1
Chương 1
Giới thiệu các phương pháp số trong tính toán kết cấu
1. Khái niệm chung về phương pháp số giải bài toán CHKC

2. Các khái niệm về phương pháp PTHH
PP PTHH là kỹ thuật tính toán sử dụng lời giải xấp xỉ của bài toán giá trị biên
trong kỹ thuật. Nói một cách đơn giản, bài toán giá trị biên là bài toán mà trong đó một
hay nhiều biến phụ thuộc phải thỏa mãn một phương trình vi phân ở bất cứ đâu trong một
miền xác định của các biến độc lập và phải thỏa mãn các
điều kiện trên biên của miền.
Các bài toán giá trị biên còn được gọi là bài toán trường. Trường là miền xác định của
các cấu trúc vật lý. Biến trường là các biến phụ thuộc cân bằng bởi các phương trình vi
phân. Điều kiện biên là các giá trị xác định của biến trường (hoặc các biến liên quan như
đạo hàm của nó) trên các biên của trường. Phụ thuộc vào bài toán cụ thể, các biến trường
có thể là chuyển vị, nhiệt độ
, vận tốc dòng chảy, …

Hình 1.
a. Miền hai chiều tổng quát với biến trường Φ(x,y)
2
b. Phần tử tam giác xác định trong miền
c. Thêm các phần tử tam giác trong miền
Các kỹ thuật và thuật ngữ cơ bản của PP PTHH được giới thiệu qua hình 1. Hình
vẽ miêu tả một khối vật liệu với các đặc tính vật lý xác định. Khối vật liệu đại diện cho
miền xác định của bài toán giá trị biên cần giải. Để đơn giản, ở đây xem xét trường hợp
bài toán hai chiều với m
ột biến Φ(x,y) được xác định tại mỗi điểm P(x,y) bằng một
phương trình (hoặc hệ phương trình) vi phân đã biết và thỏa mãn chính xác tại mọi điểm
trong miền. Tại các điểm P trên biên của miền, biến Φ có các giá trị xác định đã biết.
Trong thực tế, các miền thường có hình dạng phức tạp và lời giải giải tích đối với hệ





,

Φ


Trong đó, Φ
1
, Φ
2
, Φ
3
là các giá trị của biến trường tại các nút 1, 2, 3 của phần tử
tam giác và N1, N2, N3 là các hàm nội suy hay hàm dạng của phần tử. Trong phương
pháp PTHH, các giá trị của biến trường tại các nút là các ẩn số. Các hàm nội suy thường
có dạng đa thức và thỏa mãn các điều kiện xác định tại các nút. Các điều kiện này được
xác định với từng loại phần tử. Các hàm nội suy được xác định trước, là hàm đã biết c
ủa
các biến độc lập và làm miêu tả sự thay đổi của các biến trường trong phạm vi phần tử.
Trên toàn miền, các phần tử được liên kết với nhau tại các nút và tại đó, các biến
trường có chung giá trị cho tất cả các phần tử được liên kết vào. Như vậy, tính liên tục
của trường được đảm bảo tại các nút.
3. So sánh phương pháp PTHH với lời giải chính xác

4. So sánh phương pháp PTHH với phương pháp sai phân h
ữu hạn


R
. Véc tơ
{
}
q là véc tơ
chuyển vị tương ứng tại các nút của hệ.
Quan hệ
j
R
-
j
q tại toạ độ j và quan hệ σ - ε được biểu diễn trên hình 1.10.

Hình 1.10. Quan hệ R
j
– q
j
và
σ
-
ε
.
Ký hiệu:
j
W - công do
j
R
gây ra trên chuyển vị
j
q có giá trị bằng diện tích phía dưới

R
δ
dẫn đến sự thay đổi VCB
của
{
}
q
δ
và
{
}
δσ
,
{
}
δε
.
Khi đó, công
j
W
biến thiên một lượng:
1
2
jjj jj
WRq Rq
δδδ
Δ= +
Đối với toàn hệ, khi chỉ có lực tập trung
q 12
.01 3

Tr¹ng th¸i 1
Tr¹ng th¸i 1
Tr¹ng th¸i 2
5

11
1
.
2
nn
jjj jj
jj j
WWRq Rq
δδδ
==
Δ= Δ = +
∑∑ ∑
(1.17)
hay dưới dạng ma trận

{}{} {}{ }
1
2
TT
WqR qR
δδδ
Δ= + (1.18)
Tương tự, độ biến thiên năng lượng biến dạng của toàn hệ

{}{} {}{ }

{
}
{
}
{
}
0R
δδσ
==
(1.20)
Chú ý:
1/ Chuyển vị khả dĩ và biến dạng khả dĩ là chuyển vị và biến dạng ảo, không tồn
tại trong thực tế.
2/ Thoả mãn điều kiện liên tục về động học nghĩa là được các liên kết cho phép.
Từ (1.18), (1.19) chú ý đến (1.20), biểu thức công khả dĩ W
δ
và năng lượng biến
dạng khả dĩ
A
δ
có dạng:

{}{}
T
WqR
δδ
= (1.21)

{}{}
∫

A
δ
".
Biểu thức toán học của nguyên lý công khả dĩ có dạng:

WA
δδ
=
(1.23)
Chú ý đến (1.21), (1.22) nguyên lý công khả dĩ có dạng:
6

{}{} {}{}
∫
σδε=δ
V
TT
dVRq (1.24)
4. Nguyên lý công khả dĩ áp dụng cho hệ đàn hồi tuyến tính.
Đối với hệ đàn hồi tuyến tính, véc tơ biến dạng
{
}
ε
phụ thuộc tuyến tính với véc tơ
chuyển vị
{
}
q :

{

δε δ
=

Thay vào (1.24), ta có:
{}{}
[]
{}
0
T
T
V
qR D dV
δσ
⎡⎤
−=
⎢⎥
⎣⎦
∫

Vì
{}
0
T
q
δ
≠ nên:

{}
[]
{}

δ
Π= (1.30)
Biểu thức (1.30) là biểu thức toán học của nguyên lý biến phân Lagrange.
"Trong tất cả các trường chuyển vị (trạng thái chuyển vị) khả dĩ động (thoả mãn
các điều kiện tương thích và điều kiện biên động học) thì trường chuyển vị thực (tương
ứng với trạng thái cân bằng của hệ) sẽ làm cho thế năng toàn phần Π đạt giá trị dừng".
7
Nếu hệ ở trạng thái cân bằng ổn định thì thế năng toàn phần có giá trị cực tiểu.

0
j
j
j
q
q
δδ
∂Π
Π= =
∂
∑

Vì
j
q
δ
độc lập và khác không nên để đa thức bằng không thì:

0
j
q

 


– góc xoay của tiết diện












 – Véc tơ chuyển vị nút;























(2)
Ma trận độ cứng:

















(3)
Các hàm dạng:







3




2



; 



































(5)
Ma trận liên hệ chuyển vị - biến dạng:









2


6



(5)
Ma trận độ cứng phần tử:


























































cos

,







;

cos

,







(11)
III. Véc tơ lực quy nút tương đương
y
P
1
P
2
P
3
P
4
x
x
x
p(x)
Q
1
e
Q
1
M
1
M
1

{
}()()
() ( )
'
11
0















0

Xác định ma trận [k] của phần tử












