Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
a - đặt vấn đề
I-Lời mở đầu :
Trong trờng phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các
kiến thức và phơng pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học
sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi
lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những
năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng t
duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh t tởng đạo
đức và thẩm mỹ của ngời công dân.
ở tròng THCS, trong dạy học Toán: cùng với việc hình thành
cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí;
thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là
một trong những vấn đề trung tâm của phơng pháp dạy học Toán ở
trờng phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải bài
toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.
Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững
chắc các kiến thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài
tập thì việc bồi dỡng học sinh khá giỏi là mục tiêu quan trọng của
ngành giáo dục nói chung và bậc học THCS nói riêng. Do đó việc
hớng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải
toán là rất cần thiết và không thể thiếu đợc.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở tr ờng THCS
tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chơng trình và qua thực tế dạy học
tôi thấy: trong chơng trình Toán THCS "Các bài toán về cực trị
trong đại số" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ý nghĩa rất
quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. ở THPT để giải
quyết các bài toán về cực trị đại số ng ời ta thờng dùng đến "công
cụ cao cấp" của toán học là: đạo hàm của hàm số. ở THCS,
1
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số

2
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
hình thành ở học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận
dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa
học luôn mong muốn làm đợc những việc đạt kết quả cao nhất, tốt
nhất.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
1, Đối với học sinh :. Thực trạng khi nhận chuyên môn phân
công dạy toán 8 ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy hụt hẩng tr ớc
cách học của học sinh.
Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng
nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện t ợng nổi bật
học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhng mang tính chất học vẹt chấp
hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành
ứng dụng của học sinh tôi đa ra một số ví dụ thì học sinh lúng
túng không biết chứng minh nh thế nào.
Trớc thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện
pháp kết quả cho thấy.
Lớp Sỉ số
Giỏi Khá TB Yếu- kém
SL % SL % Sl % SL %
8 49 02 06 31 10
Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm rất mơ hồ,
một sô học sinh làm đợc chỉ nằm vào một số học sinh khá- giỏi. Số
còn lại chủ yếu là học sinh TB, Yếu, kém không biết giải thích bài
toán nh thế nào.
2, Đối với giáo viên :
Thực trạng này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi vì ng -
ời giáo viên là ngời chủ động, chủ đạo kiến thức, cũng chỉ tuân


S mà ta có: P(x
0
, y
0
, z
0
)

P(x, y, , z) hoặc P(x
0
,
y
0
, z
0
)

P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc nhỏ
nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
) trên miền S.
P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x
0
, y
0

0
, y
0
, z
0
) hoặc P
min
tại (x
0
, y
0
, z
0
).
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là
các cực trị của P trên miền S.
2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó
là vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên
miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:
- Chứng tỏ rằng P

k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của
các biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức.
*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên
miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:
- Chứng tỏ rằng P



0 nhng cha chỉ ra đợc trờng hợp xảy ra dấu
đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời:
x
2
= 0 và (x - 2)
2
= 0 .
Lời giải đúng là:
A = x
2
+ (x - 2)
2
= x
2
+ x
2
- 4x +4 = 2x
2
- 4x + 4
= 2(x
2
-2x - +1) + 2 = 2(x - 1)
2
+ 2
Ta có: (x - 1)
2


0 ,

2


0, tổng quát: a
2k


0 (k nguyên dơng)
Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0
* -a
2


0, tổng quát: -a
2k


0 (k nguyên dơng)
Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0

*
0

a
. (Xảy ra dấu đẳng thức


0)
*
2
1
+
a
a
,

a >0 và
2
1
+
a
a
,

a <0
*
ab
baba







+


: bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của một biểu thức là tam thức bậc hai.
Ví dụ 1

: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A(x) = x
2
- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
H

ớng dẫn giải

:
7
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
Gợi ý

: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải
biến đổi về dạng A(x)

k (k là hằng số) với mọi gía trị của biến và
chỉ ra trờng hợp xảy ra đẳng thức
Lời giải

: A(x) = x
2
- 4x+1
= x
2

- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý

: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải
biến đổi đa B(x) về dạng B(x)

k (k là hằng số) với mọi giá trị của
biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra
đẳng thức
Lời giải

: B(x) = -5x
2
4x+1
= -5 (x
2
+
5
4
x) +1
= -5
1
5
2

xx
8
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
=
1
25
4
5
2
5
2
+















+
x
= -5

Với mọi giá trị của x:
2
5
2






+
x


0 nên -5
2
5
2






+
x


0
suy ra: B(x)= -5

=
5
9
với x = -
5
2
Ví dụ 3

:

(Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý

: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải
biến đổi sao cho P = a.A
2
(x) + k. Sau đó xét với từng trờng hợp
a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải









++=

k
a
b
xa
+






+=
2
2
với
2
2
4a
b
ck
=

b
xa
do đó P

k
+Nếu a<0 thì
0
2
2







+
a
b
xa
do đó P

k
Vậy khi x = -
a
b
2
thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a>0)
hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a<0)
Dạng 2

+ x +1 0
Do đó A
min
(x
2
+ x +1)
min

10
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
(?) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x
2
+ x +1? và tìm giá trị nhỏ
nhất của A?
Trả lời:

Ta có x
2
+ x +1 = x
2
+ 2x.
2
1
+
4
1
-
4
1
+ 1

9
4
3
2
=






với x = -
2
1
Ví dụ 5

:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
x
4
6x
3
+ 10x
2
6x + 9
H

ớng dẫn giải

:


= (x
2
- 3x)
2
+ (x - 3)
2


0
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:
x
2
3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0
x = 3 x = 3
x 3 = 0 x 3 = 0 x = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Đáp số

: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
11
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
Dạng 3

: bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
nhất của đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ6

: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x - 1 + x - 3
H

x

5 thì x - 2 = x - 2
x - 5 = - (x - 5) = 5 - x

A = x - 2 + 5 - x = 3
+ Trong khoảng x > 5 thì x - 2 = x - 2
x - 5 = x - 5

A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
12
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
Do x > 5 nên 2x > 10 do đó A = 2x 7 > 3
So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy
giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2

x

5
Đáp số:

A
min
= 3 khi và chỉ khi 2

x

5
Cách 2


5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2

x

5
dạng 4

: Bài toán Tìm gtnn, gtln của phân thức có
tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc haiVí dụ 7

: Tìm giá trị lớn nhất của M =
5 4x - 4x
3
2
+

H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý

: Sử dụng tính chất a

b, ab >0

0 nên (2x - 1)
2
+ 4

4
Do đó:
4 1)-(2x
3
2
+


4
3
Trả lời:

Vậy M lớn nhất bằng
4
3
khi 2x 1 = 0 => x =
2
1
Đáp số

: M
lớn n hất
=
4
3
với x =


0 => (x + 1)
2
+ 3

3
=>
3 1) -(x
1
2
+



3
1
=> -
3 1) -(x
1
2
+


-
3
1
Vậy B nhỏ nhất bằng -
3
1
khi x 1= 0 => x =1

3
1
không phải là giá trị lớn nhất
của phân thức
Chẳng hạn với x = 2 thì
3
1
2
x
= 1 > -
3
1
Nh vậy từ -3 < 1 không thể suy ra -
3
1
>
1
1
Vậy từ a < b chỉ suy ra đợc
a
1
>
b
1
khi a và b cùng dấu .
dạng 5

:Bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
phân thức có mẫu là bình phơng của nhị thức
Ví dụ 9

- (x + 1) + 1
Do đó A =

+
+
2
2
)1(
)1(
x
x
+
+
+
2
)1(
)1(
x
x
2
)1(
1
+x
= 1 -
1
1
+x
+
2
)1(







y
+
4
3



4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
4
3
khi và chỉ khi:
2
1
1
1
2
1
0
2
1
=
+

2
2
14
12363
14
144
1
1
+
++++
=
+
++
=
+
++
=
x
xxxx
x
xx
x
xx
A
2
22
)1(4
)1()1(3
+
++

x
x
A
A=
4
3
+






+

)1(2
1
x
x
2


4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
4
3
khi x-1=0

x=1

:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M
( x)
=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
(Với x thuộc tập hợp số thực)
H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý

: Từ M
( x)
=
32
1063
2
2
++
++
xx

+ 2x + 3 = x
2
+ 2x + 1 + 2 = (x+1)
2
> 0 với mọi
giá trị của x. nên sau khi chia cả tử và mẫu cho x
2
+ 2x + 3 ta đợc
M(x) = 3 +
2)1(
1
2
++x
(?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?
Trả lời:

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2)2(
1
2
++x
(?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của
2)(
1
2
++x
từ đó suy ra giá
trị lớn nhất của M(x)
Trả lời:


3 +
2
1
= 3
2
1
Dấu = xảy ra khi x+1=0 hay x=-1
Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3
2
1
khi và chỉ khi x=-1
Đáp số

: M(x)
Lớn nhất
=3
2
1
với x = -1
18
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
C. Kết luận
1. Thực tiễn khảo sát sau khi áp dụng.
Sauk hi áp dụngcác cách giải bài toán cực trị trong đại số 8 thực tế
học sinh dần dần chú trọng khi giải toán chứ không lúng túng nh
trớc.
Kết quả tôi đã thu đợc sau khi áp dụng đề tài này đợc thể hiện ở
bảng sau:
Lớp Sỉ số
Giỏi Khá TB Yếu- kém

có đa ra cơ sở lí thuyết và những ví dụ trong mỗi ví dụ đó có gợi ý
và hớng dẫn học sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi
gặp các ví dụ khác các em có thể giải đợc.
Các dạng bài tập đa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức
tạp nhằm giúp cho học sinh có những kiến thức cơ bản về giải bài
toán cực trị trong đại số 8. Bên cạnh đó tôi còn đ a ra các ví dụ là
các bài toán tổng hợp các kiến thức và kĩ năng tính toán, khả năng
t duy ở cấp học này, qua đó làm cho các em say mê hứng thú học
tập bộ môn Toán.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn có rất nhiều học
sinh còn bỡ ngỡ trong qúa trình giải các bài toán cực trị, lập luận
cha có căn cứ, suy diễn cha hợp logic và đặc biệt là một số dạng
cha phù hợp với học sinh trung bình, yếu.
Mặc dù có rất nhiều cố gắng nhng do thời gian không
nhiều, do trình độ năng lực của bản thân và tài liệu tham khảo còn
hạn chế lại cha có kinh nghiệm trong lĩnh vực nghiên cứu khoa
học nên trong cách trình bày không tránh khỏi những sơ xuất thiếu
sót . Rất mong nhận đợc sự giúp đỡ, góp ý của các thầy , cô và và
bạn đồng nghiệp để tôi có thể rút kinh nghiệm trong quá trình
giảng dạy của mình trong thời gian sau.
Thiệu Minh, ngày 08 tháng 3 năm 2009
Ngời viết
Nguyễn Thị Huyền
Tài liệu tham khảo:
20
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
1. SGK Toán 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tôn Thân.
2. SBT Toán 8 NXB Giáo dục- Tôn Thân chủ biên
3. Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáo
dục- Nguyễn Văn Lộc.