THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Sử dụng tỉ số để giải các bài toán nâng cao liên quan đến diện
tích hình tam giác ở lớp 5.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bồi dưỡng học sinh năng khiếu môn Toán lớp 5.
3. Tác giả:
Họ và tên: Vũ Huy Thành

Nam (nữ): Nam

Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm Tiểu học
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường Tiểu học Cộng Hòa,
Chí Linh, Hải Dương
Điện thoại: 0988 476 937
4. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường Tiểu học Cộng Hòa
ĐT: 03203 882 666
5. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Phạm vi kiến thức: HS đã học phần diện tích hình chữ nhật, hình vuông,
hình bình hành, hình thoi, hình tam giác, hình thang, hình tròn; tỉ số, các dạng
toán điển hình ở lớp 4 và lớp 5.
Đối tượng áp dụng: HS năng khiếu toán lớp 5, GV bồi dưỡng HS năng
khiếu môn toán.
6. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: năm học 20012-2013

Tác giả

Xác nhận của đơn vị áp dụng sáng kiến
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

Vũ Huy Thành

dụng tỉ số để giải quyết tốt nhất các bài toán nâng cao liên quan đến diện tích
hình tam giác ở lớp 5.
2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến
2.1. Điều kiện: Kinh nghiệm của tôi chỉ được nghiên cứu và thực nghiệm
trong việc dạy học toán nâng cao phần diện tích hình tam giác ở khối lớp 5.
2.2. Thời gian: 2 năm học ( Năm học 2012 - 2013; 2013 - 2014 )
2.3. Đối tượng: Áp dụng cho giáo viên dạy bồi dưỡng và học sinh năng
khiếu học nâng cao đối với môn toán phần hình học lớp 5.
2


3. Nội dung sáng kiến
3.1. Tính mới, tính sáng tạo
- Vận dụng linh hoạt trong việc lập tỉ số giữa các yếu tố liên quan trong
hình tam giác. Hiểu ý nghĩa của mỗi tỉ số mình lập được.
- Xây dựng các bước giải bằng tỉ số cơ bản nhất trong một quy trình giải
toán có liên quan đến diện tích hình tam giác và các hình khác có liên quan.
- Có kĩ năng vận dụng tỉ số vào giải các bài toán có liên quan đến diện
tích hình tam giác.
- Tạo sự tự tin, tính sáng tạo cho HS, GV trong việc giải các bài toán liên
quan đến diện tích hình tam giác nói riêng và phần hình học nói chung. GV
cũng như HS có thể vận dụng để sáng tạo ra một bài toán khác từ những bài cơ
bản đã cho.
3.2. Khả năng áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho giáo viên bồi dưỡng và
học sinh năng khiếu học nâng cao môn toán liên quan đến diện tích hình tam
giác ở lớp 5.
3.3. Lợi ích thiết thực của sáng kiến: Giúp giáo viên cũng như học sinh có
một phương pháp giải các bài toán nâng cao liên quan đến diện tích hình tam
giác một cách ngắn gọn và linh hoạt nhất.
4. Giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến:

cho nhau góp phần phát triển toàn diện năng lực toán học cho học sinh.
Do đó, yếu tố hình học là một trong những nội dung cơ bản của môn
Toán ở Tiểu học, góp phần xây dựng cơ sở ban đầu cho phân môn hình học nói
riêng ở Trung học. Các yếu tố hình học ở Tiểu học nói chung và phần toán về
diện tích hình phẳng (Trong đó có diện tích về tam giác) nói riêng có tầm quan
trọng như vậy nên việc tìm hiểu và lựa chọn phương pháp dạy học cho phù hợp
nhằm nâng cao chất lượng dạy học nội dung này là một việc làm cần thiết mà
tôi cho rằng người giáo viên Tiểu học cần phải có và nắm vững nội dung đó.
Chúng ta biết rằng đặc điểm của học sinh Tiểu học là tư duy cụ thể vẫn
còn chiếm ưu thế. Chính vì vậy các em thường gặp khó khăn trong việc lĩnh hội
các kiến thức hình học mang tình chất trừu tượng mới. Nhất là những năm gần
4


đây, nội dung thi học sinh giỏi bậc Tiểu học của học sinh lớp 5 thường có nội
dung về hình học liên quan đến diện tích hình tam giác. Do đó, đây chính là khó
khăn chung trong việc dạy các yếu tố hình học ở Tiểu học nói chung và diện
hình tam giác ở lớp 5 nói riêng.
Để giải quyết các khó khăn đó đòi hỏi trong quá trình dạy học nội dung
này người giáo viên không những phải có trình độ kiến thức tốt về hình học, có
lòng say mê nghề nghiệp mà còn phải biết sử dụng hợp lý các phương pháp và
hình thức dạy học sao cho phù hợp và hợp lí nhất. Có như vậy kết quả của quá
trình dạy học mới được nâng cao.
Từ nhận thức của mình, trong quá trình được phân công bồi dưỡng học
sinh năng khiếu và giảng dạy ở khối lớp 5, tôi đã nghiên cứu nội dung chương
trình toán lớp 5 nói chung và phần diện tích hình tam giác nói riêng, đồng thời
tìm hiểu các phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng và phát huy tính
tích cực của học sinh trong học tập. Bên cạnh đó, qua việc dự giờ của các đồng
nghiệp tôi đã rút ra được một vài sáng kiến và mạnh dạn đưa ra để các đồng
nghiệp xem xét, giúp đỡ tôi hoàn thiện hơn sáng kiến: “Sử dụng tỉ số để giải

tích các hình khác có liên quan bằng công thức tính cụ thể mà ít chú ý đến tỉ số
giữa các yếu tố liên quan.
- Việc sử dụng tỉ số để giải quyết các bài toán hình liên quan đến diện tích
hình tam giác ở một bộ phận giáo viên bồi dưỡng còn hạn chế. Nguyên nhân là
do giáo viên nhìn hình chưa linh hoạt, chưa thấy được mối quan hệ giữa các yếu
tố trong một hình, ...
- Giáo viên ngại dạy phần hình vì kiến thức trừu tượng. Một số giáo viên
chưa tiếp xúc nhiều với những bài tập nâng cao nên việc tính diện tích các hình
chưa mở rộng cho HS những cách giải khác, ngắn gọn, dễ hiểu hơn cho đối
tượng học sinh năng khiếu.
2.4. Khảo sát chất lượng học sinh:
Sau khi tìm hiểu thực trạng về việc học phần tính diện tích hình tam giác
qua việc giảng dạy cũng như dự giờ các đồng nghiệp trong nhà trường cũng như
việc học của học sinh, tôi đã khảo sát chất lượng học sinh bằng một bài kiểm tra
(Xem phụ lục 1) và nhận được kết quả như sau:
Đội tuyển học sinh Giỏi lớp 5A (năm học 2012 - 2013) với tổng số học
sinh là 23 em:
6


Số học sinh

Học sinh vận Học sinh biết làm Học sinh vận
dụng bài tập cơ bài tập mở rộng, dụng chậm kiến
bản
nâng cao
thức cơ bản
23
23 em = 100%
4 em = 17,4%

của chúng.
- Biết vận dụng từ công thức cơ bản đã được xây dựng, xây dựng thêm
những công thức tính khác phù hợp nội dung bài.
- Biết xây dựng công thức mới về tìm đáy, chiều cao hình tam giác dựa
vào công thức cơ bản.
- Biết sử dụng công thức, vận dụng tỉ số, mở rộng kiến thức để giải toán .
3.2. Kiểm tra các kiến thức về hình học có liên quan đến việc xây
dựng công thức tính diện tích hình tam giác:

7


- Học sinh nhớ được cách tính diện tích hình chữ nhật, nhận biết được
mối quan hệ giữa các yếu tố chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật với đáy và
chiều cao của hình tam giác.
- Mặt khác, việc nhớ công thức cũng giúp các em xây dựng được những
cách làm phù hợp với yêu cầu từng bài toán hay giúp các em liên hệ mối quan
hệ giữa các yếu tố để có cách làm mới.
3.3. Hướng dẫn học sinh xây dựng công thức tính diện tích hình tam
giác dựa trên những công thức tính diện tích của các hình đã học:
Để xây dựng công thức tính diện tích hình tam giác tôi đã hướng dẫn các
em qua bài “Diện tích tam giác”, (tiết 86, SGK Toán 5 - trang 87. Xem phụ lục
2). Cụ thể tôi đã thực hiện theo các bước sau:
* Bước 1: Vẽ hình, yêu cầu học sinh lên vẽ đường cao của tam giác để
giúp học sinh củng cố cách vẽ đường cao của tam giác trong các loại tam giác:
tam giác tù, tam giác nhọn, tam giác vuông; nhận biết đường cao ngoài, đường
cao trong của một tam giác; mối quan hệ giữa đáy và đường cao của tam giác..
* Bước 2: Giáo viên đưa ra hai tam giác có diện tích bằng nhau.

- Giáo viên yêu cầu học sinh dùng thước đo và so sánh độ dài của chiều


- Khi xây dựng xong công thức tính, giáo viên cần nhấn mạnh những yếu
tố cần có để tính diện tích các hình như độ dài đáy, chiều cao, đơn vị đo,…
3.4. Các bài tập vận dụng từ kiến thức cơ bản:
3.4.1. Khái niệm về kiến thức cơ bản:
Bài toán cơ bản là những bài toán học sinh được vận dụng những công
thức, qui tắc trên cơ sở đã được xây dựng. Bên cạnh đó, yêu cầu về kiến thức
và kỹ năng không cao, phù hợp với đối tượng đại trà. Bài toán cơ bản là những
bài toán chứa đựng những kiến thức trọng tâm, cần thiết nhất để học sinh nắm
vững bài học. Từ bài toán cơ bản có thể phát triển, xây dựng thành bài toán
nâng cao tuỳ theo mức độ.
Hệ thống các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa được sắp xếp tương
đối hợp lý (từ đơn giản đến phức tạp). Việc giải các bài tập cơ bản giúp học sinh
củng cố được các kiến thức vừa được học, giúp cho các em ghi nhớ và khắc sâu
các khái niệm, công thức. Việc thực hành giải toán còn rèn luyện cho học sinh
các thao tác, kỹ thuật tính toán, đo vẽ hình...
Vì vậy, trong quá trình giúp học sinh hoàn thành nhiệm vụ của mình
trước hết học sinh cần thực hiện các việc sau:
+ Xác định được yêu cầu và tóm tắt bài toán, phát hiện ra các tình huống
liên quan đến bài toán cơ bản và chuyển bài toán, phát biểu dưới dạng bài toán
cơ bản.
+ Giải bài toán theo quy trình quen thuộc.
+ Luôn chú ý đến khai thác bài toán, lập hệ thống bài toán liên quan, mở
rộng nhiều cách giải mới nhằm phát triển tư duy cho học sinh.
3.4.2. Các bước cần có khi thực hiện bài toán:
Từ nhiệm vụ trên, khi giải bài toán ở Tiểu học, nhất là với dạng bài liên
quan đến diện tích cần hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Phân tích tìm hiểu đề
Bước này rất quan trọng không thể thiếu được trong dạy học giải toán .
Muốn vậy, học sinh phải biết được ngôn ngữ và ký hiệu toán học (Bài toán về

bài toán.
3.4.3. Bài toán vận dụng công thức tính:
Bài 1 (Trang 88 - Sách giáo khoa Toán 5). Tính diện tích hình tam giác có:
a) Độ dài đáy là 8cm và chiều cao là 6cm.
b) Độ dài đáy là 2,3dm và chiều cao là 1,2dm.
11


* Với bài tập này học sinh chỉ cần sử dụng đúng công thức tính và nhớ cách viết
đơn vị đo diện tích.
Bài 1b (Trang 88- Sách giáo khoa Toán 5). Tính diện tích hình tam giác có:
a= 16dm và h = 5,3m
Bài tập này cũng vận dụng công thức tính nhưng ở đây các em cần lưu ý
đơn vị đo của đáy và chiều cao phải cùng một đơn vị đo. Ở bài tập này, trước
khi làm bài giáo viên nên yêu cầu học sinh đọc bài, phát hiện ra yếu tố khác với
bài tập trước, từ đó các em biết cần phải đổi để đưa hai đơn vị đo về cùng một
đơn vị đo. Cụ thể:
Đổi 5,3m = 53dm
Diện tích hình tam giác là:

16 x 53 : 2 = 424 ( dm2)
Đáp số: 424 dm2

Bài 2 (Trang 95- Sách giáo
khoa Toán 5): Diện tích của
hình thang ABED lớn hơn
diện tích hình tam giác
BEC bao nhiêu đề - xi mét vuông?
Bài tập này, ngoài việc vận dụng công thức tính thì các em còn phải nhận
biết được hình thang ABED và hình tam giác có chung chiều cao chính là chiều

b) Tính tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và diện tích hình
tam giác BDC.
Trước khi giải bài toán này, học sinh cũng phải nhận thấy tam giác ABD
và tam giác BDC có chung chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD và có
độ dài 3cm.
* Với phần a của bài tập, các em có thể tìm được nhiều cách giải:
+ Cách 1: Học sinh vận dụng đúng công thức để tính từng diện tích hình
tam giác.
+ Cách 2: Tính diện tích hình thang, tìm tỉ số giữa hai cạnh AB và DC,
đưa bài toán về dạng toán Tìm hai số khi biết Tổng và tỉ số của hai số đó để tính
diện tích hai hình tam giác.
+ Cách 3: Tính diện tích hình thang, tính diện tích của một hình tam giác.
Tính diện tích hình tam giác còn lại bằng cách lấy diện tích hình thang trừ đi
diện tích hình tam giác đã có.
13


* Với phần b của bài tập các em cũng có hai cách làm:
+ Cách 1: Các em sử dụng diện tích của hai hình tam giác đã có để tính tỉ
số phần trăm của hai hình tam giác.
+ Cách 2: Các em không cần sử dụng diện tích, lí luận: hai tam giác ABD
và BDC có chung chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD nên tỉ số của hai
tam giác chính là tỉ số của hai cạnh. Lúc này các em chỉ việc sử dụng hai cạnh
đáy của tam giác là tìm được tỉ số phần trăm của hai tam giác.
3.5. Sử dụng tỉ sô khi giải bài toán nâng cao được mở rộng từ kiến
thức cơ bản liên quan đến diện tích hình tam giác.
3.5.1. Mối quan hệ giữa toán nâng cao và bài toán cơ bản:
Bài toán nâng cao được hiểu là bài toán mà trong đó yêu cầu vận dụng
kiến thức và kỹ năng ở mức độ tổng hợp hoặc khái quát hoá. Bài toán nâng cao
không chỉ là việc áp dụng trực tiếp các kỹ năng cơ bản mà khi giải các bài tập

của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
5, Nếu số đo đường cao không đổi thì số đo diện tích và số đo cạnh đáy
của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
6, Nếu số đo diện tích không đổi thì số đo đường cao và số đo cạnh đáy
của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
7, Nếu hai hình có diện tích bằng nhau cùng bớt đi một phần diện tích
chung thì phần diện tích còn lại của hai hình đó cũng có diện tích bằng nhau.
8, Nếu ta ghép thêm vào hai hình có diện tích bằng nhau cùng một hình
thì hai hình mới nhận được cũng có diện tích bằng nhau.
9, Những bài tập liên quan đến hình thang có nhiều mối quan hệ về diện
tích với hình tam giác như: hai tam giác nằm trong hình thang nếu chung đáy
thường có chung chiều cao là chiều cao của hình thang,…
3.5.3. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh đáy BC = 24cm, chiều cao AH =
20cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = MB. Tính diện tích tam giác
AMC và diện tích tam giác MCB?
*Phân tích:

15


Với bài toán này trước hết học sinh phải vẽ hình để nhận ra tỉ số giữa hai
tam giác MAC và tam giác MCB là

và diện tích tam giác ABC chính là tổng

diện tích của hai tam giác MAC và MBC.
*Bài giải:

Diện tích hình tam giác ABC là : 24 x 20 : 2 = 240( cm2)

tam giác ABC biết diện tích tam giác ADM là 4,5 cm2.
(Đề Olimpic học sinh tiểu học cấp huyện, thị xã, thành phố tỉnh Hải
Dương năm học 2011-2012)

16


*Phân tích: Với bài toán này ta thấy có những cặp tam giác cùng chung
đường cao, do vậy dựa vào tỉ số đáy tương ứng ta sẽ tìm được diện tích tam giác
ABC.
*Bài giải:
1
BM
2

Vì D là trung điểm của BM nên DM =
MC gấp đôi MA nên AM =

1
AC
3

Xét hai tam giác ADM và ABM có:
- Chung đuờng cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BM
- Đáy DM =

1
1
BM ; Nên SADM =
2

Ví dụ 3: Tam giác ABC có độ dài đáy AC là 16cm, kéo dài đáy AC một
đoạn về phía C sao cho CE = AC thì được tam giác ABE có diện tích hơn diện
tích ABC 25cm2. Tính diện tích tam giác ABC ?

17


*Phân tích: Để giải bài toán này, trước hết học sinh cũng phải vẽ hình để
nhận ra tỉ số giữa hai tam giác BCE và tam giác ABC là

và giải toán.

*Bài giải:

Theo hình vẽ ta thấy : SBEC = SABE - SABC = 25cm2
Xét tam giác ABC và tam giác BCE có:
+Đáy CE = AC
+Có chung đường cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh đáy AE.
Vậy

SBCE = SABC

Diện tích tam giác ABC là: 25 :

= 100( cm2)

Đáp số: 100cm2
Ví dụ 4: Cho hình bên trong đó ABCD là hình thang. Hình thang đó có
những tam giác nào diện tích bằng nhau? Vì sao ?


Để giải bài tập này, học sinh phải nhớ được hai tam giác có diện tích bằng
nhau thì đáy và đường cao của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Ở
bài tập này, SACP = SAPB mà PM = NP thì tỉ lệ giữa AC và AB là , tức là AC
= AB. Từ tỉ lệ của hai cạnh đáy, học sinh tìm độ dài hai đáy và tính được diện
tích tam giác ABC.
*Bài giải:
Xét hai tam giác ACP và APB có:
+ Đáy CP = PB

19


+ Có chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh đáy CB.
Vậy
Mà

SACP = SAPB
= = nên tỉ số giữa cạnh AC với cạnh AB là , hay AC = AB

Do vậy, ta có sơ đồ sau:

Độ dài cạnh AC là : 20 : ( 2 + 3 ) x 2 = 8(cm)
Độ dài cạnh AB là: 20 - 8 = 12( cm)
Diện tích tam giác ABC là: 8 x 6 : 2 + 12 x 4 : 2 = 48( cm2)
Đáp số: 48cm2.
Ví dụ 6: Cho hình thang ABCD (như hình vẽ) có diện tích 45cm 2. Biết
cạnh đáy AB bằng cạnh đáy CD. Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam
giác BDC?

Với bài toán này, các em phải so sánh diện tích hai tam giác ABD và BCD để


(Đề Olimpic học sinh tiểu học tỉnh Hải Dương, năm học 2011-2012)
*Phân tích: Phần a vận dụng VD4 ta sẽ chứng minh được diện tích hai
tam giác BOM và EON bằng nhau.

21


Phần b vận dụng tỉ số để thấy được diện tích tam giác CEM bằng diện
tích tam giác BCN và bằng

1
diện tích tam giác ABC.
2

*Bài giải:
a) SBEM = SBEN (1) (vì hai tam giác chung cạnh đáy BE và các đường
cao hạ từ M và N xuống cạnh BE cũng chính là chiều cao của hình thang
BMNE).
Ta lại có:

SBOM = S BEM – SBOE và SEON = SBEN – SBOE (2)
SBOM = SEON

Từ (1), (2) suy ra

b) Xét hai tam giác BCN và tam giác ABC có:
+Chung đường cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AC
+Đáy NC =


SEON

b) 32 cm2
Ví dụ 8: Cho hình thang ABCD có đáy bé AB bằng

1
đáy lớn CD. Hai
2

đường chéo AC và BD cắt nhau tại E.
a) So sánh diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác ACD.
22


b) Tính diện tích tam giác BEC, biết diện tích tam giác DEC bằng 9 cm2.
c) Kéo dài DA và CB cắt nhau tại M. Tìm tỉ số diện tích của tam giác
MAB và diện tích hình thang ABCD.
(Đề Olimpic học sinh tiểu học tỉnh Hải Dương, năm học 2013-2014)
*Phân tích: Với phần a, HS dựa vào tỉ số hai đáy AB và CD và chiều cao
hình thang để so sánh diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác ACD.
Với phần b, HS dựa vào tỉ số đường cao hạ từ đỉnh B và D xuống đáy AC
để tìm tỉ số diện tích giữa hai tam giác ABC và ACD. Từ tỉ số diện tích giữa hai
tam giác ABC và ACD suy ra được tỉ số diện tích giữa hai tam giác EBC và
ECD. Từ đó tính được diện tích tam giác BEC.
Với phần c, Từ tỉ số diện tích giữa hai tam giác ABD và ACD ta suy ra
được tỉ số hai chiều cao BK và CI. Từ tỉ số hai chiều cao BK và CI suy ra tỉ số
diện tích hai tam giác MAB và MAC. Từ đó ta suy ra được SMAB=SABC.

*Bài giải:
a) Xét hai tam giác ABC và ACD có:

1

Vậy SBEC = 2 SDEC
Diện tích tam giác BEC là: 9 x

1
= 4,5 (cm2)
2

c) Xét hai tam giác ABD và ACD có:
+Đáy AB =

1
CD
2

+Chiều cao bằng nhau vì đều bằng chiều cao hình thang ABCD
1

Vậy SABD = 2 SACD
Mặt khác hai tam giác này lại có chung đáy AD, do vậy chiều cao
BK =

1
CI (3)
2

Xét hai tam giác MAB và MAC có:
+Chung đáy AM
+Chiều cao như (3)


Xét hai tam giác ABE và ABC có:
+Chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC.
+Đáy BE =

1
BC
2
1

Vậy SABE = 2 SABC (1)
Xét hai tam giác ABI và EBI có:
+Chung đường cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AE.
+Đáy AI = EI
Vậy S ABI = SEIB (2)
1

Từ (2) suy ra S ABI = SEIB = 2

SABE (3)
1

Từ (1), (3) suy ra S ABI = SEIB = 4
25

SABC (4)