PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học với tư cách là một môn khoa học tự nhiên nghiên cứu một số mặt của thế giới
hiện thực, có hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức cơ bản, cần thiết cho
đời sống, cho hoạt động lao động. Đó cũng là công cụ cần thiết cho việc học các môn
khoa học khác, tiếp tục nhận thức, khám phá thế giới xung quanh và để hoạt động có hiệu
quả hơn trong thực tiễn. Chính vì thế mà nhà toán học vĩ đại người Pháp Ganxơ đã cho
rằng “Toán học là Ông hoàng của mọi ngành khoa học”.
Một học sinh giỏi môn toán, chắc chắn khi học các môn học khác các em sẽ có
những tư duy, lập luận chặt chẽ, lôgic, ngôn ngữ các em sử dụng chính xác hơn, nó sẽ tạo
điều kiện hỗ trợ cho các em học tốt các môn học khác. Trong môn toán tiểu học, nội dung
và phương pháp dạy các yếu tố hình học ngày càng được quan tâm. Hình học là một bộ
phận được gắn bó mật thiết với các kiến thức về số học, đại số, đo lường và giải toán có
lời văn. Từ đó tạo thành bộ tạo thành bộ môn Toán thống nhất. Trong chương trình toán
tiểu học, các yếu tố hình học được sắp xếp từ dễ đến khó, từ trực quan cụ thể đến tư duy
trừu tượng, rồi đến khái quát vấn đề và đặc biệt chú trọng đến vấn đề bồi dưỡng năng lực
tư duy cho học sinh tiểu học. Xuất phát từ mục tiêu dạy học Toán ở Tiểu học đã xác định
rõ: “…Góp phần bước đầu phát triển tư duy và khả năng suy luận hợp lí và diễn đạt đúng
cách phát hiện và giải quyết các vấn đề đơn giản cần thiết trong cuộc sống, kích thích trí
tưởng tượng…” Từ lâu giải Toán hình học đã trở thành hoạt động trí tuệ sáng tạo và hấp
dẫn đối với nhiều học sinh, các thầy cô giáo.
Muốn giải được bài toán ngoài các vấn đề khách quan khác nhau, hai vấn đề then
chốt quan trọng cần đặt ra trong việc giải toán đó là: Nhận dạng được bài toán, lựa chọn
và sử dụng phương pháp giải thích hợp. Trong thực tế rất nhiều học sinh gặp khó khăn
khi tiến hành giải toán là do chưa nhận diện được dạng toán và chưa nắm được các
phương pháp giải. Do đó tôi chọn đề tài “Áp dụng hình học sơ cấp giải các bài toán
nâng cao” nhằm đi sâu nghiên cứu hai vấn đề then chốt đó, nhất là về phương pháp giải
toán nhằm giúp cho các em giải toán được tốt hơn. Trong thời gian nghiên cứ làm đề tài
do bận nhiều công việc và thời gian có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót, rất mong sự
góp ý của quý thầy cô giáo và bạn đọc để đề tài này ngày một hoàn thiện hơn. Xin chân
thành cảm ơn!

+ Nhận ra hình vuông, hình tam
giác, hình tròn ở những vị trí khác
nhau.
+ Tham gia các hoạt động xếp,
ghép hình
- Nhận biết bước đầu về điểm, đoạn
thẳng
- Biết nối hai điểm để có đoạn thẳng
- Nhận biết bước đầu về điểm ở
trong, điểm ở ngoài một hình
- Biết vẽ đoạn thẳng có độ dài
không quá 10cm
2 - Đường thẳng, ba điểm thẳng
hàng
- Đường gấp khúc, độ dài đường
gấp khúc
- Hình chữ nhật, hình tứ giác. Vẽ
trên giấy ô vuông
- Khái niệm ban đầu về chu vi
của một số hình đơn giản. Tính
chu vi hình tam giác, hình tứ
giác.
- Nhận dạng và gọi đúng tên hình
chữ nhật, hình tứ giác (chưa yêu
cầu nhận ra hình chữ nhật là hình
tứ giác, hình vuông là hình chữ
nhật), đường thẳng, đường gấp
khúc.
- Biết tính độ dài đường gấp khúc
khi cho sẵn độ dài mỗi đoạn thẳng

song song
- Thực hành vẽ hình chữ nhật,
hình vuông
- Hình bình hành, chu vi diện
tích hình bình hành
- Hình thoi, chu vi diện tích hình
thoi
- Nhận biết: góc nhọn, góc tù, góc
bẹt; hai đường thẳng vuông góc,
hai đường thẳng song song.
- Biết vẽ: đường cao của hình tam
giác; hai đường thẳng vuông góc,
hai đường thẳng song song, hình
chữ nhật, hình vuông khi biết độ
dài các cạnh.
- Biết tính chu vi, diện tích của hình
bình hành, hình thoi
5 - Hình tam giác, diện tích hình
tam giác
- Hình thang, diện tích hình
thang
- Hình tròn, đường tròn.
- Chu vi, diện tích hình tròn
- Hình hộp chữ nhật, hình lập
phương
- Diện tích xung quanh và diện
tích toàn phần của hình hộp
chữ nhật, hình lập phương
- Thể tích của một hình
- Thể tích của hình hộp chữ nhật,

Ví dụ: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy 2 điểm bất kì E và F không trùng với hai
đỉnh B, C. Nối đỉnh A với các điểm E và F bằng các đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác
được tạo thành?
Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng sơ đồ
A
B
E
F
E
F
F
C
C
C

A
B
C
E
F
Từ sơ đồ trên suy ra số tam giác được tạo thành là:
3 + 2 + 1 = 6 (tam giác)
Cách 2: Phương pháp suy luận lôgic.
Ta nhận thấy đỉnh A nối với hai đầu mút của một đoạn thẳng bất kì trên BC bằng hai
đoạn thẳng ta sẽ được 1 tam giác. Do đó để xác định số tam giác được tạo thành ta chỉ
cần đếm số đoạn thẳng được tạo thành trên cạnh BC.
Số đoạn thẳng trên BC là:
3 + 2 + 1 = 6 (đoạn thẳng)
Vậy số tam giác được tạo thành là 6 (tam giác).

Ví dụ 2:Một tấm
bìa hình thang có
đáy lớn dài gấp 3
lần đáy nhỏ. Hãy
cắt tấm bìa đó bằng hai nhát cắt thành 3 mảnh sao cho khi ghép lại được 2 hình tam giác
có diện tích bằng nhau
Hướng dẫn:
Bước 1:
Gọi S là diện tích, h là chiều cao của hình thang (Hình 2)
Diện tích của hình thang ABCD là:
S
ABCD
=
2
1
x h x (AB +DC)
Bước 2: Đặt DF =
3
1
DC, AE = ED (Hình 3) Ta có: DF = AB và ABFD là hình bình
hành. Hơn nữa:
S
BDA
= S
BDF
=
2
1
x h x DF =
2

BCF
h
3
2
1
E
A
B
D
C
F
Hình 2
Bước 3: Cắt hình thang thành 2 nhát cắt
- Nhát 1: Cắt dọc theo đoạn thẳng BE
- Nhát 2: Cắt dọc theo đoạn thẳng BF
Bước 4: Ghép mảnh 1 với mảnh 2 ta được 2 tam giác có diện tích bằng nhau
h
3
2
1
E
A
B
D
C
F
Hình 3
1.2.3 Dạng toán vẽ một nét liền
Nội dung:
Cho một hình vẽ gồm nhiều điểm và đoạn thẳng. Yêu cầu học sinh dùng bút vẽ một nét

Hình 4
Hướng dẫn:
 Bước 1: Quan sát hình vẽ và đếm được số đỉnh lẻ, ta thấy hình vẽ chỉ có 2 đỉnh lẻ
là A và B.
 Bước 2: Thực hành vẽ như sau:
Xuất phát từ một trong hai đỉnh lẻ, chẳng hạn đỉnh A, kết thúc nét vẽ tại đỉnh B.
Ví dụ 2: “Bài toán 7 chiếc cầu” (ở Kownibe) của Ơle.
A
B
C
D
Hình 5
Hướng dẫn: Quan sát hình vẽ và đếm số đỉnh lẻ, ta thấy hình vẽ có tới 4 đỉnh lẻ là A, B,
C, D. Do đó không thể vẽ hình 5 bằng một nét liền không rời bút khỏi tờ giấy và không tô
hai lần một đường. Từ đó suy ra, không thể bắt đầu bằng bất kì điểm nào để đi một vòng
theo chiều đó qua được cả 7 chiếc cầu và chỉ qua một lần sau đó trở về lại điểm xuất phát.
1.2.4 Dạng toán dùng đoạn thẳng xếp thành các hình hình học.
Nội dung: Cho một số đoạn thẳng. Yêu cầu xếp các đoạn thẳng đó thành những hình hình
học thỏa mãn những điều kiện nào đấy.
Phương pháp giải:
Để giải bài toán ta thực hiện như sau:
 Xếp rời: Chia số đoạn thẳng đã cho thành các nhóm (số nhóm bằng số hình cần
xếp), số đoạn thẳng trong mỗi nhóm bằng số tự nhiên chia hết cho số cạnh của
hình cần xếp. Bằng phương pháp xếp rời các hình xếp được có các cạnh hoàn toàn
khác nhau.
 Xếp giao: Chia số đoạn thẳng đã cho thành các nhóm (số nhóm ít hơn số hình cần
xếp), số đoạn thẳng trong mỗi nhóm bằng số tự nhiên chia hết cho số cạnh của
hình cần xếp. Sau đó chuyển dịch các hình vừa xếp được cho đến khi chúng giao
nhau và phần giao của chúng cũng tạo thành hình cần xếp. Bằng phương pháp xếp
giao một số hình trong số các hình xếp được phải mượn cạnh của hình khác.

Để giải bài toán chia một hình hình học theo yêu cầu nào đấy ta tiến hành các bước sau:
- Giả sử hình hình học đã được chia theo yêu cầu bài toán.
- Quan sát và tìm mối liên hệ giữa các dữ kiện đã cho và điều cần tìm.
Ví dụ: Một sợi dây dài
3
1
1
m. Hãy cắt một đoạn dây 0,5m mà không dùng thước.
Hướng dẫn: Tỉ số giữa đoạn dây cần cắt và đoạn dây đã có là:
0,5 :
3
1
1
=
2
1
:
3
4
=
8
3
Từ đó suy ra cách cắt sợi dây như sau: Gấp đôi sợi dây rồi gấp đôi tiếp sợi dây vừa gấp,
lại gấp đôi tiếp sợi dây vừa gấp, lại gấp đôi sợi dây vưa gấp thêm lần nữa. Bằng cách đó,
sợi dây được chia thành 8 phần bằng nhau. Lấy ra 3 phần từ phía đầu sợi dây, thì đoạn
dây đó dài 0,5 m.
1.2.6 Dạng toán tính chu vi và diện tích các hình
Nội dung: Bài toán cho trước dữ kiện yêu cầu vận dụng công thức tính chu vi và diện tích
thích hợp
Phương pháp giải:

)
Vì CDHE là hình thang nên:
S
CED
= S
CHE
= = = 240 (m
2
)
Vậy: S
ADE
= S
ABCD
– S
ABE
- S
ABE

= 1800 – 480 – 240
= 1080 (m
2
)
Suy ra chiều cao: EH = = = 54 (m)
Vậy S
ABHE
= = 1344 m
2
1.2.7 Các bài toán về tính thể tích hình học
Nội dung: Cho dạng hình học không gian với các dữ kiện. Yêu cầu tính thể tích
Phương pháp giải:

Số lít nước trong bể hiện có là:
5,88 m
3
= 5880 dm
3
5880 x 45 :100 = 2646 (dm
3
)
2646 dm
3
= 2646 lít
1,5m
1,4m
2,8m
Số lít nước trong bể sau khi đổ thêm là:
5880 x 85 : 100 = 4998 (dm
3
)
4998 dm
3
= 4998 lít
Số lít nước phải đổ thêm là:
4998 – 2646 = 2352 (lít)
CHƯƠNG II: ÁP DỤNG HÌNH HỌC SƠ CẤP ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
NÂNG CAO
1. Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = MC, trên cạnh CD
lấy N sao cho NC =
3
1
DC. Hãy so sánh diện tích hình tam giác AMN với diện tích hình

AB x BM =
2
1
AB x
2
1
BC =
4
1
AB x BC =
4
1
S
ABCD
Ta lại có:
S
MCN
=
2
1
MC x CN =
2
1
x
2
1
BC x
3
1
CD =

1
S
ABCD
-
12
1
S
ABCD

=
3
1
S
ABCD
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: S
MCN
= S
ADN.
2. Cho hình chữ nhật ABCD, trên AB lấy trung điểm E, trên AD lấy trung điểm G. Nối
B với G, C với E chúng cắt nhau tại O. Biết diện tích hình tam giác OBE là 8 cm
2
. Tính
diện tích hình chữ nhật ABCD.
(Đề thi HS giỏi trường Nguyễn Trọng Nghĩa – Quảng Nam)
Hướng dẫn:
Nối GE, GC.
A
D
C

1
S
ABCD
Do đó S
GBE
=
4
1
S
GBC
mà hai tam giác có chung đáy GB nên chiều cao hạ từ E xuống GB
bằng
4
1
chiều cao hạ từ C xuống GB.
Ta thấy hai tam giác OBE và OBC có chung cạnh OB và chiều cao hạ từ E xuống OB
bằng
4
1
chiều cao hạ từ C xuống OB nên S
OBE
=
4
1
S
OBC.
Do đó S
OBC
= 8 x 4 = 32 (cm
2

1
DC = 4 cm. Hãy tìm điểm N trên
cạnh AB sao cho diện tích hình tứ giác MNBC gấp 3 lần diện tích hình tứ giác MNAD.
(Toán học tuổi thơ số )
Hướng dẫn:
Ta vẽ hình như sau:
A
D
C
B
M
N
Ta có CD = DM x 3 = 4 x 3 = 12 (cm)
AB = DC x
3
2
= 12 x
3
2
= 8 (cm)
Ta thấy hình thang MNBC và MNAD có chiều cao bằng nhau (cùng bằng chiều cao hình
thang ABCD)
Do đó để diện tích hình thang MNBC gấp 3 lần diện tích hình thang MNAD thì
MC + NB = (DM + AN) x 3
Suy ra: MC + NB + DM + AN = (DM + AN) x4 hay CD + AB = (DM + AN) x 4.
Khi đó DM + AN = (CD +AB) : 4 = (12+8) :4 = 5 (cm)
Mà DM = 4 cm nên AN = 5 – 4 = 1 (cm)
Vậy để diện tích hình thang MNBC gấp 3 lần diện tích hình thang MNAD thì N phải
cách A một đoạn bằng 1 cm.
4. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng là 3m, chiều dài gấp 6 lần chiều rộng. Hỏi

2
)
S
1
S
2
A
D
B
C
E
F
S
2
= 54 : (2 +1) = 18 (m
2
)
S
1
= 36 (m
2
)
Vì 36 = 6 x 6 nên cạnh của hình vuông AEFD là 6m. Đó cũng là chiều rộng của hình chữ
nhật lúc sau. Do đó chiều dài của hình chữ nhật lúc sau là:
6 x 1.5 = 9 (m)
Vậy phải tăng chiều rộng thêm:
6 – 3 = 3 (m)
5. Bằng các miếng nhựa hình vuông có cạnh 1 cm, bạn An đã ghép được 2 hình vuông
mà hiệu diện tích của chúng là 23cm
2

S = S
1
– S
2
= a x a – b x b = 23(cm
2
)
S = GD X DN = GD x ( a + b ) = 23 (cm
2
)
( a + b ) x ( a – b ) = a x a – a x b + b x a – b x b
= a x a – b x b = 23(cm
2
)
Nên GD = a – b
Mặt khác số 23 không chia hết cho số tự nhiên nào trừ số 1 và số 23. Nên
a + b > a – b suy ra:
( a + b ) x ( a – b ) = 23 x 1
Suy ra : a + b = 23, a – b = 1
Do đó: a = ( 23 + 1 ) : 2 = 12 (cm)
b= 23 – 12 = 11 (cm)
Diện tích của hìnhvuông ABCD là:
12 x 12 = 144 (cm
2
)
Diện tích của hình vuông AEFG là:
11 x 11 = 121 (cm
2
)
Số miếng nhựa hình vuông cạnh 1 cm cần ghép là:

hạ từ đỉnh chung A)
Vì vậy BH = 6 : 3 = 2 (cm), nghĩa là điểm H phải tìm cách B là 2cm.
b ) Ta có: HC = 6 – 2 = 4(cm)
S
ABC
= 6 x 3 : 2 = 9 (cm)
S
ABC
= 4 x 3 : 2 = 6 (cm)
Vì AE = EC và hai tam giác ABE, EBC có cùng chiều cao hạ từ đỉnh chung B nên
S
ABE
= S
EBC,
do đó:
S
EBC =
1/2 S
ABC =
9 : 2 = 4.5 (cm
2
)
Vì S
BHE
= 1/3 S
ABC
= 9 : 3 = 3(cm
2
)
Nên S

S
ADE
= 2 x S
CDE
Do đó: S
ABE
+ S
ADE =
2 x S
BCE
+ 2 x S
CDE
= 2 x (S
BCE
+ S
CDE
)
Hay S
ABED
= 2 x S
BCDE
8. Cho hình tam giác ABC có điểm N là điểm chính giữa cạnh AC . Trên hình đó có hình
thang BMNE. Nối B với N, nối E với M, hai đoạn thẳng này gặp nhau tại điểm O (Điểm
E nằm trên đoạn AN , điểm M nằm trên BC, BE là đáy lớn MN là đáy bé, BN và ME là 2
đường chéo hình thang)
a. So sánh diện tích 2 hình tam giác OMB và OEN
b. So sánh diện tích hình tam giác EMC với diện tích hình AEMB
( Đề thi HSG toàn quốc 1984 - 1985 )
Hướng dẫn:
A

OEN

Suy ra: S
EMC
= S
CBN
Tương tự:
S
AEMB
= S
ABN
– S
OEN
+ S
OMB
mà S
OEN
= S
OMB

Suy ra: S
AEMB
= S
ABN
Ta đã có S
ABN
= S
CBN
Vậy: S
EMC

EMC
= S
AEMB

9. Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi là 60cm và chiều dài AB gấp rưỡi chiều rộng BC.
Lấy một điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Nối AM kéo dài cắt DC kéo dài tại
điểm E. Nối B với E. Nối D với M.
a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
b) Chứng minh diện tích tam giác MBE bằng diện tích tam giác MCD.
c) Gọi O là giao điểm của AM và BD. Tính tỷ số
OD
OB
(Đề thi tuyển sinh lớp 6 năm học 2013 – 2014 Trường Marie Curie)
Hướng dẫn:
a. Tổng của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là: 60 : 2 = 30 (cm)
Chiều dài gấp rưỡi chiều rộng tức là chiều dài bằng
2
3
chiều rộng
Vậy chiều dài hình chữ nhật là: 30 : (3 + 2)x 3 = 18 (cm)
Chiều rộng hình chữ nhật là: 30 – 18 = 12 (cm)
Diện tích hình chữ nhật là:
18 x 12 = 216 (cm
2
)
a. S
EAB
= S
BCD
vì: + AB = CD

=
3
2
SMAD vì: +Đáy BM =
3
2
AD (AD = BC)
+ Chiều cao AB bằng chiều cao hạ từ M xuống AD
Mà 2 tam giác này lại chung đáy A. Suy ra chiều cao hạ từ B xuống AM =
3
2

chiều cao hạ từ D xuống AM.
Mặt khác, đây cũng chính là chiều cao hạ xuống đáy MO của hai tam giác BMO
và DMO => S
MBO
/ S
MDO
=
3
2
Các tam giác MBO và MDO lại cùng chiều cao kẻ từ M xuống BD nên
OD
OB
=
3
2
10. Cho tam giác ABC có cạnh AC dài 6cm , trên cạnh BC lấy điểm E, sao cho EB = EC.
BH là đường cao hạ từ đỉnh B của tam giác ABC và BH = 3cm. EH chia tam giác ABC
thành hai phần và diện tích tứ giác ABEH gấp đôi diện tích tam giác CEH.

AC
= 6 : 3 = 2 (cm)
Nghĩa là điểm H phải tìm cách A là 2cm
b/ Ta có: S
ABC
= 6 x 3 : 2 = 9 (cm
2
)
Vì BE = EC và hai tam giác BAE, EAC có cùng chiều cao hạ từ đỉnh chung A, nên S
BAE

= S
EAC
do đó:
S
EAC
=
2
1
S
ABC
= 9 : 2 = 4,5 (cm
2
)
Vì S
HEC
=
3
1
S