KIỂM ÐỊNH PHI THAM SỐ
(Nonparametric Tests)
I. KIỂM ĐỊNH WILCOXON
II. KIỂM ĐỊNH MANN-WHITNEY
III. KIỂM ĐỊNH SỰ PHÙ HỢP
1. Kiểm định sự phù hợp trong trường hợp giả định đã biết các tham số của
tổng thể
2. Kiểm định sự phù hợp trong trường hợp các tham số tổng thể chưa biết
IV. BẢNG TIẾP LIÊN

Trong nhiều tình huống thực tế, số liệu chỉ có thể biểu hiện dưới hình thức xếp
hạng, vì vậy kiểm định Wilconxon và Mann-Whitney là hai lọai kiểm định thông dụng
nhất ứng với hai trường hợp: một là sử dụng cho mẫu ngẫu nhiên gồm các quan sát từng
cặp và một dùng cho mẫu ngẫu nhiên độc lập. Hơn nữa, khi phân phối của tổng thể
được giả định không phải là phân phối chuẩn (phân phối bất kỳ) thì kiểm định phi
tham số có thể có nhiều ứng dụng hơn. Tuy nhiên, phương pháp kiểm định phi tham số
thì khó mở rộng để giải quyết các vấn đề của mô hình kinh tế phức tạp.
Kiểm định phi tham số bạn có thể dễ dàng tìm được kết quả khi sử dụng phần
mềm phân tích SPSS, sau khi nhập sữ liệu, chọn menu Analize - Nonparametric Tests -
Chọn loại kiểm định mà bạn mong đợi.
I. KIỂM ĐỊNH WILCOXON (Kiểm định T)
Kiểm định Wilcoxon được áp dụng khi một mẫu ngẫu nhiên gồm các quan sát
từng cặp và phân phối tổng thể của chênh lệch (di) trong các cặp này thì đối xứng.
1. Trường hợp mẫu nhỏ (n ( 20):
Ví dụ: Một công ty nước giải khát muốn kiểm tra hiệu quả của chiến dịch quảng cáo cho
5 loại thức uống tốt nhất của công ty bằng cách điều tra số người sử dụng 5 loại thức
uống này tăng lên hay giảm xuống sau đợt quảng cáo ở mức ý nghĩa 2,5% và 5%. Công
ty chọn ngẫu nhiên 10 thành phố và mỗi thành phố chọn ngẫu nhiên 500 người để trả lời
cuộc điều tra này kết quả như sau:
Thành
phố

123

160

180

93

99

193

311

121

131

169
Chênh
lệch (d
i
)
28 9 -12 22 13 -22 57 -2 34 16
Xếp
hạng
l d
i
l
8 2 3 6,5 4 6,5 10 1 9 5

tử
Tin
học
1
5
18 24 2
7
30
Xếp
hạng
3 5,5 9,5 1
2
14,
5
Kinh
tế
1
2
1
4
17 18 22 22 24 2
5
28 30

Xếp
hạng
1 2 4 5,5 7,5 7,5 9,5 1
1
13 14,
5

công thức

Oi: Tần số quan sát của nhóm thứ i.
Ei: Tần số lý thuyết của nhóm thứ i (tính theo giả thuyết H
0
).
4. So sánh giá trị kiểm định tính được với giá trị trong bảng phân phối χ
2
và kết
luận.
1. Kiểm định sự phù hợp trong trường hợp giả định đã biết các
tham số của tổng thể.
Giả sử có một mẫu ngẫu nhiên với n quan sát, mỗi quan sát có thể được phân vào
một trong k nhóm.
· Gọi O1,O2, ,Ok là số quan sát ở nhóm thứ 1,2, ,k.
· Gói p1, p2, , pk là xác suất giả thuyết để quan sát rơi vào nhóm thứ 1,2, ,k (giả
thuyết H0). Do vậy, số quan sát ở nhóm thứ i, theo giả thuyết H0, là:
E
i
= n.p
i
(i=1,2, ,k)

Vớ dỳ: Mt cụng ty d nh a ra th trng mt sn phm mi vi bn mu sc khỏc
nhau. Giỏm c cụng ty mun tỡm hiu th hiu khỏch hng v mu sc sn phm - thớch
c bit mt mu no hay s thớch i vi c bn mu l ging nhau mc ý ngha 1%.
Mt mu 80 khỏch hng c chn ngu nhiờn. Mi khỏch hng c xem sn phm vi
cỏc mu sc khỏc nhau v cho bit ý kin. Kt qu nh sau:
Trng Nõu Xanh en Tng cng
12 40 8 20 80

2
=

Tra baỷng phaõn phoỏi
2
, ta coự:
2
k-1,


=
2
4 -1,1%
= 11,34.
Vì giá trò kiểm đònh χ
2
> χ
2
k-1,
α

, ta kết luận rằng ở mức ý nghóa 1% giả thuyết H
0
bò
bác bỏ, nghóa là sự chọn lựa đối với 4 màu sắc của sản phẩm là khác nhau. Một vài
màu sắc nào đó được ưa thích hơn.
Cũng cần lưu ý rằng các xác suất giả thuyết không phải bắt buộc bằng nhau,
chúng có thể rất khác nhau. Chúng ta cần xác đònh rõ các xác suất giả thuyết này khi
lập giả thuyết H
0

một lần mua sắm của khách hàng là 125.000 đồng).
· Giả thuyết H1: Tổng thể khơng có phân phối chuẩn (trung bình một lần mua sắm
của khách hàng có thể trên hoặc dưới 125.000 đồng hay khác 125.000đồng).
Trước tiên, ta xác định các xác suất của một đại lượng phân phối chuẩn. Từ bảng
phân phối chuẩn, ta xác định được các xác suất cho một đại lượng phân phối chuẩn Z.
Chẳng hạn, tra bảng phân phối chuẩn ta có xác suất từ của Z từ 0 đến 1 là 0,3413 và gần
phân nửa của xác suất này là 0,1700 ứng với Z = 0,44. Vậy xác suất từ 0,44 đến 1 bằng
0,1713 (0,3413-0,1700) và xác suất từ 1(( sẽ bằng 0,1587 (0,5-0,3413).

Từ công thức Ei = n pi, các Ei có giá trị như sau:
E
1
= 15,87, E
2
= 17,13, E
3
= 17, E
4
= 17, E
5
= 17,13, E
6
= 15,87
Dựa vào công thức X = µ + σZ , chuyển các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên Z thành
giá trị của vấn đề đang xét. Ta có thể
dùng và s (tham số mẫu) thay cho µ
vàσ (tham số tổng thể). Do đó, giới hạn của các nhóm được xác định như sau:
x
1
= 125+ (-1)(40) = 85

i
-E
i
)
2
/ E
i
0 - 84,99 0,1587 15,87 14 0,22
85 - 107,39 0,1713 17,13 20 0,48
107,4 - 124,99 0,17 17 16 0,06
125 - 142,59 0,17 17 19 0,24
142,6 - 164,99 0,1713 17,13 16 0,07
³ 165 15,87 15,87 15 0,05
Tổng cộng 1 100 100 1,12
Trong đó Oi là số quan sát thực tế và n = 100 (100 khách hàng)
Từ bảng 4.1 ta có giá trị kiểm định χ
2
= 1,12 và trong 6 nhóm có hai tham số
được ước lượng ( được ước lượng
cho µ và s được ước lượng cho σ) nên số bậc 6 -1 -2 = 3 (giá trị này được tính bằng k
trừ 1 rồi trừ đi số tham số được ước lượng).
Tra bạng phân phối χ
2
, ta có: : χ
2
3,10%
= 6,25 > 1,12. Do vậy, ta chấp nhận giả
thuyết H
0
ở mức ý nghĩa 10%, nghĩa là không có chứng cứ để nói rằng tổng thể không có

13
O
1c
R
1
2 O
21
O
22
O
23
R
2
3 O
31
O
32
O
33
R
3

r O
r1
O
r2
O
r3
O
rc

):Eij = R
i
C
j
/ n.
Ri và C j là tổng tần số của hàng thứ i và cột thứ j.
với (r-1)(c-1): số bậc tự do.
Ví dụ: Để nghiên cứu mối liên hệ giữa tuổi tác và kết quả học tập của sinh viên tại chức ở
một trường đại học, người ta lấy mẫu ngẫu nhiên 1140 sinh viên tại chức. Kết quả phân
nhóm theo hai tiêu thức kết quả học tập và tuổi tác được trình bày trong bảng sau:
Bảng 4.3: Tuổi và kết quả học tập của sinh viên phân theo nhóm
Kết quả học tập
Tuổi Tốt Không tốt Tổng cộng
(R
i
)
£ 25 198 90 288
26 - 35 114 97 211
36 - 45 166 211 377
³ 46 92 172 264
Tổng
cộng (C
i
)
570 570 1140
· Giả thuyết H
0
: Không có mối liên hệ giữa tuổi và kết quả học tập.
· Giả thuyết H
1

Giá trị kiểm định:
Vôùi r = 4, c = 2, số bậc tự do là: (r - 1)(c - 1) = (4 - 1)(2 - 1) = 3
Tra bảng phân phối χ
2
, ta có χ
2
3, 0,5%
= 12,84 < 71,5
Do vậy, ở mức ý nghĩa 0,5%, giả thuyết H
0
bị bát bỏ, nghĩa là có tồn tại mối liên
hệ giữa tuổi tác và kết quả học tập. Điều đó có thể nhận thấy khi quan sát bảng (9.4) tính
toán ở trên, nói chung nhóm tuổi thấp có kết quả học tập cao hơn so với nhóm tuổi lớn
hơn.
Bài tập
1. Kết quả sau đây cho thấy mức độ hài lòng về thu nhập của nhân viên nam và nữ trong
một cuộc điều tra về các yếu tố ảnh hưởng đến kết quả công việc. Hãy kiểm định giả
thuyết về mối liên hệ giữa giới tính và sự hài lòng về thu nhập ở mức ý nghĩa 5%?
Giới tính Mức độ hài lòng
Thấp Trung bình cao
Nam 46 61 53
Nữ 8 9 12

2. Quản đốc một phân xưởng sản xuất ghi nhận rằng trong điều kiện sản xuất bình thường
93% sản phẩm không có lỗi nào, 5% có một lỗi và 2% có hơn một lỗi. Từ một mẫu 500
sản phẩm được lấy ngẫu nhiên từ sản phẩm được sản xuất ra trong tuần, người Quản đốc
thấy có 458 sản phẩm không có lỗi. Ông cho rằng chất lượng của những sản phẩm sản
xuất ra trong tuần giống như trong điều kiện sản xuất bình thường. Hãy kiểm định nhận
định trên của ông ở mức ý nghĩa 5%?


nhận biết bởi khách hàng tốt hơn sau chiến dịch quảng cáo ở mức ý nghĩa 5%?
Thành phố Trước quảng cáo Sau quảng cáo
1 95 123
2 151 160
3 192 180
4 71 93
5 86 99
6 215 193
7 254 311
8 123 121
9 97 131
10 153 169

6. Một nhà phân tích thị trường chứng khoán đã đưa ra đầu năm một danh sách chứng
khoán để mua và một danh sách khác để bán. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 10 chứng khoán
từ danh sách mua và 10 chứng khoán từ danh sách bán. Phần trăm tăng lên (%) qua một
năm về số lượng chứng khoán mua và bán như sau:
Mua:
9,6 5,8 13,8 17,2 11,6 4,2 3,1 11,7 13,9 12,3
Bán:
-2,7 6,2 8,9 11,3 2,1 3,9 -2,4 1,3 7,9 10,2
Sử dụng kiểm định Mann-Whitney cho trường hợp trên và giải thích?

7. Lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp bằng MBA từ hai trường kinh doanh nổi
tiếng được đem ra so sánh. Những mẫu ngẫu nhiên độc lập gồm 30 sinh viên từ mỗi
trường được chọn ra để phỏng vấn. Sáu mươi mức lương được đánh giá xếp hạng. Tổng
hạng được xếp của một trong hai trường này là 1243. Hãy kiểm định giả thuyết H0 rằng
phân phối của hai tổng thể thì bằng nhau?