Chương II. TƯƠNG TÁC HẤP DẪN
__________________________________________________________________

88
Chương II
TƯƠNG TÁC HẤP DẪN
“Chúng ta có các định luật, nhưng không biết phải quy những định luật đó
về hệ quy chiếu nào, và tất cả lâu đài vật lý của chúng ta dường như được xây dựng trên cát.”
Albert Einstein
2.1. Định luật hấp dẫn và khối lượng quán tính trong trường hấp dẫn.
1. Định luật vạn vật hấp dẫn.
Theo quan niệm hiện hành, tương tác hấp dẫn là một trong 4 tương tác cơ
bản của Tự nhiên tuân theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton:

2
R
MM
F
BA
N
γ
−=
, (2.1)
ở đây M
A
và M
B
tương ứng là khối lượng hấp dẫn của vật thể A và vật thể B được
coi như tập trung tại khối tâm của chúng; γ là hằng số hấp dẫn >0; R là khoảng
cách giữa 2 vật thể đó; dấu (–) nói lên rằng đây là tương tác hút nhau. Tuy nhiên,
vì “vật thể” chỉ là một bộ phận cấu thành của thực thể vật lý, nên khái niệm tương

AB
R
MM
eF
2
γ
=
. (2.2)

a) HQC đặt trên vật thể A.

b) HQC đặt trên vật thể B.
Hình 2.1. Tương tác trong HQC thực.
0
X
g
BA
F
BA
V
ậ
t th
ể

A
V
ậ
t th
ể



X
Chương II. TƯƠNG TÁC HẤP DẪN
__________________________________________________________________

90
ở đây
e
FAB
là véc tơ đơn vị có hướng trùng với hướng của véc tơ lực tác động
F
AB
.

Nếu tính đến gia tốc chuyển động tương đối của vật thể B bằng:

FAB
AB
AB
dt
Rd
eg
2
2
=
, (2.3)
ta có thể xác định được khối lượng quán tính của vật thể B trong trường lực thế
của vật thể A theo công thức (1.54), cụ thể là:

AB

dt
Rd
eg
2
2
=
, (2.6)

BA
BA
BA
g
F
m =
. (2.7)
So sánh các biểu thức (2.2) và (2.3) với các biểu thức (2.5) và (2.6), ta có
nhận xét là cho dù 2 vật thể khác nhau ở khối lượng hấp dẫn (
M
A
≠
M
B
)
nhưng lực
tác động của vật thể này lên vật thể kia, hay gia tốc chuyển động tương đối giữa
chúng vẫn bằng nhau về giá trị, chỉ khác nhau về hướng:

BAAB
FF −=
, (2.8)

chung của 2 vật thể như được mô tả trên Hình 2.2. Khi đó, lực tác động đặt lên
mỗi vật, như đã biết, vẫn không thay đổi và do đó vẫn được xác định theo các biểu
thức (2.2) và (2.5), tuy nhiên, gia tốc chuyển động của chúng trong HQC này sẽ
khác nhau, ký hiệu là
g
Bvà
g
A

và gọi là
gia t
ố
c tuy
ệ
t
đố
i
. Nhưng vì gia tốc chuyển
động tương đối giữa chúng, về nguyên tắc, không thể phụ thuộc vào HQC nên ta
phải có:

BAABBA
gggg ==+
. (2.11)

Hình 2.2. HQC ảo đặt tại khối tâm chung của hệ 2 vật thể
X

B
A
e
FAB

e
FBA

Chương II. TƯƠNG TÁC HẤP DẪN
__________________________________________________________________

92
Khi đó, đối với khối lượng quán tính của các vật thể A và B trong HQC khối tâm
có thể viết tương tự như với các biểu thức (2.4) và (2.7), chỉ cần thay gia tốc
tương đối bằng gia tốc tuyệt đối:

A
BA
A
m
g
F
=
;
B
AB
B
m
g
F

AB
= F
BA
.
(2.14)
Thay (2.14) vào (2.11) rồi biến đổi đi ta được:









+
==
BA
BA
NBAAB
mm
mm
Fgg
. (2.15)
Thay biểu thức (2.15) vào các biểu thức (2.4) hoặc (2.7), ta nhận được:

BA
BA
BAAB
mm

, ta lấy tích phân cả 2 vế của (2.17)

∫∫
=
BBAA
dRmdRm

sẽ thu được:
BBAA
RmRm =
. (2.18)
Chia cả 2 vế của (1.47) ở mục
1.3.5
cho 2 vế tương ứng của (2.18), ta có:

k
m
M
m
M
B
B
A
A
==
. (2.19)
Hệ số
k
này đặc trưng cho sự khác nhau giữa khối lượng hấp dẫn và khối lượng
quán tính riêng mà ta sẽ còn bàn tới ngay dưới đây. Bên cạnh đó, có thể viết lại

2
, (2.21)
ở

đ
ây ta ký hi
ệ
u
FAB
AB
B
B
R
M
eg
2
γ
γ
=
,
FBA
BA
A
A
R
M
eg
2
γ
γ

ng
ứ
ng. Vì
γ
là
đặ
c tr
ư
ng c
ủ
a tr
ườ
ng l
ự
c th
ế
nên ta dùng ký hi
ệ
u này làm ch
ỉ
s
ố
d
ướ
i c
ủ
a
c
ườ
ng

ng l
ự
c th
ế
g, còn ch
ỉ
s
ố
“
A
” hay “
B
” li
ề
n ngay sau
đ
ó liên quan tr
ự
c ti
ế
p
t
ớ
i v
ậ
t th
ể
gây nên tr
ườ
ng l

ng l
ự
c th
ế
theo (2.22) ng
ượ
c v
ớ
i ch
ỉ
s
ố
d
ướ
i c
ủ
a gia t
ố
c
Ch
ươ
ng II. T
ƯƠ
NG TÁC H
Ấ
P D
Ẫ
N
__________________________________________________________________


A
A
k
m
M
γγ
ggg ==
)(
, (2.23)

AA
B
B
B
k
m
M
γγ
ggg ==
)(
, (2.24)
Bi
ể
u th
ứ
c (2.23) và (2.24) cho ta quan h
ệ
gi
ữ
a gia t

ố
c tuy
ệ
t
đố
i
, v
ớ
i
c
ườ
ng
độ
tuy
ệ
t
đố
i c
ủ
a tr
ườ
ng l
ự
c th
ế
c
ủ
a chúng. Thay các bi
ể
u th

γAB

=
g
γBA
=
g
γB
+
g
γA
(2.26)
và g
ọ
i là
c
ườ
ng
độ
t
ươ
ng
đố
i
c
ủ
a tr
ườ
ng l
ự

i, ta
đượ
c bi
ể
u th
ứ
c xác
đị
nh
gia t
ố
c t
ươ
ng
đố
i
ph
ụ
thu
ộ
c vào kh
ố
i l
ượ
ng
h
ấ
p d
ẫ
n c


)(
BA
BA
BAAB
MMk
MM
mm
+
==
. (2.28)
T
ừ
bi
ể
u th
ứ
c (2.27) có th
ể
th
ấ
y các v
ậ
t th
ể
có kh
ố
i l
ượ
ng h

Ấ
P D
Ẫ
N
__________________________________________________________________

95
th
ể
, n
ế
u cho
M
B

là kh
ố
i l
ượ
ng h
ấ
p d
ẫ
n c
ủ
a v
ậ
t th
ể
còn

. (2.29)
Th
ự
c t
ế
v
ớ
i m
ứ
c sai s
ố
10
-24
là không th
ể
phát hi
ệ
n
đượ
c trong thí nghi
ệ
m “r
ơ
i t
ự

do” c
ủ
a Galileo (xem Hình 2.3a).


trùng v
ớ
i HQC kh
ố
i tâm chung c
ủ
a v
ậ
t r
ơ
i (
B
) và Trái
đấ
t
(
A
), do
đ
ó v
ớ
i sai s
ố
10
-24
, c
ũ
ng có th
ể
nói là Galileo

ố
i l
ượ
ng quán tính
chung
m
BA
và gia t
ố
c t
ươ
ng
đố
i
g
BA
. Có ngh
ĩ
a là b
ằ
ng th
ự
c nghi
ệ
m, có th
ể
kh
ẳ
ng
đị

ậ
t có kh
ố
i l
ượ
ng h
ấ
p d
ẫ
n c
ỡ
kh
ố
i l
ượ
ng h
ấ
p d
ẫ
n c
ủ
a
Trái
đấ
t (xem Hình 2.3b). Khi
đ
ó, HQC g
ắ
n v
ớ

o
đượ
c” ch
ắ
c ch
ắ
n s
ẽ
l
ớ
n g
ầ
n g
ấ
p 2 l
ầ
n gia t
ố
c c
ủ
a v
ậ
t
r
ơ
i t
ự
do trong thí nghi
ệ
m mà ông

ậ
t th
ử

g
2
~ 2
g
g
3
>>
g
g
1
=
g
Trái
đấ
t
Hình 2.3. Các v
ậ
t th
ể
khác nhau s
ẽ
r
ơ
i khác nhau
Ch
ươ

s
ẽ

hoàn toàn
đả
o ng
ượ
c n
ế
u “v
ậ
t th
ử
” c
ủ
a Galileo có kh
ố
i l
ượ
ng h
ấ
p d
ẫ
n l
ớ
n c
ỡ
M
ặ
t

ộ
i l
ầ
n gia t
ố
c mà ông
đ
ã
đ
o
đượ
c v
ớ
i các viên bi s
ắ
t, nh
ư
ng
lúc này l
ẽ
ra ph
ả
i g
ọ
i là “gia t
ố
c r
ơ
i t
ự

úng khi các v
ậ
t thí nghi
ệ
m
có kh
ố
i l
ượ
ng h
ấ
p d
ẫ
n nh
ỏ
h
ơ
n nhi
ề
u so v
ớ
i kh
ố
i l
ượ
ng h
ấ
p d
ẫ
n c

c
ủ
a chính nó trong
tr
ườ
ng h
ấ
p d
ẫ
n c
ủ
a Trái
đấ
t mà thôi. Trong tr
ườ
ng h
ợ
p chung, chính quan
đ
i
ể
m
c
ủ
a Aristotle cho r
ằ
ng m
ỗ
i v
ậ

đ
i
ể
m khác nhau. Và
nguyên lý t
ươ
ng
đươ
ng
– kh
ố
i l
ượ
ng quán tính t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i kh
ố
i l
ượ
ng h
ấ
p
d
ẫ
n, ch
ỉ

i các v
ậ
t th
ể
có kh
ố
i l
ượ
ng h
ấ
p
d
ẫ
n l
ớ
n h
ơ
n h
ẳ
n so v
ớ
i kh
ố
i l
ượ
ng h
ấ
p d
ẫ
n c

ậ
t th
ể

đượ
c xem xét
đ
ó c
ũ
ng có th
ể
coi là kh
ố
i l
ượ
ng quán tính riêng, c
ũ
ng t
ứ
c là
t
ươ
ng
đươ
ng kh
ố
i l
ượ
ng h
ấ

c ch
ấ
t l
ạ
i ch
ỉ
có th
ể

phát bi
ể
u
đượ
c trong m
ộ
t HQC
ả
o. Ng
ượ
c l
ạ
i, n
ế
u HQC
đượ
c l
ự
a ch
ọ
n

p d
ẫ
n c
ủ
a
v
ậ
t th
ể
khác mà nó chuy
ể
n
độ
ng trong
đ
ó thì khi gia t
ố
c nó lên b
ằ
ng m
ộ
t cách nào
đ
ó (có l
ẽ
ch
ỉ
có th
ể
dùng

ng l
ự
c “h
ấ
p d
ẫ
n” b
ằ
ng v
ớ
i l
ự
c
để
gia t
ố
c v
ậ
t th
ể

đ
ó –
nguyên lý t
ươ
ng
đươ
ng m
ạ
nh

ệ
n c
ủ
a
Ch
ươ
ng II. T
ƯƠ
NG TÁC H
Ấ
P D
Ẫ
N
__________________________________________________________________

97
nguyên lý t
ươ
ng
đươ
ng m
ạ
nh c
ủ
a Einstein ph
ả
i là khi v
ậ
t th
ể

ng? Hay nói cách khác, m
ộ
t cách t
ổ
ng
quát, không t
ồ
n t
ạ
i nguyên lý t
ươ
ng
đươ
ng nào c
ả
.
Tuy nhiên, ngoài tính c
ụ
c b
ộ
v
ề
m
ặ
t không gian nh
ư
chúng ta
đ
ã bi
ế

v
ậ
y ch
ỉ
có th
ể
trong m
ộ
t kho
ả
ng th
ờ
i gian h
ữ
u h
ạ
n,
ph
ụ
thu
ộ
c vào n
ă
ng l
ượ
ng cho vi
ệ
c gia t
ố
c

ư
m
ộ
t quy lu
ậ
t hay m
ộ
t
nguyên lý theo
đ
úng ngh
ĩ
a c
ủ
a c
ủ
a nó?
Đấ
y là còn ch
ư
a k
ể
t
ớ
i khi t
ươ
ng tác
không ph
ả
i là h

“t
ươ
ng
đươ
ng”
đ
ó?
T
ừ
quan ni
ệ
m m
ớ
i này v
ề
kh
ố
i l
ượ
ng quán tính, ta có th
ể
th
ấ
y m
ọ
i quá trình
độ
ng l
ự
c h

ng quán tính chung và vì v
ậ
y, v
ề
sau này
đố
i v
ớ
i các tính toán chính xác,
ph
ả
i thay kh
ố
i
l
ượ
ng quán tính riêng
xác
đị
nh theo (2.4) và (2.7) b
ằ
ng
kh
ố
i l
ượ
ng
quán tính chung
(2.28) v
ớ

và t
ươ
ng
ứ
ng là phân bi
ệ
t gia t
ố
c tuy
ệ
t
đố
i

đượ
c xác
đị
nh theo (2.23) và (2.24) v
ớ
i
gia t
ố
c t
ươ
ng
đố
i

đượ
c xác

t l
ạ
i
đẳ
ng th
ứ
c (2.25):
g
=
g
γ
, (2.32)
Ch
ươ
ng II. T
ƯƠ
NG TÁC H
Ấ
P D
Ẫ
N
__________________________________________________________________

98
t
ứ
c là gia t
ố
c t
ươ

c
ủ
a tr
ườ
ng l
ự
c th
ế

đ
ó. Vì chuy
ể
n
độ
ng này không có s
ự
can
thi
ệ
p c
ủ
a th
ự
c th
ể
v
ậ
t lý th
ứ
ba nên

ườ
ng h
ấ
p d
ẫ
n thay cho
đị
nh lu
ậ
t r
ơ
i
t
ự
do c
ủ
a Galileo, v
ề
th
ự
c ch
ấ
t
đượ
c xác
đị
nh theo bi
ể
u th
ứ

ứ
c
(2.4) và (2.7) d
ướ
i d
ạ
ng m
ộ
t bi
ể
u th
ứ
c:

γ
g
F
m
N
=
. (2.33)
T
ừ
bi
ể
u th
ứ
c (2.33), có th
ể
nói r

c
ủ
a chuy
ể
n
độ
ng t
ươ
ng
đố
i gi
ữ
a chúng (khi chúng chuy
ể
n
độ
ng), mà còn có th
ể
thông qua
c
ườ
ng
độ
t
ươ
ng
đố
i
g
γ

trên, có th
ể

đ
i
đế
n m
ộ
t k
ế
t lu
ậ
n cu
ố
i cùng:
kh
ố
i l
ượ
ng quán tính c
ủ
a m
ộ
t v
ậ
t th
ể
trong m
ộ
t tr

ng l
ự
c th
ế
t
ạ
i
đ
i
ể
m mà v
ậ
t th
ể

đ
ang t
ồ
n t
ạ
i
ở

đ
ó
. Nh
ư
v
ậ
y, có th

ộ
t lo
ạ
i tr
ườ
ng l
ự
c th
ế
xác
đị
nh, c
ụ
th
ể

ở

đ
ây là
tr
ườ
ng h
ấ
p d
ẫ
n, luôn là
đạ
i l
ượ

ấ
p d
ẫ
n
M
A

và
M
B
), m
ặ
c dù các
đạ
i l
ượ
ng
để
xác
đị
nh nó là l
ự
c

và gia t
ố
c hay c
ườ
ng
độ

ƯƠ
NG TÁC H
Ấ
P D
Ẫ
N
__________________________________________________________________

99
M
ặ
t khác, các bi
ể
u th
ứ
c t
ừ
(2.30)
đế
n (2.33)
đề
u
đượ
c vi
ế
t trong HQC th
ự
c
đặ
t trên b

ki
ể
m tra các k
ế
t qu
ả

đ
o
đạ
c th
ự
c nghi
ệ
m và, h
ơ
n th
ế
n
ữ
a, m
ọ
i
quá trình tác
độ
ng l
ẫ
n nhau gi
ữ
a các v


đ
âu
để
quan sát chúng, nên
ch
ỉ
có kh
ố
i l
ượ
ng quán tính chung xác
đị
nh theo (2.30) là th
ậ
t s
ự
có ý ngh
ĩ
a v
ề

độ
ng l
ự
c h
ọ
c, còn kh
ố
i l

ượ
ng quán tính riêng b
ằ
ng kh
ố
i
l
ượ
ng h
ấ
p d
ẫ
n ch
ỉ
trong HQC kh
ố
i tâm hay HQC tâm quán tính, m
ớ
i ch
ỉ
là k
ế
t
qu
ả

đượ
c rút ra t
ừ
vi

ng trong th
ờ
i gian không xa, m
ọ
i vi
ệ
c s
ẽ

đượ
c sáng t
ỏ
vì
d
ẫ
u sao, ph
ạ
m vi c
ủ
a hi
ệ
n t
ượ
ng
đ
ã
đượ
c gi
ớ
i h

ọ
c c
ủ
a tr
ườ
ng h
ấ
p
d
ẫ
n nh
ư
ng ch
ư
a xét t
ớ
i k
ế
t qu
ả
tác
độ
ng c
ủ
a nó t
ớ
i y
ế
u t
ố

bi
ế
n
đổ
i
đ
i và vi
ế
t l
ạ
i
ở
d
ạ
ng:

N
Fmg
=
hay
N
m Fg
=
, (2.34)
ho
ặ
c d
ướ
i d
ạ

ƯƠ
NG TÁC H
Ấ
P D
Ẫ
N
__________________________________________________________________

100
ở

đ
ây e
V
và e
F

t
ươ
ng
ứ
ng là các véc t
ơ

đơ
n v
ị
theo chi
ề
u c

) – v
ớ
i l
ư
u ý là d
ướ
i tác
độ
ng c
ủ
a l
ự
c h
ấ
p d
ẫ
n, các v
ậ
t th
ể

chuy
ể
n
độ
ng l
ạ
i g
ầ
n nhau nên s

g
ọ
i là
công nguyên t
ố
c
ủ
a l
ự
c tác
độ
ng
. Cân b
ằ
ng c
ả
2 v
ế
này:

FV
F
dA
mV
d ee =−
)
2
(
2
(2.38)

R
0
và sau khi d
ị
ch chuy
ể
n
đượ
c quãng
đườ
ng (
R
0
–
R
)

d
ướ
i tác
độ
ng
c
ủ
a l
ự
c
F
N
, v

0
2
0
)
2
( ee
(2.39)
ta
đượ
c:
FV
F
mV
Ae =−
2
2
. (2.40)
Ký hi
ệ
u:
2
2
F
V
mV
K −=
hay
V
F
V

ẫ
n và do
đ
ó:

FV
AK
=
. (2.42)
Có ngh
ĩ
a là công c
ủ
a l
ự
c tác
độ
ng c
ủ
a tr
ườ
ng h
ấ
p d
ẫ
n c
ũ
ng là
đạ
i l

đườ
ng c
ũ
ng là
đạ
i l
ượ
ng véc t
ơ
nên công c
ủ
a l
ự
c tác
độ
ng
đượ
c xác
đị
nh
Ch
ươ
ng II. T
ƯƠ
NG TÁC H
Ấ
P D
Ẫ
N
__________________________________________________________________

ị
coi là nh
ữ
ng
đạ
i l
ượ
ng vô h
ướ
ng nh
ư

đượ
c xem xét
ở
Ph
ụ
l
ụ
c 8 và 9.
Nói cách khác, l
ự
c tr
ườ
ng th
ế
t
ạ
o ra
độ

ă
ng l
ượ
ng
<0) t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i công
A
<0. M
ặ
t khác, n
ế
u thay giá tr
ị
c
ủ
a l
ự
c tác
độ
ng
F
N

b
ở







−=−
∫
11
0
2
0
γγ
. (2.43)
N
ế
u
đả
m b
ả
o R<<R
0
ta có th
ể
vi
ế
t l
ạ
i (3.43) d
ướ

B
. (2.45)
V
ế
ph
ả
i c
ủ
a (2.44) chính là gía tr
ị
th
ế
n
ă
ng c
ủ
a tr
ườ
ng l
ự
c th
ế
t
ạ
i kho
ả
ng cách
m
ớ
i R sau khi v

c
ũ
ng sinh ra th
ế
n
ă
ng cho
v
ậ
t th
ể

đ
ó
ở
v
ị
trí m
ớ
i có cùng m
ộ
t h
ướ
ng v
ớ
i
độ
ng n
ă
ng c

ế
t qu
ả
c
ủ
a t
ươ
ng
tác gi
ữ
a các v
ậ
t th
ể
trong tr
ườ
ng l
ự
c th
ế
mà còn do va ch
ạ
m tr
ự
c ti
ế
p c
ủ
a v
ậ

t th
ể
không có th
ự
c th
ể
v
ậ
t lý th
ứ
ba.
Ch
ươ
ng II. T
ƯƠ
NG TÁC H
Ấ
P D
Ẫ
N
__________________________________________________________________

102
+ Va ch
ạ
m trong HQC th
ự
c.
Khi ch
ỉ

ạ
i n
ă
ng c
ủ
a chúng hoàn toàn b
ằ
ng nhau. Khi 2 v
ậ
t th
ể

va ch
ạ
m nhau, s
ẽ
xuât hi
ệ
n l
ự
c va ch
ạ
m có h
ướ
ng trùng v
ớ
i h
ướ
ng c
ủ

t t
ạ
i tâm c
ủ
a v
ậ
t th
ể

A
(xem Hình 2.4). C
ụ
th
ể
là t
ừ
các bi
ể
u
th
ứ
c (2.42) và (2.46), ta có:

)()( RR
UK
=
, (2.47)
t
ứ
c là

ó, th
ế
n
ă
ng t
ạ
i
đ
i
ể
m
đ
ó là do l
ự
c tr
ườ
ng th
ế

F
N
(R) gây ra vào th
ờ
i
đ
i
ể
m va ch
ạ
m nên l

N
FF
= . (2.48)

Hình 2.4. Va ch
ạ
m gi
ữ
a 2 v
ậ
t th
ể
trong HQC th
ự
c.
Nh
ư
ng theo
đị
nh lu
ậ
t tác
độ
ng – ph
ả
n tác
độ
ng, s
ẽ
xu

ậ
y, n
ế
u va ch
ạ
m
đượ
c coi là
đ
àn
h
ồ
i, có ngh
ĩ
a là tr
ướ
c và sau khi va ch
ạ
m, n
ộ
i n
ă
ng c
ủ
a các th
ự
c th
ể
v
ậ


R
0
R
X
Y
V
ậ
t th
ể

A

0
V
ậ
t th
ể

B

Ch
ươ
ng II. T
ƯƠ
NG TÁC H
Ấ
P D
Ẫ
N

i
v
ậ
n t
ố
c –
V
theo h
ướ
ng ng
ượ
c v
ớ
i chi
ề
u chuy
ể
n
độ
ng tr
ướ
c lúc x
ẩ
y ra va ch
ạ
m:

Vph
mV
eK

ng c
ủ
a l
ự
c tác
độ
ng c
ũ
ng nh
ư
v
ậ
n t
ố
c c
ầ
n
đả
o ng
ượ
c l
ạ
i 180º.
T
ừ

đ
ây có th
ể
th

ỗ
i hay t
ừ
góc
độ

Trái
đấ
t, n
ă
ng l
ượ
ng
đượ
c chuy
ể
n hóa là nh
ư
nhau. Có th
ể
l
ấ
y m
ộ
t ví d
ụ
khác, hãy
t
ưở
ng t

là
t
ưở
ng t
ượ
ng nên không tính
đế
n kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a “ta”) – nh
ư
th
ế
m
ớ
i là hoàn toàn
bình th
ườ
ng ch
ứ
? Nói cách khác,
độ
ng n
ă
ng c
ủ

th
ế
tác
độ
ng lên chúng c
ũ
ng nh
ư
th
ế
n
ă
ng c
ủ
a chúng v
ố
n d
ĩ

đ
ã b
ằ
ng nhau r
ồ
i, mà
độ
ng n
ă
ng r
ơ

ầ
n c
ủ
a m
ỗ
i v
ậ
t th
ể
ch
ỉ
khác nhau
ở
n
ộ
i n
ă
ng c
ủ
a chúng mà Trái
đấ
t l
ạ
i có n
ộ
i n
ă
ng l
ớ
n h

ng
ho
ặ
c k
ế
t qu
ả
t
ươ
ng tác gi
ữ
a chúng mà l
ự
c t
ươ
ng tác thì luôn b
ằ
ng nhau r
ồ
i nên,
trong quan h
ệ
n
ă
ng l
ượ
ng gi
ữ
a chúng, tuân theo nguyên lý cho – nh
ậ

táo hay con mu
ỗ
i có th
ể
nh
ậ
n!
+ Va ch
ạ
m trong HQC tâm quán tính
ả
o.
Ch
ươ
ng II. T
ƯƠ
NG TÁC H
Ấ
P D
Ẫ
N
__________________________________________________________________

104
Gi
ả
s
ử
ta có 2 v
ậ

do
đ
ó,
độ
ng n
ă
ng c
ủ
a chúng s
ẽ
b
ằ
ng:

VA
OAA
ABA
Vm
R
eK
2
)(
2
=
;
VB
OBB
BAB
Vm
R

n t
ố
c c
ủ
a chúng t
ươ
ng
ứ
ng là
V’
OA

và
V’
OB
, n
ế
u n
ộ
i n
ă
ng c
ủ
a các v
ậ
t th
ể
sau
khi va ch
ạ

ậ
t th
ể
tr
ướ
c và sau khi va ch
ạ
m ph
ả
i
đượ
c b
ả
o toàn:

2
'
2
'
22
2222
OBBOAAOBBAOA
VmVmVmVm
+=+
. (2.52)
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình (2.51) và (2.52) ra, ta

ố
c c
ủ
a các v
ậ
t th
ể
sau khi va
ch
ạ
m b
ằ
ng v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a chúng tr
ướ
c khi va ch
ạ
m nh
ư
ng ng
ượ
c h
ướ

ng tâm.
Gi
ả
s
ử
có 2 v
ậ
t th
ể

A
và
B
chuy
ể
n
độ
ng theo
đườ
ng n
ố
i tr
ọ
ng tâm c
ủ
a nhau
v
ớ
i v
ậ

đ
ó, có th
ể
b
ỏ
qua tr
ườ
ng l
ự
c th
ế
gi
ữ
a 2 th
ự
c th
ể
v
ậ
t lý
A
và
B
,
vì v
ậ
y, kh
ố
i l
ượ

105

AA
CA
CA
AC
mM
MM
MM
m =≈
+
=
; (2.54)

BB
CB
CB
BC
mM
MM
MM
m =≈
+
=
. (2.55)

HQC
đượ
c l
ự

,
F
hB

và l
ự
c tác
độ
ng tr
ự
c ti
ế
p t
ừ
b
ề
m
ặ
t c
ủ
a Trái
đấ
t
N
A
,
N
B

lên các v

độ
ng nên có
th
ể
không c
ầ
n tính
đế
n n
ữ
a. Nh
ư
v
ậ
y, v
ớ
i các quan h
ệ
mô t
ả
b
ở
i các bi
ể
u th
ứ
c
2.54) và (2.55), có th
ể
th

a 2 v
ậ
t th
ể

A
và
B
, còn kh
ố
i l
ượ
ng quán tính c
ủ
a các v
ậ
t th
ể

đề
u b
ằ
ng kh
ố
i l
ượ
ng h
ấ
p d
ẫ

i di
ễ
n gi
ả
i thêm n
ữ
a mà có th
ể
vi
ế
t luôn các k
ế
t qu
ả
tính toán theo
ph
ươ
ng pháp c
ổ

đ
i
ể
n:
A
B
C
C
A
B

B
F
hA
F
hB
Hình 2.5. Va ch
ạ
m h
ướ
ng tâm gi
ữ
a 2 v
ậ
t th
ể
trong tr
ườ
ng l
ự
c th
ế

c
ủ
a th
ự
c th
ể
v
ậ

+
−
=
2
' , (2.57)

B
BA
AB
A
BA
A
B
mm
mm
mm
m
VVV
+
−
+
+
=
2
' . (2.58)
T
ừ
(2.57) và (2.58) có th
ể
th

i v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a v
ậ
t th
ể

A
tr
ướ
c khi va ch
ạ
m n
ế
u
m
A

>
m
B
,

nh
ư
ng m

c chuy
ể
n toàn b
ộ

độ
ng n
ă
ng c
ủ
a nó cho v
ậ
t th
ể

B
,

n
ế
u
m
A
=
m
B
, ho
ặ
c
đổ

c m
ộ
t ph
ầ
n cho v
ậ
t th
ể

B
.
Đ
ó c
ũ
ng là lý do vì sao trong ph
ạ
m vi c
ơ
h
ọ
c c
ổ

đ
i
ể
n, m
ọ
i tính toán
đề

ệ
m kh
ố
i l
ượ
ng quán
tính t
ự
thân và s
ự
b
ằ
ng nhau c
ủ
a nó v
ớ
i kh
ố
i l
ượ
ng h
ấ
p d
ẫ
n
đầ
y bí hi
ể
m – sai s
ố

v
ậ
t lý th
ứ
3 này quá nh
ỏ

để
có
th
ể
b
ỏ
qua so v
ớ
i tr
ườ
ng l
ự
c th
ế
c
ủ
a chính các th
ự
c th
ể
v
ậ
t lý

HQC – lúc
này s
ẽ

đượ
c
đặ
t t
ạ
i v
ậ
t th
ể

C
, do
đ
ó s
ẽ
có thêm chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a kh
ố
i tâm chung
c
ủ

ưở
ng
t
ớ
i k
ế
t qu
ả
va ch
ạ
m tính theo bi
ể
u th
ứ
c (2.53). Tuy nhiên, có l
ẽ
v
ẫ
n c
ầ
n ph
ả
i nói
thêm r
ằ
ng trong th
ự
c t
ế
, các va ch

t lý khác n
ữ
a khi
ế
n cho qu
ỹ

đạ
o chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a các v
ậ
t th
ể
không theo
đườ
ng n
ố
i tâm c
ủ
a chúng.
+ Va ch
ạ
m l
ệ
ch tâm.

đấ
t b
ằ
ng
ph
ẳ
ng, không ma sát, theo 2 h
ướ
ng l
ệ
ch so v
ớ
i
đườ
ng n
ố
i tâm c
ủ
a chúng nh
ư

đượ
c bi
ể
u di
ễ
n trên Hình 2.6a -
ở

đ

ũ
ng
tri
ệ
t tiêu nên s
ẽ
không
ả
nh h
ưở
ng t
ớ
i bài toán
đ
ang xem xét.

Trên m
ỗ
i v
ậ
t th
ể
, ta
đặ
t m
ộ
t m
ũ
i tên
để

ướ
ng trong su
ố
t quá trình chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a 2 v
ậ
t th
ể
,
đ
i
ề
u
đ
ó có ngh
ĩ
a là
độ
ng n
ă
ng quay c
ủ
a chúng =0. Tuy nhiên, xét trong HQC kh
ố
i tâm

ố
ng nh
ư
tr
ườ
ng h
ợ
p tr
ướ
c, kh
ố
i l
ượ
ng quán tính c
ủ
a m
ỗ
i v
ậ
t khi
chuy
ể
n
độ
ng trong tr
ườ
ng h
ấ
p d
ẫ

ể

A

V
ậ
t th
ể

B

Hình 2.6. S
ự
va ch
ạ
m l
ệ
ch tâm c
ủ
a 2 v
ậ
t th
ể
trong tr
ườ
ng l
ự
c th
ế
c

ệ
(
H’
)
V
ậ
t th
ể

A
V
ậ
t th
ể

B

O
Ω
A0
Ω
B0
V
B0
V
A0
Ch
ươ
ng II. T
ƯƠ

ă
ng không thay
đổ
i nên ta ch
ỉ
có
độ
ng n
ă
ng và,
để

đơ
n gi
ả
n, gi
ả
s
ử
r
ằ
ng
độ
ng
n
ă
ng quay c
ủ
a chúng =0 nh
ư

22
22
+= . (2.59)
Vì th
ế
n
ă
ng tr
ướ
c và sau khi va ch
ạ
m không thay
đổ
i nên ch
ỉ
c
ầ
n vi
ế
t bi
ể
u th
ứ
c
cân
đố
i cho
độ
ng n
ă

B
là v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a chúng sau khi va ch
ạ
m;
K
ΩH
là ph
ầ
n
độ
ng n
ă
ng t
ị
nh
ti
ế
n chuy
ể
n thành
độ
ng n
ă
ng quay c

=
Ω
(2.61)
ở

đ
ây
J
A
và
J
B

– là mômen quán tính c
ủ
a v
ậ
t th
ể

A
và
B
t
ươ
ng
ứ
ng:

2

t
ươ
ng
ứ
ng:

A
A
A
r
V
=Ω
và
B
B
B
r
V
=Ω
. (2.63)
Có ngh
ĩ
a là lúc này, t
ổ
ng
độ
ng l
ượ
ng tr
ướ

th
ể

A
và
B
là
O
chuy
ể
n
độ
ng v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c
V
0
, có th
ể
vi
ế
t:
Ch
ươ
ng II. T
ƯƠ

ứ
ng là v
ậ
n t
ố
c chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a các v
ậ
t th
ể

A
và
B

trong HQC kh
ố
i tâm
H’
. Trong HQC này, nh
ư
có th
ể
th
ấ

ả
2 v
ậ
t th
ể
theo cùng m
ộ
t chi
ề
u
Ω
A0
và
Ω
B0
nên các bi
ể
u th
ứ
c
độ
ng n
ă
ng có d
ạ
ng:

VOB
OBB
VOA

th
ấ
y các v
ậ
t th
ể
có xu h
ướ
ng ch
ố
ng l
ạ
i
chuy
ể
n
độ
ng quay c
ủ
a nhau, do
đ
ó sau khi va ch
ạ
m,
độ
ng n
ă
ng c
ũ
ng nh

ộ
t cách t
ổ
ng quát không ph
ả
i
đơ
n gi
ả
n nên chúng ta s
ẽ
ch
ỉ
d
ừ
ng l
ạ
i
ở

đ
ây m
ộ
t
cách
đị
nh tính thôi. V
ấ
n
đề

đ
àn h
ồ
i hoàn toàn v
ớ
i ngh
ĩ
a
là không làm thay
đổ
i n
ộ
i n
ă
ng c
ủ
a các v
ậ
t th
ể
, do m
ộ
t ph
ầ
n ngo
ạ
i n
ă
ng ki
ể

nh lu
ậ
t b
ả
o toàn
độ
ng l
ượ
ng không còn
đ
úng n
ữ
a.
2.2. Tr
ạ
ng thái n
ă
ng l
ượ
ng c
ủ
a “h
ệ
hai v
ậ
t”.
Trên
đ
ây, chúng ta m
ớ

ư
ng ch
ư
a có
đượ
c b
ứ
c tranh toàn c
ụ
c v
ề

tr
ạ
ng thái n
ă
ng l
ượ
ng c
ủ
a chúng – s
ự
chuy
ể
n hóa gi
ữ
a các thành ph
ầ
n n
ă

ng II. T
ƯƠ
NG TÁC H
Ấ
P D
Ẫ
N
__________________________________________________________________

110
làm
đượ
c vi
ệ
c này, tr
ướ
c h
ế
t, hãy xét m
ộ
t h
ệ
kín g
ồ
m 2 th
ự
c th
ể
v
ậ

ch
ỉ
ra trên Hình 2.7, c
ụ
th
ể
là:
AmBm
RRR <≤
, và gi
ả
thi
ế
t n
ă
ng l
ượ
ng ban
đầ
u
c
ủ
a th
ự
c th
ể
v
ậ
t lý
A

y ra:

chuy
ể
n
độ
ng r
ơ
i t
ự
do, chuy
ể
n
độ
ng theo quán tính và chuy
ể
n
độ
ng
cong (2 chuy
ể
n
độ
ng
đầ
u có th
ể
g
ọ
i là chuy

ươ
ng tác c
ủ
a l
ự
c
tr
ườ
ng th
ế
gi
ữ
a các th
ự
c th
ể
v
ậ
t lý v
ớ
i nhau, không có b
ấ
t c
ứ
m
ộ
t l
ự
c nào khác k
ể

c
đ
ó.

Đ
i
ề
u ki
ệ
n không tham gia, c
ũ
ng nh
ư
không ch
ị
u
tác
độ
ng nào khác v
ớ
i l
ự
c tr
ườ
ng th
ế
nh
ằ
m
đả

ự
c tr
ườ
ng th
ế
gi
ữ
a hai th
ự
c th
ể
v
ậ
t
lý – y
ế
u t
ố
quy
ế
t
đị
nh t
ớ
i vi
ệ
c r
ơ
i t
ự

A

và
B

n
ằ
m trong ph
ạ
m vi bán kính
tác d
ụ
ng c
ủ
a nhau.
Ch
ươ
ng II. T
ƯƠ
NG TÁC H
Ấ
P D
Ẫ
N
__________________________________________________________________

111
đầ
u
t

0
=
0. Và c
ũ
ng vì ch
ỉ
có chuy
ể
n
độ
ng trong tr
ườ
ng l
ự
c th
ế
c
ủ
a 2 th
ự
c
th
ể
v
ậ
t lý v
ớ
i nhau nên n
ă
ng l

ệ
n lý t
ưở
ng nh
ư
v
ậ
y không bao gi
ờ
có
th
ể
th
ự
c hi
ệ
n
đượ
c, do
đ
ó ch
ỉ
có th
ể
ch
ấ
p nh
ậ
n m
ộ

đ
i
ề
u ki
ệ
n trên
Trái
đấ
t (trong thí nghi
ệ
m c
ủ
a Galileo), t
ấ
t nhiên còn c
ầ
n ph
ả
i tính
đế
n s
ự
quay
quanh mình nó v
ớ
i chu k
ỳ
1 ngày
đ
êm khi

i t
ừ
m
ộ
t
độ
cao nào
đ
ó r
ấ
t “khiêm t
ố
n” so
v
ớ
i
đườ
ng kính Trái
đấ
t ch
ứ
không ph
ả
i xu
ấ
t phát t
ừ
bán kính tác d
ụ
ng

ộ
t n
ă
ng
l
ượ
ng t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i th
ế
n
ă
ng t
ạ
i “
độ
cao” hi
ệ
n có
đ
ó c
ủ
a v
ậ
t th
ể

ể
so v
ớ
i nhau,
c
ũ
ng nh
ư
n
ă
ng l
ượ
ng t
ổ
ng c
ủ
a chúng.
a/ Tr
ạ
ng thái n
ă
ng l
ượ
ng c
ủ
a t
ừ
ng v
ậ
t th

B
có n
ộ
i n
ă
ng ban
đầ
u b
ằ
ng:

0
)(
BnBmBn
WRW =
, (2.67)
và vì v
ẫ
n t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t l
ự
c h
ấ
p d
ẫ

ng t
ổ
ng ban
đầ
u c
ủ
a nó ph
ả
i b
ằ
ng:
Ch
ươ
ng II. T
ƯƠ
NG TÁC H
Ấ
P D
Ẫ
N
__________________________________________________________________

112

0
)( URW
BmBng
= . (2.69)
đượ
c tính
t
ừ
(2.1) và (2.3):

000
)()( UWRWRWW
BnBmBngBmBnB
+=+= = const (2.70)
và là
đạ
i l
ượ
ng b
ả
o toàn vì theo
đ
i
ề
u ki
ệ
n ban
đầ
u v
ề
m
ộ
t h
ệ


V
BR
B
mV
R
eK
2
)(
2
= (2.71)
V
ậ
t th
ể

A

V
ậ
t th
ể

B

Z
Y
X
0
R


B

Z
Y
X
0
R

r
A
r
B
R
K
U
0
V
ậ
t th
ể

A

a) HQC
đặ
t trên v
ậ
t th
ể