Lượng Giác
Thư Viện Số
class="bi x6 y15 w3 ha"
ă Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 2 -
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG
Công thức cơ bản
+ =
Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
●
sin2x 2 sin x.cos x=
●
2 2
2 2
cos x sin x
cos2x
2 cos x 1 1 2 sin x
−
=
− = −
●
os
2
1 c 2x
sin x
2
−
( )
tan a tan b
tan a b
1 tan a.tan b
+
+ =
−
●
( )
tan a tan b
tan a b
1 tan a.tan b
−
− =
+
●
π 1 tan x
tan x
4 1 tan x
+
+ =
●
a b a b
cosa cos b 2 sin .sin
2 2
+ −
− = −
●
a b a b
sin a sin b 2sin .cos
2 2
+ −
+ =
●
a b a b
sin a sin b 2 cos .sin
2 2
+ −
− =
●
( )
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
+
+ =
●
( )
sin a b
Một số công thức thông dụng khác
●
π π
sinx cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
+ = + = −
●
π π
sinx cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
− = − = +
Một số lưu ý
:
Điều kiện có nghiệm của phương trình
sin x
cos x
= α
= α
là:
1 1− ≤ α ≤
.
Khi giải phương trình có chứa các hàm số
tan
hoặc
cot
, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết
phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
Phương trình chứa
vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy
làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.
Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm.
Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm.
Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác
AM
có
số đo là
k2
n
π
α +0
0
k.360
hay a
n
+
tại vị trí
6
π
và
7
6
π
(ta chọn
k 0, k 1= =
).
Ví dụ 3: Nếu sđ
2
AM k.
4 3
π π
= +
thì có 3 điểm
M
tại các vị trí
11
;
4 12
π π
và
19
12
π
,
(
).
Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung
x k
6
π
= − + π
và
x k
3
π
= + π
Biểu diễn cung
x k
6
π
= − + π
trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
6
π
−
và
5
6
π
Bi
ểu diễn cung
x k
3
− +
Bài 9. Giải phương trình:
( )
3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
π π
− = +
Bài 10. Giải phương trình:
( )
Bài 12. Giải phương trình:
( )
3
2 sin x 2 sin x 1
4
π
+ =
Bài 13. Giải phương trình:
( )
3
sin x 2 sin x 1
4
2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 2+ + = ∗
.
Bài 17. Giải phương trình:
( )
2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + ∗
Bài 18. Giải phương trình:
( )
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗
Bài 19. Giải phương trình:
( )
sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2 cos
4 2 2
π
+ = + − ∗
2 3
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + ∗
Bài 25. Giải phương trình:
( )
3 3 2
4 sin x 3 cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − = ∗
Bài 26. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3+ + − + = ∗
Bài 27. Giải phương trình:
( )
( )
6 6 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗
Bài 28. Giải phương trình:
( )
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 7 -
Bài 32. Giải phương trình:
( )
1
cos x cos2x cos 4x cos 8x
16
= ∗
Bài 33. Giải phương trình:
( )
3
4 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗
Bài 34. Giải phương trình:
( )
1
cos x cos2x cos 3x cos 4x cos 5x
2
+ + + + = − ∗
Bài 35. Giải phương trình:
( )
( )
2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗
Bài 40. Giải phương trình:
( )
2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2
π
− − = ∗
Bài 41. Giải phương trình:
( ) ( )
− + = ∗
−
Bài 45. Giải phương trình:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 cos x 1 cos x
1
tan x sin x 1 sin x tan x
2
4 1 sin x
− + +
− = + + ∗
−
Bài 46. Giải phương trình:
( )
cos 3x tan 5x sin 7x= ∗
Bài 47. Giải phương trình:
( )
1 1
sin2x sin x 2 cotx
2 sin x sin2x
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 8 - www.DeThiThuDaiHoc.com
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung
x,2x,3x
, giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một
cung. Nhưng đưa về cung
∗ ⇔ − − − + − = ⇔ − =
( )
(
)
(
)
( )
2
cos x 0 N
4 cos x cos x 2 0 x k , k
cos x 2 L 2
=
π
⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ∈
=
ℤ
.
0,5 k 3,9
3 5 7
Do x 0;14 ,k 0 k 14 x ; ; ;
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2sin x cos x 2sin x cos x sin x
∗ ⇔ − + = −
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2sin x cos x sin x 2 cos x 1 0
⇔ − + − − =
(
)
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2 sin x cos x sin x 0 2 cos x 1 sin x cos x 0
⇔ − + − = ⇔ − + =
+ = π
= −
= − + π
ℤ
. Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung
3x
và
2x
, chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một
cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos
Bài giải tham khảo
(
)
3 2 3 2
4 cos x 3 cos x 2 cos x 1 cos x 1 0 2 cos x cos x 2 cos x 1 0
)
(
)
2 cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x
− + = − ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004
Bài 3. Giải phương trình:
(
)
cos 3x cos2x cos x 1 0
+ − − = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 9 -
Bài 4. Giải phương trình:
(
)
sin x cos x 1 sin2x cos2x 0
+ + + + = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
( ) ( )
)
sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0
⇔ + + + =
(
)
(
)
sin x cos x 1 2 cos x 0
⇔ + + =
( )
sin x cos x tan x 1
x k
4
k; l
1 2
2
cos x cos x cos
x l2
2 3
3
π
= − = −
x
bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
(
)
(
)
2
sin x 1 2cos x 1 2sin x cos x 1 cos x
∗ ⇔ + − + = +
(
)
(
)
2
2 sin x cos x 2sin x cos x 1 cos x 2sin x cos x cos x 1 1 co
s x 0
⇔ + = + ⇔ + − + =
( )( ) ( )
2
1
x k2
cos x
3
cos x 1 sin 2x 1 0 k, l
2
Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung
3
x
2
π
−
và
7
x
4
π
−
giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung
khác nhau này về cùng một cung chung là
x
. Để làm được điều đó, ta có thể dùng công
thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý
tưởng đó qua hai cách giải sau đây
Bài giải tham khảo
Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung:
(
)
sin a b sin a.cos b cos a.sin b
± = ±
Bài 6. Giải phương trình:
( )
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008
Bài 5. Giải phương trình:
(
)
(
)
sin x 1 cos2x sin 2x 1 cos x
+ + = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 10 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( )
1 1 7 7
4 sin cos x sin x cos
sin x 3 3 4 4
sin x cos sin cos x
2 2
π π
∗ ⇔ + = −
(
)
(
)
sin x cos x 2 2 sin x cos x sin x cos x 0
⇔ + + + =
(
)
(
)
sin x cos x 1 2 sin2x 0
⇔ + + =
( )x k
4
tan x 1
sin x cos x 0
x l k,l, m
2
8
1 2 sin2x 0
sin2x
52
x m
8
ℤ
.
Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''
Ta có:
( )
3
sin x sin 2 x cos x
2 2
7 1
sin x sin 2 x sin x sin x cos x
4 4 4
2
π π
− = − π − − =
( ) ( )
1 1 1
4. sin x cos x
sin x cos x
2
∗ ⇔ + = − +
. Giải tương tự như cách giải 1.
Lời bình: Từ tổng hai cung
x x
3 6 2
π π π
+ + − =
giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:
cot x cot x cot x cot x cot x tan x 1
3 6 3 2 3 3 3
π π π π π π π
sin x 0
13
sin x sin x 0 cos 2x 0 cos 2x 0
3 6 2 6 6
sin x 0
6
π
+ ≠
π π π π
⇔ + − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ − ≠
7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
π π
+ = + − ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM năm 1999
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 11 -
( ) ( )
2 2
1 7 1 1 k
1 sin 2x sin 2x 1 cos 4x x , k
2 8 4 2 12 2
π π
∗ ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = + ∈
ℤ
π π π
⇔ − + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠
π
+ ≠
)
2 4 2 4 4 2
1 1
1 sin 4x cos 4x 1 1 cos 4x cos 4x 2cos x cos 4x 1 0
2 2
∗ ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − − =
(
)
( )
2
2 2
2
2
t 1 N
2t t 1 0
1
cos 4x 1 sin 4x 0 sin 4x 0
t L
t cos 4x 0
2
t cos 4x 0
=
)
( )
sin2x 0 N
k
x , k
cos2x 0 L 2
=
π
⇔ ⇔ = ∈
=
ℤ
.
Lưu ý, ta có thể thực hiện biến đổi mẫu số bằng công thức cộng theo tan như sau
tan tan x tan tan x
1 tan x 1 tan x
4 4
tan x .tan x . . 1
10 2
π
−
và
3x
10 2
π
+
có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy:
3x 3x 9 3x 3 x
sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
π π π π
+ = π − + = − = −
. Từ đó, ta sẽ
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997
Bài 9. Giải phương trình:
( )
3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
π π
− = +
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 12 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài giải tham khảo
Ta có:
⇔ − = −
.
Đặt
3 x
t
10 2
π
= −
. Và
( )
(
)
(
)
3 2
1 1
2 sin t sin3t sin t 3sin t 4sin t sin t 1 sin t 0
2 2
⇔ = ⇔ = − ⇔ − =
( )
3 x 3
− = + π = − π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Ta có:
3
sin 3x sin 3x sin 3x sin 3x sin 3 x
4 4 4 4 4
π π π π π
− = − − = − π − − = − + = − +
3
2 2 2
sin t 0 sin t 0
4 sin t 3 sin t cos2tsin t 0
4 sin t 3 1 2sin t 0 sin t 1
= =
⇔ − + = ⇔ ⇔
− + − = =
( )
t k
x k
sin t 0
4
x m , k, l,m
cos t 0
4 2
t l
x l
2
4
Bài giải tham khảo
Ta có:
( )
cos 3x cos 3x cos 3 x
3
π
= − π + = − +
.
Phương trình:
)
3 3 3
2 8 cos t cos 3t 8 cos t 4 cos t 3 cos t
⇔ = − ⇔ = − +
(
)
(
)
3 2
12 cos t 3 cos t 0 cos 3t 4cos t 1 0 cos 3t 2 cos2t 1 0
⇔ − = ⇔ − = ⇔ + =
Bài 11. Giải phương trình:
( )
3
8 cos x cos 3x 1
3
π
+ =
x k
2
cos 3t 0
6
t l x l k;l;m
1
3
cos2t
2
2
x m
t m
3
3
π
= + π π
= + π
=
π
Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
Đặt
t x x t
4 4
π π
= + ⇒ = −
. Lúc đó:
( )
3 3
1 sin t 2 sin t sin t sin t cos t
4
π
⇔ = − ⇔ = −
(
)
(
)
(
⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ∈
=
ℤ
.
Lời bình: Trong
(
)
•
, tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức
2 2
1 sin t cos t
= +
. Vậy trong giải
phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn
giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép
2 2
1 sin t cos t
= +
để phương trình trở nên đơn giản hơn ".
(
)
(
)
(
)
3 2
sin x cos x 4 sin x sin x cos x sin x cos x 4 sin x
⇔ + = ⇔ + + =
(
)
(
)
sin x cos x 1 2 sin x cos x 4 sin x
⇔ + + =2 2
3 sin x 2cos x sin x 2 sin x cos x cos x 0
⇔ − + + + =
(
)
(
)
2 2
( )
tan x 1 x k , k
4
π
⇔ = ⇔ = + π ∈
ℤ
.
Cách giải 3.
( ) ( )
3
3
1 1
1 2 . 2 sin x 2 sin x 2 sin x cos x 2sin x
4
2 2
π
⇔ + = ⇔ + =
- 14 - www.DeThiThuDaiHoc.com
(
)
(
)
3
sin x cos x 4 sin x 2
⇔ + =
Vì
(
)
cos x 0 hay sin x 1
= =
không phải là nghiệm của phương trình
(
)
2
nên chia hai vế của
phương trình
(
)
2
cho
3
t x x t
4 4
π π
= − ⇒ = +
. Lúc đó:
(
)
(
)
3 3
1 sin t 2 sin t 4 sin t sin t cos t
⇔ = + ⇔ = +
(
)
(
)
3 2 2
sin t sin t cos t sin t cos t
⇔ = + +
(
)
3 3 2 2 3
sin t sin t sin tcos t cos tsin t cos t cos t sin tcos t
1 0
⇔ = + + + ⇔ + =
)
x 4x 5x
+ =
và
(
)
2x 3x 5x
+ =
. Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản,
chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình
tích số.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )
5x 3x 5x x
cos x cos 4x cos2x cos 3x 0 2 cos cos 2 cos cos 0
2 2 2 2
∗ ⇔ + + + = ⇔ + =5x 3x x 5x x
2 cos cos cos 0 4 cos cos x cos 0
2 2 2 2 2
⇔ + = ⇔ =
⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + π ∈
π = π + π
=
= + π
ℤ
. Bài 14. Giải phương trình:
(
)
cos x cos2x cos 3x cos 4x 0
+ + + = ∗
Bài 13. Giải phương trình:
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 3
1 cos2x 1 cos 4x 1 cos 6x cos2x cos 6x cos 4x 0
2 2 2 2
∗ ⇔ − + − + − = ⇔ + + =
(
)
2 cos 4x cos2x cos 4x 0 cos 4x 2 cos2x 1 0
⇔ + = ⇔ + =
( )
k
cos 4x 0
4x k x
2 8 4
k, l
2
2
cos2x cos
2x l2 x l
3
3 3
π π π
=
( ) ( ) ( )
1 1
cos2x cos 4x cos6x cos2x cos 6x cos 4x 1 0
2 2
⇔ − + + = ⇔ + + + =
(
)
2
2 cos 4x cos2x 2 cos 2x 0 2 cos2x cos 4x cos2x 0
⇔ + = ⇔ + =
( )
x k
2
cos x 0
4 cos2x cos 3x cos x 0 cos2x 0 x l k,l, m
4 2
cos 3x 0
x m
6 3
π
= + π
1 cos2x 1 cos6x 1 cos4x 1 cos 8x
2 2 2 2
∗ ⇔ − + − = + + +
(
)
cos2x cos 6x cos 4x cos 8x 2cos 4x cos2x 2 cos 6x cos
2x
⇔ − + = + ⇔ − =
(
)
2 cos2x cos 6x cos 4x 0 4 cos2x cos 5x cos x 0
⇔ + = ⇔ =
( )cos x 0
m
cos2x 0 x k x l x ; k, l,m
2 4 2 10 5
cos 5x 0
=
π π π π π
)
2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 2
+ + = ∗
.
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM khối A năm 2001
Bài 17. Giải phương trình:
(
)
2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x
+ = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 16 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
⇔ − = ⇔ ⇔ = − ∈
=
π
=
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( )
x x
cos 3x sin 7x 1 cos 5x 1 cos 9 cos 3x sin 7x sin 5x cos 9
2
π
= +
=
π
⇔ + = ⇔ ⇔ = + π ∈
π
= +
π π
k
6 3
cos x 0
x
l
6 3
4 cos 3x cos2x cos x 0 cos2x 0 x k,l,m
l
4 2
x
cos 3x 0
4 2
x m
2
π π
= +
π π
=
= +
π π
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002
Bài 19. Giải phương trình:
( )
sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2 cos
4 2 2
π
+ = + − ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001
Bài 20. Giải phương trình:
(
)
2 2 2
sin x cos 2x cos 3x
= + ∗
−
,
(
)
2
2 sin 2x 1
−
lại với nhau, để sau khi dùng công thức
tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được
phương trình tích số đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
2
sin 7x sin x 1 2 sin 2x 0 2 cos 4x sin 3x cos 4x 0
∗ ⇔ − − − = ⇔ − =
( ) ( )
k2
cos 4x 0
x
18 3
cos 4x 2 sin 3x 1 0 k,l
1
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
sin x sin 3x sin2x 1 cos2x cos x
∗ ⇔ + + = + +
(
)
(
)
2
2 sin2x cos x sin2x 2cos x cos x sin2x 2 cos x 1 cos x 2
cos x 1 0
⇔ + = + ⇔ + − + =
(
)
(
)
(
)
(
)
=
π
= + π
⇔ − + = ⇔ = ⇔ ∈
π
= + π
= −
)
2 2 3
3 sin x cos x cos x sin x sin 4x
⇔ − =3 3
3 3
sin2x cos2x sin 4x sin 4x sin 4x
2 4
⇔ = ⇔ =
( )
3
k
3 sin 4x 4 sin 4x 0 sin12x 0 12x k x , k
12
π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈
ℤ
.
Bài 22. Giải phương trình:
(
)
sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x
+ + = + + ∗
(
)
(
)
3
cos10x 1 cos 8x cos x 2 cos x 4 cos 3x 3 cos 3x
∗ ⇔ + + = + −
(
)
cos10x cos 8x 1 cos x 2cos x cos 9x
⇔ + + = +2 cos9x cos x 1 cos x 2 cos x cos9x
⇔ + = +
(
)
cos x 1 x k2 , k
⇔ = ⇔ = π ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
(
(
)
(
)
2 1 cos2x 3 sin x cos x 0
⇔ − − − =
( )
2
1 2 2
x k
cos2x cos 2x k2
3
k;l
2 3 3
sin x cos x tan x 1
x l
4
π
π π
= ± + π
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 1 sin x 3 0
∗ ⇔ + + − + − − =
(
)
(
)
(
)
(
)
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 1 2 sin x 1 2 sin x 0
⇔ + + − + − + =
(
)
(
)
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 1 2sin x 0
⇔ + + − + − =
(
)
(
)
3 cos 4x 1 2sin x 1 0
⇔ − + =
π π
⇔ ⇔ = − + π ⇔ = − + π ∈
= −
π π
= + π = + π
ℤ
.
Bài 24. Giải phương trình:
(
)
6 6 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x
+ = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 19 -
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
6 8 6 8 6 2 6 2
sin x 2sin x cos x 2cos x 0 sin x 1 2sin x cos x 2 cos x 1 0
∗ ⇔ − + − = ⇔ − − − =
(
)
6 6 6 6
sin x cos 2x cos x cos2x 0 cos2x sin x cos x 0
⇔ − = ⇔ − =
( )
= ± π
=
= ± + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( )
(
)
(
)
10 8 8 10
5
2 cos x cos x sin x 2sin x cos2x 0
4
∗ ⇔ − − − + =
8 8
8 8
cos2x 0
2x k
k
2
x , k
5
5
4 2
cos x sin x 0
sin x cos x 1 VN
4
4
π
=
= + π
π π
⇔ ⇔ ⇔ = + ∈
− + =
3 2 3 2 3 3
sin x 1 2sin x cos x 2 cos x 1 0 sin x cos2x cos x cos2x 0
⇔ − − − = ⇔ − =
( )
( )
3 3
3
cos2x 0
m
cos2x sin x cos x 0 x , m
tan x 1
4 2
=
π π
⇔ − = ⇔ ⇔ = + ∈
=
ℤ
.
Cách giải 2
(
)
(
)
m
x , m
sin x cos x 0 tan x 1
4 2
= =
π π
⇔ ⇔ ⇔ = + ∈
− = =
ℤ
.
Bài 28. Giải phương trình:
(
)
( )
8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000
Bài 29. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
3 1 2 cos2x cos 2x 4 1 cos 2x 1 2 cos2x cos 2x 0
⇔ + + − − + − + =
(
)
2
8 cos 2x 4 cos2x 0 4 cos2x 2 cos2x 1 0
⇔ + = ⇔ + =
( )
k
cos2x 0
x k
Do
cos x 0 hay sin x 1
= =
không là nghiệm của phương trình
(
)
∗
Chia hai vế của
(
)
∗
cho
4
cos x
, ta được:
( )
2
2 4
2
t 4t 3 0
3 4 tan x tan x 0
t tan x 0
− + =
∗ ⇔ − + = ⇔
= ± + π
= ±
=
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
=
= ±
= ± + π
( ) ( ) ( )
2 2
2 3 2
cos 3x cos x cos x sin 3x sin x sin x
8
−
∗ ⇔ − =
( ) ( )
2 2
1 1 2 3 2
cos 4x cos2x cos x cos2x cos 4x sin x
2 2 8
−
⇔ + − − =2 2 2 2
2 3 2
cos 4x cos x cos2x cos x cos 2x sin x cos 4x sin x
4
−
⇔ + − + =
(
)
(
)
( )
2
2 3 2 1 2 3 2
cos 4x cos 2x cos 4x 1 cos 4x
4 2 4
− −
⇔ + = ⇔ + + =
( ) ( )
2 k
4 cos2x 2 1 cos 4x 2 3 2 cos 4x x , k
2 16 2
π π
⇔ + + = − ⇔ = − ⇔ = ± + ∈
ℤ
. Bài giải tham khảo
Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung
x,2x,4x,8x
khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc
đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức
2 2
cos2x 2 cos x 1 1 2sin x
sin x 0 x k
= ⇔ = π
không là nghiệm của
(
)
∗
● Nhân cả 2 vế của phương trình
(
)
∗
cho
16 sin x 0
≠
, ta được:
( )
16 sin x cos x cos2x cos 4x cos 8x sin x 8 sin 2x cos2x
cos 4x cos 8x sin x
sin x 0 sin x 0
= =
∗ ⇔ ⇔
≠ ≠
π
=
π
=
π π
⇔ ⇔
= +
π π
= +
4 sin 3x cos2x 1 2 3sin x 4 sin x 4 sin 3x cos2x 1 2 sin 3
x
∗ ⇔ = + − ⇔ = +
(
)
(
)
(
)
2
2 sin 3x 2 cos2x 1 1 2 sin 3x 4 cos x 3 1⇔ − = ⇔ − =
Do
( )
cos x 0 x k , k
2
π
= ⇔ = + π ∈
ℤ
không là nghiệm phương trình
(
)
, nên nhân hai vế
(
)
ế
Qu
ố
c Dân năm 1998
Bài 33. Giải phương trình:
(
)
3
4 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x
= + − ∗
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 22 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( )
l2
x
14 7
sin 6x cos x cos x cos 6x l,k
m2
2
x
10 5
π π
)
x k2 , k
= π ∈
ℤ
thì
( ) ( )
1
5
2
∗ ⇔ = − ⇒ ∗
không có nghiệm
(
)
x k2 , k
= π ∈
ℤ
.
● Khi
( )
x
x k2 , k sin 0
2
≠ π ∈ ⇒ ≠
ℤ
. Nhân hai vế của
(
)
∗
cho
x
Bài giải tham khảo
Lời bình: Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hoặc cot, có ẩn ở mẫu hay căn bậc
chẳn,… ta phải đặc điều kiện để phương trình xác định. Đặc biệt đối với những bài toán
có chứa tan (hoặc cot), ta hãy thay thế chúng bằng
sin cos
,
cos sin
nhằm mục đích " đơn
giản hóa " và chỉ còn lại hai giá trị lượng giác là sin và cos mà thôi.
Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra xem có nhận nghiệm hay không
Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện xem có thỏa không. Nếu thỏa thì ghi nhận
nghiệm ấy, nếu không thỏa thì loại.
Hoặc biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đường
tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung
của điều kiện.
Hoặc so với điều kiện trong quá trình giải phương trình.
● Điều kiện:
tan x 3
sin x 1
x l2
2
π
= ± + π
=
⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈
π
= −
= − + π
ℤ
.
Bài 34. Giải phương trình:
( )
1
cos x cos2x cos 3x cos 4x cos 5x
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
sin x 0
≠
(
)
2 2
sin x(1 sin2x cos2x) 2 2 sin x cos x 1 sin2x cos2x 2 2
cos x
∗ ⇔ + + = ⇔ + + =
(
)
2
2 cos x 2 cos x sin x 2 2 cos x 0 2 cos x cos x sin x 2 0
⇔ + − = ⇔ + − =
( )
cos x 0
x k
cos x 0
2
k, l
cos x 1
cos x sin x 2
x l2
= + π
ℤ
.
● So với điều kiện, họ nghiệm phương trình là
( )
x k x l2 , k,l
2 4
π π
= + π ∨ = + π ∈
ℤ
. Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
( )
sin x 0
(
)
2
sin2x sin 2x cos 2x 1 sin 2x sin 2x cos2x 1 0
⇔ + = ⇔ + − =
(
)
2
sin 2x cos2x cos 2x 0 cos2x sin 2x cos2x 0
⇔ − = ⇔ − =
( )cos2x 0
x k
4
2 cos2x sin 2x 0 k, l
sin 2x 0
4
x l
4
8 2
π
= +
ℤ
.
● Kết hợp với điều kiện, phương trình có 2 họ nghiệm:
( )
x k x l , k,l
4 8 2
π π π
= + π ∨ = + ∈
ℤ
. Bài giải tham khảo
Bài 36. Giải phương trình:
( )
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp.HCM năm 1998
Bài 38. Giải phương trình:
(
)
2
tan x tan x tan 3x 2
+ = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 24 - www.DeThiThuDaiHoc.com
● Điều kiện:
( )
3
cos x 0
k
cos 3x 0 x , k
cos 3x 4 cos x 3 cos x 0
6 3
≠
π π
⇔ + =
(
)
2
sin x sin 2x 2cos x cos 3x
⇔ − =2 2
2sin x cos x 2cos x cos3x
⇔ − =
(
)
2
sin x cos x cos 3x do cos x 0
⇔ − = ≠
( ) ( )
1 1
1 cos2x cos 4x cos2x
2 2
⇔ − − = +
( )
(nhận).
Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung
nào trùng nhau. Do đó:
l
x
4 2
π π
= +
là nghiệm
của
phương trình. (Cách 2 này mất nhiều thời gian).
Cách 3: Nếu
3 l3
3x k
4 2 2
π π π
= + = + π
thì
3 6l 2 4k 2k 3l 0,5
+ = + ⇔ − =
(vô lí vì
k, l
∈
ℤ
).
Vậy họ nghiệm của phương trình là:
( )
l
.
( )
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 11 1 1 1 20
1 1 1
3 3
cos x sin x sin 2x cos x sin x 4 sin x cos x
∗ ⇔ − + − + − = ⇔ + + =
( )
2 2
2
2 2 2
4 sin x 4 cos x 1 20 5 20 3 1 3
sin 2x 1 cos 4x
3 3 4 2 4
4 sin x cos x sin 2x
+ +
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − =
π
/6
7
π
/6
5
π
/4
3
π
/2
7
π
/4
11
π
/6
Bài 39. Giải phương trình:
( )
2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗
Copyright: Tài liệu đại học ©