Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác
a. đặt vấn đề
Trong các môn học, không có môn nào lại giúp rèn luyện năng lực
suy nghĩ và phát triển trí tuệ cho học sinh nh môn Toán. Nhng trong bản
thân môn Toán lại không có phân môn nào giúp phát triển t duy lôgic, trí
thông minh, óc sáng tạo nh phân môn hình học. Do tính thiết thực và khả
năng phát triển trí tuệ nh vậy nên nội dung và phơng pháp dạy học các
yếu tố hình học cho học sinh tiểu học đặc biệt là học sinh giỏi luôn đợc
coi trọng.
Lên lớp 5, học sinh đợc làm quen với rất nhiều hình hình học nh : hình
tam giác, hình thang, hình tròn, hình hộp chữ nhật, hình lập phơng, hình
trụ và các bài tập về hình tam giác gây cho các em nhiều hứng thú.
Chúng ta cần biết, sách giáo khoa Toán 5, giới thiệu về hình tam giác
ở tiết 3 :
Tiết 1 : Hình tam giác
Tiết 2 : Diện tích hình tam giác
Tiết 3 : Luyện tập
Với những kiến thức mà sách giáo khoacung cấp thì áp dụng trực tiếp
công thức để tính diện tích học sinh tiếp thu nhanh. Song đối với học sinh
kha, giỏi có một số bài toán ơ trình độ nâng cao thì không đơn giản với
các em.
Làm thế nào để chỉ với những kiến thức ít ở đó mà học sinh có thể giải
các bài toán ở trình độ nâng cao ?
Là một giáo viên nhiều năm làm công tác bồi dỡng học sinh giỏi, tôi
rất băn khoan về điều đó. Bằng cả tân huyết nghề nghiệp, tôi đã tìm tòi và
xây dựng một hệ thống bài tập để giúp học sinh có thể học tập tốt phần
này và nó đợc thể hiện qua kinh nghiệm : " Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải
các bài toán có liên quan đến diện tích hình tam giác ".
1
Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích

A
C
B
H
D
Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác
Giải
Hai tam giác ABD và ADC có đáy BD = DC (vì bài Toán cho D là
điểm chính giữa của BC ) và chiều cao AH chung.
Vậy : S
ABD
= S
ADC
.
2. Tr ờng hợp 2 : Hai tam giác có đáy bằng nhau (hoặc chung đáy), tam
giác nào có chiều cao gấp 2, 3, 4, . . . lần thì diện tích cũng gấp 2, 3,
4, . . . lần.
Ví dụ : Cho tam giác ABC . Trên chiều cao AH ta lấy một điểm E sao cho
AH = EH ì 3. Hãy so sánh diện tích tam giác ABC và EBC.
Nhận xét : Hai tam giác ABC và EBC
có chung đáy BCnên để so sanh diện
tích ta phải so sánh chiều cao hạ từ
đỉnh E và A xuống đáy BC.
Giải
Nối E với B, E với C.
Hai tam giác ABC và EBC có chung đáy BC và có chiều cao
AH = EH ì 3
Vậy S
ABC

ABD
= 3 ì S
ABC
4. Tr ờng hợp 4 : Hai tam giác có diện tích bằng nhau, đáy (hoặc chiều
cao) bằng nhau thì chiều cao (hoặc đáy ) cũng bằng nhau .
Ví dụ 1 : Hai tam giác ABC và DBC có diện tích bằng nhau. Hãy so sánh
chiều cao AH và DK hạ từ đỉnh A và D xuống đáy BC .
Nhận xét : Hai tam giác ABC và DBC có diện tích bằng nhau nên để so
sánh chiều cao AH và DK ta phải tìm mối liên hệ giữa hai đáy ứng với
chiều cao AH và DK .
Giải
Theo bài ra ta có : S
ABC
= S
DBC

Mặt khác 2 tam giác có diện tích bằng nhau này lại có chung đáy BC nên
suy ra chiều cao AH và DK hạ từ đỉnh A và D xuống đáy BC phải bằng
nhau.
Vậy AH = DK .
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC. Trên AC lấy 1 điểm D sao cho khi nối B với
D thì BD chia tam giác ABC thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau là
ABD và BDC. So sánh chiều cao AH và CK hạ từ đỉnh A và C xuống đáy
BD.
4
A
B
H
K
C

Mặt khác 2 tam giác này lại có chiều cao AH = CK nên suy ra đáy
của chúng phải bằng nhau.
Vậy Bc = AD.
5. Tr ờng hợp 5 : Hai tam giác có đáy (hoặc chiều cao ) bằng nhau, tam
giác nào co diện tích gấp 2, 3, 4, . . . lần chiều cao (hoặc đáy) cũng gấp
2, 3, 4, . . lần.
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC. Trên BC lấy một điểm D sao cho khi nối A
với D ta đợc tam giác ABd gấp 2 diện tích tam giác ADC. Hãy so sánh
chiều cao BH và CK hạ từ đỉnh B và C xuống AD.
Nhận xét : - Tìm vị trí điểm D trên cạch BC.
5
A
D
B
H
K
C
A
B
H
D
Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác
- So sánh chiều cao
BH và CK thì phải tìm mối
quan hệ giữa diện tíchtam
giác ABD và ADC, mối quan
hệ giữa 2 cạnh đáy ứng với
chiều cao BH và CK.
Giải

6
A
B
D
K
C
H
A
D
B
H
C
Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác
Theo bài ra ta có : S
ABC
= S
DBC
Mặt khác 2 tam giác có diện tích bằng nhau này lại có chung hình
IBC nên phần diện tích còn lại của chúng phải bằng nhau .
Vậy S
AIB
= S
DIC
II. Một số bài tập nâng cao :
Sau khi học sinh biết cách giải các bài Toán trung gian đã nêu ở trên
và đặc biệt là nắm chắc các kết luận, tôi giới thiệu tiếp một số bài Toán
nâng cao mà khi giải các bài Toán này yêu cầu các em phải vận dụng linh
hoạt, sáng tạo và tổng hợp các kiến thức đã đợc học .
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC có góc A là góc vuông, AB = 30cm,

2
)
Vì MN // BC nên tứ giác BMNC là hình thang
S
BMC
= S
BNC
(Vì chung đáy BC, chiều cao hạ từ đỉnh M và N xuống đáy BC là chiều
cao của hình thang BMNC)
Đoạn NC dài là :
225 ì 2 : 30 = 15 (cm)
Diện tích tam giác AMN là :
20 ì (45 - 15) : 2 = 300 (cm
2
)
Đáp số : 300 cm
2
Bài toán 2 : Cho tam giác ABC có
diện tích là 12 cm
2
. Cạnh AB = 8 cm
và AC = 5 cm. Kéo dài thêm AB đến
M và AC đến N sao cho BM = CN =
2cm . Hỏi diện tích tam giác AMN là
bao nhiêu ?
Cách 1 : Nhận xét : Tam giác AMN có AM = 8 + 2 = 10 cm .
Để tính đợc diện tích của nó cần tính chiều cao hạ từ đỉnh N xuống
đáy AM ( hoặc có AN = 5 + 2 = 7 cm ) .
Để tính đợc diện tích của tam giác ta cần tính chiều cao hạ từ đỉnh M
xuống đáy AN)

Nhận xét : S
AMN
so sánh đợc với S
ANB
S
ANB
so sánh đợc với S
ABC
=> S
AMN
so sánh đợc với S
ABC
Mà S
ABC
= 12cm
2
nên ta tính đợc S
AMN
Giải
S
ANB
=
5
7
S
ABC
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AN =
5
25 +
AC)

S
MNQP
= S
ABQ
- S
AMP
- S
NBQ
Nh vậy ta cần tính :
S
ABQ
= ? cm
2
S
AMP
= ? cm
2
S
NBQ
= ? cm
2
Giải
Nối B với Q . B với P ta có :
S
ABQ
=
4
3
S
ABC

AMP
=
2
1
S
ABP
(1)
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy AM =
2
1
AB)
10
A
P
Q
C B
N

M
Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác
S
ABP
=
2
1
S
ABC
(2)
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AP =

tích tam giác ABC .
Nhận xét :
S
ABC
= S
AOB
+ S
AOC
+ S
BOC
Mà S
AOB
= 3 cm
2
nên để tính S
ABC
ta cần so
sánh :
S
AOC
với S
ABC
S
BOC
với S
ABC
=> S
ABC
so sánh với S
AOB

=
4
1
S
ABM
, chung đáy BM)
S
BOC
=
4
1
S
ABC
(vì chung đáy BC, chiều cao OK =
4
1
AH )
OP =
4
1
BQ
(vì S
AON
=
4
1
S
ABN
, chung đáy AN)
S

+
4
1
S
ABC
)
S
AOB
=
2
1
S
ABC
Diện tích tam giác ABC là :
3 :
2
1
= 6 (cm
2
)
Đáp số : 6 cm
2
Bài toán 5 : Cho tam giác ABC có diện tích 420 cm
2
. N là điểm chính
giữa cạnh AC . P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AP = 3PB . Các đoạn
thẳng BN và CP cắt nhau tại K . Hãy tính diện tích tam giác BKC ?
12
Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

3
1
AP)
S
PKB
=
3
1
S
APK
(4)
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy PB =
3
1
AP)
Từ (3) và (4) ta có S
BKC
=
3
1
S
AKC
Nếu gọi S
BKC
là 1 phần thì S
ABK
là 1 phần và S
AKC
là 3 phần
Vậy S

ABC
ta cần so sánh S
DEM
và S
MEN
với diện tích các tam giác có liên quan đến
tam giác ABC.
Giải
S
DEM
=
2
1
S
AEM

(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy DE =
2
1
AE)
S
MEN
=
2
1
S
MEC

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy MN =
2

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy AE =
3
2
AB )
Từ (1) và (2) ta có : S
DENM
=
2
1
S
ABC
Diện tích tam giác ABC là :
6 :
3
1
= 18 (cm
2
)
Đáp số : 18 cm
2
14
A
D
C B
N

M
E
Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

AND
=
3
1
S
NDC
(2)
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy AN =
3
1
NC)
Từ (1) và (2) ta có S
ADB
=
3
1
S
BDC
Diện tích tam giác BDC là :
20 :
3
1
= 60 (cm
2
)
S
AMC
=
2
1

O
C B

N

M
Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác
20 ì
2
1
= 10 (cm
2
)
Vậy diện tích tam giác ABC là :
20 + 10 + 60 = 90 (cm
2
)
Đáp số : 90 cm
2
Bài toán 8 : Cho tam giác ABC có cạnh AB bằng 9cm và có diện tích là
36 cm
2
. Trên BC lấy điểm M sao cho BM = 3MC . Qua M ngời ta vẽ một
đờng thẳng cắt BA kéo dài tại điểm K sao cho diện tích tam giác KBM
cũng bằng 36 cm
2
.
a. Tính đoạn AK.
b. AC và MK cắt nhau tại điểm o . So sánh diện tích 2 tam giác OAK và

3
BC)
Mà S
ABC
= S
KBM
= 36 cm
2
nên S
ABM
=
4
3
S
KBM
Hai tam giác KBM và ABM có chung chiều cao hạ từ đỉnh M nên đáy
AB =
4
3
BK
Đoạn BK dài là :
16
K
K
A
K
O
K
C
K

2
1
MC và trên cạnh CA lấy điểm NC =
3
1
NA. Đờng thẳng MN cắt
cạnh AB kéo dài tại điểm K .
a. Đờng thẳng MN cắt tam giác ABC thành 2 phần . Tính diện tích các
phần đó nếu biết diện tích tam giác ABC bằng 36 cm
2
b. So sánh đoạn KA và KB .
Nhận xét : Đờng thẳng MN chia tam
giác ABC thành 2 phần đó là tam giác
MNC và tứ giác ABMN . Để tính diện
tích 2 phần đó trớc hết ta cần tìm diện
tích tam giác MNC.
Tam giác MNC cha biết số đo cạnh đáy và chiều cao nên muốn tính
diện tích của nó ta phải tìm mối quan hệ của tam giác MNC với tam giác
có liên quan.
Cụ thể : - So sánh S
MNC
với S
AMC
- So sánh S
AMC
với S
ABC
Từ đó rút ra kết luận.
Giải
a. Nối A với M ta có :

4
1
CA)
Từ (1) và (2) ta có :
S
MNC
=
6
1
S
ABC

Diện tích tam giác MNC là :
36 ì
6
1
= 6 (cm
2
)
Diện tích tứ giác ABMN là :
36 - 6 = 30 (cm
2
)
b. S
KNC
=
3
1
S
KNA

(6)
18
Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy MB =
2
1
MC)
Từ (5) và (6) ta có :
3
1
S
KMA
= 2 ì S
KMB

Hay S
KMB
=
6
1
S
KMA
Hai tam giác KMB và KMA lại chung chiều cao hạ từ đỉnh M nên đáy
KB =
6
1
KA.

NBM
= 3 ì S
NMC
(2)
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy BM = 3 MC)
19
P
C
N
M
B
A
Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác
Từ (1) và (2) ta có : s
PBM
= 3 ì S
PNC
Mặt khác S
PAN
= 2 ì S
PNC
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy AN = 2 NC)
Vậy nếu gọi S
PNC
là 1 phần thì S
PAN
là 2 phần và S
PBN
là 3 phần

MNC
(6)
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy BC = 4 MC)
Từ (5) và (6) ta có : S
PNC
= 8 ì S
MNC
(5)
Hai tam giác PNC và MNC có chung chiều cao hạ từ đỉnh c nên đáy
PN = 8 ì MN hay MP = 9 ì MN.
Đáp số : a. 3 cm
b. MP = 9 ì MN
Bài toán 11 : Cho tam giác ABC có D, E lần lợt là điểm chính giữa các
cạnh AB, AC.
a. Hãy so sánh diện tích tam giác AEC với diện tích tam giác ABC.
b. M là 2 điểm bất kỳ trên BC . Đoạn AM cắt đoạn thẳng DE tậi I . Hãy
so sánh AI và IM.
20
Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác
Nhận xét : - So sánh diện tích 2 tam
giácADE và ABC ta cần so sánh qua 1 tam
giác trung gian là tam giác ABE .
- So sánh AI và IM thì ta xem AI và
IM là đáy của 2 tam giác nào đó. Sau đó dựa
vào các giả thiết để so sánh 2 tam giác đó .
Giải
a. Nối B với E ta có :
S
ADE

S
ADM
=
2
1
S
ABM
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AD =
2
1
AB)
S
AEM
=
2
1
S
ACM
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AE =
2
1
AC)
21
M
C
A
B
D
E
K

Nên S
DME
=
4
1
S
ABC
Hay S
ADE
=
4
1
S
DME
Hai tam giác ADE và DME có chung đáy DE nên chiều cao AH = MK
S
ADI
= S
DIM
(vì chung đáy DI, chiều cao AH = MK)
Hai tam giác ADI và DIM có chung chiều cao hạ từ đỉnh D nên đáy AI =
IM.
Đáp số : a. S
ADE
=
4
1
S
ABC
b. AI = IM

B
Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy AD =
3
1
AB)
S
ABE
=
3
1
S
ABC
(2)
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AE=
3
1
AC)
Từ (1) và (2) ta có : S
ADE
=
9
1
S
ABC
b. S
ADM
=
3

AMC
)
Hay S
ADME
=
3
1
S
ABC
Theo câu a) thì S
ADE
=
9
1
S
ABC
Nên S
ADE
=
3
1
S
ADME
Hay S
ADE
=
2
1
S
DME

1
S
ABC
b. AI =
3
1
AM.
Bài toán 13 : Cho hình thang ACBD có đáy là AB và CD. AC và BD cắt
nhau tại O. M là điểm chính giữa cạnh đáy AB. Đờng thẳng OM cắt cạnh
đáy CD tại N. So sánh đoạn CN với ND.
Nhận xét : CN và ND là cạnh đáy của 2 tam giác ODN và ONC.
Hai tam giác này có chung chiều
cao hạ từ đỉnh O nên để so sánh CN bà
ND thì ta phải so sánh diện tích của 2
tam giác đó.
Mặt khác 2 tam giác này lại có
chung đáy ON nên để so sánh diện tích
ta cần so sánh chiều cao DH và CK .
Hai chiều cao DH và CK ta so sánh đợc
dựa vào các tam giác có liên quan.
Giải
S
BMD
= S
AMC
(1)
(vì đáy AM = BM, chiều cao hạ từ đỉnh D và C là chiều cao của hình
thang ABCD)
S
AOM

a. So sánh các đoạn thẳng OB và OD, OA và OC
b. Tính diện tích các tam giác OAD và DCO, nếu biết diện tích hình
thang ABCD bằng 32 cm
2
Giải
a. S
ADC
= 3 ì S
ABC
(vì DC = 3 ì AB, chiều cao hạ từ
đỉnh A và C là chiều cao hình
thang ABCD)
Hai tam giác ADC và ABC có chung đáy AC nên chiều cao DH = 3 ì BK
S
AOD
= 3 ì S
AOB
(vì chung đáy OA, chiều cao DH = 3 ì BK)
Hai tam giác AOD và AOB có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên đáy
OD = 3 ì OB
Hoàn toàn tơng tự ta có OC = 3 ì OA
b. S
ACD
= S
BCD
(vì chung đáy CD, chiều cao hạ từ đỉnh A và B là chiều cao của hình
thang ABCD)
Hai tam giác ACD và BCD có chung hình OCD nên ta có
S
AOD