ðịnh lí Viet và ứng dụng trong một số bài toán số học – Trần Mạnh Sang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nð

1

ðịnh lý Viet và ứng dụng
ðịnh lý Viet cho phương trình bậc 2 là một phần kiến thức quen thuộc và học
sinh ñã ñược tiếp xúc từ lớp 9. Chúng ta ñã thấy ñược ứng dụng rất lớn trong việc xét
nghiệm của một phương trình bậc 2 mà không cần giải các nghiệm ñó. Một ứng dụng
nữa là ñịnh lý ñảo Viet, cho ta ñiều kiện so sánh một số với hai nghiệm của phương
trình. Bài viết này muốn nói ñến ứng dụng trên trong việc giải quyết một số bài toán số
học, các bài toán xuất hiện trong kì thi IMO các năm 1988 (P6) và 2007 (P5).
Kiến thức
ðịnh lý Viet: Xét phương trình bậc 2:
(
)
2
0 0
ax bx c a
+ + = ≠
, có hai nghiệm
1 2
;
x x
, ta
có ñịnh lí Viet
1 2
1 2
.
b
x x
a

1 2
. 0
x x a f
α α
< < ⇔ <
, trong ñó
(
)
2
0
f x ax bx c
= + + =
.

Chúng ta ñến với bài toán ñầu tiên
Bài 1:
(IMO 1988, Problem 6): Cho
,
a b
là các số nguyên dương thỏa mãn:
1
ab
+
chia
hết
2 2
a b
+
. Chứng minh rằng:
2 2

.
Chúng ta cần chứng minh k là số chính phương, giả sử nó không là số chính phương.
Và nếu cố ñịnh số nguyên dương k này, sẽ còn tồn tại các cặp số
(
)
,
a b
nữa cũng thỏa
mãn ñiều kiện như trên. Ta kí hiệu:
( )
2 2
;
1
a b
S a b k
ab
+
 
= ∈ × =
 
+
 
ℕ ℕ

ðịnh lí Viet và ứng dụng trong một số bài toán số học – Trần Mạnh Sang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nð

2

Giả sử k không là số chính phương, theo nguyên lí cực hạn trong các cặp thuộc S tồn
tại

2
.
A x kB
B k
x kB A
A
A x B k
+ =

−
⇔ = − =

= −


Ta sẽ chứng minh
(
)
2 2
, ,
x B S x A
∈ <
, và ñó sẽ là ñiều vô lí.
ở ñây
2
x
ñã thỏa mãn phương trình (1), cần chứng minh
2
0
x

0
x kBx B k x k B k
− + − ≥ + + − >
, trái với ñiều ta ñang xét phải xảy
ra dấu bằng. ðiều này có nghĩa:
(
)
2
;
x B S
∈
.
Do ñiều giả sử:
2 2
2 2
0
B k A k
A B x A x B A B
A A
− −
≥ > ⇒ = < < ⇒ + < +

ðiều này trái với giả sử
A B
+
nhỏ nhất.
Vậy k là số chính phương.
□

ðây là bài toán khi ñó ñược ñánh giá là rất khó, theo Arthur Engel, cả ñội 6

1
x y
+ +
.
Chứng minh rằng:
2 2
1
3
x y
xy
+ +
=
.
Giải
Cũng gần như bài toán trên, với số k như trên bài 1, ở ñây k là số 3.
Với hai số nguyên dương
,
x y
thỏa mãn
xy
chia hết
2 2
1
x y
+ +
, tồn tại một số nguyên
dương
k
thỏa mãn:
2 2

quát, giả sử
0
X Y
> >
.
Và nếu cố ñịnh Y, chúng ta còn số khác nữa khác X, thỏa mãn phương trình:
( )
2 2
2 2
1
1 0 1
t Y
k t kYt Y
tY
+ +
= ⇔ − + + =

Phương trình này luôn có một nghiệm, ñó là X, vì vậy, theo ñịnh lý Viet, ta có:
2
2
2
2
2
1
. 1
X t kY
Y
t kY X
X
X t Y

Y X X
X Y t X X
X X X
+ − +
> ≥ ⇒ = ≤ = − + <

ðiều này trái với giả sử
X Y
+
nhỏ nhất, hay
X Y
=
.
ðịnh lí Viet và ứng dụng trong một số bài toán số học – Trần Mạnh Sang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nð

4

Khi ñó, ñiều kiện bài toán trở thành:
(
)
2 2 2
2 1 1 1 3
X X X X k
+ ⇒ ⇒ = ⇒ =
⋮ ⋮
.
□

Ở ñây các bạn phải hiểu rằng, không phải trong mọi trường hợp ta ñều có
1

+
. Chứng minh rằng: hoặc
0
xy
=
, hoặc
.
x y
=

Giải
Ta xét
0
xy
≠
.
Xét
2 2
1
2 1
x y
k
xy
+ +
=
+
, nhận xét:
1
k
≥

. Trong tất cả các cặp số ñó, ta
chọn cặp
(
)
;
A B
sao cho
A B
+
có giá trị nhỏ nhất. Ta chứng minh
A B
=
.
Không mất tổng quát, giả sử
0
A B
> ≥
, xét phương trình:
2 2
2 2
1
2 1 0
2 1
x B
k x Bkx B k
Bx
+ +
= ⇔ − + + − =
+
(ẩn x)

x kB A
x A kB
B k
x A B k
x
A
= −
+ =


⇔
 
− +
= − +
=




Từ (1) ta có
2
x
là số nguyên
Giả sử
2
0
x
<
, suy ra
2 2 2 2

x B S
∈

Từ (2) ta có:
2 2
2
1 1 1B k A
x B B B A B
A A
− + − +
+ = + < + = +

ñiều này trái giả thiết
A B
+
nhỏ nhất
Vậy A = B, khi ñó
2
2
2 1
1
2 1
A
k
A
+
= =
+
, ñó là ñiều cần chứng minh.
□

ñó chúng ta mới ñưa ñược về phương trình bậc 2. Ở ñây số hạng có bậc 4, nếu ñưa về
phương trình sẽ không ñược bậc 2. Vì vậy từ ñiều kiện bài toán chúng ta cần thay ñổi ñể
ñược dạng tốt hơn.
Ta có
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2 2 3
4 1 4 1 4 1 4 4 1 4 1
a ab b a a b ab ab
− − ⇒ − − − −
⋮ ⋮(
)
( )( )
( )
( )
2 4 2 2 4 3
2 2 2 3
2 2 2 3
2 3
2 3 2
2
2 2

;
a b
thỏa mãn ñiều kiện
(
)
2
4 1
a b ab
− −
⋮
, ta giả sử
(
)
2
0
4 1
a b
k
ab
−
= >
−

ðịnh lí Viet và ứng dụng trong một số bài toán số học – Trần Mạnh Sang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nð

6

Cố ñịnh k, xét tập:
( )
(

>
.
Cố ñịnh B, ta xét phương trình:
(
)
( )
2
2 2
2 4 0
4 1
x B
k x B kB x B k
Bx
−
= ⇔ − + + + =
−

Phương trình có một nghiệm là A và một nghiệm
2
x
, áp dụng ðịnh lí Viet, ta có:
2
2
2
2
2
2 4
2 4
.
x A B kB

B k
x A A k A B
A
+
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ −

Hay
(
)
( )( )
2
2 2
4 1
4 1
A B
A B A B A B AB A B
BA
−
≥ − ⇒ − ≥ + − ≥ +
−
, ñiều này là vô lí với ñiều
kiện A, B dương, hay
0
A B k
= ⇒ =
. Với
0
k a b
= ⇒ =
, với mọi

+
là số chính phương.
Bài 6:
a.

Cho
,
a b
là các số nguyên dương thỏa mãn:
2 2
1
a b ab
+ −
⋮
. Chứng minh rằng:
2 2
5
1
a b
ab
+
=
−

b.

Chứng minh phương trình:
2 2
5 5 0
a b ab