Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
S GIÁO DC&ÀO TO TNH LÀO CAI

TRNG THPT-DTNT LÀO CAI
1

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm

ÁP DNG PHNG PHÁP TA  VÀO GII CÁC BÀI TOÁN HÌNH HC
TRONG KHÔNG GIAN

1. Tính cp thit ca đ tài 3
2. Tình hình nghiên cu…………………………………………………….2
3. Mc đích nghiên cu 3
4. Nhim v nghiên cu 3
5. Phng pháp nghiên cu 4
6. Phm vi và đi tng nghiên cu……………………………………… 3
PHN 2: NI DUNG 4
CHNG 1: C S LÍ LUN CA KHÔNG GIAN VÀ PHNG
PHÁP TO 
TRONG KHÔNG GIAN 5
1.1. Các khái nim 5
1.2. Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng
pháp ta đ. 9

1.3. Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp
ta đ 10

1.4. Cách chn h ta đ đi vi mi loi hình. 10
CHNG 2: H THNG BÀI TP Error! Bookmark not defined.
Bài toán 1 17
Bài toán 2……………………………………………………………….18
Bài toán 3……………………………………………………………….19
Bài toán 4 20
Bài toán 5……………………………………………………………….20
Bài toán 6……………………………………………………………….22
Bài toán 7……………………………………………………………….22
Bài toán 8 23
KT LUN Error! Bookmark not defined.
TÀI LIU THAM KHO Error! Bookmark not defined.


đc kin thc vng hn v phn này đ phc v ging dy và giúp hc sinh
có phng pháp ti u đ gii quyt các bài tp HHKG vn phc tp, tôi đ
chn chuyên đ: "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta
đ".
2. Tình hình nghiên cu:
"Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ" không phi
là phng pháp mi, mt s bài tp trong SGK, SBT HH12 đã yêu cu hc
sinh gii bng PPT, tuy nhiên vic vn dng phng pháp này đ gii các
bài toán HHKG vn là vn đ khó vi các em hc sinh. Nhiu đng nghip đã
nghiên cu đ tìm li gii cho bài toán này nhng cha tng hp mt cách có
h thng.
3. Mc đích nghiên cu :
Chuyên đ "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta
đ" đc nghiên cu vi mc đích:
̇ Cho hc sinh thy đc s tng đng gia HHKG và hình hc gii
tích trong không gian.
̇ Giúp cho hc sinh có thêm phng pháp đ gii mt bài toán HHKG.
̇ Nghiên cu sâu hn v HHKG làm tài liu tham kho cho hc sinh và
giáo viên.
4. Nhim v nghiên cu :
Chuyên đ đc nghiên cu vi hai nhim v:
a, Nghiên cu lý lun chung:

3
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
- C s ca không gian và phng pháp to đ trong không gian.
- Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng
pháp ta đ.
- Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp
ta đ.

4
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ

PHN 2: NI DUNG

CHNG I

C S LÍ LUN CA KHÔNG GIAN VÀ PHNG PHÁP
TO  TRONG KHÔNG GIAN

1.1. Các khái nim
1.1.1. nh ngha
Không gian clit là không gian liên kt vi không gian véc t clit
hu hn chiu.
Không gian clit s gi là n chiu nu không gian véct clit liên kt
vi nó có s chiu bng n.
Không gian clit thng đc kí hiu là E, không gian clit liên kt
vi nó đc kí hiu là .
E
ur
1.1.2. Mc tiêu trc chun
Mc tiêu afin
{
}


ij
0 nÕu i
j
1 nÕu i =
j
δ
≠
⎧
=
⎨
⎩

1.1.3. i mc tiêu trc chun
Cho hai mc tiêu trc chun
{
}
12 n
O,e ,e , ,e
u
ruuruur
(I) và
{
}
12 n
O ,e ,e , ,e
′′′
ur uuruur
(II)
ca không gian clit n chiu E

′
đi vi mc tiêu (I).
x, x là hai ma trn ct to đ ca cùng mt đim đi vi mc tiêu th
nht và th hai.
′
1.1.4. H to đ  các vuông góc thun, nghch

5
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
Vi 2 mc tiêu trc chun (I) và (II)  trên. Ta quy đnh c s
{
12 n
e ,e , ,e
ur uuruur
}
ca mc tiêu trc chun (I) là thun.
ε
=
Khi đó nu ma trn chuyn t c s (I) sang c s (II) có đnh thc là
dng thì h to đ  các vuông góc là thun, ngc li có h to đ là
nghch.
Trong toán hc ph thông, ta ch xét h to đ  các vuông góc Oxyz
thun.
1.1.5. To đ ca véc t đi vi h to đ
Trong h to đ ?các vuông góc Oxyz cho véc t tu ý . Vì 3 véc t v
r
i,
j
, k
rruur

uuuurrr
r
thì b ba s (x; y; z) là to đ ca
đim M.
Kí hiu:
(
)
(
)
Mx;
y
;z hoÆc M x;
y
;z=

3
1.1.7. Ta xét trong E có các tính cht
1. Cho
a0, b≠
r
rr
a
r
bka
=
r
r
cùng phng sao cho . k
⇔
∃

+
r
rr
= . (x; y; z) sao cho:
4. G là trng tâm
ABC :Δ
GA GB GC 0;
⇔
++=
u
uur uuur uuur ur(
)
1
OG OA OB OC
3
=++
uuur uuur uuur uuur
Vi mi O thì

5. G là trng tâm t din ABCD thì:
GA GB GC GD 0
+
++=
uuur uuuruuuruuurr

(
)

)
ux;
y
;z=
r
(
)
v x ;y ;z ,k
′′′
=
∈
r
฀
và ta có:
uv xx;
yy
;z z.
′
′′
=
⇔= = =
rr
̇
(
)
uv xx;
yy
;z z
′
′′

z.++

Do đó:
22
uxyz=++
2
r

(
)
222 2 2
xx yy zz
cos u;v
xyz x y z
2
′
′′
+
+
=
′
′′
+++ + +
rr
̇
̇ u v u.v 0 xx yy zz 0.
′′′
⊥⇔ =⇔ + + =
rr rr
u,v c c v,c u

⎣⎦
r
r
.
()
a,b a . b .sin a,b .
⎡⎤
=
⎣⎦
rr r r rr

đng phng
a,b,c
rrr
a,b .c 0
⎡⎤
⇔=
⎣⎦
r
rr

ABC
1
SAB,A
2
Δ
⎡⎤
=
⎣⎦
uuuruuur

(
)
α
⎤
⎦

Nu là mt cp véc t ch phng ca mt phng
a,b
rr
(
)
α
thì là
mt véc t pháp tuyn ca
na,b
⎡
=
⎣
rrr
⎤
⎦
(
)
α
.
9.
a. Phng trình tng quát ca mt phng có dng:

7
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ

Ax By Cz D 0
ABC
0
′
′′
≠
⎧
+++=
⎧
⎪
++≠
⎨⎨
′′′′
+++=
⎩
⎪
′′′
+
+≠
⎩b. Phng trình tham s ca đng thng:

0
222
0
0
xx at
y y bt víi a b c 0

11.
(
)
(
)
0000
M x ;y ;z vµ :Ax By Cz D 0
α
+
++=
a. Cho
()
()
000
0
222
Ax B
y
Cz D
dM,
ABC
α
+
++
=
++

000
xx yy zz


h−¬n
g
cña ; M x ;
y
;zΔ
r
, M
0

∈Δ c. Cho
000
xx yy zz

abc
−−−
==
(
)(
0000
ua;b;c; M x,
)
y
,z
r
:
Δ
;

, M
0

′
∈Δ
()
00
u;u .M M
d;
u, u
⎡⎤
′
′
⎣⎦
′
ΔΔ =
⎡⎤
′
⎣⎦
r ur uuuuuur
rur
.
12.
vµ
′
Δ
Δ a. Gi
ϕ
là góc gia hai đng thng thì:
222 2 2

θ
++
=
++ ++
00
090
sin
.
θ
≤
≤
(
)
; n A;B;CΔ
r
(
)
u a;b;c
r
là véct ch phng ca là véct pháp tuyn
ca
()
α
.
c. Gi
γ
là góc gia
(
)
:Ax By Cz D 0

′
′′
++ + +
rur
rur
. th:
Trong đó n và ln lt là véct pháp tuyn ca
r
n
′
ur
(
)
α
(
)
α
′
và
13. Phng trình mt cu
()()
(
)
222
2
xa
y
bzc−+−+−=

R

Nhng bài toán hình hc không gian có phn gi thit  nhng dng
sau có th dùng phng pháp ta đ đ gii.
̇ Hình đ cho có mt đnh là tam din vuông.

9
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
̇ Hình chóp có mt cnh bên vuông góc vi đáy và đáy là các tam giác
vuông, tam giác đu, hình vuông, hình ch nht,
̇ Hình lp phng, hình ch nht.
̇ Hình đ cho có mt đng thng vuông góc vi mt phng, trong mt
phng đó có nhng đa giác đc bit: tam giác vuông, tam giác đu, hình
thoi,
̇ Khi hình đu: hình chóp đu, lng tr đu,
Các dng khác nhau mà có th to đc các tam din vuông chng hn:
Nu hai đng thng chéo nhau mà vuông góc, hai mt phng vuông góc.
Ngoài ra, vi mt s bài toán mà gi thit không cho  nhng hình
không gian quen thuc nh hình chóp tam giác đu, hình lp phng, hình
ch nht, thì bng cách nhn xét tính cht song song và vuông góc ca đi
tng tham gia trong hình ta cng có th thit lp đc h ta đ vuông góc.
1.3. Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp
ta đ
̇ Bc 1: Chn h ta đ thích hp.
̇ Bc 2: Chuyn t ngôn ng hình hc sang ngôn ng ta đ.
̇ Bc 3: Gii bài toán bng kin thc ta đ.
̇ Bc 4: Phiên dch các kt qu t ngôn ng ta đ sang ngôn ng hình
hc.
* Mt vài ví d v cách chuyn ngôn ng hình hc sang ngôn ng ta đ:
̇ 3 đim A, B, C phân bit thng hàng tng đng ta đ 1 đim tha
mn phng trình đng thng đi qua hai đim kia hoc
AB . kAC=

phng chiu vi tia CB, tia Oz
OS.
≡
x
z
S

C
B
y

A
O

Cách 2:
O
≡
M - trung
đim BC
S
z
C

y

O'
tia Oy AC, tia Oz tia qua A và có
cùng phng chiu vi tia O'S.
≡ ≡
C
≡
O A
B

yx

1.4.1.2 Hình chóp SABC có đáy SA vuông góc vi đáy ABC.
Các trng hp ca đáy:

11
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
* Trng hp 1: áy là tam giác
vuông ti A.
Cách chn h ta đ là: O A; tia Ox
≡
≡

Cách này cng áp dng cho trng hp
Δ
ABC
đu, ABC cân ti C.
Δ

Cách 2:
O
≡
A; tia Ox
≡
tia Ax, Ax
∈
(ABC)và Ax
⊥
AI.
I - trung đim BC, tia Oy
≡
AI, tia Oz AS. ≡ * Trng hp 3: áy là tam giác đu, hay
đáy là tam giác cân ti C.
Cách chn h ta đ ging cách 1 ca
trng hp đáy là tam giác cân ti A.
* Trng hp 4: áy là tam giác
vuông ti B.

y
z
S
y
x
C

O
≡
A
B
z
x
y
A
B
C
S12
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
Cách 2:
x
z
S

C

A

vi tia AD.
tia Oz = OS. Cách 2:
O
≡
tâm đáy; tia Ox OB; ≡
tia Oy ≡ OC;
tia Oz ≡ OS. x

A

D


C

D
y
x
Cách chn h trc ta đ là : O
≡
A; tia
Ox AB; tia Oy AD; tia Oz
AS. ≡ ≡
≡

z
S

A
B
C

D
y
x
b. áy là hình thang vuông ti A và B
(tng t ti C, D).

AS; Ax
∈
(ABCD) và Ax
⊥
AD.

z

Sd. áy là hình thoi
O A; Ox Ax; Oy AC; Oz
≡ ≡ ≡
≡
AS;
Ax
∈
(ABC) và Ax AC
⊥

O
≡
A

tia qua
O có cùng phng chiu vi tia DC, tia
Oy trùng vi tia qua O có cùng phng
chiu vi tia BC, tia Oz OS.
≡
Cách 2:
Chn gc O
≡
A, tia Ox AB; tia
Oy
≡
≡
AD; tia Oz tia qua O có
cùng phng chiu vi tia OS.
≡

tâm đáy, tia Ox
z
S

x

D
Cách 3: O


b. áy là tam
z

y

C
'

A'

B'

A

B

C
x

z
x
y
A
B
C
I
B'
C'
A'

⊥
AI.

∈

≡
B; tia Ox Ax; tia Oy ≡
≡
BC;
tia Oz
≡
BB'; Bx
∈
(ABC); Bx
⊥
B .

C

c. áy
Có 3 cách ch
trng hp b.
tia qua O và cùng phng chiu vi
A'.
.4.3.2. Lng tr t giác
 đng ABCD.A'B'C'D'
i đó

tia Oz ≡ tia qua O và có cùng phng chiu
vi tia A1
Lng tr
Các trng hp ca đáy
a. áy là hình ch nht (kh
ABCD.A'B'C'D' là hình c
Có hai cách chn h ta đ là:
Cách 1:
O
≡
A; tia Ox
≡
AB; tia Oy
≡
AD;
AA'.
tia Oz ≡

B
O
y
x
z
y
x
A'
B≡
tâm đáy ABCD
tia Ox
≡
OD; tia Oy ≡ OC; tia Oz
≡
OO';
h lp phng)
d. áy là hình thang vuông ti A và B (tng t
và C)
O' - tâm ca A'B'C'D'
c. áy là hình lp phng (khi đó
ABCD.A'B'C'D' là hìn
Có 3 cách chn h ta đ, bao gm 2
trng hp a và b. ti D
O
≡ A; tia Ox
≡
AB; tia Oy
≡

cht ca đáy đ thit lp h ta đ

x
z
y
A'
B'
C'
D'
O
D
C

B
A
O'
z
y
x
A'
B
B'
A
C'
D
C
D'
x
z
y

CHNG 2
có góc tam din đnh O là
OB = OC = 1
minh khong cách gia OM và CN là
()
1
dOM,CN
3
=
.

Li gii

, khi đó:
Chn h to đ Oxyz nh hình v
11 1
O(0, 0, 0); A(1, 0, 0); B(0, 1, 0); C(0, 0, 1); M
2
⎜
⎝
;;0; N;0;0
2 2
⎛⎞⎛⎞
⎟⎜⎟
⎠⎝⎠

Véc t ch phng ca OM
u
uuur
là


M
x
A
O
N
y
()
OC 0,0,1=
uuur
. Khi đó khong cách
gi a hai đng th
()
22
2
00 1
11
0
22
1
01
OM,CN .OC
1
2
dOM,CN
3
OM,CN
111
1
0

B = OC =
B

3a 2
. và OA =4a; O
a. Chng minh
()
()
12a
dO C,AB
5
=

rng hai cnh đi d n bt kì ca t din vuông góc vi
i:
b. Chng minh i
nhau.

Li gi
Chn h to đ nh hình v.
hi đó
K :
A(4a; 0; 0); B(0;
3a 2
; 0);
C(0; 0;
3a 2
)
mt ng
Phng trình ph

OC
uuur
(0; 0;
3a 2
); OB
uuur
= (0; OA
u
uur
2
; 0); =(4a; 0; 0);
3a
AB =
uuur
(-4a;
3a 2
; 0); = (-4a; 0; AC
uuur
3a
BC
u
uur
3a 22
); = (0; -
2
;
3a
).
Ta t
, OA. 0; O C= =

ab bc ca
′
=
++
a. Chng minh rng:
b. Chng minh rng: M, N, I, J đng phng.
Li gii

Chn h ta đ nh hình v. Khi
đó có:
z
y
x
A
D'
C

D
B
A'
B'
C'
M
I
J
A(0, 0, 0); B(0, a, 0); C(b, a, 0);
A
′

D(b, 0, 0);

2 2 22 22 2 2 22 22
abc
abc
dA,ABD
ab bc ca ab bc ca
−
′
==
++ ++

Khi đó có:
(iu phi chng minh)
()
aa
IJ b,0,c ; IM kb, ,0 ; IN 0, ,kc
22
⎛⎞⎛
==−=
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
ur uuuruur
⎞
⎟
⎠
b. Có:
()
(
)
IM IN kb,0, kc k b,0,c kIJ+= = =
uuuruur ur
Gi s ABCD.A
1
BB
1
C
1
D
1
có: AB = a,
AD = b, AA
z
y
x
C
1
D

A
1
D
1
B
1
C

B

A

AH d A, CB D
111 111
abc abc
++−
===

Khi đó:
2
+
+++
()
()
1111
222 22
0001
1
KC d C , CB D
111 111
abc abc
++−
===
++ ++

2
Mà AH //C
1
K (vì cùng vuôn góc vi (B
1
CD
1

a. Hi thit din ca hnh hp ct bi (B
1
CK) là hình gì? Tính S thit
din đó theo a.
b. Chng minh rng đng thng
B
B
1
M tip xúc vi mt cu đng kính
AA
1
.

Li gii
: Chn h ta đ Axyz vi:
D
∈
Ax, B
∈
Ay, A
1
∈
Az. Khi đó:
z
x
A
D
1
y
C

); C
1
(2a, a,
a2
);
aa 2
a, ,
22
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
D
1
(2a, 0,
a2); I ;
maa 2
,,
22 2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
M(m, 0, 0), K
1. Th tích khi t din A KID đc cho bi:
1
(
2
111
1a2
AK,AI .AD 2a m
624

CK)
∩
(ADD
1
A
1
) =MN//B C//A
1 1
D
a2
0,0,
2
⎛⎞
⎜
⎝⎠
Nên N là trung đim AA , do đ? N
⎟
và thit din B
1 1
CMN là
hình thang cân.
Ta có:
11
td NB M CB M 1 1
11
SS S NB,NM CB,CM
22
ΔΔ
⎡
⎤⎡ ⎤

=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
uuuur
(
)
1
BM a; -a; -a 2=
uuuur
;
2
1
1
1
BM,MN
a2a2AA
2a 2 2
BM
⎡⎤
⎣⎦
===
u
uuur uuuur
uuuur
Tht vy, ta có: d(N, B
1
M) =
1
AA

2
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
a
B0; ; 0
2
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
aa3
A0;; a;C ;0; a
22
⎛⎞
⎛⎞
′′
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
; ;
a3 a a3 a a3a
M,,0; N,0,; E,,
44 2 2 44
⎛⎞⎛⎞⎛
−
⎜⎟⎜⎟⎜

⎝⎠
ruuuuruuur
z
y
x
B'
C'
A'
A
C
M
B
L
N
E

Mt phng (AA'B'B) có véct pháp tuyn là:
(
)
ua,0,0=
r

()
(
)
Có
u.n 0 u n MNE AA B B
′
′
=⇔⊥⇔ ⊥

,
aa6
D ; 0; 0 , C 0; ; 0
3
3
⎛⎞
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
,
x
y

z
S

B
A
C

D
O
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
a6
A 0; - ; 0
3


฀
0
ASC 90⇒=
hay tam giác ASC vuông ti S.
(iu phi chng minh)
()
22 2 2
1
2a a2a2 a2
nSA,SB ; - ; 2; -1; 1
333 3
⎛⎞
⎡⎤
== =
⎜⎟
⎣⎦
⎜⎟
⎝⎠
uuruuuruur
b.
()
22 2 2
2
2a a2 a2 a2
n SA,SD ; ; - 2; 1; -1
33 3 3
⎛⎞
⎡⎤
== =


Bài toán 8:
Cho hình tr có 2 đáy là 2 đng tròn tâm O và O
1
, bán kính R, chiu
cao hình tr bng h. Trên 2 đng tròn (O) và (O
1
) có 2 đim di đng A, B.
Gi I, K theo th t là trung đim OO
1
và AB.
Chng minh rng: IK là đng vuông góc chung ca OO
1
và AB.

Li gii: Chn h ta đ Oxyz sao cho O trùng vi tâm đáy. OO
1

∈
Oz. Khi
đó có: O
(
)
AA
A x ,y ,0

1
(0, 0, h) và A
∈
C(O, R)⇒ vi

⎛⎞⎛
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
2
⎞
⎟
⎠

Ta có:
(
)
(
)
1BAB
OO 0,0,h , AB x x ,
A
yy
,h=−−
r uuur
z
B
O
1
uuuu
nên:
I
K
A
y
x
KT LUN
Mt bài toán hình hc có th có nhiu cách gii, mi bài toán đu có
th tìm đc mt cách gii ti u. Trc mt bài toán HHKG, tìm đc cách
gii ti u là mt vn đ khó. Gii bài toán HHKG bng PPT là mt trong