1

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC
Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức
Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn
3
18 26
z i
= +

Giải:
3
18 26
z i
= +
( )
( ) ( )
3 2
3
2 3 3 2
2 3
3 18
18 26 18 3 26 3
3 26
x xy
x yi i x y y x xy
x y y


1 2 1 2
; 3
z z z z= + = Tính
1 2
z z
−

Giải:
Đặt
1 1 1 2 2 2
;
z a bi z a b i
= + = +
. Từ giả thiết ta có
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3
a b a b
a a b b

+ = + =


+ + + =



i z i z i
+ − − − − =

Giải: Ta có
∆
’ = 4(2 – i)
2
+ 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là:
z
1
=
i
ii
i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2
−=
−
−

−
=
+
−
−

Ví dụ 3) Giải phương trình
3 2
9 14 5 0
z z z
− + − =

Giải:
Ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
(
)
(
)
2
2 1 4 5 0
z z z
− − + =

ự
c nên
3 2
2 5 3 3 0
2 1 0
z z z
z

− + + =

+ =

1
2
z
−
⇒ =
tho
ả mãn cả
hai ph
ương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
(
)
2
2 1 3 3 0
z z z i
+ − + + =
. Giải phương trình ta tìm ñược

b b
b z i
b b b

− =

⇔ ⇒ = ⇒ =

− + + − =


là nghi
ệ
m, t
ừ

ñ
ó ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
(
)
(
)

a b = − ±
. V
ậy phương
trình có 4 nghi
ệm là
1 3
0; 1;
2 2
z z z i
= = = − ±
Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức:
Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau:
1 2 2
z i z i
+ − = − +
và
5
z i− =
Giải:
Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có
1 ( 2) 2 (1 )
( 1) | 5
x y i x y i
x y i
 + + − = − + −


+ − =



1, 3
x y
⇔ = =
hoặc
2 6
,
5 5
x y
= − = −
. Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện.
Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn
;
1 ( 2 )
i m
z m R
m m i
−
= ∈
− −

a) Tìm m ñể
1
.
2
z z
=

b)Tìm m ñể
1
4

− − − + + − +
= = =
− +
− + − −
− +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
3

( )
2 2
2
2 2 2 2
2
(1 ) (1 ) 1 1
1 1 1 1
1
m m i m m m
i z i
m m m m
m
+ + +
= = + ⇒ = −
+ + + +
+

( )
2
2

2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
16 1
(1 ) (1 ) 16 1 6
15 15
m m m
m m m
m m m
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤
+ + +

c) Ta có
( )
2
max
2
2
2
1 1
1 | | 1 0
1
1
m
z z m
m
m
+
= = ≤ ⇒ = ⇔ =
+

(2 5 sin ) (4 5 cos ) 25 4 5(sin 2cos )
OM
α α α α
= + + + = + +

Theo BDT Bunhiacopxki ta có
(
)
2 2 2
(sin 2cos ) (1 4) sin cos 5
α α α α
+ ≤ + + =

5 sin 2cos 5
α α
⇒ − ≤ + ≤
5 3 5
z⇒ ≤ ≤ . Vậy
min
1 2
| | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2
5 5
z x y z i
α α α α
− −
= ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +
max
1 2
| | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6
5 5

a)
3
z
z i
=
−
b)
3 4
z z i
= − +
c)
4
z i z i
− + + =

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
4

Giải:
Gọi z=x+yi
a) Từ giả thiết ta có
2 2 2 2 2 2
9 9
3 9( ( 1) ) ( )
8 64
z z i x y x y x y= − ⇔ + = + − ⇔ + − =
Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm
9 3
(0; ),

( )
( )
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2 2
1 16
1 4
2 1 4
1 16 8 1 1
x y
x y
x y y
x y x y x y


+ + ≤
+ + ≤
 
⇔ ⇔
 
+ − = +
 
+ − = − + + + + +



 
 
≥ −
≥ −
 



Ta th
ấ
y các
ñ
i
ể
m n
ằ
m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung
ñộ
các
ñ
i
ể
m n
ằ
m trên (Elip)
luôn tho
ả
mãn
ñ
i

1
z
− ≤
2.
Giải:

Đặ
t
(
)
,
z a bi a b R
= + ∈

Ta có
1
z
− ≤
2
( )
2
2
1 4
a b
⇔ − + ≤
(1)
Từ
( )
( )
( )

( )
(
)
2
2
3 3 16
x y
− + − ≤
; tâm
(
)
3; 3
I
, bán
kính R=4.
Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
phức z sao cho số
2
2
z
z
−
+
có acgumen bằng
3
π
.
Giải:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

+ +

(
)
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
4 2 2
4 4
2 2 2
x y yi x x
x y y
i
x y x y x y
− + + + − +
+ −
= = +
+ + − + − +
(1)
Vì s
ố
ph
ứ
c
2
2

i
0
τ
>

( )
( )
2 2
2
2
2
2
4
2
2
4 3
2
2
x y
x y
y
x y
τ
τ

+ −
=

− +


Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu
1
z
≤
thì
2 1
1
2
z
iz
−
≤
+

Giải:
Gi
ả
s
ử
z =a+bi (a, b
∈
R) thì
2 2 2 2
1 1
z a b a b
= + ≤ ⇔ + ≤
. Ta có
2 2
2 2
4 (2 1)

1
2
z
z
+ ≤
. Chứng minh
rằng:
1
2
z
z
+ ≤

Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức
1 2
,
z z
bất kỳ ta có
1 2 1 2
z z z z
+ ≤ +
Ta có
3 3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 2 3z z z z z z z
z z z z z z z
   
+ = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +

ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
b)
(
)
(
)
1 cos sin 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
 
 

Giải:
a)
(
)
(
)
( )
1 cos sin 1 cos sin
1 cos sin 1 cos sin
i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + − −

i
ϕ π π
 
   
− + −
   
 
   
 

- Khi
tan 0
2
ϕ
<
dạng lượng giác là:
tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π
 
   
− +
   
 
   
 

- Khi
tan 0

   
 
   
 

-
Khi
sin 0
ϕ
=
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác không xác
ñị
nh.
- Khi
sin 0
ϕ
>
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
2sin cos sin
2 2
i
π π


Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:
a)
(
)
1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
b)
[
]
[
]
1 (cos sin ) 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
Giải:
a)
( )
2
sin cos
1 cos sin
1 cos sin
2 2

cos sin
2 2
i
π π
 
   
− + −
   
 
   
 

TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
7

Khi
tan
2
ϕ
<0 thì dạng lượng giác là -
tan
2
ϕ
cos sin
2 2
i
π π
 

ϕ ϕ ϕ
   
= − +
   
   
 
   
= − + −
   
 
   
 

-
Khi
sin 0
ϕ
=
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác không xác
ñị
nh
- Khi
sin 0
ϕ
>
thì d

π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + + +
   
 
   
 

Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN
Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết
2
2 2 3
z i
= − +

Giải:
Ta có:

2 2
2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
z i z i
π π
 
= − + ⇔ = +
 
 

= +
 


= +
 

⇔ ⇔


 
= − −


= − +

 
 


T
ừ

ñ
ó suy ra ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ

ằ
ng
3
π

nên
1 3
2 2
z z i
 
= +
 
 
 

Do
ñ
ó:

(
)
1 3
z i− +
=
1 3
( 2)
2 2
z i
 
− +

là
4
3
π

TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
8

- Khi
2
z
=
thì
(
)
1 3
z i− +
=0 nên acgumen không xác ñịnh.
Ví dụ 3) Cho số phức z có môñun bằng 1. Biết một acgumen của z là
ϕ
, tìm một
acgumen của:
a)
2
2
z
b)
1

)
(
)
2 2
cos2 sin 2 2 2 cos2 sin 2 2 2 cos sin
z i z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + ⇒ = + ⇒ = −

Vậy 2z
2
có một acgumen là
2
ϕ

b)
(
)
cos sin cos sin 2 2 cos sin
z i z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + ⇒ = − ⇒ = −
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 1
cos sin cos sin

z z
ϕ
+ =

Nếu
cos 0
ϕ
>
thì có một acgumen là 0
Nếu
cos 0
ϕ
<
thì có một acgumen là
π

Nếu
cos 0
ϕ
=
thì acgumen không xác ñịnh.
d)
2
cos2 sin 2 , cos sin
z z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = + = −

( )
2

, là
2
ϕ
π
+
nếu
3
cos 0
2
ϕ
<
và không xác ñịnh
n
ếu
3
cos 0
2
ϕ
=

Ví dụ 4) Cho số phức
1 cos sin
7 7
z i
π π
= − −
. Tính môñun, acgumen và viết z dưới
dạng lượng giác.
Giải:
Ta có:

π π
ϕ
π π
−
 
= = = = −
 
 
−

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
9

Suy ra:
,
14
k k z
π
ϕ π
= − + ∈

Vì phần thực
1 cos 0
7
π
− >
, phần ảo
sin 0
7

i
+
là
3
4
π
−

Giải:
Theo giả thiết
1
3
z
=
thì
( )
1
cos sin
3
z i
ϕ ϕ
= +

( )
( ) ( )
( )
1 1
cos sin cos sin
3 3
z i i

= − − + − −
   
 
+
   
 

Do
ñ
ó:
3
2 2 , .
4 4 2
k k k
π π π
ϕ π ϕ π
− − = − + ⇔ = + ∈Ζ
v
ậ
y
1
os sin .
3 2 2
z c i
π π
 
= +
 
 


2 2
3 ( 3) ( 1) 3 1
2
z i z i x y i x y i x y x y
y
⇒
+ = + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +
⇒
= −

z+1 có 1 acgumen b
ằ
ng
6
π
−

t
ứ
c là
( )
1 [ os sin ] 3
6 6 2
z c i i
π π τ
τ
   
+ = − + − = −
   
   

− = −



Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN TỔ HỢP
Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1
a)
0 2 4 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C
−
+ + + + +
= − + − + −

b)
1 3 5 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C
− +
+ + + + +
= − + − + −
Giải:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

+ +
   
+ = + ⇒ + = +
 
 
   

=
(2 1) (2 1) (8 3) (8 3)
2 2 cos sin 2 2 cos sin
4 4 4 4
n n
n n k k
i i
π π π π
+ + + +
   
+ = +
   
   

3 3
2 2 cos sin 2 2
4 4
n n n
i i
π π
 
= + = − +
 

i C iC i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + − + − +
( )
1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
n
n
n n
i i i i
π π π π
   
+ = + ⇒ + = +
 
 
   

Từ ñó ta có kết quả
a)
2 cos
4
n
n
S
π
=
b)
2 sin
4
n
n
S

3 3
i
π π
ε ε
= + ⇒ =

Ta có
( )
0 1 2 2 0 1 2 2 3 4
1
n
n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
ε ε ε ε ε ε ε
+ = + + + = + + + + + (2)
(
)
2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 4
1 (3)
n
n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
ε ε ε ε ε ε ε
+ = + + + = + + + + +

Ta có
2 2
1 0;1 os sin ;1 os sin

3 3
n
n n
n
C C
π
 
⇔ + + + = +
 
 TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
11

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Giải phương trình sau trên tập số phức:
3
)
a z z
=

) 3 4
b z z i
+ = +

( )
2


2
1 7
) log 1
4
i
b x
+
− ≤

2
1 2 2
)1 log 0
2 1
x i
c
 + + − 
− ≥
 
−
 

3) Tìm số phức z sao cho
( 2)( )
A z z i
= − +
là số thực
4) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện
7
5;


) 3 4 2
d z i
+ − =

) 1
e z z i
+ ≥ +

) 4 3
f z z i
= + −

2
) 1
2
z i
g
z i
−
>
+

)2 2
h z i z z i
− = − +

1
3
2 2


9) Tìm số phức z thoả mãn
2
2
z z
+ =
và
2
z
=

10) Giải hệ pt sau trong tập số phức:
2 2
2 2
)
4
z i z z i
a
z z
 − = − +


− =



1 2
1 2
3
)




12 5
8 3
)
4
1
8
z
z i
d
z
z

−
=

−


−

=

−


3 2
2010 2011

w 1
w
+ =

13) Tìm n nguyên dương ñể các số phức sau là số thực, số ảo:
2 6
)
3 3
n
i
a z
i
 
− +
=
 
 
+
 

4 6
)
1 5
n
i
b z
i
+
 
=

 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
12

14) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng
( )
0 2 4 6 2 2
2 2 2 2 2
2
3 9 27 3 2 cos
3
n
n n
n n n n n
n
C C C C C
π
− + − + + − =
15) Tìm số phức z sao cho
2
z z
= −
và một acgumen của z-2 bằng một acgumen
của z+2 cộng với
2
π

16) Giải phương trình