www.VNMATH.com
Trang 1/5
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (7,0 điểm).
a) Giải phương trình:
3153 85
x
xx.
b) Giải hệ phương trình:

22
3
112
223
xy x y
xxyy













222 222 3 3 3
3
a b b c c a ab bc ca abc a abc b abc c abc       .
Đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 5 (2,0 điểm).
Cho một đa giác lồi có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính
1
4
chứa đa giác
đó.
Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Đề thi chính thức
www.VNMATH.com
Trang 2/5
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN


2
45 9 4 10xx x

0,5

22
5
2
45 9 16 80 100
x
xx x x






 


0,5

2
5
2
540
x
xx





0,5

4x

0,5

Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là
4x


0,5
b

3,5
Hệ đã cho




2
2
1( 1) 4
112
(1)1 3
11
xy
x




, ĐK :
1
1
u
v







(*)
1,0

 
22 2222
4
322 1
uv
uv uvuv





 

0,5

2
2
uv
uv







( TM(*))
0,5

Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là:
13
;
13
xx
yy







.




2
2
21 25
16
x
xy








21 5
4
x
xy







1,0 Xét tam giác
IAC
và tam giác
BDC
có



I
AC BDC0,5



I
CA BCD

0,5
Suy ra
I
AC
đồng dạng với
B
DC
(g.g)

M
BBD

(3)
0,5
Tương tự ta có:
M
CAC
M
AAD

(4)
0,5 Vì
MA = MB
nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
IA = IB0,5
b

2,0
Kẻ
OH d
tại
H.
Gọi



(không đổi) suy ra
K
cố định.
0,5

Vì
OI

AB
và
O, K
cố định nên
I
thuộc đường tròn đường kính
OK
cố định (ĐPCM).
0,5
M
H
d
A
B
D
N
C
I
O
K

bca
  

0,25
Khi đó (1) trở thành:


3
1111
xyz
xy yz zx x y z
zxy


    







3
1
x
yyzzx
xyyzzx xyz
xyz



210tt t 
(luôn đúng do
2t 
). Suy ra ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
 abc


.
0,5
5

2,0 Gọi
A, B
là 2 điểm thuộc cạnh của đa giác sao cho
A, B
chia biên đa giác thành 2 đường gấp khúc có độ dài bằng
nhau và bằng
1
2
.

1
4
R 
.
0,25
Khi đó
1
2
MA MB
( Độ dài đường gấp khúc chứa
M
) (1).
0,5

Gọi
N
là điểm đối xứng với
M
qua
O
. Ta có
1
2
2
MA MB MN R


(2).
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM.
0,5