A – ĐẶT VẤN ĐỀ
Giải toán là một mạch kiến thức rất quan trọng trong ch¬ng tr×nh to¸n
tiÓu häc. Thông qua giải toán sẽ giúp học sinh luyện tập củng cố, vận dụng
tổng hợp các kiến thức và thao tác thực hành đã học. Qua giải toán học sinh
tích cực, sáng tạo hơn, suy luận logic hơn và nhạy bén hơn trong mọi vấn đề.
Các bài toán giải với muôn vàn các tình huống giúp cho học sinh tiếp cận, vận
dụng được kiến thức học tập môn toán vào phục vụ trong cuộc sống.
Bên cạnh những dạng toán điển hình được đưa vào dạy trong chương
trình sách giáo khoa Toán 4, 5 như: tìm hai số khi biết tổng và hiệu; tìm số
trung bình cộng; tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số, chuyển động đều,
Còn có nhiều dạng toán khác như: Bài toán về tính tuổi, Toán giải ngược từ
cuối, Toán giả thiết tạm, Toán về công việc chung … chủ yếu nhằm giúp học
sinh mở rộng và nâng cao.
Dạng toán về “Công việc chung” là dạng toán giải có lời văn rất thiết
thực với học sinh. Đây là dạng toán mà học sinh dễ nhầm lẫn với dạng toán
chuyển động, tìm số trung bình cộng… Nếu không nắm vững bản chất và
cách làm, học sinh sẽ rất vất vả khi giải, đặc biệt là những bài toán có nhiều
đối tượng cùng tham gia vào làm chung công việc nhưng không liên tục; dạng
toán công việc chung nhưng ẩn dưới tình huống về chuyển động, giải toán
công việc chung phối hợp với nhiều dạng toán khác.
Là giáo viên yêu thích môn toán, được phân công bồi dưỡng sinh giỏi
toán lớp 5, phụ trách Câu lạc bộ “Giải toán giải toán trên mạng VIOLIMPIC”
của trường, tôi nhận thấy những bài toán giải liên quan đến công việc chung
rất lí thú, có sức lôi cuốn. Nhưng cả giáo viên và học sinh đều còn nhiều
vướng mắc khi dạy và học dạng toán này. Vấn đề này đã làm tôi suy nghĩ và
trăn trở. Đó là động lực giúp tôi tìm tòi, nghiên cứu, phân loại, rút ra cách giải
chung về dạng toán. Tôi đem áp dụng trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi
và đạt được kết quả tương đối cao. Tôi đã làm thế nào? Tôi xin được chia sẻ
với các bạn đồng nghiệp qua đề tài: “Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải tốt dạng
toán công việc chung”. Với đề tài này, tôi chỉ tập trung nghiên cứu và áp
dụng giảng dạy phần toán giải về công việc chung. Mong nhận được sự góp ý

Trong đề thi có dạng toán liên quan đến công việc chung, đa số học
sinh đều mất điểm phần này. Có hai bài toán:
Bài 1 : Toán bắt đầu làm một công việc, được 30 ngày thì Toán nghỉ, sau đó
Thơ tiếp tục làm công việc đó một mình trong 5 ngày và cuối cùng hai bạn
cùng làm chung 10 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Nếu cùng làm từ đầu
Toán và Thơ có thế hoàn thành công việc trong 20 ngày. Biết rằng Toán và
Thơ làm năng suất không đổi. Hỏi Toán mất bao lâu để hoàn thành công việc
một mình?
Bài 2: Một người đi từ A đến B với vận tốc 50 km/ giờ. Lúc đi từ B về A vì
ngược gió nên vận tốc người đó chỉ đạt 40 km/ giờ. Tính vận tốc trung bình
cả đi lẫn về của người đó.
Kết quả khảo sát đội tuyển năm học 2010 – 2011gồm 18 em như sau:
Số H/S làm đúng Số H/S làm sai Số H/S không làm
Bài số 1 2em 6em 10em
Bài số 2 0em 18em 0em
Từ kết quả trên, tôi nhận thấy khả năng giải toán công việc chung của
học sinh còn rất nhiều hạn chế. Đa số học sinh nhầm lẫn về dạng toán trung
bình cộng (Bài 2). Bên cạnh đó, học sinh còn vướng mắc rất nhiều trong tìm
số phần công việc trong các giai đoạn làm việc cụ thể của các đối tượng tham
gia làm việc. Năm học mới, để tăng cường kĩ năng giải toán này, tôi tiến hành
nghiên cứu và cung cấp, rèn luyện dạng toán này khi học sinh đã được hoàn
thiện kiến thức về chuyển động. Vì thực tế cho thấy rất nhiều bài toán về công
việc chung bị nhầm với dạng toán chuyển động. Với cách dạy này, học sinh
của tôi đã làm tốt dạng toán “công việc chung” hơn. Tôi đã làm thế nào? Sau
đây tôi xin trình bày các giải pháp mà tôi đã thực hiện.
III. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.
Từ thực trạng trên, để có được kết quả như mong muốn tôi đã đưa ra
các giải pháp sau:
1. Tự học hỏi, nâng cao nghiệp vụ.
2

ngày ( x giờ, x phút ) thì trong 1 ngày (1 giờ, 1 phút )
làm được
x
1
công việc
- Công việc làm được = số phần công việc làm trong một giờ
×
thời gian làm
- Số phần công việc làm chung trong một ngày (giờ, phút )= tổng các số phần
làm riêng của các đối tượng trong một ngày (giờ, phút )
- Thiết lập nên mối quan hệ: Nếu thời gian làm càng nhiều thì số phần công
việc làm trong 1 ngày (1 giờ, 1 phút ) càng ít và ngược lại.
3. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO DẠNG, RÚT RA CÁCH LÀM.
3.1. Dạng 1: Công việc làm chung liên tục.
3.1.1. Dạng biết thời gian làm riêng từng người, tính thời gian làm chung.
3.1.1.a. Bài toán cơ bản hướng dẫn khai thác kiến thức.
Bài 1: Anh Bình làm xong sản phẩm trong 6 giờ, anh An làm xong sản phẩm
đó trong 9 giờ. Nếu hai anh làm chung thì bao lâu sẽ làm xong sản phẩm đó?
Phân tích đề:
Vì sản phẩm cần làm không đổi, coi sản phẩm đó là một đơn vị trọn vẹn.
? Để tìm được thời gian làm chung, cần biết những gì? (biết số phần công
việc làm chung được trong một giờ)
3
? Để tìm được trong một giờ làm chung được bao nhiêu phần công việc cần
biết gì? (biết số phần sản phẩm An làm được trong một giờ; phần sản phẩm
Bình làm được trong một giờ)
? Để biết mỗi anh làm mấy phần sản phẩm trong một giờ cần biết gì? (biết
thời gian mỗi người hoàn thành sản phẩm – bài toán đã cho biết)
Cách 1:
Định hướng giải toán:

5
(giờ)
Đổi:
18
5
giờ = 3 giờ 36 phút.
Đáp số: 3 giờ 36 phút.
Cách 2:
Định hướng giải toán: Số phần sản phẩm làm trong một giờ bằng số phần
công việc chung chia cho số giờ hoàn thành sản phẩm. Do đó số phần công
việc chung phải là số chia hết cho số giờ là 6 giờ và 9giờ.
Bước 1: - Chia toàn bộ sản phẩm thành 18 phần bằng nhau.
Bước 2: - Tìm số phần sản phẩm từng người làm được trong 1 giờ.
Bước 3: - Tìm số phần sản phẩm hai người làm được trong 1 giờ.
Bước 4: - Tìm thời gian hai người hoàn thành sản phẩm.
Hướng dẫn trình bày bài giải Giải:
Vì 18 chia hết cho 6 và 9 nên coi sản phẩm là 18 phần bằng nhau thì:
Số phần sản phẩm người thứ nhất làm trong 1 giờ là: 18:6 = 3 (phần).
Số phần sản phẩm người thứ hai làm trong 1 giờ là: 18: 9 = 2 (phần).
Số phần sản phẩm cả hai người làm trong 1 giờ là: 3 + 2 = 5 (phần).
Thời gian hai người cùng làm xong sản phẩm là :18 : 5 = 3,6 (giờ)
Đổi: 3,6 giờ = 3 giờ 36’.
Đáp số: 3 giờ 36 phút.
3.1.1.b. Rút ra cách giải của dạng toán.
Sau quá trình phân tích đề bài, định hướng, hướng dẫn học sinh giải bài
toán trên, tôi giúp các em rút ra cách làm chung cho những bài toán dạng này
theo 2 cách như sau: Cách 1:
Bước 1: Xác định công việc chung cần làm và coi như một đơn vị trọn vẹn.
4
Bước 2: Tìm lượng công việc từng đối tượng làm riêng trong 1 đơn vị thời

chính là công việc hai người cần hoàn thành.
? Bài toán thuộc dạng toán gì? ( bài toán thuộc dạng bài về công việc chung
chứ không phải là toán chuyển động)
Định hướng giải: Cách 1:
- Bước 1: Xác định quãng đường AB là công việc cần làm và là một đơn vị.
- Bước 2: Tìm phần quãng đường từng người đi trong 1 giờ.
- Bước 3: Tìm phần quãng đường hai người cùng đi được trong 1 giờ.
- Bước 4: Tìm thời gian hai người cùng đi đến khi gặp nhau.
Giải:
Coi quãng đường AB là một đơn vị trọn vẹn ta có:
Trong 1 giờ: Người thứ nhất đi được là: 1: 7 =
7
1
(quãng đường AB)
Người thứ hai đi được là: 1: 5 =
5
1
(quãng đường AB)
5
Hai người cùng đi được là:
7
1
+
5
1
=
35
12
(quãng đường AB)
Vậy thời gian hai người đi đến khi gặp nhau là: 1:

11
2
giờ=2 giờ 55 phút
Đáp số: 2 giờ 55 phút
Trước đây, giáo viên thường đưa bài này vào dạy trong quá trình dạy
toán chuyển động. Nhưng đây chính là bài toán giải về công việc chung được
ẩn dưới ngôn từ, yêu cầu của dạng toán về chuyển động nên tôi đưa những
bài toán dạng này vào phần giải toán về công việc chung.
Bài 2: Một bể nước có 4 vòi. Nếu mở vòi 1 và vòi 2 và vòi 3 cùng chảy thì
sau 12 phút sẽ đầy. Nếu chỉ có vòi 2, vòi 3 và vòi 4 cùng làm việc thì sau 15
phút sẽ đầy. Nếu chỉ có vòi 1 và vòi 4 cùng chảy thì sau 20 phút sẽ đầy bể.
Hỏi nếu tất cả cùng chảy thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Phân tích: Ở đây, lượng công việc cần làm là chảy đầy một bể nước.
? Để tìm được thời gian 4 vòi cùng chảy đến khi đầy bể thì cần tìm gì? (Số
phần bể cả 4 vòi cùng chảy trong 1 phút)
? Để tìm được số phần bể cả 4 vòi cùng chảy trong 1 giờ cần biết gì? (Số
phần bể bốn vòi cùng chảy với nhau trong 1 phút = 1:thời gian bốn vòi cùng
chảy).
Tôi khẳng định với học sinh: Trong 1 phút, số phần bể chảy được trong ba lần
chảy kết hợp gấp đôi tổng số phần bể mà bốn vòi cùng chảy. ( vì mỗi vòi
được bật hai lần với vòi khác)
? Muốn tìm số phần bể của mỗi lần kết hợp bật vòi ta cần biết gì? (thời gian
các vòi chảy kết hợp với nhau đầy bể - đến với dữ liệu bài toán đã cho)
Định hướng cách giải:
- Bước 1: Công việc cần làm trong bài là gì và coi công việc đó là một đơn vị.
- Bước 2: ? Mỗi phút vòi 1, vòi 2, vòi 3 chảy bao nhiêu bể?
6
? Mỗi phút vòi 2, vòi 3, vòi 4 chảy bao nhiêu bể?
? Mỗi phút vòi 1, vòi 4 chảy bao nhiêu bể?
- Bước 3: ? Mỗi phút ba vòi chảy bao nhiêu bể?

1
= 10 (phút)
Đáp số: 10 phút.
Cách 2:
Vì 60 chia hết cho 15, 20, 12 nên coi bể nước là 60 phần bằng nhau. Vậy
trong một phút: Vòi 1, vòi 2, vòi 3 chảy số phần bể là:60:15=4(phần)
Vòi 2, vòi 3, vòi 4 chảy số phần bể là:60:20=3(phần)
Vòi 1, vòi 4 chảy được số phần bể là: 60:12=5(phần)
Cả 4 vòi cùng chảy số phần bể là:(4+3+5):2=6(phần)
Vậy thời gian 4 vòi chảy đến khi đầy bể là: 60 : 6 = 10 (giờ)
Đáp số: 10 giờ
Bài 3 : Ba người cùng làm một công việc. Người thứ nhất hoàn thành công
việc trong 3 ngày. Người thứ hai hoàn thành một công việc nhiều gấp 3 lần
công việc đó trong 8 ngày. Người thứ ba hoàn thành một công việc nhiều gấp
5 lần công việc đó trong 12 ngày. Hỏi cả ba người cùng làm công việc ban
đầu thì sẽ hoàn thành trong bao nhiêu ngày ?
Phân tích đề bài:
?Muốn tính thời gian cả ba người cùng làm công việc ban đầu cần phải biết
gì? (biết số phần công việc cả ba người làm trong một ngày)
? Muốn tìm được số phần công việc cả ba người làm trong một ngày thì phải
biết gì? (biết số phần công việc mỗi người làm trong một ngày)
? Muốn tìm được số phần công việc mỗi người làm trong một ngày thì cần
tìm gì? (được thời gian người đó hoàn thành một công việc trọn vẹn)
? Muốn tìm thời gian hoàn thành 1 công việc trọn vẹn thì cần biết gì? (biết
tổng số công việc làm trong tổng số thời gian – dữ liệu của bài toán)
Định hướng giải toán:
Bước 1: ? Xác định công việc cần làm
? Thời gian hoàn thành 1 công việc của người thứ nhất là bao nhiêu?
? Một ngày người thứ nhất làm được bao nhiêu phần công việc?
? Thời gian hoàn thành 1 công việc của người thứ hai là bao nhiêu?

Thời gian người thứ ba hoàn thành công việc đó là:
5
12
5:12 =
(ngày)
Một ngày người thứ ba làm được số phần công việc là:
12
5
5
12
:1
=
(cv)
Một ngày ba người cùng làm được số phần công việc là:
8
9
12
5
8
3
3
1
=++
(cv)
Thời gian ba người hoàn thành công việc đó là:
9
8
8
9
:1

Định hướng giải toán:
Tôi giúp học sinh hiểu năng suất: là lượng rau chẻ được trong 1 giờ. Năng
suất gấp 2 lần nghĩa là lượng rau chẻ trong một giờ gấp đôi so với trước.
? Xác định công việc cần hoàn thành (1 kg rau chẻ).
Khẳng định: Trong bài tập công việc cần làm đã cụ thể về lượng
? Muốn tìm thời gian ba bạn hoàn thành 1 kg rau chẻ cần tìm gì? (số rau ba
bạn chẻ được trong 1 giờ hay năng suất của ba bạn)
8
Bước 4:
? Muốn tìm số rau mỗi bạn chẻ trong 1 giờ cần biết gì? (số rau mỗi bạn chẻ
trong 1 giờ = năng suất của bạn Hoàn vì năng suất của ba bạn như nhau)
Giải:
1 giờ Hoàn chẻ được số kg rau là: 1 : 2=
2
1
(kg rau)
Năng suất tăng lên nên 1 giờ mỗi bạn chẻ được số rau là:
2
1
x 2= 1 (kg rau)
Cả ba bạn trong 1 giờ chẻ được số kg rau là: 1 x 3 = 3 (kg)
Thời gian để 3 bạn hoàn thành 1 kg rau là: 1: 3 =
3
1
(giờ)
Đổi:
3
1
giờ = 20 phút.
Đáp số: 20 phút

học sinh lớp 5C,
3
10
học sinh lớp 5D cần biết gì? (năng
suất chung của số học sinh này.)
? Muốn tìm năng suất của
3
4
học sinh lớp 5A,
4
5
học sinh lớp 5B,
2
3
học sinh
lớp 5C,
3
10
học sinh lớp 5D cần biết gì? (năng suất của cả lớp 5A, 5B, 5C, 5D)
Giải:
Nếu coi việc quét sân trường là 1 đơn vị trọn vẹn thì trong một phút:
Lớp 5A làm được là: 1 : 30 =
30
1
(sân trường)
4
3
số HS lớp 5A làm được là:
×
30

1
3
2
40
1
=×
(sân trường)
Lớp 5D làm được là: 1: 36 =
36
1
(sân trường)
9
10
3
số HS lớp 5D làm được là:
120
1
10
3
36
1
=×
(sân trường)
3
4
học sinh lớp 5A,
4
5
học sinh lớp 5B,
2

học sinh lớp 5D hoàn thành xong quét sân trường là:
12
12
1
:1 =
(phút)
Đáp số: 12 phút
Cách 2 Giải:
Vì 360 chia hết cho 30, 24, 40,36 nên coi toàn bộ công việc quét sân trường
thành 360 phần bằng nhau thì trong một phút ta có:
Lớp 5A làm được là: 360 : 30 = 12 (phần)
Lớp 5B làm được là : 360 : 24 = 15 ( phần)
Lớp 5C làm được là : 360 : 40 = 9 (phần)
Lớp 5D làm được là : 360 : 36 = 10 (phần)
4
3
số HS lớp 5A làm được là: 12
×
4
3
= 9 (phần)

5
4
số HS lớp 5B làm được là: 15
×

5
4
= 12 (phần)

học sinh lớp 5A,
4
5
học sinh lớp 5B,
2
3
học sinh lớp 5C,
3
10
học sinh lớp 5D quét xong sân trường là : 360 : 30 = 12 (phút)
Đáp số : 12 phút
Qua hệ thống bài tập này tôi giúp học sinh nắm được rõ hơn bản chất
của làm chung, làm riêng. Học sinh phải suy luận logic để tìm ra đáp số vì
trong các bước giải cần khai thác triệt để dữ liệu bài toán:
Ở bài 1: Cần lưu ý ở bước 1: xác định công việc chung cần hoàn
thành là quãng đường AB.
Ở bài 2: Cần lưu ý ở bước 3: tìm tổng phần bể của bốn vòi trong 1 giờ
liên quan đến số lần kết hợp với các vòi khác trong các lần chảy.
Ở bài 3: Cần lưu ý ở bước 2: tìm thời gian hoàn thành 1 công việc trọn
vẹn của nười thứ hai và người thứ ba bị ẩn trong dữ liệu bài toán.
Ở bài 4: Cần lưu ý ở bước 3: tổng năng suất ba bạn gấp 3 lần năng suất
của Hoàn hôm đó; bước 2: tìm năng suất ngày thường, năng suất hôm đó;
bước 1: Công việc đã được cụ thể hóa về lượng.
10
Ở bài 5: xuất hiện nhiều phân số “gây nhiễu”học sinh. Cần lưu ý bước
3: xác định nhóm đối tượng tham gia vào làm chung công việc: bước 2: xử lí
các phân số trong bài để tìm lượng công việc làm được trong 1 phút.
3.1.1.d. Hệ thống bài tập củng cố, rèn luyện kĩ năng.
Bài 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể. Trong một giờ vòi thứ nhất chảy
được 24% bể, vòi thứ hai chảy được 2/5 bể. Hỏi cả hai vòi cùng chảy một lúc

(công việc).
Số công việc của người thợ thứ nhất làm trong 1 giờ là :
1
9
(công việc)
Số công việc của người thợ thứ hai làm trong 1 giờ là :
18
1
9
1
6
1
=−
(công việc).
Thời gian người thợ thứ hai làm một mình xong công việc là:
18
18
1
:1 =
(giờ)
Đáp số: 18 giờ.
Cách 2: Giải:
Vì 18 chia hết cho 6 và 9 nên coi công việc là 18 phần thì trong 1 giờ ta có:
Cả hai người cùng làm được là: 18 : 6 = 3 (phần)
Người thợ thứ nhất làm được là: 18 : 9 = 2 (phần)
Vậy, người thợ thứ nhất làm được là: 3 – 2 = 1 (phần)
11
Thời gian người thứ hai xong công việc một mình là: 18 : 1 = 18 (giờ)
Đáp số: 18 giờ.
3.1.2.b. Rút ra cách giải dạng toán.

-B2: Tìm phần việc làm chung, riêng
đã biết trong 1 đơn vị thời gian
-B4: Tìm phần việc làm riêng = hiệu
phần việc chung và riêng đã biết.
- Tìm thời gian làm riêng.
3.1.2.c. Các bài toán mở rộng và nâng cao.
Bài 1: Ba vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước. Nếu vòi I và vòi
II cùng chảy thì đầy bể trong 6 giờ. Nếu vòi II và vòi III cùng chảy thì đầy bể
trong 8 giờ. Nếu vòi I và vòi III cùng chảy thì đầy bể trong 12 giờ. Hỏi chỉ
một mình vòi III chảy thì đầy bể sau bao lâu?
Cách 1: Phân tích đề: Công việc chung là chảy đầy một bể nước. Để biết vòi
III chảy riêng đầy bể trong bao lâu, cần biết 1 giờ vòi III chảy được mấy phần
bể nước. Số phần bể nước vòi III chảy được chính là số phần bể nước còn lại.
Giải:
Coi toàn bộ bể nước là đơn vị tròn vẹn thì ta có, trong 1 giờ:
Vòi I và vòi II chảy được là: 1: 6 =
6
1
(bể nước)
Vòi II và vòi III chảy được là: 1: 8 =
8
1
(bể nước)
12
Vòi I và vòi III chảy được là: 1: 12 =
12
1
(bể nước)
Cả ba vòi chảy được là:
16

Vòi II và vòi III chảy được là:24 : 8 = 3 (phần)
Vòi I và vòi III chảy được là: 24 : 12= 2 (phần)
Cả ba vòi chảy được là: ( 4+3+2): 2 =
2
9
(phần)
Vòi III chảy được là:
2
1
4
2
9
=−
(phần)
Thời gian vòi III chảy riêng đầy bể là:
48
2
1
:24
=
(giờ)
Đáp số: 48 giờ.
Khi giải, lưu ý ở bước 3: tìm chính xác lượng bể ba vòi làm chung
trong 1 giờ liên quan đến số lần mỗi vòi tham gia chảy cùng các vòi khác.
3.1.2.d. Bài tập củng cố, rèn luyện kĩ năng.
Bài 1. Ba vòi cùng chảy vào bể nước thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể. Nếu
riêng vòi thứ nhất thì sau 6 giờ sẽ đầy bể, riêng vòi thứ hai chảy thì sau 4 giờ
sẽ đầy bể. Hỏi riêng vòi thứ ba chảy thì sau mấy giờ đầy bể ?
Bài 2. Ba người cùng làm một công việc. Nếu chỉ có người thứ nhất và
người thứ hai cùng làm thì phải mất 15 giờ mới xong công việc. Nếu chỉ

việc còn lại Long làm)
? Muốn tìm số công việc còn lại Long làm cần biết gì? (Số công việc chung
làm trong 1 ngày và số công việc đã làm chung trong 4 ngày)
? Muốn tìm thời gian Thành làm một mình xong công việc cần biết gì?
(lượng công việc Long làm và công việc làm chung làm trong 1 giờ)
Giải.
Coi công việc hai người làm là 1 đơn vị trọn vẹn thì ta có:
Trong 1 ngày hai người làm số công việc là: 1: 6 =
6
1
(công việc)
Trong 4 ngày hai người làm số công việc là:
6
1
x 4 =
3
2
(công việc)
Số công việc còn lại Long làm một mình là :1 –
3
2
=
3
1
(công việc)
3
1
công việc này Long hoàn thành trong 5 ngày. Vậy:
Trong 1 ngày Long làm số công việc là:
3

4 = 4 (phần)
Số phần công việc còn lại Long làm trong 5 ngày là: 6 – 4 = 2 (phần)
Trong mỗi ngày Long làm số phần công việc là: 2 : 5 =
5
2
(phần)
Thời gian Long hoàn thành công việc một mình là: 6 :
5
2
= 15 (ngày)
Trong mỗi ngày Thành làm số phần công việc là: 1 –
5
2
=
5
3
(phần)
14
Thời gian Thành hoàn thành công việc một mình là: 6 :
5
3
= 10 (ngày)
Đáp số : Thành : 10 ngày ; Long : 15ngày.
3.2.1.b. Rút ra cách giải chung cho dạng toán.
Sau bài tập, tôi hướng dẫn học sinh tìm cách giải dạng bài tập này
theo hai hướng cơ bản. Cách 1:
Bước 1: Xác định công việc cần làm và các giai đoạn làm việc.
Bước 2: Tìm lượng công việc làm chung, làm riêng đã biết trong 1 đơn vị
thời gian (dựa vào thời gian hoàn thành).
Bước 3: Tìm số phần công việc đã làm theo giai đoạn. (= lượng công việc

Toán và Thơ có thế hoàn thành công việc trong 20 ngày. Biết rằng Toán và
Thơ làm năng suất không đổi. Hỏi Toán mất bao lâu để hoàn thành công việc
một mình? Trích “Toán Tuổi Thơ”
Phân tích: Công việc Toán và Thơ cùng làm là không thay đổi.
? Công việc chia thành mấy giai đoạn? (ba giai đoạn: 30 ngày đầu: Toán làm;
5 ngày sau: Thơ làm; 10 ngày sau cùng: 2 bạn làm.)
? Để tìm thời gian Toán hoàn thành công việc 1 mình thì cần tìm gì? (số phần
công việc Toán làm trong 1 ngày.)
Vì Thơ làm việc chỉ trong 5 ngày mà Toán làm công việc trong 30
ngày. Ta chia phần việc của Toán làm hai giai đoạn: làm trong 25 ngày và
15
làm trong 5 ngày. Có thể coi Toán và Thơ cùng làm việc trong 5 ngày và phần
công việc còn lại Toán đã hoàn thành trong 25 ngày.
Cách 1: Giải:
Coi công việc cần làm là 1 đơn vị trọn vẹn thì ta có:
Trong 1 ngày làm chung hai bạn làm được là:
20
1
(công việc)
Trong 10 ngày làm chung hai bạn làm được là:
2
1
10
20
1
=×
(công việc)
Trong 5 ngày cả hai bạn làm được là:
4
1

Cách 2: Giải:
Coi toàn bộ công việc là 20 phần. Ta có:
Trong 1 ngày 2 bạn làm số phần công việc là: 20 : 20 = 1 (phần)
Trong 10 ngày 2 bạn làm số phần công việc là: 1
×
10 = 10 (phần)
Trong 5 ngày 2 bạn làm số phần công việc là: 1
×
5 = 5 (phần)
Nếu phần công việc làm 5 ngày của Toán ghép với phần công việc 5 ngày
của Thơ thì công việc còn lại Toán làm trong thời gian là: 30 – 5 = 25 (ngày)
Trong 25 ngày Toán làm số phần công việc là: 20 – 10 –5 = 5 (phần)
Trong 1 ngày Toán làm số phần công việc là: 5 : 25 =
5
1
(phần)
Thời gian Toán hoàn thành toàn bộ công việc là: 20 :
5
1
= 100 (ngày)
Đáp số: 100 ngày
Đối với bài này, cần xác định tốt các giai đoạn làm việc; xác định được
lượng công việc làm riêng cùng một lượng thời gian của hai người. Từ đó tìm
được số công việc còn lại làm trong thời gian còn lại của một người.
Bài 2: Hai người làm chung một công việc dự định trong 12 giờ thì xong. Họ
làm với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, người thứ hai tiếp tục làm.
Do tăng năng suất gấp đôi nên người thứ hai đã làm xong công việc trong 3
giờ 20 phút. Hỏi nếu người thứ hai làm một mình với năng suất dự định thì
phải mất bao lâu mới xong công việc?
Phân tích: Công việc cần làm không đổi. Công việc làm chia thành hai giai

1
=
(công việc)
Theo dự định một giờ người thứ hai làm được là:
20
1
602:
600
1
=×
(công việc)
Thời gian dự định người thứ hai hoàn thành công việc là:
20
20
1
:1 =
(giờ)
Đáp số: Người thứ hai: 20 giờ
Qua khai thác bài tập, tôi lưu ý học sinh phân biệt các giai đoạn công
việc phải rõ ràng theo thời gian, theo năng suất. Nếu làm riêng trong cùng
khoảng thời gian như nhau thì công việc làm được tính như ghép về công việc
làm chung trong cùng lượng thời gian đó.
3.2.1.d. Hệ thống bài tập rèn luyện kĩ năng.
Bài 1. Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì
xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì
cả hai người chỉ làm được
4
3
công việc. Hỏi một người làm công việc đó trong
mấy giờ thì xong?

Trong 6 giờ tổ Một làm được số phần công việc là: 6
×
9
1
=
3
2
(công việc)
Số phần công việc còn lại là:
2 1
1 (
3 3
− =
công việc)
Thời gian tổ Hai làm công việc còn lại là:
3
1
:
15
1
= 5 ( giờ)
Đáp số: 5 giờ
Cách 2:
Vì 45 chia hết cho 9 và 15 nên coi toàn bộ công việc là 45 phần bằng nhau.
Trong 1 giờ tổ Một làm được số phần công việc là: 45 : 9 = 5 (phần)
Trong 6 giờ tổ Một làm được số phần công việc là: 5 x 6 = 30 (phần)
Số phần công việc còn lại là: 45 – 30 = 15 (phần)
Trong 1 giờ tổ Hai làm được số phần công việc là: 45 : 15 = 3 ( phần)
Công việc còn lại tổ Hai hoàn thành trong thời gian là: 15 : 3 = 5 (giờ)
Đáp số: 5 giờ

(=số phần công việc còn lại : số phần công việc làm trong 1 đơn vị thời
gian)
18
Lưu ý phân biệt giữa 2 dạng toán:
Biết quá trình làm việc, tính thời gian
hoàn thành toàn bộ công việc.
Biết quá trình làm việc, tính thời gian làm
phần việc còn lại.
Bước 5: Tìm công việc làm trong 1
đơn vị thời gian dựa vào công việc
còn lại. (= số phần việc còn lại : thời
gian hoàn thành công việc còn lại)
Bước 6: Tìm thời gian hoàn thành
toàn bộ công việc của đối tượng cần
tìm. (= 1: lượng công việc làm trong
1 đơn vị thời gian)
Bước 5: Tìm lượng công việc làm
trong 1 đơn vị thời gian dựa vào công
việc còn lại. (= Tổng số phần công
việc : số phần việc còn lại)
Bước 6: Tìm thời gian hoàn thành
công việc còn lại của đối tượng cần
tìm. (= số phần công việc còn lại:
năng suất làm riêng)
3.2.2.c. Một số bài tập nâng cao, mở rộng kiến thức.
Bài 1: Ba vòi cùng chảy vào bể không có nước trong 2 giờ, sau đó tắt vòi thứ
nhất để hai vòi còn lại chảy trong 1 giờ rồi tắt vòi thứ hai. Hỏi vòi thứ ba phải
chảy thêm bao nhiêu giờ nữa thì đầy bể? Biết rằng: nếu chảy riêng từng vòi
vào bể không có nước thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 9 giờ, vòi thứ hai
chảy đầy bể trong 12 giờ, vòi thứ ba chảy đầy bể trong 18 giờ.

2
4
1
=×
(bể)
Còn lại số phần bể chưa có nước là:
2
1
2
1
1 =−
(bể)
Trong 1 giờ vòi thứ hai và thứ ba chảy được số phần bể là:
36
5
18
1
12
1
=+
(bể)
Đến khi tắt tiếp vòi thứ hai thì bể chưa có nước chiếm là:
36
13
36
5
2
1
=−
(bể)

giờ đầu chỉ có máy thứ nhất và máy thứ hai làm việc, sau đó hai máy này nghỉ
và máy thứ ba làm đến hết. Hãy tính xem máy thứ ba phải cày thêm bao nhiêu
lâu nữa mới xong cánh đồng?
Bài 2: Một bể nước có 2 vòi nước chảy vào bể. Nếu chỉ mở vòi A thì sau 5
giờ 12 phút thì đầy bể. Nếu chỉ mở vòi B thì sau 4 giờ 20 phút thì đầy bể. Khi
vòi A mở được 1 giờ, người ta mở tiếp vòi B thì sau 1 giờ cả hai vòi cùng
mở, chỉ còn 10,4 lít nước nữa thì đầy bể. Tính sức chứa của bể nước.
3.3. Dạng toán công việc chung phối hợp với các dạng toán khác
Bên cạnh những bài toán thuần về công việc chung còn có rất nhiều bài
toán có sự kết hợp giữa giải toán công việc chung với các dạng toán khác.
Qua thời gian nghiên cứu tôi thấy có nhiều bài toán lí thú sử dụng phương
pháp giải của công việc chung. Sự kết hợp này giúp cho các em linh hoạt hơn
trong lựa chọn phương pháp giải toán. Ví dự như:
Bài 1. Một người đi bộ từ A đến B, rồi lại trở về A mất 4 giờ 40 phút. Đường
từ A đến B lúc đầu là xuống dốc tiếp đó là đường bằng rồi lại lên dốc. Khi
xuống dốc người đó đi với vận tốc 5km/giờ, trên đường bằng với vận tốc
4km/giờ và khi lên dốc với vận tốc 3km/giờ. Hỏi quãng đường bằng dài bao
nhiêu biết quãng đường AB dài 9km.
Phân tích: Tương tự bài trên. Sau đó kết hợp cả dạng toán chuyển động và
dạng toán giải theo phương pháp thiết tạm để giải bài toán
Giải: Đổi 1giờ = 60 phút.
Cứ đi 1km đường xuống dốc hết:
5
1
5:1 =
(giờ)
Cứ đi 1km đường lên dốc hết:
3
1
3:1 =

giả thiết tạm. Lưu ý khi áp dụng giải toán công việc chung ta có thể sử dụng
thuật ngữ năng suất hoặc quãng đường đi trong một giờ (phút ) hay vận tốc
đều có ý nghĩa tương đương.
Bài 2: Tuổi và Thơ góp bánh ăn chung. Tuổi góp 3 chiếc. Thơ góp 5 chiếc,
vừa lúc đó Toán đi tới. Tuổi và Thơ mời Toán ăn cùng. Ăn xong Toán trả cho
2 bạn 8000 đồng. Hỏi Tuổi và Thơ nhận được mỗi người bao nhiêu tiền?
Phân tích và định hướng giải toán: Mỗi bạn ăn
3
1
số bánh góp lại. Tổng số
phần bánh phải là số chia hết cho số bạn và số bánh hiện có. Tỉ số phần bánh
mà Toán ăn của Thơ và của Tuổi là tỉ số số tiền Toán cần trả cho hai bạn.
Giải:
Tổng số bánh là: 3+5 = 8 (cái)
Vì 24 chia hết cho 8, 3 nên chia 8 cái bánh thành 24 phần bằng nhau.
Mỗi bạn ăn số phần bánh là: 24 : 3 = 8 (phần)
Số phần bánh Toán ăn của Tuổi là: 3 x 3 – 8 = 1 (phần)
Số phần bánh Toán ăn của Thơ là: 5 x 3 – 8 = 7 (phần)
Vì số bánh Toán ăn của Thơ gấp 7 lần số bánh Toán ăn của Tuổi nên
số tiền Toán trả cho Thơ gấp 7 lần Toán trả cho Tuổi.
Ta có sơ đồ:
Số tiền Toán trả cho Thơ là: 8000 : (7 + 1) x 7 = 7000 đồng
Số tiền Toán trả cho Tuổi là: 8000 – 7000 = 1000 đồng.
Đáp số: Tuổi nhận 1000 đồng; Thơ nhận 7000 đồng.
Bài toán giải phối hợp giữa công việc chung và toán tổng –tỉ số.
3.3.2. Một số bài tập tự luyện.
Bài 1: Hai bạn Toán và Văn xuất cùng một lúc từ A đến B. Trong nửa thời
gian đầu bạn Toán đi chơi với vận tốc 16km/giờ và trong nửa thời gian sau đi
với vận tốc 12 km/giờ. Còn bạn Văn trong nủa đầu quãng đường đầu đi với
vận tốc 12 km/giờ và trong nửa quãng đường sau đi với vận tốc 16 km/giờ.

hiu liờn tc ra cỏc thi tng hp kin thc trong ú cú dng toỏn v cụng
vic chung cng c thờm kin thc cho hc sinh v dng ny. Sau mi bi
thi, tụi chm cha bi k lng, hc sinh c tip xỳc nhiu vi dng toỏn.
T ú, cỏc em thờm vng kin thc v gii toỏn cụng vic chung.
5. KT QU
Vi cỏch dy hc nh trờn, tụi thy hc sinh cú nhiu tin b. Cỏc em
thớch hc dng toỏn hn. Tuy nhiờn khụng phi tt c cỏc em trong i tuyn
u lm tt cỏc bi tp tt c cỏc bi tp cú liờn quan n cụng vic chung.
Kt qu ca hc sinh gii bi toỏn liờn quan n cụng vic chung nh sau:
Bi 1: Một ngời đi quãng đờng AB với vận tốc 40 km/giờ trên nửa quãng đ-
ờng đầu và với vận tốc 30 km/giờ trên nửa quãng đờng sau. Hỏi trung bình
trên cả quãng đờng ngời đó đi với vận tốc bao nhiêu?
Bi 2: lm mt cụng vic, nu ngi th nht lm riờng mt mỡnh thỡ phi
mt 5 gi mi xong. Nu ngi th hai lm riờng mt mỡnh thỡ phi mt 7 gi
mi xong. Hi nu c hai ngi cựng lm cụng vic ú thỡ sau bao lõu s
xong? ( thi giao lu hc sinh gii cp huyn (Th Xuõn) nm 2011-2012)
HS lm ỳng HS lm sai HS khụng lm
Bi 1 13/16 2/16 1
Bi 2 15/16 1 0
Trong i tuyn i thi ca trng, ch cú Em Nht lm sai bi 2, em nhm
kt qu khi i t phn s ra hn s
35
11
2
. Cũn bi 1, vn cũn 1 em nhm vi
tớnh sang dng toỏn trung bỡnh cng, 1 em chia ra kt qu cú d, 1 em khụng
ghi ỏp ỏn vỡ thy kt qu l s khụng chia ht.
C. PHN KT LUN
Dng toỏn v cụng vic chung tng i phc tp. Vỡ vy, giỳp cỏc
em cú c k nng gii mt cỏch thun thc cn phi qua quỏ trỡnh rốn luyn