Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP

Chuyên đề

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN
GIẢI CÁC BÀI TOÁN PT – BPT – HPT LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ

Huỳnh Chí Hào

I. CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cơ sở của phương pháp này là ý nghĩa hình học của việc giải phương trình, bất phương trình được thể
hiện trong các tính chất sau.
Xét các hệ thức

(
)
(
)
f x g x
=
(1) ;
(
)
(
)
f x g x
>
(2) ;
(
)
(

= ∩
là tập xác định của hệ thức, ta có:
1. Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ điểm chung của
f
G
và
g
G

2. Nghiệm của bất phương trình (2) là khoảng các giá trị của
x
mà trong đó
f
G
nằm ở phía trên
g
G

3. Nghiệm của bất phương trình (3) là khoảng các giá trị của
x
mà trong đó
f
G
nằm ở phía dưới
g
G

Nhận xét 1
1. Phương trình (1) có nghiệm
⇔

f
G
và
g
G
có
k
điểm chung khác nhau.
Nhận xét 2
1. Bất phương trình (2) có nghiệm
⇔
có điểm thuộc
f
G
nằm ở phía trên
g
G

2. Bất phương trình (2) vô nghiệm
⇔
không có điểm nào thuộc
f
G
nằm ở phía trên
g
G

3. Bất phương trình (2) luôn đúng với mọi
x D
∈

∈

⇔
toàn bộ
f
G
nằm ở phía dưới
g
G

Chú ý 1
Đối với hệ thức dạng

(
)
0
f x
=
(1) ;
(
)
0
f x
>
(2) ;
(
)
0
f x
<

thì
g
G
có phương trình
y m
=
nên
g
G
là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tọa độ
(
)
0;
m

• Trong trường hợp này ta có thể thay việc vẽ
g
G
trên
D
bằng việc lập BBT của hàm số
(
)
y f x
=

trên
D
. Các hệ thức trên còn được gọi là có dạng “tách ẩn” hoặc dạng “cô lập”.


trên
»
.
Phương trình
(
)
1
có nghiệm
⇔
đường thẳng
y m
=
có điểm chung với phần đồ thị hàm số

(
)
y f x
=
vẽ trên
»
.
•
Lập BBT của hàm số
(
)
y f x
=
trên
D
. Ta có:

4 4 1 1 4 4 1 1 0
x x x x x x x x x
+ + − + = − + + + ⇔ =

Thử lại, ta thấy
0
x
=
không thỏa (2). Vậy
(
)
' 0
f x
=
vô nghiệm
Do
(
)
' 0
f x
=
vô nghiệm
⇒

(
)
'
f x
không đổi dấu trên
»

x x
x
f x
x x x x
→+∞ →+∞
= =
+ + + − +
và
(
)
lim 1
x
f x
→−∞
= −

Bảng biến thiên

x

-
∞
+
∞

(
)
'
f x


(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
D
=
»

Khi đó:
( )
2
2
1
2 2
x
m
x x
+
⇔ =
− +
(2)
•
Xét hàm số
( )
2
2
2 2
x
y f x
x x

4 3
'
2 2 2 2
x
f x
x x x x
−
=
− + − +( )
4
' 0
3
f x x
= ⇔ =

Gi
ớ
i h
ạ
n:
2
2
lim ( ) lim 1
2 2
x x
x
f x

(
)
'
f x

+
0
̶̶

(
)
f x10
1
−

1•
D
ự
a vào BBT ta suy ra
:


x mx x
+ + = +
(1)

Lời giải.
• Do
0
x
=
không phải là nghiệm của phương trình (1) nên

( )
2
2
2 2
3 4 1
1
3 4 1
(2)
1
2
1
1
2 4 4 1
2
2
x x
x x mx
m
x

= =
trên
1
;
2
D
 
= − +∞


 
.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔
Phương trình (2) có hai nghiệm phân
biệt
1
;
2
x
 
∈ − +∞


 

⇔
đường thẳng
y m
=



 Giới hạn:
2
3 4 1
lim ( ) lim
x x
x x
f x
x
→+∞ →+∞
+ −
= = +∞

Bảng biến thiên

x

1
2
−

0

+∞

(

Ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇔
9
2
m
≥
.


MINH HỌA ĐỒ THỊ
Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP



Thí dụ 4. Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

4 4
2 2 2 6 2 6
x x x x m
+ + − + − =
(1)

y m
=
có điểm chung với phần đồ thị
hàm số
(
)
y f x
=
vẽ trên
[
]
0;6
.
•
Lập BBT của hàm số
(
)
y f x
=
trên
D
. Ta có:
( )
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1 1
'
2 6
2 2 2 6


Đặ
t
( )
( ) ( )
( )
3 3
4 4
1 1 1 1
,
2 6
2 6
u x v x
x x
x x
= − = −
−
−
. Ta th
ấ
y
(
)
(
)
2 2 0
u v
= =
nên
(

f(x)

6 3 2
+
4
2 6 2 6
+

4
12 2 3
+• Dựa vào BBT ta suy ra:
Phương trình
(
)
1
có nghiệm trên
[
]
0;6
⇔
4
2 6 2 6 3 2 6
m
+ ≤ < +

với
[
]
1;4
x ∈
. Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi
[
]
1;4
x ∈

Ta có:
1 1 2 2 2 4
'
2 4 2 2 2 4 . 2 2
x x
t
x x x x
− − − + −
= + =
− − − −
,
(
)
1;4
x∀ ∈(
)

 
=
 

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành:
2
4 4
t t m
− + =
(2)
Phương trình (1) có nghiệm
[
]
1;4
x ∈
⇔
Phương trình (2) có nghiệm
3;3
t
 
∈
 

• Xét hàm số
(
)
2
4 4
y f t t t
= = − +

 
.
•
Lập BBT của hàm số
(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:
(
)
' 2 4
f t t
= −
;
(
)
' 0 2
f t t
= ⇔ =

Bảng biến thiên

t

3
2 3

ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
]
1;4
x ∈
⇔
0 1
m
≤ ≤
.
Chú ý:
Khi
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
ta ph
ả
i
tìm tập giá trị của ẩn phụ
và chuy
ể
n ph


Khi
đặ
t
(
)
,
t u x x D
= ∈
, ta tìm
đượ
c
'
t D
∈
và ph
ươ
ng trình
(
)
; 0
f x m
=
(1) tr
ở
thành
(
)
; 0
g t m

a hàm s
ố

(
)
t u x
=
trên
D
(có th
ể
s
ử
d
ụ
ng b
ấ
t
đẳ
ng
th
ứ
c
để

đ
ánh giá ho
ặ
c tính ch
ấ

(
)
2
4 6 3 2 2 3
x x x m x x
+ − − = + + −
(1)

Lời giải.
•
T
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a ph
ươ
ng trình :
[
]
2;3
D = −

• Đặ
t 2 2 3
t x x
= + + −
v
ớ

+ − + −(
)
' 0 3 2 2 3 4 2 1
t x x x x x
= ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = −

Bảng biến thiên

x
-2 -1 3
'
t

+ 0 ̶̶

t5
2 5

5
x ∈ −
⇔
Ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m
5;5
t
 
∈
 

•

Xét hàm s
ố

( )
14
y f t t
t
= = −
v
ớ
i
5;5
t
 
∈

i ph
ầ
n
đồ
th
ị

hàm s
ố
(
)
y f t
=
v
ẽ
trên
5;5
 
 
.
•

L
ậ
p BBT c
ủ
a hàm s
ố
trên
(

)
'
f t

+
(
)
f t11
5

9 5
5
−•

D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m

[
]
1;1
D = −

• Đặt
2 2
1 1
t x x
= + − −

[
]
1;1
x ∈ −
. Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi
[
]
1;1
x ∈ −

Ta có:
2 2 2 2
1 1
'
1 1 1 1
x x
t x
x x x x
 

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của
t
là :
' 0; 2
D
 
=
 

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành:
(
)
2
2 2
m t t t
+ = − + +

⇔

2
2
2
t t
m
t
− + +
=
+
(2)
Phương trình (1) có nghiệm

Phương trình
(
)
2
có nghiệm
0; 2
t
 
∈
 
⇔
đường thẳng
y m
=
có điểm chung với phần đồ thị
hàm số
(
)
y f t
=
vẽ trên
0; 2
 
 
.
• Lập BBT của hàm số
(
)
y f t
=

'
f t

̶̶
(
)
f t

1
2 1
−•

D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
]

Lời giải.
Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
• Tập xác định của phương trình :
(
)
0;D
= +∞

• Khi đó:
( )
( )
( )
4
1
1 1 1 1
1
x x m x x x
x
 
⇔ + − + + − =
 
−
 ( )
4
1
1 1
1

4
1
x
t
x
−
=
, do
1
x
>
nên
1
0 1 0 1
x
t
x
−
< < ⇒ < <
. T
ậ
p giá tr
ị
c
ủ
a t là:
(
)
' 0;1
D =

⇔
Ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m
(
)
0;1
t
∈

•

Xét hàm s
ố

( )
2
1
1
y f t t
t
= = − − +
v
ớ
i
(
)
0;1

ớ
i ph
ầ
n
đồ
th
ị

hàm s
ố
(
)
y f t
=
v
ẽ
trên
(
)
0;2
.
•

L
ậ
p BBT c
ủ
a hàm s
ố


(
)
f t1
−−∞•
D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
(
)
1;x
∈ +∞
⇔
1
m

1 3 2
1
1
x x
m
x
x
− −
⇔ + =
+
+

4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
⇔ + =
+ +

• Đặt
4
1
1
x
t
x


V
ớ
i
ẩ
n ph
ụ
trên thì ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành:
2
3 2
t t m
− + =
(2)
Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
)
1;x
∈ +∞
⇔
Ph
ươ
ng trình (2) có nghi

)
2
có nghi
ệ
m
[
)
0;1
t ∈
⇔

đườ
ng th
ẳ
ng
y m
=
có
đ
i
ể
m chung v
ớ
i ph
ầ
n
đồ
th
ị


'
D
. Ta có:
(
)
' 6 2
f t t
= − +
,
( )
1
' 0
3
f t t
= ⇔ =

Bảng biến thiên

t

0

1
3

1

(
)
'

[
)
1;x
∈ +∞
⇔
1
1
3
m
− < ≤
.


Thí dụ 10. Tìm m để phương trình sau nghiệm
3
1;3
x
 
∈
 2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
+ + − − =

p giá tr
ị
c
ủ
a
ẩ
n ph
ụ
t khi
3
1;3
x
 
∈
 3
1;3
x
 
∈
 
⇔

3
1 3
x≤ ≤

⇔

[
]
' 1; 2
D =

• Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành:
2
2 2
t t m
+ − =
(2)
Phương trình (1) có nghiệm
3
1;3
x
 
∈
 
⇔
phương trình (2) có nghiệm
[
]
1;2
t ∈

• Xét hàm số
(
)
2
2

(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:
(
)
[
]
' 2 1 0 , 1;2
f t t t= + > ∀ ∈Bảng biến thiên

t
1
2
(
)
'
f t

+
(
)
f t

− + + ≥
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
]
5;4
D = −

• Xét hàm số
(
)
4 5
y f x x x
= = − + +
trên
[
]
5;4
−
.
Bất phương trình (1) có nghiệm
[
]
5;4
x
∈ −
⇔
có điểm thuộc đường thẳng

− +
− +( )
1
' 0 4 5
2
f x x x x
= ⇔ − = + ⇔ = −x

-5
1
2
−
4
'
t

+
0
̶̶

t3 2


Thí dụ 12. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

3 1
mx x m
− − ≤ +
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
)
3;D
= +∞

Khi đó:
( )
3 1
1
1
x
m
x
− +
⇔ ≤
−
(2)

=
vẽ trên
[
)
3;
+∞
.
•
Lập BBT của hàm số trên
D
. Ta có:
( )
( )
2
5 3
'
2 3 1
x x
f x
x x
− − −
=
− −(
)
' 0 3 5 4
f x x x x
= ⇔ − = − ⇔ =


(
)
'
f x

+ 0 ̶̶

(
)
f x2
3
1
2

0•
D
ự
a vào BBT ta suy ra
:


(
)
(
)
2
4 4 2 2 18
x x x x m
− − + ≤ − + −
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
]
2;4
D = −

• Đặt
2
2 8
t x x
= − + +
với
[
]
2;4
x ∈ −
. Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi
[
]
3
0

0 Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của
t
là :
[
]
' 0;3
D =

• Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành:
2
4 10
m t t
≥ − +
(2)
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
[
]
2;4
x ∈ −

nằm hoàn toàn ở phía
trên phần đồ thị hàm số
(
)
y f t
=
vẽ trên
[
]
0;3
.
• Lập BBT của hàm số
(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:
(
)
' 2 4
f t t
= −
,
(
)
' 0 2
f t t

x
∈ −
⇔
10
m
≥




Thí dụ 14. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi
x
∈
»(
)
2
.4 1 2 1 0
x x
m m m
+
+ − + − >
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
D
=

4 1 1
4 1
t
mt m t m m
t t
+
+ − + − ⇔ >
+ +
(2)
B
ấ
t ph
ươ
ng trình (1) nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i
[
]
2;4
x ∈ −
⇔
B
ấ
t ph

= =
+ +
v
ớ
i
(
)
0;t
∈ +∞
.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình (2) nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i
(
)
0;t
∈ +∞
⇔

đườ

•

L
ậ
p BBT c
ủ
a hàm s
ố

(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:
( )
( )
( )
2
2
2
4 2
' 0 , 0;
4 1
t t
f t t
t t
− −

(
)
f t

1 0 • Dựa vào BBT ta suy ra:
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
x
∈
»
⇔
1
m
≥




Thí dụ 15. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

(
)
3 2
2
2 2

⇔

− + − = −



• Đặt
2
2
u x x
v x y

= −

= −

. Điều kiện của
u
là
1
4
u
≥ −

•

H
ệ
ph
ươ

H
ệ
ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
⇔
(2) có nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn
1
4
u
≥ −•

V
ớ
i
1
4
u
≥ −
, ta có:
( ) ( )

4
u
 
∈ − +∞


 
.
Ph
ươ
ng trình
(
)
2
có nghi
ệ
m
1
;
4
u
 
∈ − +∞


 
⇔

đườ
ng th



 
.
•

L
ậ
p BBT c
ủ
a hàm s
ố
trên
D
. Ta có:

( )
( )
2
2
2 2 1
'
2 1
u u
f u
u
+ −
= −
+
;

0
̶̶(
)
f u2 3
2
−

5
8
−

−∞•
D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

H

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài tập rèn luyện 1
Tìm m
để
các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
1)
2
3 1
x x m
+ + =

Đ
S:
6
3
m ≥

2)

x x x m x x
+ + = − + −

Đ
S:
(
)
2 3 5 2 12
m
− ≤ ≤Bài tập rèn luyện 2
Tìm m
để
các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
1)
( ) ( )
2 3
2 4 1 4
x m x m x x
+ + + = − +

Đ
S:
7

−
 
ĐS:
12
m
≥

4)
2
9 9
x x x x m
+ − = − + +
ĐS:
37
3
4
m
− ≤ ≤

5)
(
)
(
)
3 6 3 6
x x x x m
+ + − − + − =

Đ
S:

ng trình sau có nghi
ệ
m

(
)
2 1 4
x m x m
− − − ≤ −Đ
S:
2
m
≥

2) Tìm m
để
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m

ệ
m

2
1 2
m x x m
+ ≤ + −Đ
S:
5
4
m
≤

4) Tìm m
để
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
0;1 3
x
 
∈ +
 

i m
ọ
i
x
∈
»(
)
9 2 1 3 2 3 0
x x
m m
− + − − >

Đ
S:
3
2
m
< − H
ế
t