Cao Minh Quang
THPT chuyờn Nguyn Bnh Khiờm, Vnh Long CHUYEN ẹE:
CHUYEN ẹE:CHUYEN ẹE:
CHUYEN ẹE: SO PHệC & ệNG DUẽ
SO PHệC & ệNG DUẽSO PHệC & ệNG DUẽ
SO PHệC & ệNG DUẽNG
NGNG
NG



CHUYEN
CHUYEN CHUYEN
CHUYEN ẹE:
ẹE:ẹE:
ẹE:

SO PHệC & ệNG DUẽ
SO PHệC & ệNG DUẽSO PHệC & ệNG DUẽ
SO PHệC & ệNG DUẽN
NN
NG
GG
G


i
, còn gọi là ñơn vị ảo. ðiều này ñã giúp
vi
ệc giải phương trình ñại số trở nên dễ dàng hơn. Ví dụ phương trình ñã xét
2
1 0
x
+ =
có
nghi
ệm là
i
và
i
−
.
V
ới sự xuất hiện của số
i
, một trong những kí hiệu thông dụng nhất trong toán học, ñã dẫn
ñến việc ñịnh nghĩa số phức dạng
z a bi
= +
, trong ñó
,
a b
là các số thực.
Số phức có rất nhiều ứng dụng trong toán học, gần như trong tất cả các lĩnh vực: ðại Số,
S
ố Học, Giải Tích, Hình Học… Bắt ñầu từ năm học 2008 – 2009, số phức ñược ñưa vào dạy

Vĩnh Long, Xuân 2009
Cao Minh Quang 4Mục lục
*****

Trang

Lời nói ñầu 3
M
ục lục 4
Chương 1. ðịnh nghĩa và các phép toán 5
Chương 2. Số phức và hình học 17
Ch
ương 3. Tích thực và tích phức của các số phức 31
Tài liệu tham khảo 36


1.1 ðịnh nghĩa.
Xét tập hợp
(
)
{
}
2
, ,x y x y= × = ∈
ℝ ℝ ℝ ℝ
. Hai phần tử
(
)
(
)
1 1 2 2
, , ,
x y x y
thuộ
c
2
ℝ
b
ằ
ng nhau
khi và ch
ỉ
khi
1 2
x x
=

= = ∈
ℝ
, ta có
•
(
)
(
)
(
)
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
, , ,z z x y x y x x y y
+ = + = + + ∈
ℝ

•
(
)
(
)
(
)
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
, , ,z z x y x y x x y y x y x y
⋅ = ⋅ = − + ∈
ℝ

Ph

ℝ

ñượ
c g
ọ
i là tích c
ủ
a
1 2
,
z z
.
Chú ý. N
ế
u
(
)
(
)
2 2
1 1 2 2
,0 , ,0
z x z x
= ∈ = ∈
ℝ ℝ
thì
(
)
1 2 1 2
,0

)
(
)
1 2
5,6 , 1, 2
z z
= − = −
thì
(
)
(
)
(
)
1 2
5,6 1, 2 4,4
z z
+ = − + − = −
và
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
5,6 1, 2 5 12,10 6 7,16
z z

+ = +
, với mọi
1 2
,z z
∈
ℂ
.
(b) Tính kết hợp.
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
+ + = + +
, với mọi
1 2 3
, ,z z z
∈
ℂ
.
(c) Phần tử ñơn vị. Tồn tại duy nhất số phức
(
)
0 0,0
=
sao cho
0 0
z z z
+ = + =

ó ta nói
z
−
là s
ố

ñố
i (ph
ầ
n t
ử

ñố
i) c
ủ
a
z
.
T
ừ

ñ
ây, ta có th
ể

ñị
nh ngh
ĩ
a phép tr
ừ

(a) Tính giao hoán.
1 2 2 1
z z z z
=
, với mọi
1 2
,z z
∈
ℂ

(b) Tính kết hợp.
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
=
, với mọi
1 2 3
, ,z z z
∈
ℂ
.
(c) Phần tử ñơn vị. Tồn tại duy nhất số phức
(
)
1 1,0
=
sao cho

1 1
. 1
z z z z
− −
= =
. Khi ñó ta nói
1
z
−
là số ñối (phần tử ñối) của
z
.
Dựa vào mối quan hệ của
1
,
z z
−
như trên, ta có thể xác ñịnh ñược

6

1 *
2 2 2 2
1
,
x y
z
z x y x y
−
 

2 2 2 2 2 2 2 2
. , , ,
z x y x x y y x y y x
z z x y
z x y x y x y x y
−
   
+ − +
 
 
= = = ∈
 
 
 
 
 
+ + + +
   
ℂ
.
Ví dụ. Nếu
(
)
1, 2
z
=
thì
1
2 2 2 2
1 2 1 2

3 8 4 6 11 2
, ,
9 16 9 16 25 25
z
z
   
+ − +
 
 
= =
 
 
 
 
   
+ +
.
* Lũy thừa nguyên của số phức.
L
ũ
y th
ừ
a nguyên c
ủ
a m
ộ
t s
ố
ph
ứ

0
z
=
, ta
ñị
nh ngh
ĩ
a
0 0,
n
n
+
= ∈
ℤ
.
Các tính ch
ấ
t c
ủ
a l
ũ
y th
ừ
a nguyên c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c c

,x y
∈
ℝ
, ñiều này sẽ gây ít
nhiều khó khăn cho việc trình bày các kiến thức về số phức. Vì lẽ ñó, ta sẽ biểu diễn các số phức
dưới dạng ñại số.
Xét tập hợp
{
}
0
×
ℝ
, cùng với phép toán cộng và nhân trên
2
ℝ
như trên. Khi ñó hàm số
{
}
(
)
(
)
: 0 , ,0
f f x x
→ × =
ℝ ℝ

là song ánh. Hơn nữa,
(
)

ũ
ng t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên
ℝ
. T
ừ

ñ
ây, ta s
ẽ

ñồ
ng
nh
ấ
t c
ặ
p s
ố

(
)
,0
x
v

= −
. Thật vậy,
(
)
(
)
(
)
2
0,1 0,1 1,0 1
i
= ⋅ = − = −
.
Ta có mệnh ñề sau.
Mệnh ñề. Mọi số phức
(
)
,
z x y
=
ñề
u
ñượ
c bi
ể
u di
ễ
n duy nh
ấ
t d

ố
ph
ứ
c
z

ñượ
c bi
ể
u di
ễ
n d
ướ
i d
ạ
ng
z x iy
= +
, ta g
ọ
i
x
là ph
ầ
n th
ự
c c
ủ
a
z

i là
ñơ
n v
ị

ả
o.
T
ừ
cách bi
ể
n di
ễ
n trên, ta c
ũ
ng có m
ộ
t s
ố
nh
ậ
n xét
ñơ
n gi
ả
n sau:
a)

(
)

7

(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z x iy x iy x x y y i
+ = + + + = + + +
.
Nhận xét.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
Re Re Re ;Im Im Im
z z z z z z z z

)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
Re Re Re Im Im ;Im Re Im Re Im
z z z z z z z z z z z z
= − = +
.
Ngoài ra n
ế
u
λ
là m
ộ
t s
ố
th
ự
c và
z x yi
= +
thì ta có
(
)

1 2 1 2 1 2 1 2
Re Re Re ;Im Im Im
z z z z z z z z
− = − − = −
.
1.4 Lũy thừa của
i

T
ừ
tính ch
ấ
t
2
1
i
= −
, ta dễ dàng nhận thấy rằng
{
}
1, 1, ,
n
i i i
∈ − −
, trong
ñ
ó
n
là m
ộ

= = = −
.
Ví dụ.
Tìm s
ố
ph
ứ
c
; ,z x yi x y
= + ∈
ℤ
thỏa mãn ñiều kiện
3
18 26
z i
= +
.
Lời giải. Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
3 2 2




− =


.
T
ừ phương trình ñầu của hệ, ta nhận thấy
0, 0
x y
≠ ≠
. Bằng cách ñặt
y tx
=
, từ phương trình
(
)
(
)
2 3 3 2
18 3 26 3
x y y x xy
− = −
, ta có
(
)
(
)
3 2

ậ
n
ñượ
c
1
y
=
,
suy ra
3
x
=
. Do
ñ
ó
3
z i
= +
.
1.5 Số phức liên hợp
Cho s
ố
ph
ứ
c
z x yi
= +
, khi
ñ
ó s

ñề
sau.
Mệnh ñề.
V
ớ
i m
ọ
i s
ố
ph
ứ
c
1 2
, ,
z z z
ta có các tính ch
ấ
t sau:
(1)
z z z
= ⇔ ∈
ℝ
.
(2)
z z
=
.
(3) .z z
∈
ℝ

z
 



= ≠





 
.
(8)
( ) ( )
Re ,Im
2 2
z z z z
z z
i
+ −
= = .

8

Việc chứng minh các tính chất trên tương ñối dễ dàng, dựa trên cơ sở của ñịnh nghĩa.
Nhận xét. Với mọi số phức
*
z
∈

(
)
1 1 2 2
1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
.
.
x y i x y i
z z z x x y y x y x y
i
z x y x y x y
z z
+ −
+ − +
= = = +
+ + +
.
1.6 ðộ lớn (modul) của số phức
Số
2 2
z x y
= +
là ñộ lớn (hay modul) của số phức
z x yi
= +
. Chẳng hạn, nếu cho các số
phức
1 2 3

ệ
n
ở
m
ệ
nh
ñề
d
ướ
i
ñ
ây.
Mệnh ñề.
V
ớ
i m
ọ
i s
ố
ph
ứ
c
1 2
, ,
z z z
ta có các tính ch
ấ
t sau:
(1)
(

− ≤ + ≤ +
.
(7)
1 1
, 0
z z z
− −
= ≠
.
(8)
1
1
2
2 2
, 0
z
z
z
z z
= ≠
.
1.7 Biểu diễn hình học của các phép toán ñại số
1.7.1 Biểu diễn hình học của số phức
Ta v
ừ
a
ñị
nh ngh
ĩ
a s

= +
ứng với một ñiểm
(
)
,
M x y
trong mặ
t
ph
ẳ
ng
×
ℝ ℝ
.
G
ọ
i
P
là t
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các
ñ
i
ể

: , ,
P z M x y
ϕ ϕ
→ =
ℂ
là song ánh.
ðịnh nghĩa. ðiểm
(
)
,
M x y
ñượ
c g
ọ
i là
ả
nh hình h
ọ
c c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
z x yi
= +
. Ng
ượ
c l

. H
ơ
n n
ữ
a, ta s
ẽ
dùng kí hi
ệ
u
(
)
M z

ñể
ch
ỉ
t
ọ
a
ñộ
ph
ứ
c c
ủ
a
M
là s
ố
ph
ứ

(
)
,
M x y
qua tr
ụ
c Ox) là
ả
nh hình
h
ọ
c c
ủ
a
z x yi
= −
.
Ta bi
ế
t r
ằ
ng, t
ọ
a
ñộ
c
ủ
a
ñ
i

là tập hợp tất cả các vector có cùng ñiểm gốc
O
. Khi ñó, ta chứng minh ñược ánh xạ
(
)
0
' : , '
V z OM v xi y j
ϕ ϕ→ = = = +
   
ℂ ,
Là song ánh, trong
ñ
ó
,
i j
 
là các vector
ñơ
n v
ị
c
ủ
a tr
ụ
c hoành và tr
ụ
c tung.
1.7.2 Biểu diễn hình học của modul
Xét số phức

hay ñộ dài của vetor
v

.
1.7.3 Biểu diễn hình học của các phép toán ñại số
a) Phép cộng và phép trừ. Xét các số phức
1 1 1
z x y i
= +
và
1 2 2
z x y i
= +
lần lượt tương ứng
với các vector
1 1 2 2
,
v x i y j v x i y j
= + = +
     
. Ta dễ dàng thấy rằng
1 2
z z
±
tương ứng với
1 2
v v
+
 
.

)
3 2 3 5 2
i i i
− + − + =− −
, vì v
ậ
y
ả
nh hình h
ọ
c c
ủ
a hi
ệ
u này
ñượ
c th
ể
hi
ệ
n là

10
Chú ý.
Ta có
( ) ( )
2 2

,
v v
λ
 
cùng hướ
ng và
v v
λ λ
=
 
.

2. Số phức dưới dạng lượng giác
2.1 Tọa ñộ cực trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng tọa ñộ, ta xét ñiểm
(
)
,
M x y
không trùng gố
c t
ọ
a
ñộ
. S
ố
th
ự
c
2 2

chiều dương) ñược gọi là argument cực của ñiểm
M
. Cặp
(
)
*
,
r t
ñược gọi là tọa ñộ cực của ñiểm
M
. Khi ñó ta viết
(
)
*
,
M r t
. Ta chú ý rằ
ng hàm s
ố

{
}
(
)
[
)
: \ 0,0 0, 0,2
h
π
× → +∞ ×

ấ
t mà
0
r
=
, nh
ư
ng argument
*
t
không xác
ñị
nh.
V
ớ
i b
ấ
t k
ỳ

ñ
i
ể
m
(
)
,
M x y
trong m
ặ

n v
ị
tâm
O
. Khi
ñ
ó
ñ
i
ể
m
P
có cùng argument c
ự
c v
ớ
i
M
là
*
t
. Ta d
ễ

dàng tìm
ñượ
c t
ọ
a
ñộ

ñặ
t ra là v
ớ
i b
ấ
t k
ỳ

ñ
i
ể
m
(
)
,
M x y
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng, ta s
ẽ
tìm argument c
ự
c c
ủ
a
ñ
i
ể

t
x
=
, ta có
ñượ
c
*
arctan
y
t kx
x
= +
, v
ớ
i
(
)
( )
( )
0 0, 0
1 0,
2 0, 0
x y
k x y
x y


> ≥






>



=



<





Ví dụ. 1. Tìm tọa ñộ cực của các ñiểm sau:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

4
M
π
 






 
.
•
*
1 2
1, arctan 0r t
π π
= = + =
, do
ñ
ó
(
)
2
1,
M
π
.
•
*

r t
π
= = =
, do
ñ
ó
4
2,
6
M
π
 






 
.
•
*
5 5
3, arctan 0 0 0
r t
= = + =
, do
ñ
ó
(

 
.
2
. Tìm t
ọ
a
ñộ
(Descartes) c
ủ
a các
ñ
i
ể
m
( )
1 2 3
2 7
2, , 3, , 1,1
3 4
M M M
π π
   
 
 
 
 
 
 
   
.

2 2
7 3 2 7 3 2
3cos , 3sin
4 2 4 2
x y
π π
= = = = −
, do ñó
2
3 3 3 3
,
2 2
M
 



−





 
.
•
3 3
cos1, sin1
x y
= =

t
π
∈
. Khi ñó, ta gọi
*
t
là argument (chính) của
z
, ký hiệu là
arg
z
và
r
là modul của
z
.
Với mọi
0
z
≠
, modul và argument c
ủ
a
z

ñượ
c xác
ñị
nh duy nh
ấ

nào cũng có thể ñược viết dưới dạng
(
)
cos sin
z r t i t
= +
,
0,r t
≥ ∈
ℝ
.
T
ậ
p h
ợ
p
{
}
*
: 2 ,Argz t t k k
π
= + ∈
ℤ

ñượ
c g
ọ
i là argument m
ở
r

bằ
ng
nhau khi và ch
ỉ
khi
1 2
r r
=
và
1 2
2 ,t t k k
π
= + ∈
ℤ
.
Ví dụ. 1. Hãy biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác và xác ñịnh argument mở rộng
của chúng:
1 2 3
1 , 2 2 , 1 3
z i z i z i
= − − = + = − +
.
Lời giải.
Ta kí hi
ệ
u
*
, ,
i i i
r t P

2 cos sin
4 4
z i
π π
 


= +




 
và
1
5
2 ,
4
Argz k k
π
π
 
 
 
= + ∈
 
 
 
 
ℤ

2 ,
4
Argz k k
π
π
 
 
 
= + ∈
 
 
 
 
ℤ

•
( )
(
)
(
)
2
2
*
3 3
2
1 3 2, arctan 3
3 3
r t
π π

= + ∈
 
 
 
 
ℤ13

2.3 Các phép toán của số phức biểu diễn dưới dạng lượng giác
1. Phép nhân
Mệnh ñề. Giả sử rằng
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
cos sin , cos sin
z r t i t z r t i t
= + = +
. Khi ñ
ó
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
cos sin
z z r r t t i t t

Chú ý.
a) T
ừ
h
ệ
th
ứ
c trên, ta th
ấ
y
ñượ
c
1 2 1 2
.
z z z z
=
.
b) Ta có
(
)
1 2 1 2
arg arg arg 2
z z z z k
π
= + −
, trong ñó
1 2
1 2
0, khi arg arg 2
1, khi arg arg 2

.
d) N
ế
u
(
)
cos sin , 1,2, ,
k k k k
z r t i t k n
= + =
thì
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
cos sin
n n n n
z z z r r r t t t i t t t
 
= + + + + + + +
 

2. Lũy thừa của số phức
ðịnh lý. (Công thức De Moivre)
1
, (Nhà toán học Pháp (1667 – 1754)).
Cho
(
)

)
cos sin cos sin
n
t i t nt i nt
+ = +
.
c) Ta có thể viết
{
}
rg arg 2 ,
n
A z n z k k
π
= + ∈
ℤ
.
3. Phép chia
Mệnh ñề. Giả sử rằng
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
cos sin , cos sin 0
z r t i t z r t i t
= + = + ≠
. Khi
ñ
ó
( ) ( )

r t i t r t i t t i t
z r
z r r t i t
r t i t
+ + −
= = =
+
+(
)
(
)
(
)
( ) ( )
1 1 2 1 2 1 2 2 1
1
1 2 1 2
2 2
2
2 2 2
cos cos sin sin sin cos sin cos
cos sin
cos sin
r t t t t i t t t t
r
t t i t t
r

1
z
=
,
2
z z
=
, ta nh
ậ
n
ñượ
c
( ) ( )
1
1 1
cos sin
z t i t
z r
−
 
= = − + −
 
.
c) V
ớ
i m
ọ
i n
∈
ℤ

cos sin
5 5
z x iy i
π π
= + = +
. Ta có
5
1
z
= −
hay
(
)
(
)
4 3 2
1 1 0
z z z z z
+ − + − + =
.
Vì
1
z
≠ −
nên
4 3 2
1 0
z z z z
− + − + =
. D

   
   
   
   
       
.
Ta
ñể
ý r
ằ
ng
1 1
2
x z
z
 


= +




 
, t
ừ

ñẳ
ng th
ứ

π π π
+ + =
.
Lời giải. ðặt
cos sin
7 7
z i
π π
= +
. Khi ñó,
7
cos sin 1
z i
π π
= + = −
hay
7
1 0
z
+ =
.
M
ặt khác, ta có
3 5
3 5
3 5 1 1 1 1 1 1
cos cos cos
7 7 7 2 2 2
z z z
z z z

và
8
z z
= −
. Suy ra
10 8 6 4 2 6 4 3 2
1 1
z z z z z z z z z z
+ + + + + = + − + − + =

7
6 5 4 3 2 5 5 5
1
1
1
z
z z z z z z z z z
z
+
= − + − + − + + = + =
+
.
Do
ñó
5
5
3 5 1
cos cos cos
7 7 7 2 2
z


 




− =





+

 


.
Lời giải. Trước hết, ta nhận thấy
, 0
x y
>
. ðặt
,
u x v y
= =
. H
ệ
ph
ươ




 




− =





 
+



.
Vì
2 2
u v
+
là bình phương của modul số phức
z u iv
= +
, bằng cách cộng phương trình thứ
nh
ất với phương trình thứ hai (sau khi nhân hai vế với

u v z
zz
z
−
= = =
+
nên ph
ươ
ng trình trên
ñượ
c vi
ế
t l
ạ
i d
ướ
i d
ạ
ng
2
1 2 4 2 2 4 2 1 2 2 2
1 0 2
3 7 3 7 3 21 7
z i z i z z i
z
     
 
  
  










= ± ±






 






 

 
 
. Do
ñ
ó h
ệ



 






 
 


 
.
Bài toán 4. Cho
, ,
a b c
là các số thực sao cho
cos cos cos sin sin sin 0
a b c a b c
+ + = + + =
.
Ch
ứng minh rằng
cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 0
a b c a b c
+ + = + + =
.
Lời giải. ðặt


(
)
(
)
(
)
cos 2 sin 2 cos2 sin 2 cos 2 sin 2 0
a i a b i b c i c
+ + + + + =
.
T
ừ ñó ta có ñược
cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 0
a b c a b c
+ + = + + =
.
Bài toán 5. Tính
sin sin 2 sin
n
S a a na
= + + +
và
cos cos 2 cos
n
C a a na
= + + +
.
Lời giải. ðặt
cos sin

2
2sin 2 sin cos
1 cos sin 1
2 2 2
1 cos sin 1
2sin 2 sin cos
2 2 2
n
na na na
i
z na i na
a a a
z a i a
i
− +
− + −
= =
− + −
− +( ) ( )
sin cos sin
sin
1 1
2 2 2
2
cos sin
2 2
sin





 
.
Do
ñ
ó
( )
( ) ( )
sin
1 1
1
2
cos sin cos sin
1 2 2
sin
2
n
n n
na
n a n a
z
C iS z a i a i
a
z
 
− −
−

ng nh
ấ
t ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n th
ự
c, ph
ầ
n
ả
o và ph
ầ
n
ả
o, ta nh
ậ
n
ñượ
c
(
)
1
sin sin
2 2
sin sin 2 sin
sin

)
(
)
(
)
1 2 3
1, 2 , 2,3 , 1, 1
z z z
= = − = −
. Hãy tính
a)
1 2 3
z z z
+ +
; b)
1 2 2 3 3 1
z z z z z z
+ +
; c)
1 2 3
z z z
;
d)
2 2 2
1 2 3
z z z
+ +
; e)
3
1 2

; b)
2
19 7 20 5
9 7 6
n n
i i
E
i i
   
+ +
 
 
= + ∈
 
 
 
 
   
− +
ℝ
.
3. Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
ph
ứ
c

.
5. Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
ph
ứ
c
z
sao cho
2
2
4 8 8
z z
+ =
.
6. Cho
*
z
∈
ℂ
th
ỏ
a
ñ
i
ề
u ki

a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
1 2 1 2
3, 1
z z z z
+ = = =
. Tính
1 2
z z
−
.
8. Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
nguyên d
ươ
ng
n
sao cho
1 3 1 3
2
2 2

ằ
ng
0 0 0
1
cos20 .cos40 .cos80
8
=
.
11. Cho
, ,
x y z
∈
ℝ
sao cho
sin sin sin cos cos cos 0
x y z x y z
+ + = + + =
. Chứng minh rằng
sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 0
x y z x y z
+ + = + + =
.
12. Cho
(
)
4 3 2
f x x ax bx cx d
= + + + +
là ña thức với hệ số thực. Giả sử
(

.
14. Cho s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
1
z
=
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2
2 1 1 4
z z
≤ − + + ≤
.
15. Cho

.

17Chương 2. Số Phức Và Hình Học

2.1 Căn bậc
n
của 1
2.1.1 Căn bậc
n
của một số phức
Cho
2
n
>
là một số nguyên và số phức
0
0
z
≠
. Như trong trường các số thực, phương trình
0
0
n
Z z
− =

ñược dùng ñể ñịnh nghĩa căn bậc

0
z
có
n
căn
bậc
n
khác nhau và ñược cho bởi công thức
* *
2 2
cos sin , 0,1, , 1
n
k
t k t k
Z r i k n
n n
π π
 
+ +



= + = −





 
.

ñ
ó
n
r
ρ
=
và
*
2 ,n t k k
ϕ π
= + ∈
ℤ
. Suy ra
n
r
ρ
=
và
*
2
.
k
t
k
n n
π
ϕ = +
. Do
ñó
(

c là
*
k k
ϕ ϕ
=
. Ta có
ñượ
c
n
c
ă
n phân bi
ệ
t c
ủ
a
0
z
là
0 1 1
, , ,
n
Z Z Z
−
.
V
ới
k
nguyên dương và
{

0 1 1
: , , ,
k n
Z k Z Z Z
−
∈ =
ℤ
, hay chỉ có ñúng
n
căn bậc
n
khác nhau.
Lưu ý. Ta dễ dàng chứng minh ñược rằng ảnh hình học của các căn bậc
n
của
0
0
z
≠
là các
ñỉnh của một
n
−
giác ñều nội tiếp trong ñường tròn tâm
O
là gốc tọa ñộ, bán kính bằng
n
r
.
Ví dụ. Căn bậc 3 của số phức

 
 
   
 
hay
6 6 6
0 1 2
3 3 17 17
2 cos sin , 2 cos sin , 2 cos sin ,
12 12 4 4 12 12
Z i Z i Z i
π π π π π π
     
  
  
= + = + = +
  
  
  
  
     

Các c
ă
n b
ậ
c 3 này có các
ả
nh hình h
ọ

ộ
t tam giác
ñề
u n
ộ
i ti
ế
p trong
ñườ
ng tròn tâm
O
, bán kính
6
2
r
=
.

18
2.1.2 Căn bậc
n
của ñơn vị
Nghiệm của phương trình
1 0
n
Z
− =

−
=
. Phần tử
k n
U
ε
∈
ñược gọi là nguyên tố nếu
1
m
k
ε
≠
v
ớ
i m
ọ
i
m n
<
.
Mệnh ñề 1. (a) Nếu
n q
thì bất kỳ nghiệm nào của
1 0
n
Z
− =
cũng là nghiệm của
1 0

(
)
(
)
( )
(
)
1
1 1 1 1
p
p n
p n n n
Z Z Z Z Z
−
− = − = − + + +
. Từ ñó
ta có
ñiều phải chứng minh.
(b) Xét
2 2
cos sin
p
p p
i
m m
π π
ε = +
là một nghiệm của
1 0
m

ε ε
=
khi và ch
ỉ
khi
arg arg '
p q
ε ε
=
, t
ứ
c là
2 2
2 ,
p q
r r
m m
π π
π
= + ∈
ℤ
hay
pn qm rmn
− =
.
M
ặ
t khác, ta có
' , '
m m d n n d

=
,
'
p
là m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng, và
2 2 ' ' 2 '
arg
'
p
p p m p
m m d d
π π π
ε
= = =
và
1
d
p
ε
=
.
Do
ñ
ó, t

Z
− =
và
1 0
n
Z
− =
.
Mệnh ñề 2. Nếu
n
U
ε
∈
là căn nguyên tố của 1, thì nghiệm của phương trình
1 0
n
Z
− =
có
d
ạng
1 1
, , ,
r r r n
ε ε ε
+ + −
, với
r
là một số nguyên dương bất kỳ.
Chứng minh. Gọi

1 1
, , ,
r r r n
ε ε ε
+ + −
là các số phân biệt. Giả sử ngược lại, tức là tồn
tại
1 2
r h r h
+ ≠ +
,
1 2
h h
>
sao cho
1 2
r h r h
ε ε
+ +
=
. Khi ñó,
(
)
2 1 2
1 0
r h h h
ε ε
+ −
− =
. Vì

là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a
1 0
n
Z
− =
, mâu thu
ẫ
n này k
ế
t thúc vi
ệ
c ch
ứ
ng minh.
Mệnh ñề 3. Cho
0 1 1
, , ,
n
ε ε ε
−
là
n
căn bậc
n

∑
.

19

Chứng minh. Xét
2 2
cos sini
n n
π π
ε = + , thì
n
U
ε
∈
là m
ột căn nguyên tố của 1, vì
1
m
ε
=
khi
và ch
ỉ
khi
n m
. Gi
ả
s
ử

− −
= = = = =
− −
∑ ∑ ∑
.
N
ế
u
n k
, thì
k qn
=
,
q
là m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng, ta
ñượ
c
( )
1 1 1 1
0 0 0 0
1
n n n n
q
k qn n

p
p
a a a
ε ε
−
−
+ + + =
khi và ch
ỉ
khi
0 1 1

p
a a a
−
= = =
.
Chứng minh. Nếu
0 1 1

p
a a a
−
= = =
thì ta có ngay ñiều cần chứng minh. Ngược lại, ta ñịnh
nghĩa các ña thức
[
]
,
f g X

ệ
m chung, thì
(
)
gcd ,
f g
chia h
ế
t
g
. T
ừ
tiêu chu
ẩ
n b
ấ
t kh
ả
quy c
ủ
a Eisenstein,
ta th
ấ
y r
ằ
ng
g
b
ấ
t kh

−
= = =
.
2.2 Số phức và hình học
2.2.1 Một số kí hiệu hình học ñơn giản và các tính chất
2.2.1.1 Khoảng cách giữa hai ñiểm
Giả sử các số phức
1 2
,
z z
có các ảnh hình học
1 2
,
M M
. Khi ñó, khoảng cách giữa hai ñiểm này
ñược xác ñịnh bởi
1 2 1 2
M M z z
= −
.
2.2.1.2 ðoạn thẳng, tia, ñường thẳng
Cho hai ñiểm phân biệt
,
A B
với tọa ñộ phức lần lượt là
,
a b
. Ta nói rằng ñiểm
M
có tọa ñộ

(
)
{
}
,
AB AB A B
=
∪
ñược gọi là ñoạn thẳng ñóng xác ñịnh bởi hai ñiểm
,
A B
.
Tập hợp
(
{
}
AB M A M B A B M
= − − ∨ − −
ñược gọi là tia mở với ñiểm ñầu
A
và chứa
B
.
Ta thừa nhận không chứng minh các ñịnh lý sau ñây.
ðịnh lý 1. Giả sử
(
)
(
)
,

c d
ươ
ng
k
sao cho
(
)
z a k b z
− = −
;
(3) T
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
th
ự
c
(
)
0,1
t
∈
sao cho
(
)
1

ươ
ng
ñươ
ng:
(1)
(
M AB
∈
;

20

(2) T
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
th
ự
c
(
)
0,1
t
∈
sao cho
(

(
)
(
)
,
A a B b
là hai ñiểm phân biệt. Các phát biểu sau là tương ñương:
(1)
(
)
M z
nằm trên ñường thẳng
AB
;
(2) Tồn tại một số thực
t
sao cho
(
)
1
z t a tb
= − +
, trong ñó
(
)
M z
;
(3)
z a
b a

. M
ộ
t
ñ
i
ể
m
(
)
M z
n
ằ
m trên
ñườ
ng th
ẳ
ng
AB
chia
ñ
o
ạ
n
th
ẳ
ng
AB
theo t
ỉ
s

)
, ,
A a B b C c
là các
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t, không th
ẳ
ng hàng trong m
ặ
t ph
ẳ
ng
ph
ứ
c. Khi
ñ
ó, trung
ñ
i
ể
m
M
c
ủ
a
ñ

có t
ọ
a
ñộ
ph
ứ
c là
3
G
a b c
z
+ +
= .
2.2.1.4 Góc của tam giác
M
ộ
t tam giác có h
ướ
ng d
ươ
ng n
ế
u các
ñỉ
nh c
ủ
a nó theo th
ứ
t
ự

M z M z
và không
trùng v
ớ
i g
ố
c t
ọ
a
ñộ
c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c. Góc

1 2
M OM
ñược ñịnh hướng nếu các ñiểm
1 2
,
M M

theo thứ tự ngược chiều quay của kim ñồng hồ.

Mệnh ñề. Số ño của góc ñịnh hướng



2
1 2 2 1 2 1
1
arg arg arg
z
M OM xOM xOM z z
z
= − = − =

(ii) Nếu tam giác
1 2
M OM
theo hướng dương thì
 
2
1 2 2 1
1
2 2 arg
z
M OM M OM
z
π π= − = −
.
Do
ñ
ó

1 2 2

ñ
i
ể
m
1 2
, ,
O M M
th
ẳng hàng.
Ví d
ụ. a) Cho
1 2
1 , 1
z i z i
= + = − +
. Khi ñó
(
)
(
)
2
1
1 1
1
1 2
i i
z i
i
z i
− + −

ó

( )

( )
1 2 2 1
3
arg , arg
2 2
M OM i M OM i
π π
= − = = =
.
ðịnh lý. Cho các ñiểm phân biệt
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
, ,
M z M z M z
. Khi
ñ
ó, góc
ñị
nh h
ướ
ng

(
)
(
)
' '
2 2 1 3 3 1
0 , ,
O M z z M z z
− −
. Hơn nữa, ta cũng có
ñược


' '
2 1 3 2 3
M M M M OM
=
. Từ kết quả ở mệnh ñề trên, ta có


' '
3 1
2 1 3 2 3
2 1
arg
z z
M M M M OM
z z
−
= =

i
M M M
π
+
= =
,

( )
2 1 3
2 7
arg arg 1
1 4
M M M i
i
π
= = − =
+
.
2.2.1.5 Góc giữa hai ñường thẳng
ðịnh lý. Cho bốn ñiểm phân biệt
(
)
, 1, 2,3,4
i i
M z i
=
. Khi
ñ
ó s
ố

arg
z z
z z
−
−
.
Chứng minh. Xin dành cho bạn ñọc như bài tập.
2.2.1.6 Phép quay quanh một ñiểm
Cho góc
α
và số phức
cos sin
i
ε α α
= +
. Xét số phức
(
)
cos sin
z r t i t
= +
, và
(
)
M z
. Ta có

22

(

ả
nh c
ủ
a
M
qua phép quay quanh tâm
O
v
ớ
i góc quay
α
.

Mệnh ñề. Giả sử
(
)
C c
là ảnh của
(
)
B b
qua phép quay tâm
(
)
A a
, góc quay
α
. Khi ñó
(
)

'
B
qua phép quay tâm
O
, góc quay
α
nên
(
)
c a b a
ε
− = −
hay
(
)
c a b a
ε
= + −
.
2.2.2 Các ñiều kiện thẳng hàng , vuông góc và cùng thuộc một ñường tròn
Cho bốn ñiểm phân biệt
(
)
, 1, 2,3,4
i i
M z i
=
.
Mệnh ñề 1.
Các

{
}
2 1 3
0,
M M M
π
∈
hay
{ }
3 1
2 1
arg 0,
z z
z z
π
−
∈
−
hay
*
3 1
2 1
z z
z z
−
∈
−
ℝ
.
Mệnh ñề 2. Các ñường thẳng

∈
 
 
 
 
. ðiều này tương
ñương với
1 2
3 4
3
arg ,
2 2
z z
z z
π π
 
−
 
 
∈
 
 
−
 
 
hay
*
1 2
3 4
z z

(
)
(
)
(
)
1 2 3 4
2 , 1 2 , 2 , 1 2
M i M i M i M i
− − + − − +
. Khi
ñ
ó
1 2
3 4
3 3
3 3
z z i
i
z z i
− −
= =
− − −
hay
1 2 3 4
M M M M
⊥
.
Mệnh ñề 3.
B

:
z z z z
k
z z z z
− −
= ∈
− −
ℝ
.
Chứng minh. Bốn ñiểm phân biệt
1 2 3 4
, , ,
M M M M
cùng thuộc một ñường tròn khi và chỉ khi


{
}
1 2 3 1 2 3
3 ,
M M M M M M
π π
+ ∈
hay
{ }
3 2 1 4
1 2 3 4
arg arg 3 ,
z z z z
z z z z

ợ
p còn l
ạ
i c
ủ
a
1 2 3 4
, , ,
M M M M

ñược chứng minh tương tự.
Chú ý.
(1) S
ố thực
k
ñược xác ñịnh như trên ñược gọi là tỷ số kép của bốn ñiểm
1 2 3 4
, , ,
M M M M
.
(2) Các
ñiểm
1 2 3 4
, , ,
M M M M
thẳng hàng khi và chỉ khi
*
3 2
1 2
z z

= ∈
− −
ℝ
, nhưng
3 2
1 2
z z
z z
−
∉
−
ℝ
và
3 4
1 4
z z
z z
−
∉
−
ℝ
.
Ví dụ. (1) Bốn số phức có ảnh hình học lần lượt là
1, , 1,
i i
− −
cùng thuộc một ñường tròn. Thật
v
ậy, vì tỉ số kép
*

1 2 3 4
2 , 3 2 , 1 2 , 2 3
M i M i M i M i
− − − + − +
th
ẳ
ng hàng. Th
ậ
t v
ậ
y, vì ta có
*
4 4 1
: 1
1 4 4
i i
k
i i
− + −
= = ∈
− + −
ℝ
và
*
4 4
4
1
i
i
− +

ằ
ng các tam giác
1 2 3
A A A
và
1 2 3
B B B

ñồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i nhau n
ế
u góc
(
)
1,2,3
k k
A B k
= =
.
Mệnh ñề 1.
Các tam giác cùng h
ướ
ng
1 2 3
A A A
và

ng v
ớ
i nhau khi và ch
ỉ
khi
1 2 1 2
1 3 1 3
A A B B
A A B B
= và


3 1 2 3 1 2
A A A B B B
=

hay
2 1 2 1
3 1 3 1
a a b b
a a b b
− −
=
− −
và
2 1 2 1
3 1 3 1
arg arg
a a b b
a a b b

−
.
Chứng minh. Thực hiện phép ñối xứng qua trục
Ox
, các ñiểm
1 2 3
, ,
B B B
biến thành các ñiểm
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
, ,
M b M b M b
. Khi ñó các tam giác
1 2 3
B B B
và
1 2 3
M M M
ñồng dạng với nhau nhưng
ngược hướng. Tức là hai tam giác
1 2 3
A A A
và
1 2 3


24

(d)
3 2
2 1
3 2 1 2
z z
z z
z z z z
−
−
=
− −
;
(e)
1 2 3
1 1 1
0
z z z z z z
+ + =
− − −
, trong ñó
1 2 3
3
z z z
z
+ +
=
;

ñều khi và chỉ khi
1 2 3
A A A
ñồng dạng với
tam giác cùng hướng
2 3 1
A A A
, hay
( ) ( )( )
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1
1 1 1
0 0 0
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z
ε ε ε ε
= ⇔ + + − + + = ⇔− + + + + =
,
tức là
(
)
(
)
(
)
(
)
a g c f
⇔ ⇔ ⇔

. Khi ñó, các phát
biểu sau ñây là tương ñương:
(a)
1 2 3
A A A
là tam giác ñều;
(b)
(
)
3 1 2 1
z z z z
ε
− = −
; trong ñó
cos sin
3 3
i
π π
ε = +
;
(c)
(
)
2 1 3 1
z z z z
ε
− = −
; trong
ñ
ó

A
nhận ñược từ
2
A
qua phép
quay tâm
1
A
, góc quay
3
π
. Tức là,
( )
3 1 2 1
cos sin
3 3
z z i z z
π π
 


= + + −




 
, hay
(
)

)
b d
⇔
, ta nhận thấy rằng
(
)
b
tương ñương với
( )
3 1 2 1 1 2
1 3 1 3 1 3
2 2 2 2 2 2
z z i z z i z i z
     
  
  
  
= + + − = − + +
  
  
  
  
  
     
.

25

Do ñó,
2

   
 
   
   
   
       
 
 1 2 1 2
1 3 1 3
0
2 2 2 2
z i z z i z
   
 
 
 
= + − + − + − =
 
 
 
 
 
   
.
Hay
(
)

3 3
i
π π
ε = + ;
(c)
(
)
2 1 3 1
z z z z
ε
− = −
; trong
ñ
ó
cos sin
3 3
i
π π
ε = + ;
(d)
2
1 2 3
0
z z z
ε ε
+ + =
, trong
ñ
ó
2 2

;
(c)
2
1 2 3
z z z
=
và
2
2 1 3
z z z
=
;
Khi
ñ
ó,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
b a c a b c
⇒ ⇒ ⇔

r z z z z z z
z z z
⇒ = = = = = =
.
Từ ñó suy ra
3
1 2
2 3 1
z
z z
z z z
= =
hay
2 2 2
1 2 3 2 3 1 3 1 2
, ,
z z z z z z z z z
= = =
.
C
ộng các ñẳng thức trên theo từng vế, ta nhận ñược
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
z z z z z z z z z
+ + = + +
, do ñó
tam giác
1 2 3
A A A
là tam giác ñều.