = 1 – h ⇔ h =
1
2
,
Ta có: a =
2 1 3
3
3 3
h
= =
.
Vậy cạnh của tam giác đều bằng

2
D D D
= =

Vì AB // CD nên
ɵ
ɵ
A D
+
= 180
0
, do đó:


1 1
A D
+
= 90
0

Suy ra tam giác OAD vng tại O, với OH là
đường cao, nên ta có: AH. DH = OA
2
= R
2

Mặt khác, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
đối với đường tròn (O) và EF là trục đối xứng
của hình thang cân, ta có:
AH = AE =

O
H
E
F
1
2
2
1
RGIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi
5

Câu 6. (3 điểm)
Chứng minh: d
a
+ d
b
+ d
c
≥ 2(m
a
+ m
b
+ m
c
)

Kẻ AA’ ⊥ CM, BB’ ⊥ CM, ta có:

Lập luận tương tự đối với điểm M’, ta có:
d
c
≥
b a
a b
.m .m
c c
+
(1)
Tương tự, ta có:
d
a
≥
c b
b c
.m .m
a a
+
(2)
d
b
≥
a c
c a
.m .m
b b
+
(3) Quy Nhơn, ngày 04 tháng 02 năm 2011
Người gửi: BÙI VĂN CHI
Trường THCS LÊ LỢI
Tp.Quy Nhơn, tỉnh Bình Định
ĐT: 0563828529
Email:

A
B
C
M
A’
B’
a
b
c
d
a
d
b
d
c
m
b
m
c
m