Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn
Đoàn
MỤC LỤC
Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản 5
Bài tập áp dụng 5
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 8
Bài tập rèn luyện 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác 32
Bài tập áp dụng 33
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 35
Bài tập rèn luyện 56
C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos 59
Bài tập áp dụng 59
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 62
Bài tập rèn luyện 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp 84
Bài tập áp dụng 85
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 87
Bài tập rèn luyện 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng 93
Bài tập áp dụng 94
Bài tập rèn luyện 96
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối 97
Bài tập áp dụng 97
Bài tập rèn luyện 99
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực 101
Bài tập áp dụng 102
Bài tập rèn luyện 104
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương 106

2
1
1 tan x
c x
+ =
●
2
2
1
1 cot x
sin x
+ =
 Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
●
sin 2x 2 sin x. cos x=
●
2 2
2 2
cos x sin x
cos2x
2 cos x 1 1 2 sin x
é
-
ê
=
ê
- = -
ê
ë
●

( )
tan a t an b
tan a b
1 tan a. tan b
+
+ =
-
●
( )
tan a tan b
tan a b
1 tan a. tan b
-
- =
+
●
π 1 tan x
tan x
4 1 tan x
æ ö
+
÷
ç
÷
+ =
ç
÷
ç
÷
ç

+ -
- = -
●
a b a b
sin a sin b 2 sin . cos
2 2
+ -
+ =
●
a b a b
sin a sin b 2 cos .sin
2 2
+ -
- =
●
( )
sin a b
t an a t an b
cos a.cos b
+
+ =
●
( )
sin a b
t an a tan b
cos a. cos b
-
- =
 Công thức biến đổi tích thành tổng
●

ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
●
π π
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = - = +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
●
4 4 2
1 cos 4x
cos x sin x 1 s
3 1
in 2x
2 4
+
+ = - =

, co mõu sụ hoc cn bõc chn thi nhõt thiờt
phai t iờu kiờn ờ phng trinh xac inh.
Phng trinh cha
tan x
, iờu kiờn:
( )
cos x 0 x k k
2
p
+ạ ạ p ẻ Â
.
Phng trinh cha
cot x
, iờu kiờn:
( )
sin x 0 x k kạ ạ p ẻ Â
.
Phng trinh cha ca
tan x
va
cot x
, iờu kiờn:
( )
x k. k
2
p
ạ ẻ Â
.
Khi tim c nghiờm phai kiờm tra (so) vi iờu kiờn. Ta thng dung mụt trong cac cach sau õy ờ
kiờm tra iờu kiờn:

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
vi
k , n
+
ẻ ẻÂ Ơ
thi co
n
iờm
M
trờn ng tron
lng giac cach ờu nhau".
Vi du 1: Nờu s
ẳ
AM k2
3
p
= + p
thi co mụt iờm
M
tai vi tri
3
p
(ta chon
k 0=
).
Vi du 2: Nờu s
ẳ

va
19
12
p
,
( )
k 0;1;2=
.
Vi du 4: Nờu s
ẳ
k2
AM k.
4 2 4 4
p p p p
= + = +
thi co 4 iờm
M
tai cac vi tri
4
p
,
3
4
p
,
5
4
p
;
7

ờ giai c phng trinh lng giac cung nh cac ng
dung cua no, cac ban hoc sinh cõn nm vng tõt ca
nhng cụng thc lng giac. o la hanh trang, la cụng
cu cõn thiờt nhõt ờ chinh phuc thờ gii mang tờn:
"Phng trinh lng giac"
Ths. Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
Biờu diờn cung
x k
3
p
= + p
trờn ng tron thi co
2 iờm tai cac vi tri:
3
p
va
4
3
p
.
Tụng hp hai cung gụm 4 iờm nh hinh ve va
cung tụng hp la:
x k
3 2
p p
= +
ụi vi phng trinh
2
2
1 1

2
ộ
ờ
ộ
=
ộ
- = =
ờ
ờ
ờ

ờ
ờ
ờ
=
- =
ờ
ờ
ờ
ở
=
ở
ờ
ở
. Tng t ụi vi phng trinh
2
2
sin x 1 sin x 1
cos x 1
cos x 1

ờ
=
= =
ờ ờ
ờ
ở
ở ở
S dung thanh thao cõu thõn chu: '' Cos ụi Sin bu Phu cheo ''
õy co thờ xem la cõu thõn chu ''n gian, dờ nh'' trong lng giac nhng no lai ong vai tro la
mụt trong nhng nhõn tụ cõn thiờt, hiờu qua nhõt khi giai phng trinh lng giac.
Cos ụi, nghia la cos cua hai goc ụi nhau thi bng nhau, tc la
( )
cos cos- =a a
, con cac cung
goc lng giac con lai thi bng '' '' chinh no:
( ) ( ) ( )
sin sin , tan t an , cot tan- = - - = - - = -a a a a a a
Sin bu, nghia la sin cua hai goc bu nhau thi bng nhau, tc la
( )
sin sin- =p a a
, con cac cung
goc lng giac con lai thi bng '' '' chinh no:
( ) ( ) ( )
cos cos , tan tan , cot t an- = - - = - - = -p a a p a a p a a
Phu cheo, nghia la vi hai goc phu nhau (co tụng bng 90
0
) thi sin goc nay bng cos goc kia va
ngc lai, tc la:
sin cos , cos sin , tan cot , cot tan
2 2 2 2

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
( )
u v k2 u v k2 , k
2 2
p p
= - + = + +p pẻ Â
.
Page 4 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
/3
5/6
4/3
/6
O
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
Qua vi du nay, chc hn nờu trong bai gp nhng phng trinh dang nh
2
sin x cos x
3
ổ ử
p
ữ
ỗ
ữ
= -
ỗ

k
cos x k2 cos x
ỡ
ù
+ + = -p p
ù
ù
ẻ
ớ
ù
+ + = -p p
ù
ù
ợ
Â
.
A PHNG TRINH LNG GIAC C BAN
Dang:
u v k2
sin u sin v
u v k2
ộ
= + p
ờ
=
ờ
= - +p p
ờ
ở
c biờt:

u v k2
ộ
= + p
ờ
=
ờ
= - + p
ờ
ở
c biờt:
cos x 0 x k
2
cos x 1 x k2
cos x 1 x k2
ỡ
ù
p
ù
= = +ị p
ù
ù
ù
ù
= =ị p
ớ
ù
ù
= - = +ị p p
ù
ù

ék : u, v k
= = + p
ạ p
c biờt:
cot x 0 x k
2
cot x 1 x k
4
ỡ
ù
p
ù
= = + p
ù
ù
ù
ớ
ù
p
ù
= = + p
ù
ù
ù
ợ
BAI TP AP DUNG
Bai 1. Giai phng trinh:
( )
cos 3x 4 cos2x 3 cos x 4 0 , x 0;14
ộ ự

÷
+ = - *
ç
÷
ç
æ ö
÷
ç
p
è ø
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 7. Giải phương trình:
( )

4 4
7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
æ ö æ ö
p p
÷ ÷

ç ç
è ø è ø
Bài 9. Giải phương trình:
( )

3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 10. Giải phương trình:
( )
sin 3x sin 2x sin x 1
4 4
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = +

æ ö
p
÷
ç
÷
+ =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 13. Giải phương trình:
( )

3
sin x 2 sin x 1
4
æ ö
p
÷
ç
÷
- =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2cos
4 2 2
æ ö
p
÷
ç
÷
+ = + - *
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 20. Giải phương trình:
( )

2 2 2
sin x cos 2x cos 3x= + *
Bài 21. Giải phương trình:
( )

2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x+ - = *
Bài 22. Giải phương trình:
( )
sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + *

( )
( )

8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos 2x
4
+ = + + *
Bài 29. Giải phương trình:
( )
( )

3 3 5 5
sin x cos x 2 sin x cos x+ = + *
Bài 30. Giải phương trình:
( )

4 2 2 4
3 cos x 4 cos x sin x sin x 0- + = *
Bài 31. Giải phương trình:
( )

3 3
2 3 2
cos 3x cos x sin 3x sin x
8
-
- = *
Bài 32. Giải phương trình:
( )

1 sin 2x cos2x
2 sin x sin 2x
1 cot x
+ +
= *
+
Bài 37. Giải phương trình:
( ) ( )
tan x cot x 2 sin 2x cos2x+ = + *
Bài 38. Giải phương trình:
( )

2
tan x t an x t an 3x 2- = *
Bài 39. Giải phương trình:
( )

2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = *
Bài 40. Giải phương trình:
( )

2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2
æ ö

2 sin 2x
+ = + *
Bài 44. Giải phương trình:
( )
( ) ( )

3 sin x tan x
2 1 cos x 0
tan x sin x
+
- + = *
-
Bài 45. Giải phương trình:
( ) ( )
( )
( ) ( )

2 2
2 2
1 cos x 1 cos x
1
tan x sin x 1 sin x tan x
2
4 1 sin x
- + +
- = + + *
-
Bài 46. Giải phương trình:
( )
cos 3x t an 5x sin 7x= *

÷
ç
÷
+ + = *
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Page 8 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
HNG DN GIAI PHNG TRINH LNG GIAC C BAN

Li binh: T viờc xuõt hiờn ba cung
x,2x, 3x
, giup ta liờn tng ờn viờc a chung vờ cung mụt
cung. Nhng a vờ cung
x
hay cung
2x
? Cac ban co thờ tra li cõu hoi o da vao quan
niờm sau: " Trong phng trinh lng giac tụn tai ba cung
x,2x, 3x
, ta nờn a vờ cung
trung gian
2x
nờu trong biờu thc co cha sin
2

ờ
- = = + p ẻ
ờ
=
ờ
ở
Â
.

0,5 k 3,9
3 5 7
Do x 0;14 ,k 0 k 14 x ; ; ;
k
2 2 2 2 2
ỡ
ỡ ỹ
ù
- ằÊÊ
ù ù
p p p p p
ù
ù ù
ộ ự
+ẻ ẻ Ê p Ê ị ẻ
ớ ớ ý
ờ ỳ
ở ỷ
ù ù ù
ẻ
ù ù ù

ộ
p
ờ
= + p
ộ
- =
ờ
=
ờ
ờ
ờ
ẻ
ờ
ờ
ờ
+ = p
ờ
ờ
= -
ở
= - + p
ờ
ờ
ở
ở
Â
.
Li binh: T viờc xuõt hiờn cac cung
3x
va

( )
sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0+ + + + = *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B nm 2005
Ths. Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
( ) ( )

2
sin x 0 x k
2 cos x 1 sin x 0 k;l
1 2
cos x x l2
2 3
ộ ộ
= = p
ờ ờ
ờ ờ
- + = ẻ
p
ờ ờ
= - = + p
ờ ờ
ở ở
Â
.
Bai giai tham khao
( ) ( )
2
sin x cos x 2 sin x cos x 2 cos x 0* + + + =
( ) ( )
sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0+ + + =

= + p
ờ ờ
ờ
ở ở
ở
Â
.
Li binh: T viờc xuõt hiờn cua cung
2x
va cung
x
ma ta nghi ờn viờc chuyờn cung
2x
vờ cung
x
bng cụng thc nhõn ụi cua ham sin va cos, t o xuõt hiờn nhõn t chung hai vờ
( )
( )
2
sin x 1 2 cos x 1 2 sin x cos x 1 cos x* + - + = +
( ) ( )

2
2 sin x cos x 2 sin x cos x 1 cos x 2 sin x cos x cos x 1 1 cos x 0+ = + + - + =
( ) ( ) ( )

2
1
x k2
cos x

x
2
p
-
va
7
x
4
p
-
giup ta suy nghi ờn viờc a hai cung
khac nhau nay vờ cung mụt cung chung la
x
. ờ lam c iờu o, ta co thờ dung cụng
thc cụng cung hoc dung cõu thõn chu "cos ụi sin bu phu cheo''. Ta thc hiờn hai y
tng o qua hai cach giai sau õy
Page 10 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Bai 6. Giai phng trinh:
( )

1 1 7
4 sin x
sin x 4
3
sin x
2
ổ ử
p
ữ
ỗ

( )
1 1 7 7
4 sin cos x sin x cos
sin x 3 3 4 4
sin x cos sin cos x
2 2
ổ ử
p p
ữ
ỗ
ữ
* + = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
p p
ố ứ
-
( )

1 1 2
4. sin x cos x
sin x cos x 2
ộ ự
ờ ỳ
+ = - +
ờ ỳ
ờ ỳ

x m
8
ộ
p
ờ
= - + p
ờ
ộ
= -
ộ
ờ
+ =
ờ
p
ờ
ờ
ờ
= - + p ẻ
ờ
ờ
ờ
+ =
ờ
ờ= -
ờ
ở
ờ
p
ở
= + pờ

ữ ữ
ỗ ỗ
ù
ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ù
ở ỷ
ớ
ộ ự
ổ ử ổ ử ổ ử
ù
p p p
ữ ữ ữ
ù
ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ ữ
- = - + = - + = - +p
ù
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ù
ờ ỳ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
ù
ờ ỳ
ở ỷ

ữ ữ ữ ữ ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
.
Cụng viờc con lai cua chung ta la dung cụng thc:
4 4 2
1
sin x cos x 1 sin 2x
2
+ = -
. Nờu
khụng co nhõn xet nay, ma ta tiờn hanh biờn ụi tan
cos
cot
sin
=
, rụi qui ụng thi bai toan
tr nờn rõt phc tap, cha tinh ờn viờc ụi chiờu nghiờm vi iờu kiờn.
Bai giai tham khao
" Cõn cu bu thụng minh" Page 11
Bai 7. Giai phng trinh:
( )

4 4
7

ỗ
ữ
+ ạ
ù
ỗ
ữ
ỗ
ù
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ
ỗ
p p p p
ố ứ
ù
ữ ữ ữ ữ
ù
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
+ - - - ạ ạ ạ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ớ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ù
p
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ữ

cos x cos x 0 cos2x cos 0 cos 2x 0
4 4 2 2
cos x 0
4
ỡ
ổ ử
ù
p
ữ
ù
ỗ
ữ
- ạ
ù
ỗ
ữ
ỗ
ù
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ
ỗ
p p p
ố ứ
ù
ữ ữ ữ
ù
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
- + + ạ ạ ạ
ỗ ỗ ỗ

ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
p p p p p p p
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
- + = - - + = - - =
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
.
( )
( )
2 4 2 4 4 2
1 1
1 sin 4x cos 4x 1 1 cos 4x cos 4x 2cos x cos 4x 1 0
2 2
* - = - - = - - =
( )
( )
2

ù ù
=
ở
ù ù
ù
ợ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
( )
( )
( )
sin 2x 0 N
k
x , k
cos 2x 0 L
2
ỡ
ù
=
p
ù
ù
= ẻ

ố ứ ố ứ
+ -
.
Li binh: Nhin vao phng trinh nay, ta nghi dung cụng thc cụng cung theo sin, hoc xet tụng
cung cua chung, . nhng ng vụi lam nh thờ, no se kho i ờn kờt qua. Ta hay xem
gia hai cung
3 x
10 2
p
-
va
3x
10 2
p
+
co mụi liờn hờ gi hay khụng ? Thõt võy:
Page 12 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Bai 8. Giai phng trinh:
( )

4 4
4
sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x t an x
4 4
+
= *
ổ ử ổ ử
p p

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
3x 3x 9 3x 3 x
sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
ộ ự
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
p p p p
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ ữ ữ
+ = - + = - = -p
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
. T o, ta se
t
3 x
t
10 2
p
= -
va s dung cụng thc nhõn ba la tụi u nhõt.

ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
- = -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
t
3 x
t
10 2
p
= -
. Va
( )
( ) ( )
3 2
1 1
2 sin t sin 3t sin t 3sin t 4 sin t sin t 1 sin t 0
2 2
= = - - =
( )

3 x 3
t k
k x k2

- = + = -p p
ờ
ờ ờ
ở
ở ở
Â
.
Bai giai tham khao
Ta co:
3
sin 3x sin 3x sin 3x sin 3x sin 3 x
4 4 4 4 4
ộ ự
ổ ử ổ ử ổ ử ộ ự ổ ử
p p p p p
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ờ ỳ
ữ ữ ữ ữ
- = - - = - - - = - + = - +p
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ờ ỳ

ờ ờ
- + =
ờ ờ
- + - = =
ờ ờ
ở ở
( )

t k
x k
sin t 0
4
x m , k, l, m
cos t 0
4 2
t l
x l
2
4
ộ
p
ộ
= p
ờ
= - + p
ộ
=
ờ
p p
ờ

ữ
= - + = - +p
ỗ
ữ
ờ ỳ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
.
" Cõn cu bu thụng minh" Page 13
Bai 11. Giai phng trinh:
( )

3
8 cos x cos 3x 1
3
ổ ử
p
ữ
ỗ
ữ
+ =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ
+ = - +
ỗ ỗ
ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
.
t
t x
3
p
= +
. Luc o:
( )
3 3 3
2 8 cos t cos 3t 8 cos t 4 cos t 3 cos t= - = - +
( )
( )

3 2
12 cos t 3 cos t 0 cos 3t 4 cos t 1 0 cos 3t 2cos 2t 1 0- = - = + =
( )


ờ
ờ
= + = p p ẻ
ờ
ờ
ờ
ờ
= -
ờ
ờ
p
ờ
ờ
ở
p
= + p
ờ
= - + pờ
ờ
ở
ờ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
Cach giai 1.
t
t x x t
4 4
p p

cos t 0 N
1
cos t sin 2t 1 0 t k x k , k
sin 2t 2 L
2 2 4
ộ
ổ ử
=
p p
ờ
ữ
ỗ
ữ
- = = + = + p p ẻ
ỗ
ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=
ố ứ
ờ
ở
Â
.
Li binh: Trong

ữ
ờ ỳ
ỗ ờ ỳ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
ở ỷ
( ) ( ) ( )

3 2
sin x cos x 4 sin x sin x cos x sin x cos x 4 sin x+ = + + =
( ) ( )
sin x cos x 1 2 sin x cos x 4 sin x+ + =

2 2
3 sin x 2 cos x sin x 2 sin x cos x cos x 0- + + + =
( ) ( )

2 2
sin x 3 2 cos x cos x 2 sin x 1 0- + + + =
( ) ( )

2 2
sin x 2sin x 1 cos x 2 sin x 1 0- + + + =
( )
( )
( )


ữ
ỗ
ố ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh Phõn Viờn Bao Chi Truyờn Thụng nm 1998
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
( )
tan x 1 x k , k
4
p
= = + p ẻ Â
.
Cach giai 3.
( ) ( )
3
3
1 1
1 2 . 2 sin x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x
4
2 2
ộ ự
ộ ự
ổ ử
p
ữ
ỗ
ờ ỳ
ờ ỳ
ữ
+ = + =

3
2
2 tan x 1 4 tan x. 1 tan x+ = +
Giai phng trinh theo tanx ta c nghiờm:
( )
t an x 1 x k , k
4
p
= = + pẻ Â
.
Bai giai tham khao
Cach giai 1.
t
t x x t
4 4
p p
= - = +ị
. Luc o:
( )
( )
3 3
1 sin t 2 sin t 4 sin t sin t cos t= + = +
( )
( )

3 2 2
sin t sin t cos t sin t cos t= + +
( )

3 3 2 2 3

. Tai sao phai ghep nh võy ? Ly do rõt n gian,
chung ta cõn nhng "tha sụ chung" ờ nhom ra ngoai, a bai toan vờ dang phng trinh
tich sụ.
Bai giai tham khao
( ) ( ) ( )
5x 3x 5x x
cos x cos 4x cos2x cos 3x 0 2 cos cos 2 cos cos 0
2 2 2 2
* + + + = + =

5x 3x x 5x x
2 cos cos cos 0 4 cos cos x cos 0
2 2 2 2 2
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
" Cõn cu bu thụng minh" Page 15
Bai 14. Giai phng trinh:
( )
cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0+ + + = *

Bai 13. Giai phng trinh:

cos 0
m
2
2 2
é é
p p p
é
ê ê
= + = +p
ê
ê ê
=
ê
ê ê
p p
ê
ê ê
= = + = +Û Û p Û p Î
ê
ê ê
ê
ê ê
ê
ê ê
= +p p p
=
ê
= + p
ê ê
ê

é
=
ê ê
= + = +p
ê
ê ê
ê
Û Û Û Î
ê ê
p
ê
p p
=
ê ê
= ± + = ± +p p
ê
ê ê
ë
ë ë
¢
.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 6x 2
2 2 2
* - + - + - =Û
( ) ( ) ( )

1 1

ê
ê
ê
ê
=
ê
ê
p p
ë
= +
ê
ê
ë
¢
.
Bài giải tham khảo
Page 16 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Bài 15. Giải phương trình:
( )

2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + = *
.
Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000
Bài 16. Giải phương trình:
( )


=
ờ
ổ ử ổ ử ổ ử
p p p p p
ờ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
= = + = + = + p ẻ
ỗ ỗ ỗ
ờ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
ờ
=
ờ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
2 2 2 2
* - - + = - - +
cos 6x cos 8x cos10x cos12x 2 cos7x cos x 2 cos11x cos x+ = + =
( ) ( )

p
=
ờ
ờ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
( )
x xcos 3x sin 7x 1 cos 5x 1 cos 9 cos 3x sin 7x sin 5x cos 9
2
ổ ử
p
ữ
ỗ
ữ
* + = - + - - + = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
cos 3x cos 9x sin 7x sin 5x 0 2 cos 6x cos 3x 2 cos 6x sin x 0+ + - = + =
( ) ( )

x k
12 6
cos 6x 0
cos 6x cos 3x sin x 0 x l k, l, m

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ
p p
ờ
ở
= - +
ờ
ờ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
" Cõn cu bu thụng minh" Page 17
Bai 18. Giai phng trinh:
( )

2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x- = - *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B nm 2002
Bai 19. Giai phng trinh:
( )
sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2cos
4 2 2
ổ ử


k
x
k
6 3
cos x 0
x
l
6 3
4 cos 3x cos 2x cos x 0 cos2x 0 x k, l, m
l
4 2
x
cos 3x 0
4 2
x m
2
é
p p
ê
= +
é
ê
é
p p
=
ê
ê
ê
= +

7x x
4x
2
+
=
, ta có thể định
hướng nhóm
( )
sin 7x sin x-
,
( )
2
2 sin 2x 1-
lại với nhau, để sau khi dùng công thức
tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được
phương trình tích số đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
( ) ( )
( )
2
sin 7x sin x 1 2 sin 2x 0 2 cos 4x sin 3x cos 4x 0* - - - = - =Û Û
( ) ( )

k2
cos 4x 0
x
18 3
cos 4x 2 sin 3x 1 0 k, l
1
5 l2


2
2 sin 2x cos x sin 2x 2 cos x cos x sin 2x 2 cos x 1 cos x 2 cos x 1 0+ = + + - + =Û Û
( ) ( ) ( ) ( )
2 cos x 1 sin 2x cos x 0 2 cos x 1 2 sin x cos x cos x 0+ - = + - =Û Û
( ) ( ) ( )

x k
2
cos x 0
x l2
1
6
cos x 2 sin x 1 2cos x 1 0 sin x k, l, m, n
5
2
x m2
1
6
cos x
2
2
x n2
3
é
p
ê

= -
ê
ê
p
ë
ê
= ± + p
ê
ë
¢
.
Page 18 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Bài 22. Giải phương trình:
( )
sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + *
Bài 23. Giải phương trình:
( )

3 3 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = *
Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999
Bài 21. Giải phương trình:
( )

2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x+ - = *
Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn
Đoàn
Bài giải tham khảo

cos10x 1 cos 8x cos x 2 cos x 4 cos 3x 3 cos 3x* + + = + -Û
( )
cos10x cos 8x 1 cos x 2 cos x cos 9x+ + = +Û
2 cos 9x cos x 1 cos x 2 cos x cos 9x+ = +Û
( )
cos x 1 x k2 , k= =Û Û p Î ¢
.
Bài giải tham khảo
( )
( ) ( )
2 2 2
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 cos x 0* - - - =Û
( ) ( )

2 2 2
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 0
é ù
- - - - =Û
ê ú
ë û
( )
( )

2
4 sin x 3 sin x cos x 0- - =Û
( ) ( )
2 1 cos 2x 3 sin x cos x 0
é ù
- - - =Û
ê ú

ê ê
ê
ë ë
ë
¢
.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )
( )
2
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 1 sin x 3 0* + + - + - - =Û
( ) ( ) ( ) ( )
2 sin x 1 3cos 4x 2 sin x 4 1 2 sin x 1 2sin x 0+ + - + - + =Û
( ) ( )
2 sin x 1 3cos 4x 2 sin x 4 1 2 sin x 0+ + - + - =Û
" Cần cù bù thông minh…………" Page 19
Bài 24. Giải phương trình:
( )

2 3
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + *
Bài 25. Giải phương trình:
( )

3 3 2
4 sin x 3cos x 3 sin x sin x cos x 0+ - - = *
Bài 26. Giải phương trình:
( ) ( ) ( )

2

ờ
ờ
ờ
p p
ờ
ờ
ờ
= - + = - + p p ẻ
ờ
ờ
ờ
= -
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
p p
ờ
= + = +p p
ờ
ờ
ờ
ở
ở
Â
.
Bai giai tham khao
( )
( ) ( )

ờ
ờ
ờ
= + ẻ
ờ
ờ
ờ
= p
=
ờ
ờ
ờ
ở
ở = + p
ờ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
( )
( ) ( )
10 8 8 10
5
2 cos x cos x sin x 2 sin x cos 2x 0
4
* - - - + =
( ) ( )

8 2 8 2
5

5
5
4 2
cos x sin x 0
sin x cos x 1 VN
4
4
ộ
p
ộ
=
ờ
= + p
ờ
p p
ờ
ờ
= + ẻ
ờ
ờ
- + =
ờ
= + >
ờ
ờ
ở
ở
Â
.
Bai giai tham khao


3 3 5 5
sin x cos x 2 sin x cos x+ = + *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục gia Ha Nụi khụi D 1998
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
( )
( )

3 3
3
cos2x 0
m
cos2x sin x cos x 0 x , m
tan x 1
4 2
ộ
=
p p
ờ
- = = + ẻ
ờ
=
ờ
ở
Â
.
Cach giai 2
( )
( ) ( )

( )
2 2
2
1 cos 2x 1 cos 2x
3 sin 2x 0
2 2
ổ ử ổ ử
+ -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
* - + =
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
( ) ( ) ( )

2 2 2
3 1 2 cos2x cos 2x 4 1 cos 2x 1 2 cos2x cos 2x 0+ + - - + - + =
( )

2
8 cos 2x 4 cos2x 0 4 cos 2x 2 cos 2x 1 0+ = + =
( )

k
cos2x 0

Cach khac
Do
cos x 0 hay sin x 1= =
khụng la nghiờm cua phng trinh
( )
*
Chia hai vờ cua
( )
*
cho
4
cos x
, ta c:
( )
2
2 4
2
t 4t 3 0
3 4 t an x t an x 0
t tan x 0
ỡ
ù
- + =
ù
ù
* - + =
ớ
ù
=
ù

= + p
=
ù
=
ờ
ù ờ
ờ
ờ
=
ẻ
ớ
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
ù
p
=
=
ờ
ờ
ờ
ù
= + p
ở
ở
ù
=
ờ

hiện số
1
2
nhằm tối giản được với số

2 3 2
8
-
phức tạp bên vế phải của phương trình.
( ) ( ) ( )
2 2
2 3 2
cos 3x cos x cos x sin 3x sin x sin x
8
-
* - =Û
( ) ( )

2 2
1 1 2 3 2
cos 4x cos2x cos x cos 2x cos 4x sin x
2 2 8
-
+ - - =Û

2 2 2 2
2 3 2
cos 4x cos x cos2x cos x cos 2x sin x cos 4x sin x
4
-

2 2
cos 2x 2 cos x 1 1 2 sin x= - = -
, nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế
phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý
rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của
sin
,
bằng cách nhân thêm hai vế của
( )
*
cho
sin x
. Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm
tra xem
sin x 0=
có phải là nghiệm hay không trước khi nhân.
● Nhận thấy:
( )
sin x 0 x k hay cos x 1 cos 2x cos 4x cos 8x 1= = = ± = = =Û p Û
nên
( )
1
1
16
* ± =Û
(vô nghiệm) nên
sin x 0 x k= =Û p
không là nghiệm của
( )
*

ï ï ï
î î î

k2
x
k2
x
15
15
l
x
l
x
17 17
17 17
x m
ì
é
ï
p
ï
ê
é
=
ï
p
ï
ê
ê
=

17p 1
k 15n; l ; k, l, m, n, p
2
-
¹ ¹ Î ¢
.
Page 22 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Bài 32. Giải phương trình:
( )

1
cos x cos 2x cos 4x cos 8x
16
= *
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1998
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
Bai giai tham khao
( )
( )
3
4 sin 3x cos2x 1 2 3 sin x 4 sin x 4 sin 3x cos2x 1 2 sin 3x* = + - = +
( )
( )
( )

2
2 sin 3x 2 cos 2x 1 1 2 sin 3x 4 cos x 3 1- = - = o
Do
( )

= +
ổ ử
p
ờ
ữ
ỗ
ữ
= = - ẻ
ỗ
ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
p p
ố ứ
ờ
= +
ờ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
Khi
( )
x k2 , k= pẻ Â
thi
( ) ( )
1
5

- + - + - + - + - = -
.
( )

11x 11x 2m
sin 0 m x , m 11, m
2 2 11
p
= = = p ạ ẻ Â
.
Bai giai tham khao
Li binh: Khi giai phng trinh lng giac co cha tan hoc cot, co õn mõu hay cn bõc chn,
ta phai c iờu kiờn ờ phng trinh xac inh. c biờt ụi vi nhng bai toan co
cha tan (hoc cot), ta hay thay thờ chung bng
sin cos
,
cos sin
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
nhm muc ich " n
gian hoa " va chi con lai hai gia tri lng giac la sin va cos ma thụi.
Ta se dung cac cach sau õy ờ kiờm tra xem co nhõn nghiờm hay khụng

iờu kiờn:
tan x 3
cos x 0
ỡ
ù
-ạ
ù
ù
ớ
ù
ạ
ù
ù
ợ
( ) ( ) ( )
sin 2x 2 cos x sin x 1 0 2 cos x sin x 1 sin x 1 0* + - - = + - + =
( ) ( ) ( )

1
x k2
cos x
3
sin x 1 2cos x 1 0 k, l
2
sin x 1
x l2
2
ộ
p
ộ

2 2
sin x(1 sin 2x cos 2x) 2 2 sin x cos x 1 sin 2x cos 2x 2 2 cos x* + + = + + =
( )

2
2 cos x 2 cos x sin x 2 2 cos x 0 2 cos x cos x sin x 2 0+ - = + - =
( )

cos x 0
x k
cos x 0
2
k, l
cos x 1
cos x sin x 2
x l2
4
4
ộ
ộ
p
=
ờ
ộ
= + p
ờ
=
ờ
ờ
ờ

( )
x k x l2 , k, l
2 4
p p
= + = +p pẻ Â
.
Bai giai tham khao
iờu kiờn:
( )
sin x 0
2 sin x cos x 0 sin 2x 0 2x k x k , k
cos x 0
2
ỡ
ù
ạ
p
ù
ạ ạ ạ p ạ ẻ
ớ
ù
ạ
ù
ợ
Â
.
( ) ( ) ( )
2 2
sin x cos x sin x cos x
2 sin 2x cos 2x 2 sin 2x cos 2x

( ) ( )
t an x cot x 2 sin 2x cos2x+ = + *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Giao Thụng Võn Tai Tp.HCM nm 1998
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
( )cos2x 0
x k
4
2 cos 2x sin 2x 0 k, l
sin 2x 0
4
x l
4
8 2
ộ
ộ
p
=
ờ
= + p
ờ
ổ ử
p
ờ
ữ
ỗ
ờ

Â
.
Kờt hp vi iờu kiờn, phng trinh co 2 ho nghiờm:
( )
x k x l , k, l
4 8 2
p p p
= + = +p ẻ Â
.
Bai giai tham khao
iờu kiờn:
( )

3
cos x 0
k
cos 3x 0 x , k
cos 3x 4 cos x 3 cos x 0
6 3
ỡ
ù
ạ
p p
ù
ù
+ ạ ạ ẻ
ớ
ù
= - ạ
ù

( )

2
sin x cos x cos 3x do cos x 0- = ạ
( ) ( )

1 1
1 cos 2x cos 4x cos2x
2 2
- - = +
( )

l
cos 4x 1 x , l
4 2
p p
= - = + ẻ Â
So nghiờm vi iờu kiờn:
Cach 1 : Khi
l
x
4 2
p p
= +
thi
3 l3 2
cos 3x cos 0
4 2 2
ổ ử
p p

k, l ẻ Â
).
Võy ho nghiờm cua phng trinh la:
( )
l
x , l
4 2
p p
= + ẻ Â
.
Bai giai tham khao
" Cõn cu bu thụng minh" Page 25
Bai 38. Giai phng trinh:
( )

2
t an x tan x t an 3x 2+ = *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1996
/4
/6
/2
3/4
5/6
7/6
5/4
3/2
7/4
11/6
Bai 39. Giai phng trinh:
( )