BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Trần Văn Toàn,
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh,
Biên Hoà, Đồng Nai.
Ngày 29 tháng 1 năm 2009
Tóm tắt nội dung
Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối được học trong chương trình Toán Trung
học phổ thông. Tuy nhiên, trong chương trình hiện hành, cũng chỉ đưa ra một vài bài toán
nhỏ mà phương pháp giải chủ yếu là dùng định nghĩa về giá trị tuyệt đối, tức là xét dấu của
biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối để sao cho bất phương trình đang xét không còn
chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa. Lấy ý tưởng chính từ một bài viết trong [1], tôi viết đề tài
này với mục đích là đưa thêm một cách giải nữa, chủ yếu là tránh việc xét dấu biểu thức
bên trong dấu giá trị tuyệt đối, mà công việc xét dấu này đôi khi thật sự không đơn giản.
1 Các bất phương trình cơ bản
1.1 Vài kết quả lí thuyết
Sách Giáo viên Đại số lớp 10 (bộ hai) của Nhà xuất bản Giáo dục, xuất bản năm 2006, trang
107 có chứng minh rằng nếu a là một số thực bất kì thì ta có
1. |f(x)|  a ⇔ −a  f (x)  a.
2. |f(x)|  a ⇔

f(x)  a
f(x)  −a
1. Thật vậy, xét bất phương trình |f(x)|  a.
• Nếu a  0, ta có |f(x)|  a ⇔ −a  f(x)  a.
• Nếu a < 0, các bất phương trình |f(x)|  a và −a  f(x)  a đều vô nghiệm.
• Trường hợp bất phương trình |f(x)|  a chứng minh tương tự.
2. Bây giờ, ta xét bất phương trình |f(x)|  g(x) và hệ bất phương trình −g(x)  f(x)  g(x).
Gọi D là tập xác định của bất phương trình |f(x)|  g(x) (Khi đó, D cũng là tập xác định
của bất phương trình −g(x)  f(x)  g(x)).
1

)  −g(x
0
). (1.1.3)
Từ (1.1.2) và (1.1.3) suy ra
−g(x
0
)  f (x
0
)  g(x
0
).
Hay x
0
cũng thoả
−g(x)  f(x)  g(x).
• Trường hợp f(x
0
) < 0.
Khi đó, |f (x
0
)| = −f(x
0
) và (1.1.1) trở thành −f(x
0
)  g(x
0
). Do vậy, ta có (1.1.3).
Mặt khác, vì f(x
0
) < 0 và g(x

0
), ta cũng có |f (x
0
)| < g(x
0
).
Vậy ta có
|f(x)|  g(x) ⇔ −g(x)  f(x)  g(x).
3. Xét bất phương trình |f (x)| > g(x) và tuyển bất phương trình

f(x) > g(x),
f(x) < −g(x).
• Gọi D là tập xác định của bất phương trình |f(x)| > g(x). Giả sử có số x
0
∈ D thoả
|f(x)| > g(x), tức là |f(x
0
)| > g(x
0
).
– Nếu f(x
0
)  0, từ |f(x
0
)| > g(x
0
) suy ra f(x
0
) > g(x
0

thoả f(x
0
) > g(x
0
) hoặc f(x
0
) < −g(x
0
).
– Nếu g(x
0
) < 0, hiển nhiên |f(x
0
)| > g(x
0
).
2
– Nếu g(x
0
) = 0, ta có f (x
0
) > 0 hoặc f(x
0
) < 0. Hay f(x
0
) = 0. Tức x
0
cũng thoả
|f(x
0

Vậy ta có
|f(x)| > g(x) ⇔

f(x) > g(x),
f(x) < −g(x).
Chứng minh tương tự, ta có các kết quả như sau:
1. |f(x)| < g(x) ⇔ −g(x) < f(x) < g(x).
2. |f(x)|  g(x) ⇔

f(x)  g(x),
f(x)  −g(x).
Cũng từ các kết quả trên, ta có
f(x)  |g(x)|  h(x) ⇔

f(x)  g(x)  h(x),
f(x)  −g(x)  h(x).
Ta có thể viết các bất phương trình dạng trên dưới dạng sau:
1. |f| < g ⇔



f < g,
−f < g;
2. |f|  g ⇔



f  g,
−f  g;
3. |f|  g ⇔

n
(x) < 0
⇔ max{f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
n
(x)} < 0.
2.













f
1
(x)  0,
f
2
(x)  0,
. . . . . . . . .

. . . . . . . . .
f
n
(x)  0
⇔ min{f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
n
(x)}  0.
3
4.













f
1
(x) > 0,
f

1
(x), f
2
(x), . . . , f
n
(x)} < 0.
6.





f
1
(x)  0,
f
2
(x)  0,
. . . . . . . . .
f
n
(x)  0
⇔ min{f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
n
(x)}  0.
7.

(x) > 0,
f
2
(x) > 0,
. . . . . . . . .
f
n
(x) > 0
⇔ max{f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
n
(x)} > 0.
1.2 Ví dụ và bài tập
Ví dụ 1.2.1. Giải bất phương trình




1 −
|x|
1 + |x|





1

1 + |x|

1
2
⇔




|x|
1 + |x|

1
2
|x|
1 + |x|

3
2
⇔

|x|  1
3 + |x|  0
⇔ −1  x  1. ❏
Ví dụ 1.2.2. Giải bất phương trình
log
5
log
1/2



> 0
⇔







x
2
− 4|x|
|x| − 7

1
2
,
x
2
− 4|x|
|x| − 7
< 1
⇔







⇔



−
7
2
 x  −1,
1  x 
7
2
.
❏
4
Ví dụ 1.2.3. Giải bất phương trình
|x − 6| < x
2
− 5x + 9. (1.2.2)
Lời giải. Bất phuong trình (1.2.2) tương đương với hệ



x − 6 < x
2
− 5x + 9,
−(x − 6) < x
2
− 5x + 9
⇔


− 4x − 8 > 0,
x
2
− 8 < 0
⇔

x < 2
√
2,
x > 2 + 2
√
3.
❏
Ví dụ 1.2.5. Giải bất phương trình |x
3
− 7x − 3| < x
3
+ x
2
+ 3.
Lời giải. Bất phương trình đã cho tương đương với



x
3
− 7x − 3 < x
3
+ x
2

❏
Ở ví dụ trên, việc xét dấu của các biểu thức x
3
− 7x − 3 và x
3
+ x
2
+ 3 là rất khó.
Ví dụ 1.2.6. Giải bất phương trình |x
3
− x
2
+ 4| + x
3
− x
2
− 2x − 2  0.
Lời giải. Đưa bất phương trình đã cho về dạng |x
3
− x
2
+ 4|  −x
3
+ x
2
+ 2x + 2, ta được

−3  x  −1,
x = 1.
❏




x < 2 − x
−x < 2 − x
x < 0.
⇔ x < 0. ❏
Ví dụ 1.2.8. Tìm tập giá trị của biểu thức x + a, biết rằng
|2x + 4 − 2a| + |x − 2 + a|  3. (1.2.4)
Lời giải. Đặt y = |x + a|, bất phương trình (1.2.4) cho trở thành
|y −2|+ 2|y −2a + 2|  3. (1.2.5)
5
Bất phương trình (1.2.5) tương đương với



y −2  3 − 2|y − 2a + 2|
y −2  −3 + 2|y − 2a + 2|
hay
−1 + 2|y −2a + 2|  y  5 −2|y − 2a + 2|. (1.2.6)
Từ (1.2.6) suy ra y ∈ [−1; 5].
• y = −1 khi và chỉ khi −1 − 2a + 2 = 0 ⇔ a =
1
2
.
• y = 5 khi và chỉ khi 5 − 2a + 2 = 0 ⇔ a =
7
2
.
Vậy tập giá trị của x + a là đoạn [−1; 5]. ❏

|x
2
− 3x − 7| > −x
2
+ 6x + 6
⇔


















x
2
− 3x − 7 < x
2
− 10x − 4
−x






7x > 3
2x
2
− 13x − 11 > 0


2x
2
− 9x − 13 > 0
3x − 1 < 0
⇔



















x >
3
7



x <
13 −
√
257
4
x >
13 +
√
257
4







x <
9 −
√

16
2
.
Ví dụ 1.2.11. Giải bất phương trình
|x − 1| + |x − 2| > 3 + x. (1.2.8)
6
Lời giải. Ta có |x −1|+ |x −2| > 3 +x ⇔ |x −1| > 3 +x −|x −2| ⇔

x − 1 > 3 + x − |x − 2|,
−x + 1 > 3 + x − |x − 2|
⇔

|x − 2| > 4,
|x − 2| > 2x + 2
⇔





x − 2 > 4,
−x + 2 > 4,
x − 2 > 2x + 2,
−x + 2 > 2x + 2
⇔






 0 ⇔
|x
2
− 4x| + 3
x
2
+ |x − 5|
 1 ⇔ |x
2
− 4x|  x
2
− 3 + |x − 5|
⇔

x
2
− 4x  x
2
− 3 + |x − 5|,
−x
2
+ 4x  x
2
− 3 + |x − 5|
⇔

|x − 5|  3 − 4x,
|x − 5|  −2x
2
+ 4x + 3

,
1
2
 x  2.
❏
Ví dụ 1.2.13. Giải bất phương trình
||3
x
+ 4x − 9| − 8|  3
x
− 4x − 1. (1.2.9)
Lời giải. (1.2.9) ⇔



|3
x
+ 4x − 9| − 8  3
x
− 4x − 1,
−|3
x
+ 4x − 9| + 8  3
x
− 4x − 1
⇔



|3

+ 4x − 9  3
x
− 4x + 7
−3
x
− 4x + 9  3
x
− 4x + 7


3
x
+ 4x − 9  −3
x
+ 4x + 9
−3
x
− 4x + 9  −3
x
+ 4x + 9
⇔


















x  2
x  0


x  2
x  0
⇔ 0  x  2.
❏
Ví dụ 1.2.14. Tìm quan hệ giữa f, g, h, biết
|f| + |g| < h. (1.2.10)
Lời giải.
(1.2.10) ⇔ |f| < h −|g| ⇔



f < h −|g|,
−f < h −|g|
⇔



|g| < h −f,




f + g < h,
f − g < h,
−f + g < h,
−f − g < h.
7
❏
Chú ý, trong bất phương trình (1.2.10) có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối và ta có thể đưa
(1.2.10) về dạng |f
1
|  f
2
. Ta thấy, ứng mỗi dấu giá trị tuyệt đối, thì dấu biểu thức bên trong của
nó có hai trường hợp là (+) và (−) (ta không xét biểu thức bên trong dấu giá trị tuyện đối luôn
dương hoặc luôn âm). Do đó, với bất phương trình dạng (1.2.10), để thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối,
ta xét các khả năng sau: (+ +), (+ −), (− +) và (− −). Ở đây, kí hiệu (+ +) để chỉ dấu của f
và g đều dương.
Ví dụ 1.2.15. Giải bất phương trình
|3x + 2| + |2x − 3| < 11. (1.2.11)
Lời giải. Để ý bất phương trình có dạng |f| < g.
(1.2.11) ⇔








x < 6,
x > −16,
x > −2
⇔ −2 < x <
12
5
.
❏
Ví dụ 1.2.16. Tìm quan hệ giữa f, g, h, k biết |f|+ |g| + |h| < k
Lời giải. Ta có |f| + |g| + |h| < k ⇔ |f| + |g| < k −|h| ⇔













f + g < k − |h|,
f − g < k − |h|,
−f + g < k − |h|,
−f − g < k − |h|
⇔


























h < k − f −g,
−h < k − f −g,
h < k − f + g,
−h < k − f + g,
h < k + f −g,
−h < k + f −g,
h < k + f + g,










f + g + h < k,
f + g − h < k,
f − g + h < k,
f − g − h < k,
−f + g + h < k,
−f + g − h < k,
−f − g + h < k,
−f − g − h < k
❏
Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng, bất phương trình có dạng
|f
1
| + |f
2
| + |f
3
| + ··· + |f
n
| < f
tương đương với hệ gồm 2
n



















(x
2
− 3x − 7) + (2x
2
− x − 9) + (3x
2
− 7x − 5) < x + 15,
x
2
− 3x − 7 + 2x
2
− x − 9 − (3x

−(x
2
− 3x − 7) − (2x
2
− x − 9) + (3x
2
− 7x − 5) < x + 15,
−(x
2
− 3x − 7) − (2x
2
− x − 9) − (3x
2
− 7x − 5) < x + 15,
⇔
















− 12x − 36 < 0,
2x − 26 < 0,
2x
2
− 10x − 18 < 0,
4x
2
+ 10x + 18 > 0,
4x
2
− 4x − 8 < 0,
4x
2
− 6x − 22 < 0,
−2x
2
− 8x − 12 < 0,
−4x − 4 < 0,
−6x
2
− 4x − 4 < 0
Từ đó, ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là
5 +
√
61
6
< x <
√
97 + 3
4

−(x − 1) + 2 − x > 3 + x,
−(x − 1) − (2 − x) > 3 + x
⇔

x < 0,
x > 6.
❏
9
Ví dụ 1.2.20. Tìm quan hệ giữa f, g, h, biết
|f| − |g| < h. (1.2.14)
Lời giải. Bằng cách chứng minh tương tự như Ví dụ 1.2.14, ta có kết quả sau:
|f| − |g| < h ⇔
















f − g < h,
f + g < h,







x
2
− 3x − 17 + x
2
− 5x − 7 > 3,
x
2
− 3x − 17 − x
2
+ 5x + 7 > 3;

−x
2
+ 3x + 17 + x
2
− 5x − 7 > 3,
−x
2
+ 3x + 17 − x
2
+ 5x + 7 > 3
⇔


















x <
4 −
√
70
2
x >
4 +
√
70
2
x >
13
2



Ví dụ 1.2.23. Tìm m để bất phương trình x
2
+ |x + m| < 2 có ít nhất một nghiệm âm.
10
Lời giải. Ta có x
2
+ |x + m| < 2 ⇔



x
2
+ x + m − 2 < 0
x
2
− x − m − 2 < 0
⇔ x
2
− x − 2 < m < −x
2
− x + 2.
Bằng đồ thị, ta tìm được −
9
4
< m < 2.
❏
Ví dụ 1.2.24. [1] Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p:
3|x − p| + 5|x − 3p| + 4x + 6p + 12  0. (1.2.17)
Lời giải. (1.2.17) ⇔


12x − 12p + 12  0,
2x + 18p + 12  0,
6x − 6p + 12  0,
−4x + 24p + 12  0
⇔













x  p − 1,
x  −9p − 6,
x  p − 2,
6p + 3  x
⇔








15
⇔ p  −1 ⇒ p − 2 < −9p −6
Kết luận
• Nếu p  −1, thì bất phương trình (1.2.17) có nghiệm là 6p + 3  x  p − 2;
• Nếu p > −1 bất phương trình (1.2.17) vô nghiệm.
❏
Ví dụ 1.2.25. Giải và biện luận bất phương trình theo tham số
|2x + 21p| − 2.|2x − 21p| < x − 21p. (1.2.18)
Lời giải. Bất phương trình (1.2.18) tương đương với hệ

















(2x + 21p) − 2(2x − 21p) < x − 21p
(2x + 21p) + 2(2x − 21p) < x − 21p



Kết luận
• Nếu p < 0, thì x ∈ (−∞; 42p) ∪ (6p; +∞);
• Nếu p = 0, x ∈ (−∞; 0) ∪(0; +∞);
• Nếu p > 0, thì x ∈ (−∞; 0) ∪ (28p; +∞).
❏
Ví dụ 1.2.26. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho bất phương trình
x
2
− |x − a| − |x − 1| + 3  0 (1.2.19)
đúng với mọi x ∈ R.
Lời giải. Bất phương trình (1.2.19) có dạng |f|  g.
(1.2.19) ⇔













x
2
− (x − a) − (x − 1) + 3  0,
x
2

x
2
+ 2x − a + 2  0,
Bất phương trình (1.2.19) đúng với mọi x ∈ R khi và chỉ khi mỗi bất phương trình của hệ trên
đúng với mọi x ∈ R. Điều này xảy ra khi và chỉ khi













1
2
− (a + 4)  0,
−(a + 2)  0,
−(−a + 4)  0,
1
2
− (−a + 2)  0
⇔ −2  a  1.
❏
Ví dụ 1.2.27. Tìm m để bất phương trình
−2x

− (x − m) + x
2
− mx + 1 < 0,
−2x
2
− (x − m) − (x
2
− mx + 1) < 0
⇔













x
2
+ (m − 1)x + m − 1 > 0,
3x
2
− (m + 1)x + m + 1 > 0,
x
2

+ 12(m − 1) < 0
⇔













1 < m < 5,
−1 < m < 11,
−5 < m < −1,
−11 < m < 1.
Hệ bất phương trình trên vô nghiệm. Vậy không có giá trị của m thoả yêu cầu đề bài. ❏
12
Ví dụ 1.2.28. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x
2
+ 2x − 1 + |x − a| (1.2.21)
lớn hơn 2.
Lời giải. Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm a để x
2
+ 2x − 1 + |x − a| > 2, ∀x ∈ R.
Ta có

− x + 3) < a
⇔



a < −
21
4
,
a >
13
4
.
❏
Ví dụ 1.2.29. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x
2
+ |x − a| + |x − 1| (1.2.22)
lớn hơn 2.
Lời giải. Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm a để y = x
2
+ |x −a| + |x −1| > 2, ∀x ∈ R.
Ta có
y = x
2
+ |x − a| + |x − 1| > 2 ⇔





+ 2x + 1
Yêu cầu bài toán thoả mãn khi và chỉ khi


a < max

min
R
(x
2
+ 2x − 3); min
R
(x
2
− 1)

,
a > min

max
R
(−x
2
+ 3); max
R
(−x
2
+ 2x + 1)

⇔

Bất phương trình trên có dạng |f| < g, ta tìm m để



x
2
− 5x + 4 + m > 0, ∀x ∈ R
x
2
− 5x + 4 − m > 0, ∀x ∈ R
⇔



m >
9
4
m <
7
4
Hệ trên vô nghiệm. Vậy không tồn tại m thoả yêu cầu đề bài. ❏
 1.2.1. Giải bất phương trình |x
2
+ x − 2| + |x + 4|  x
2
+ 2x + 6.
Đáp số. S = [−6; −1] ∪[0; +∞).
 1.2.2. Giải bất phương trình ||x
2
− 8x + 2| − x


−1;
7
2

.
 1.2.4. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x
2
+ 2x − 1 + |x − a|
lớn hơn 2.
Đáp số. a < −
21
4
hoặc a >
13
4
.
 1.2.5. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = 3|x − a| + |x
2
+ x − 2|
nhỏ hơn 2.
Hướng dẫn. Ta chỉ cần giải bài toán tìm a sao cho bất phương trình
3|x − a| + |x
2
+ x − 2| < 2
có ít nhất một nghiệm.
Đáp số −
8

√
2
2
.
 1.2.10. Tìm tham số m để f (x) = (x − 2)
2
+ 2|x − m|  3 với mọi x ∈ R.
Đáp số. m  0 hoặc m  4.
2 Giải bất phương trình bằng cách đưa về phương pháp khoảng
Xét bất phương trình dạng log
a
f(x) > log
a
g(x). Ta có,
log
a
f(x) > log
a
g(x) ⇔












− v
2
;
3.
√
u −
√
v ↔ u
2
− v
2
, (u, v  0);
4. |u| −
√
v ↔ u
2
− v
2
, (v  0);
5. a
u
− a
v
↔ (a − 1)(u − v), (a > 0);
6. a
u
− 1 ↔ u(a − 1), (a > 0);
7. a
u
− b ↔ (a − 1)(u − log

(a − 1)[f(x) − g(x)] thường xuyên được sử dụng trong mục này.
15
Ví dụ 2.1.1. Giải bất phương trình
log
1/2
x. log
2
(x
2
− 3x + 3). log
3
(x
2
+ x) > 0. (2.1.1)
Lời giải.
• Với điều kiện x > 0, ta có log
1/2
x ↔

1
2
− 1

(x − 1) = −
1
2
(x − 1);
• Với điều kiện x
2
−3x+3 > 0, ta có log






x > 0,
x
2
− 3x + 3 > 0,
x
2
+ x > 0,
−
1
2
(x − 1)(x
2
− 3x + 2)2(x
2
+ x − 1) > 0
⇔





−1 +
√
5
2

(2x)−1 = log
3x−1
(2x)−log
3x−1
(3x−1) ↔ [(3x−1)−1][2x−(3x−1)] = (3x−2)(1−x);
• log
x
(3 − x) − 1 = log
x
(3 − x) − x ↔ (x − 1)[(3 − x) − x] = (x − 1)(3 − 2x).
(2.1.2) ⇔



(1 − x)(3x − 2)(3 − 2x)(x − 1) > 0,
1
3
< x < 3, x =
2
3
, x = 1
⇔



(x − 1)
2
(3x − 2)(2x − 3)(x − 1) > 0,
1
3

log
1/3
(x + 1)
. (2.1.3)
Lời giải. (2.1.3) ⇔
1
log
3
√
2x
2
− 3x + 1
<
1
log
3
(x + 1)
⇔
log
3
(x + 1) − log
3
√
2x
2
− 3x + 1
log
3
√
2x

− 3x + 1 − 1).x
< 0
⇔











x + 1 > 0,
2x
2
− 3x + 1 > 0,
(x + 1)
2
− (2x
2
− 3x + 1)
(2x
2
− 3x).(2x
2
− 3x + 2)x
< 0
⇔

x + 2
log
4
x + 1
x + 2
log
4
(x + 3)
< 0 ⇔



















x + 3 > 0,
x + 1





x + 3 > 0,
x + 1
x + 2
> 0,
(x + 3)(x + 2)
x + 1
− 1

x + 1
x + 2
− 1

[(x + 3) − 1]
< 0
⇔












x > −1
⇔ x > −1
❏
Ví dụ 2.1.5. Giải bất phương trình
log
2
9
x  log
2
3

1 −
x
4
. (2.1.5)
Lời giải. Điều kiện



x > 0,
1 −
x
4
> 0
⇔ 0 < x < 4.
Ta có log
3

1 −
x

4 − x
4

⇔





0 < x < 4,
log
2
9
x − log
2
9

4 − x
4

 0
⇔





0 < x < 4,

log

⇔





0 < x < 4,

x(4 − x)
4
− 1

4x
4 − x
− 1

 0
⇔





0 < x < 4,
(−x
2
+ 4x − 4)

5x − 4
4 − x





(log
2
(4
x
− 12) − x)(x − 1)  0,
log
2
(4
x
− 12) > 0,
x > 0,
x = 1
⇔














− 4)(x − 1)  0,
x > log
4
13
⇔



(2
x
− 2
2
)(x − 1)  0,
x > log
4
13
⇔



(x − 2)(x − 1)  0,
x > log
4
13
⇔ log
4
13 < x  2. ❏
Ví dụ 2.1.7. Giải và biện luận bất phương trình
log
ax





ax > 0,
a
2
> 0,
a
2
− 2 > 0,
a − 1 > 0,
(ax − 1)(

a
2
− 1

(a
2
− 3)(a − 2) < 0
⇔









(ax − 1)(a
2
− 3)(a − 2)
2
< 0 (2.1.8)
Ta có (a − 2)
2
 0 và a
2
− 3 = 0 ⇔ a = ±
√
3.
• Nếu a ∈ (
√
3; 2) ∪ (2; +∞), thì (a
2
− 3)(a − 2)
2
> 0. Do đó (2.1.8) ⇔ ax − 1 < 0 ⇔ x <
1
a
.
Lại vì x > 0, do đó 0 < x <
1
a
.
• Nếu a ∈ (
√
2;
√

• Nếu a ∈ (
√
2;
√
3), tập nghiệm của (2.1.7) là S =

1
a
; +∞

;
• Nếu a 
√
2 hoặc a =
√
3 hoặc a = 2, tập nghiệm của (2.1.7) là S = ∅.
18
❏
Sau đây là một số bài tập.
Giải các bất phương trình sau:
 2.1.1. (B, 2008) log
0,7

log
6
x
2
+ x
x + 4


Đáp số. S =

2
3
; 1

∪ [3; +∞).
2.2 Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 2.2.1. Giải bất phương trình
(|x − 2| − 4 − x
2
)

|x + 4| −
√
x
2
− x − 2

(|1 − x| − 4) (|3 + x| − |x − 5|)
> 0. (2.2.1)
Lời giải. Bất phương trình (2.2.1) tương đương với

|x − 2|
2
− (4 + x
2
)
2


((x − 2)
2
− (4 + x
2
)
2
) ((x + 4)
2
− (x
2
− x − 2))
((1 − x)
2
− 4
2
) ((3 + x)
2
− (x − 5)
2
)
> 0
x
2
− x − 2  0
⇔






x + 7 − |2x − 1|
 0 ⇔











(x
2
− 3x − 4) − (x + 7)
x + 7 − (2x − 1)
2
 0
x
2
− 3x − 4  0
x + 7  0
⇔

−7  x  2 −
√
15
x  2 +
√

−x
2
+ 7x − 6
(2x
2
− 8x + 2)(8 − 4x)
 0
⇔











−x
2
+ 7x − 6 = 0
(2x
2
− 8x + 2)(8 − 4x) = 0



−x
2

√
2 − x − |3 − 2x|
x
 0 (2.2.6)
Nhân hai vế bất phương trình (2.2.6) với
√
2 − x + |3 −2x|, ta được bất phương trình tương
đương
2 − x − (3 − 2x)
2
x
 0 ⇔
4x
2
− 11x + 7
x
 0 ⇔


x < 0,
1  x 
7
4
.
20
Do 0 = x <
3
2
, nên




|x| 
√
5,
x = 3,
x = −11.
Ta có (2.2.7) ⇔
√
x
2
− 5 + 4 − |x + 4|
|x + 4| − 7
 0 ⇔
(
√
x + 5 + 4)
2
− |x + 4|
2
|x + 4|
2
− 49
 0
⇔
x
2
− 5 + 8
√
x

2
− 5 + (8x + 5), ta được
−80x − 345
(x − 3)(x + 11)
 0. Dẫn tới


x < −11
−
69
16
 x < 3.
Do điều kiện x 
√
5, ta được

x < −11
√
5  x < 3.
Từ hai trường hợp trên, ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là x ∈ (−∞; −11) ∪ [
√
5; 3).
❏
Ví dụ 2.2.6. Giải bất phương trình log
−4x
2
+12x−8
|4x − 5| > 0.
Lời giải. Bất phương trình đã cho tương đương với


(−4x
2
+ 12x − 9)(|4x − 5|
2
− 1) > 0
⇔









1 < x < 2,
x =
5
4
,
(2x − 3)
2
(4x − 6)(4x − 4) < 0
⇔



1 < x <
5
4

1
2
.
Lời giải. Điều kiện xác định của bất phương trình là









x
2
> 0,
x
2
= 1,
4x − 5
|x − 2|
> 0
⇔



x = 2,
x >
5
4

⇔ (x
2
+ 2x − 5)(x
2
− 6x + 5)  0
⇔

−
√
6 − 1  x  1,
√
6 − 1  x  5.
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [
√
6 −1; 2) ∪(2; 5]. ❏
Ví dụ 2.2.8. Giải bất phương trình |x
2
− 1|
log
2
|x
2
−3x+1|
> 1.
Lời giải. Nhận xét x = ±1 không là nghiệm của bất phương trình.
Ta có |x
2
− 1|
log
2

|x
2
− 3x + 1| > 0,
(|x
2
− 1| − 1).(|x
2
− 3x + 1| − 1) > 0
⇔









x
2
− 1 = 0,
x
2
− 3x + 1 = 0,
(|x
2
− 1|
2
− 1).(|x
2

x = ±1; x =
3 ±
√
5
2
,
x
2
(x
2
− 2)(x
2
− 3x + 2)(x
2
− 3x) > 0.
Giải hệ trên, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là
S = (−∞; −
√
2) ∪

0;
3 −
√
5
2

∪

3 −
√

1
3




. (2.2.9)
Lời giải. Điều kiện để (2.2.9) xác định là x = 0, x = 1, x = −1, x = −2, x = −
1
3
.
Khi đó, (2.2.9) ⇔
1
log
|x+1/3|
|x|

2
log
|x+1/3|
|2x + 3|
⇔
log
|x+1/3|
|2x + 3| − log
|x+1/3|
|x|
2
log
|x+1/3|

Giải hệ trên ta được tập nghiệm của bất phương trình (2.2.9) là
S = (−∞; −2) ∪

−
4
3
; −
1
3

∪

−
1
3
; −1

∪

2
3
; 1

∪ [3; +∞).
❏
Ví dụ 2.2.10. Giải bất phương trình
log
x+2
(2 − x) 
|log

log
5
(x + 2) = 0
⇔



−
3
2
< x < 2,
x = −1.
Khi đó, (2.2.10) tương đương với
log
x+2
(2 − x). log
5
(x + 2) −




log
5

2x + 3
5




(2 − x) > 0 ⇔ x < 1, (2.2.12) tương đương với
log
2
5
(2 − x) −




log
2
5

2x + 3
5





log
5
(x + 2)
 0.
Hay

log
5
(2 − x) + log
5

log
5
(x + 2)
 0.
Sử dụng tính chất log
a
u ↔ (a − 1)(u − 1), (a, u > 0), bất phương trình trên tương đương
với

(2 − x)

2x + 3
5

− 1

.
5(2 − x)
2x + 3
− 1
x + 1
 0.
23
Hay
(−2x
2
+ x + 1)(−7x + 7)
x + 1
 0.
Giải bất phương trình trên cùng với điều kiện −





log
5
(x + 2)
< 0
• Mặt khác, x = 1 là nghiệm của (2.2.12).
Vậy tập nghiệm của (2.2.10) là S =

−
3
2
; −1

∪

−
1
2
; 1

. ❏
Ví dụ 2.2.11. Giải bất phương trình
2 log
1−3|x|
(42x
2
− 14|x| + 1)

log
1−3|x|
(42x
2
− 14|x| + 1) − log
1−3|x|




x −
5
6




log
1−3|x|




x −
5
6





42x
2
− 14|x| + 1 > 0,




x −
5
6




> 0,
−3|x|

42x
2
− 14|x| + 1 −




x −
5
6







x −
5
6




= −

x −
5
6

và
42x
2
− 14|x| + 1 −




x −
5
6





42x
2
+ 15x +
1
6

42x
2
− 13x +
1
6

24
Hệ (2.2.14) tương đương với
















x = 0,

42x
2
+ 15x +
1
6

42x
2
− 13x +
1
6

−x −
1
6
 0
(2.2.15)
Giải hệ (2.2.15), ta được tập nghiệm của (2.2.13) là
S =

−
1
3
;
−7 −
√
7
42

(8 − x
3
)(2
x
− 1)(
√
x + 20 −
√
2x + 30)(|x − 2| − 4 − x
2
)

|x|
2x−1
− |x|
5−x

(log
x+20
(12 − |x|) − log
x+20
(20 − |x|)). log
3
5
x
2
< 0. (2.2.16)
Đáp số.



2
(|x| − 4)
2
log
1−4x
2
(10x
2
+ 5x + 1/2)
 2.
Đáp số. S =

−
1
2
;
−5 −
√
5
20

∪

−5 −
√
5
20
; 0

∪

2
; −2

∪ (−2; −1) ∪

7
2
; 4

.
 2.2.5. |x −1|
log
2
(4−x)
> |x − 1|
log
2
(1+x)
.
25