MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC VI PHÂN
VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1.1
Cho
ϕ
,
ψ
là các hàm số khả vi trên U,
,
p p p
T U
α β
∈
,
k R
∈
thì ta có
a)
[ + ] [ ] [ ]
p p p
α ϕ ψ α ϕ α ψ
= +

b)
( )[ ] [ ] [ ]
p p p p
α β ϕ α ϕ β ϕ

X X X
ϕ ψ ϕ ψ
= +

b)
( )[ ] [ ]
X X
ϕ ψ ϕ ψ
=

c)
( )[ ] [ ] [ ]
X Y X Y
ϕ ϕ ϕ
+ = +

d)
[ ] [ ] [ ]
X X X
ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ
= +


Bài 1.3
Chứng minh rằng nếu
*
f X
là ảnh của trường vectơ X
( )
Vec U

n
E
thì mọi
1
( )
U
θ
∈Ω

vi
ế
t
ñượ
c duy nh
ấ
t d
ướ
i d
ạ
ng
1
,
n
i
i
i
dx
θ ϕ
=
∑

Ω → Ω
tho
ả
mãn các tính ch
ấ
t sau:
a)

d là R- tuy
ế
n tính.
b)

( )
d d d
ϕθ ϕ θ ϕ θ
= ∧ +
v
ớ
i
0 1
( ), ( ).
U U
ϕ θ
∈Ω ∈Ω

c)

( ) 0.
d d

ả
n
ñố
i x
ứ
ng.
Bài 1.6
Gi
ả
s
ử

: , : W
f U V g V
→ →
là các ánh x
ạ
kh
ả
vi gi
ữ
a các t
ậ
p m
ở
t
ươ
ng
ứ
ng trong

,
ɶ
1 2
, ( ), ( )
V V
θ θ ω
∈Ω ∈Ω
ta có
a)


* * *
( ) ( )( ),
f f f
ϕϕ ϕ ϕ
=
b)
* * *
( ) ( )( ),
f f f
ϕθ ϕ θ
=
c)
* * *
( ) ( )( ),
f f f
ϕω ϕ ω
= d)
ɶ
ɶ

1
n
i i
i
Z E
ϕ
=
∑
=
. Khi
ñ
ó
1
[ ]
n
X i i
i
D Z X E
ϕ
=
∑
=

V
ớ
i
X,Y,Z,T Vec(U),
ϕ
∈ ∈


D Z T Z D T
+

Bài 1.9
Cho hàm vect
ơ
kh
ả
vi:
:
n
X J E
→

( )
t X t

֏

trên kho
ả
ng
J R
⊂
và gi
ả
s


,
'
( )
X t

ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính v
ớ
i m
ọ
i
.
t J
∈

Bài 1.10
Cho hàm vect
ơ
:
:
n
X J E
→


( )
X t


ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính v
ớ
i m
ọ
i
.
t J
∈
Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng khi n = 3,
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ


ñị
nh c
ủ
a
3
E
là h
ệ
ba vect
ơ

( )
X t

,
'
( )
X t

,
''
( )
X t

ph
ụ
thu
ộ
c tuy

mãn
'
,
X l X
= ∧

 
trong
ñ
ó
l

là
m
ộ
t hàm vect
ơ
h
ằ
ng cho tr
ướ
c.
Bài 1.12
Cho h
ệ
to
ạ

ñộ
afin

Xác
ñị
nh b
ở
i:
a)
2
1 2
( ) ,
t O te t e
ρ
= + +
 

b)
1 2
( ) sin ,
t O coste te
ρ
= + +
 

c)
1 2
( ) ,
t O chte shte
ρ
= + +
 


֏

a)
1
( ) ( )
2
a
x t t
t
= +
,
1
( ) ( ), J=(- ,0), (0,+ )
2
b
y t t
t
= − ∞ ∞
.
b)
2
2 2
1 2
( ) , y(t)=b , J=(- ,1), (-1,1), (1, );
1 1
t t
x t a
t t
+
= ∞ ∞

E
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
X[ ] [ ]
Y
ϕ ϕ
=
v
ớ
i
m
ọ
i
ϕ
∈
F
(U) thì X=Y.
Bài 1.15
U là m
ộ
t t
ậ
p m
ở
liên thông cung trong

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
X

là hàm vect
ơ
h
ằ
ng khi và ch
ỉ
khi
'
X

là hàm vect
ơ
không.
Bài 1.17
Gi
ả
s
ử

X

là m
ộ

=
∑
=
 
;
1
n
i i
i
a e
α
=
∑
=
 
.
Ch
ứ
ng minh
0 0
lim ( ) lim ( )
i i
p p p p
X p p a
α ϕ
→ →
= ⇔ =
 

Bài 1.18

ẩ
n c
ủ
a
2
E

. Hãy tính
( )
at
e bt dt
ε
∫

.
Bài 1.19
Xét m
ụ
c tiêu afin
{
}
1 2 3
, , ,
O e e e
  
c
ủ
a
3
E

[ ]
p
α ϕ
trong
ñ
ó
a)
2 2 2
x y z
ϕ
= + −
; b)
x
sin cos .
e y z
ϕ
= +

Bài 1.20
Xét tr
ườ
ng m
ụ
c tiêu song song
{
}
1 2 3
, ,
E E E


X x E zE yE
= + − .Tính
[ + ], X[ . ], X[X[ ]], X[ ] [ ]
X X
ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ
−
trong
ñ
ó
, .
xy yz
ϕ ψ
= =

Bài 1.21
Kí hi
ệ
u
{
}
1 2 3
, ,
E E E
là tr
ườ
ng m
ụ
c tiêu song song
ứ
ng v

3
E

X =
2
1 2 3
z
xyE e E y E
+ −
;
1 2
Y yE xE
= +
.
Tính
, , ( ), ( )
X Y X X X
D Y D X D D Y D X xY
+

Bài 1.22
Xét tr
ườ
ng m
ụ
c tiêu song song
{
}
1 2 3
, ,

1 1 1 2 2 1 3 3
X x E x x E x x E
= + −
1 2 1 3 2 1 2 2 3
, x , =x
Y x E x E x x x
ϕ
= + −
,
(2,1,3)
p
α
=
.
Tính
[ ], , [ ], ( )
X p Y
X D Y D X
ϕ α ϕ ϕ

Bài 1.23
Trong
2
E
v
ớ
i h
ệ
to
ạ

d
θ
=
)?

Bài 1.24
Trong
3
E
v
ớ
i h
ệ
to
ạ

ñộ
Oxyz xét d
ạ
ng vi phân
( )
2 2 2
k
xdy dz ydx dz zdx dy
x y z
ω
∧ − ∧ + ∧
=
+ +
trên

U E
⊂
,
:
f R R
→
là m
ộ
t hàm s
ố
kh
ả

vi. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i tr
ườ
ng vect
ơ
X kh
ả
vi trên U, ta có:
[
]

f R R
→
. Ch
ứ
ng
minh:
(
)
(
)
'
d f f d
ϕ ϕ ϕ
=
 

Bài 1.27

Xét ánh x
ạ

:
f
R
2

→

E
2

ng s
ố
)
C={
2
, v R
u u v
∈ + =
h
ằ
ng s
ố
cho tr
ướ
c}; D = {
2
, 1 2
u v R v
∈ ≤ ≤
}
2) Tìm t
ậ
p các
ñ
i
ể
m (u, v)
2
R
∈

r
ϕ θ
và tr
ườ
ng m
ụ
c tiêu to
ạ

ñộ
c
ầ
u
{
}
1 2 3
, ,
u u u
trong
3
E
trên n
ử
a
m
ặ
t ph
ẳ
ng
0 2 ,

=
,
y u
=

b)
3
x u
=
,
y u v
= −
?
Trong trường hợp f là một vi phôi, biểu diễn ảnh bởi f
*
của các trường vectơ
u
∂
∂
,
v
∂
∂
qua các trường vectơ
x
∂
∂
,
y
∂

O.
Bài 2.2
Xét mặt phẳng Oxy trong E
2
, cung
Γ
trong E
2
xác ñịnh bởi tham số
( )
t t
ρ
֏
,
( ) ( ( ), ( ))
t x t y t
ρ
=
và giả sử
Γ
có tiếp tuyến tại mọi ñiểm. ðặt
( )
M t
ρ
=
,
P là hình chiếu vuông góc của M xuống Ox, T và N theo thứ tự là giao ñiểm của Ox
với tiếp tuyến và pháp tuyến của
Γ
tại M.

trong toạ ñộ
Descartes vuông góc Oxy. Hãy tính ñộ dài của cung ñoạn xác ñịnh bởi
[ ]
0 1
0 1
,
, (t < t ),
t t
ρ
cho các trường hợp sau:
a,
2
= t, y = t
x

b,
= t, y = a ch
t
x
a

Bài 2.4
CMR: Cung song chính
Γ
trong E
3
là cung phẳng
⇔
τ
=0 tại mọi ñiểm.

; X
∧
N =
DN
ds
; X
∧
B =
DB
ds
là X=
τ
T+kB
(X là trường vectơ ðacbu dọc
Γ
)
Bài 2.7
Chứng minh rằng các tính chất sau của một cung song chính quy ñịnh hướng trong
E
3
với ñộ xoắn khác 0 tại mọi ñiểm là tương ñương:
a) Tiếp tuyến tao một góc không ñổi với một phương cố ñịnh.
b) Pháp tuyến chính song song với một mặt phẳng cố ñịnh;
c) Trùng pháp tuyến tạo một góc không ñổi với một phương cố ñịnh;
d) Tỉ số giữa ñộ xoắn và ñộ cong là hàm hằng;
e,
2 3
2 3
( ) . = 0
DT D T D T

֏
là cung ñinh ốc.
Bài 2.10
Xét cung tham số
2
( ) ( os , sin cos , sin )
t t x Rc t y R t t z R t
ρ
= = = =
֏
(R>0) trong hệ
toạ ñộ ðêcac vuông goc Oxyz trong
3
E
(cung này gọi là ñường Viviani). Chứng
minh rằng ñường Viviani là giao của mặt cầu
2 2 2 2
x y z R
+ + =
(1) với mặt trụ tròn
xoay
2
2
2
2 4
R R
x y
 
− + =
 

n c
ủ
a cung
Γ
sau trong
3
E

( ) (1 cos ,1 sin , )
t t t t at
ρ
= − −
֏
(
R
a
∈
)
V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a a thì
Γ
là cung ph
ẳ
ng.
Bài 2.13

Γ

Bài 2.14
Hãy xác
ñị
nh cung túc b
ế
c
ủ
a các cung xác
ñị
nh b
ở
i tham s
ố
hoá
(t) = (x(t), y(t))
t
ρ
֏
sau trong to
ạ

ñộ
Descartes vuông góc Oxyz c
ủ
a
E
2
.

a
ñườ
ng tròn xác
ñị
nh b
ở
i tham s
ố
hoá t
∈
R
1 1
(x = R cos , y = Rsin )
R R
֏trong to
ạ

ñộ
Descartes vuông góc. Tính
ñộ
cong c
ủ
a cung thân khai
ñ

r(t) là m
ộ
t hàm s
ố
cho tr
ướ
c, r(t)>0 v
ớ
i m
ọ
i
t).Hãy tính
ñộ
cong c
ủ
a cung
ñ
ó.
Bài 2.17
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng cung trong E
3
xác
ñị
nh b
ở
i t

nh tham s
ố
hoá t
ự
nhiên s
֏
( )
r s
c
ủ
a cung song chính quy trong E
3
sao cho
a) T tho
ả
mãn:
( ) ( )
T s ae s bk
= +
  
trong
ñ
ó a
2
+b
2
=1;
( )
e s


ơ
pháp tuy
ế
n chính
ñơ
n v
ị
N c
ủ
a nó tho
ả
mãn
( )
N s

=
( )
e s

.
Bài 2.19
Cho cung
ñ
inh
ố
c tròn
Γ
xác
ñị
nh b

t ph
ẳ
ng
m
ậ
t ti
ế
p, pháp di
ệ
n, m
ặ
t ph
ẳ
ng tr
ự
c
ñạ
c c
ủ
a nó t
ạ
i m
ỗ
i
ñ
i
ể
m.
b) Ch
ứ

i ph
ươ
ng trình t
ự
hàm
= k(s)
k
c
ủ
a cung trong
E
2
, trong
ñ
ó:
a)
2 2
( ) =
+ s
a
k s
a
( a là h
ằ
ng s
ố
d
ươ
ng)
b)

{
}
1
, , ,
n
O e e
 
là mục tiêu trong
n
E
,
p U
∈
;
1
( , , )
n
p x x
;
n
E
α
∈



(
)
1
, ,

∑
∂
=
∂

a)
[ + ]
p
α ϕ ψ
=
(
)
1 1 1
n n n
i i i
i i i
i i i
a a a
p p p
x x x
ϕ ψ
ϕ ψ
= = =
∑ ∑ ∑
∂ +
∂ ∂
= + =
∂ ∂ ∂
[ ] [ ]
p p

=


Nên
( )
1 1 1
( )[ ] [ ] [ ]
n n n
p p i i i i p p
i i i
i i i
a b a b
p p p
x x x
ϕ ϕ ϕ
α β ϕ α ϕ β ϕ
= = =
∑ ∑ ∑
∂ ∂ ∂
+ = + = + = +
∂ ∂ ∂

c)
1 1
( )[ ] [ ]
n n
p i i p
i i
i i
k ka k a k

p p
p p
α ϕ ψ ϕ α ψ
+

Bài 1.2
Giải

V
ới mọi
p U
∈
ta có
a)
[ + ]( ) ( )[ ]= ( )[ ] ( )[ ]
X p X p X p X p
ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ
= + +

Do ñó
[ + ] [ ] [ ]
X X X
ϕ ψ ϕ ψ
= +

b)
( )[ ]( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) [ ]( )
X p X p p X p p X p
ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ
= = =

[ ]( ) ( )[ ]= ( )[ ] ( ) ( )
X p X p t t
ϕψ ϕψ ρ ϕψ ϕψ ρ
= =


=
(
)
'
' '
0 0 0 0 0
( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )
t t t t t
ϕ ρ ψ ρ ϕ ρ ψ ρ ϕ ρ ψ ρ
= +
     

=
( )[ ]
X p
ϕ
.
( )
p
ψ
+
( )
p
ϕ

p U
∈
ta có
(
)
(
)
* *
f ( ( ))[ ] f [ ]( ( )) ( ( ))[ ]
p
X f p X f p T f X p
ϕ ϕ ϕ
= =

=
( )[ f ]
X p
ϕ

=
[ f ]( )
X p
ϕ


Suy ra
(
)
*
f [ ] [ f ]

= =
∑ ∑
∈Ω = = ∀ ∈

Ta có:
(
)
(
)
1
1 1 1
( ) + ( + )
n n n
i i i
i i i i
i i i
d d dx dx d dx
αθ βθ αϕ βη αϕ βη
= = =
∑ ∑ ∑
+ = =

=
1
1 1 1
( + )
n n n
i i i
i i i i
i i i

dx
ϕθ ϕϕ
=
∑
=
.
Do ñó

(
)
1 1 1 1
( ) ( )
n n n n
i i i i
i i i i
i i i i
d d dx d dx d dx d dx
ϕθ ϕϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= = = =
∑ ∑ ∑ ∑
= = ∧ = ∧ + ∧

=
1 1
n n
i i
i i
i i
d dx d dx d d
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ ϕ θ

là các dạng vi phân bậc một trên U. Khi ñó
ij
( ) [x ]
i i
j j
dx E E
δ
= =
, vì thế ta có
{
}
1,
i
i n
dx
=
là trường ñối mục tiêu ñối ngẫu của
trường mục tiêu
{
}
i
E
khi ñó với
ϕ
là hàm số khả vi trên U thì
d
ϕ
là dạng vi phân
bậc một trên U do ñó


∂ ∂
∧ = ∧ =
∂ ∂ ∂

(Vì
2 2
i j j i
x x x x
ϕ ϕ
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
và
j i
dx dx
∧
=
i j
dx dx
− ∧
).
Bài 1.5

Giải
1 1 2
: ( ) ( ) ( )
f U U U
Ω × Ω → Ω
là ánh x
ạ

1 2
1 2
( , ) ( , )
f f
θ θ θ θ
⇒ =

Với
ɶ
ɶ
1
1 2
1 2
, , , ( )
U
θ θ θ θ
∀ ∈Ω
,
,
k l
∀
ta có
ɶ
(
)
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ

θ θ θ θ θ θ θ θ
= ∧ = − ∧ = − . Do ñó f là song tuyến tính phản
ñối xứng.
Bài 1.6

Giải

+) i=0
Với
0
(W)
ϕ
∈Ω
ta có
(
)
*
( )
g f g f
ϕ ϕ
=
  

và
* * * * *
( ) ( ) ( ) ( )
f g f g f g g f
ϕ ϕ ϕ ϕ
= = =
  

= =
 

=
*
( ( )) ( ) ( )
( ( )) ( ) ( ( ))
g f p f p p f p p
T g T f g T f
θ α θ α
=(
)
(
)
* * * *
( ) ( ) ( ) ( )
p p
f g f g
θ α θ α
= =
do
ñ
ó
(
)
*
* *

( ( )), ( ( ))
gf p f p p f p p
T g T f T g T f
ω α β
=
(
)
*
( )
( ) ( ), ( )
f p p p
g T f T f
ω α β

=
* *
( ( )) ( , )
p
f g
ω α β

Suy ra
(
)
*
* *
g f f g
=
 
.

f p p
p
T f
ϕθ α ϕθ α
= =

( )
( ( )). . ( )
f p p
f p T f
ϕ θ α

* * *
( )( ).( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p p p
f p f f f
ϕ θ α ϕ θ α
= =


Suy ra
* * *
( ) ( )( ),
f f f
ϕθ ϕ θ
=
c)
(
)
(

f f f
ϕω ϕ ω
=
d)
ɶ
ɶ
(
)
(
)
*
( )
( ) ( , ) ( ), ( )
p p p
f p
f T f T f
θ θ α β θ θ α β
∧ = ∧

=
ɶ
ɶ
( ) ( )
( ) ( )
( ( )). .( ( )) ( ( )). .( ( ))
f p f p
f p p p f p p p
T f T f T f T f
θ α θ β θ β θ α
−

Giải

+) Ta có
1 1 1
( ) . . .
n n n
i i i
X X i i i i i
i i i
d DE d
D Z D E E E
dt dt dt
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= = =
∑ ∑ ∑
 
= = + =
 
 

=
'
0
1 1
( )[ ]. [ ].
n n
i i i i
i i
t E X E

i
T Z E
ϕ ψ
=
∑
+ = +
;
1
[ ]
n
X i i
i
D Z X E
ϕ
=
∑
=

1
[ ]
n
X i i
i
D T X E
ψ
=
∑
=
.
Do ñó

X Y i i i i i i X Y
i i i
D Z X Y E X E E D Z D Z
ϕ ϕ ϕ
+
= = =
∑ ∑ ∑
= + = + = +

+)
1 1
; Z=
n n
i i i i
i i
Z E E
ϕ ϕ ϕϕ
= =
∑ ∑
=
. Ta có
( )
1 1
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
n n
X i i i i i i X
i i
D Z X E X E X E D Y X Z
ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= =

'
0 0 0 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
Z t T t Z t T t
ρ ρ ρ ρ
+
   

=
'
0
( ) 0 0
( )
. ( ( )) ( ( )). ( ). ( ) ( ). ( )
X p X X
t
D Z T t Z t D T D Z p T p Z p D T p
ρ
ρ ρ
+ = +⇒
X[Z.T]=
. .
X X
D Z T Z D T
+
.
Bài 1.9

' '
( ) ( ) ( )
( ) ( ). ( ) . ( )
( ) ( ) ( )
X t X t f t
X t f t a a X t X t
f t f t f t
= ⇒ = = ⇒ =


 
  

Suy ra
( )
X t

và
'
( )
X t

phụ thuộc tuyến tính với mọi t thuộc J.
⇐
ðặt
( )
( )
( )
X t
v t


mà
'
( )
X t

=
'
( ). ( )
( )
X t X t
X t



suy ra
2
' '
'
3
( ) ( ) ( ) ( ). ( )
( )
( )
X t X t X t X t X t
v t
X t
−
=
 
  




Do
( )
X t

,
'
( )
X t

ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính,
( ) 0
X t
≠
 
v
ớ
i m
ọ
i t nên
'
( ) ( ) 0

có ph
ươ
ng
không ph
ụ
thu
ộ
c t.
Bài 1.10
Giải

⇒
Giả sử
( )
X t

thuộc một không gian vectơ con hai chiều cố ñịnh của
3
E
.
Ta có
( ) ( ) ( )
X t t a t b
ϕ ω
= +
  
, trong ñó vectơ
a

và vectơ


,
b

nên chúng phụ thuộc tuyến tính.
⇐
Giả sử
{
}
' ''
( ), ( ), ( )
X t X t X t
 

phụ thuộc tuyến tính
ðặt
'
( ) ( ) ( )
Y t X t X t
= ∧

 
suy ra
' ''
( ) ( ) ( )
Y t X t X t
= ∧
 

(1)

' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Y t t X t X t t X t X t t Y t
ϕ ω ω
= ∧ + ∧ =
 
   
.
Vậy
{
}
'
( ), ( )
Y t Y t


phụ thuộc tuyến tính theo kết quả bài 9 ta có
( )
Y t

có phương
không phụ thuộc vào t suy ra
( ) ( )
Y t f t a
=
 
(
a

cố ñịnh khác vectơ

=
 
hoặc
0
l
≠
 
nhưng
l

và
X

không cùng phương suy ra
'
0
X
=


v
ớ
i
t J
∀ ∈
suy ra
X a
=
 
(vect

ẩ
n
{
}
1 2 3
, , ,
O e e e
  
sao cho
3
( 0)
l ae a
= ≠
 
.
Theo gi
ả
thi
ế
t
l

là m
ộ
t hàm vect
ơ
h
ằ
ng và
{

ñ
ó
( )
i
t
ϕ
là các hàm s
ố
kh
ả
vi trên J.
Do
'
,
X l X
= ∧

 
nên
'
. 0
X l
=


mà
(
)
'
'

(
)
( )
' ' '
1 2 2 1
, ,0 , ,0
X l X a a
ϕ ϕ ϕ ϕ
= ∧ ⇔ = −

 

'
1 2
'
2 1
a
a
ϕ ϕ
ϕ ϕ

= −

⇒

=


(1)
Từ giả thiết

rcos at b a r at b a
r at b
a r co at b a
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ

= + = − + = −


⇒
 
= +
= + =




Vậy
1 2 3 3
( ) ( ) sin( )
X t rcos at b e r at b e e
ϕ
= + + + +
   
trong ñó r,
3
ϕ
là hàm hằng, b là
hằng số.

( )
x t t
y t x t
y t t
=

⇒ =

=


Do ñó
ρ
là một parabol.
b)
1 2
( ) sin ,
t O coste te
ρ
= + +
 

Ta có
1 2 1 2
( ) ( ) . sin . sin .
O t t cost e t e OP coste t e
ρ ρ
= = + ⇒ = +
      



1 2
( ) ( ) . s .
O t t cht e ht e
ρ ρ
= = +
   

2 2
( ) ch
( ) ( ) 1
( ) s
x t t
x t y t
y t ht
=

⇒ − =

=

, do
ñ
ó
ρ
là m
ộ
t nhánh Hypebol (x>0).

Bài 1.13

2 2
2 2
( ) ( )
1
x t y t
a b
− =
, do ñó
ρ
là một Hypebol. ( 3 nhánh trên Hypebol)
c) Ta c ó
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) (1 ) 4
1
(1 ) (1 )
x t y t t t
a b t t
−
+ = + =
+ +

Nên
ρ
là một Elip.
Bài 1.14
Giải

Xét trường mục tiêu song song
{

Ψ ∈
F(U).
Từ giả thiêt
X[ ] [ ]
Y
ϕ ϕ
=
suy ra
(
)
(
)
1 1
[ ] [ ]
n n
i i i i
i i
E E
ϕ ϕ ϕ
= =
∑ ∑
= Ψ

1 1
[ ] [ ]
n n
i i i i
i i
E E
ϕ ϕ ϕ


Giải

Ta sẽ chứng minh
[
]
, 0 [ ] 0
p p p
X VecU X T U
ϕ α ϕ α
∀ ∈ = ⇔ = ∀ ∈

Thật vậy:
⇐
Hiển nhiên vì
[
]
( ) ( )[ ], ( )
p
X p X p X p T U
ϕ ϕ
= ∈

⇒
Cho
p p
T U
α
∈
,

V
ớ
i
[ ]
p
α ϕ
=
0 g
ọ
i
:
J U
ρ
→
,
0 0
( )
t t p
ρ
=
֏
và
'
0
( ) ( )
p
t X p
ρ α
= =


c l
ạ
i v
ớ
i
ϕ
là hàm h
ằ
ng ta có
0
lim
( ) ( )
[ ] 0
p
t
p t p
t
ϕ α ϕ
α ϕ
→
+ −
= =

.
V
ậy bài toán ñược chứng minh.
Bài 1.16
Giải
Với
{


t J
∀ ∈
.
:
n
X J E
→

,
1
( )
n
i i
i
t X t a e
=
∑
=
 
֏

Do ñó
1
( , , )
n
X a a
=

suy ra

=



=

 


suy ra
'
1
0
n
i i
i
e
ϕ
=
∑
=


Do
{
}
1
, ,
n
e e

a
ϕ
⇒ =

Suy ra
( )
X t a
=
 
=
1
n
i i
i
a e
=
∑

.
Bài 1.17
Giải

⇒
0
lim ( )
p p
X p
α
→
=

∑ ∑ ∑
⇔ − < ⇔ − <
  

( )
2
1
( ) ( )
n
i i i i
i
p a p a
ϕ ε ϕ ε
=
∑
⇔ − < ⇒ − <
suy ra
0
lim ( ) .
i i
p p
p a
ϕ
→
=

⇐

0
lim ( )

ϕ ϕ
− <
⇒
− <

( )
2
1
( )
n
i i
i
p a
ϕ ε
=
∑
⇒ − <

1 1
( )
n n
i i i i
i i
p e a e
ϕ ε
= =
∑ ∑
⇔ − <
 



=
(cos . sin . ) cos . sin .
at at at
e bt i bt j dt e btdt i e btdt j
∫ ∫ ∫
+ = +
   

ðặt
t
ª
dv=cosbt dt
u e

=



at
du=ae

1
sin
dt
v bt
b


⇒

v c bt
b


⇒

= −

1
2
1 1
2
a
sin osbt- osbt dt
b
osbt+sinbt
at at at
at
e e a ae
I bt c c
b b b b
a e a
I c I
b b b
 
= +
 

   
= +
+

2
2
2
a a
osbt+ osbt dt= osbt+ sin sin
b b
a
sin osbt- sin
b
at at at
at at
at at
at
e e e a a
I c e c c bt e tdt
b b b b b
e e
a bt c e tdt
b b
= − − ⋅ − =
 
= ⋅ −
 
 
∫ ∫
∫

c

là vectơ hằng).
Bài 1.19

Giải

Áp dụng công thức tính
[ ]
p
α ϕ

ñố
i v
ớ
i m
ụ
c tiêu trong
3
E

a) V
ớ
i
2 2 2
x y z
ϕ
= + −
ta có
2 4

α ϕ
=
3
1
i
i
i
a
p
x
ϕ
=
∑
∂
∂
= 1.4+2.2-1.0=8.
b) Với
x
sin cos .
e y z
ϕ
= +

ta có
( )
2
sin . .sin1,
x
y e e
p p

p
α ϕ
=
3
1
i
i
i
a
p
x
ϕ
=
∑
∂
∂
=
2
e
(sin1+ 2. cos1)
Bài 1.20
Giải

Với
3
1
i i
i
X E
ϕ

∂ ∂ ∂

=
2 2
( )
x y z x z y
+ + −
.
+)
2
( ) ( ) ( )
X[ . ] [ ] [ ] .( )
yz yz yz
X X xy x z y
x y z
ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ
∂ ∂ ∂
= + = + −
∂ ∂ ∂

=
2
( ) ( ) ( )
.( )
yz yz yz
xy x z y
x y z
∂ ∂ ∂
+ −
∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂
= = + −
∂ ∂ ∂
=
2
x y xz
+

X[X[ ]]
ϕ
=
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 2
[ ]
x y xz x y xz x y xz
X x y xz x z y
x y z
∂ + ∂ + ∂ +
+ = + −
∂ ∂ ∂

=
2 2
(2 ) yx

∂ ∂ ∂
+ −
 
∂ ∂ ∂
 
=
2 2 2
x y z xyz
+

X[ ] [ ]
X
ϕ ψ ψ ϕ
−
=
2
( ).
xy y xz
− +

Bài 1.21
Giải
Áp d
ụng công thức tính ñạo hàm thuận biến của trường vectơ Y dọc trường vectơ X
ñối với trường mục tiêu song song
{
}
1 2 3
, ,
E E E

E
ϕ
=
∑
,
3
1
i i
i
X E
ψ
=
∑
=
)
1 2
[y] [x]
X
D Y X E X E
= +
=
=
2z
y y y
xy e y
x y z
 
∂ ∂ ∂
+ −
 

= + + =

=
2 2
1 2 3
( ) ( )
z z
xy xy e e y y
y x E y x E y x E
x y x y x y
   
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ −
+ + + + +
   
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   

=
(
)
2 2
1 3
2
y x E xyE
+ −
.
1 2

Ta có X + x .Y = 2xy E
1
+
2 2
2 3
( )
z
e x E y E
+ −

( )
X
D X xY
+
=
2 2
1 2 3
[2xy] [e ] [-y ]
z
X E X x E X E
+ + +
=
(
)
(
)
(
)
2
1

 
 
∂ ∂ ∂
 
+
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2
3
z
y y y
xy e y E
x y z
 
∂ − ∂ − ∂ −
+ + −
 
 
∂ ∂ ∂
 
=
=
2 2 2
1 2 3
(2 2 ) (2 ) 2

1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 2
1 2 3 1 2 3
x x x x x x x x x
x x x x x E x x x x x E
x x x x x x
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − + + −
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   

=
2
1 2 1 2 1 1 3 2
( ) .
x x x x E x x E
+ −

[ ]
p
α ϕ
=
2 1 3 2 1 2 3
1 2 3
2. 1. 3. 2 ( ) 3
x x x x x x x
x x x
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂

1 2
( ) ( )
x x x x x x x x x x
x x x E
x x
 
∂ − ∂ −
+
 
∂ ∂
 
+
+
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 3 1 2 1 2 3
1 2 3 2
1 2
( ) ( )
x x x x x x x x x x
x x x E
x x
 
∂ − ∂ −
+
 
∂ ∂
 
+
+
1 1

− + −
+
+
(
)
1
2 2 2
1 2 2 3 1 3 2 3 1 3 3 3
( 2 ) ( )
x x x x x x x x x x x x E
− + −

Bài 1.23
Giải

Ta có
(
)
(
)
1 2
2 2 2 2
. .
k k
x y
dy dx dy dx
x y x y
θ ϕ ϕ
= − = +
+ +